CHƯƠNG 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM pps

1
Phần 1
CƠ HỌC
2
Chương 1
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
Giới thiệu
1.1. Một số khái niệm mở đầu
1.2. Vectơ vận tốc của chất điểm
1.3. Vectơ gia tốc của chất điểm
1.4. Vận tốc góc và gia tốc góc trong chuyển động
tròn
1.5. Rơi tự do (SV tự học)
1.6. Chuyển động của vật bị ném (SV tự học)
1.7.Phép cộng vận tốc và gia tốc (SV tự học)
3
1.1. Một số khái niệm mở đầu
1.1.1. Chuyển động cơ học:
Sự thay đổi vị trí của vật này đối với vật khác.
Một vật có thể chuyển động so với vật này nhưng đứng yên so
với vật khác

chuyển động có tính chất tương đối.
1.1.2. Động học:
Việc nghiên cứu chuyển động của các vật, các khái niệm về
lực và năng lượng liên quan đến chuyển động
Cơ học chia thành 2 phần:

1.1.3. Chất điểm:
Vật có kích thước rất nhỏ so với quảng đường mà nó chuyển
động.

 cơ học .
động học ( nghiên cứu vật
chuyển động như thế nào?! )
và động lực học (nghiên cứu tại
sao vật chuyển động?! ).
4
1.1.4. Không gian và thời gian:
Trong cơ học cổ điển: không gian và thời gian là tuyệt đối,
độc lập với chuyển động của vật.
Trong cơ học tương đối: không gian và thời gian không độc
lập với vận tốc chuyển động của vật.
1.1.5. Hệ qui chiếu:
Vật được chọn làm mốc và được xem là đứng yên khi xét
chuyển động của vật khác trong không gian.
Ta nên chọn hệ quy chiếu sao cho bài toán trở nên đơn
giản nhất.
1.1.6. Hệ tọa độ:
Hệ tọa độ là hệ thống các đường thẳng cố định gồm các
vectơ đơn vị và các góc.
Hệ tọa độ Descartes, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ, hệ tọa
độ cực, hệ tọa độ vectơ, hệ tọa độ cong,
5
•
Hệ tọa độ Descartes Oxyz:
- Chất điểm M được xác định bởi
vectơ định vị .
Vectơ định vị có gốc tại gốc của hệ
quy chiếu và có ngọn tại
chất điểm cần xác định vị trí.
- x, y, z là 3 tọa độ của M.

- là 3 vectơ đơn vị dọc theo 3 trục Ox, Oy và Oz.
Khi đó:
x
y
r
r
i
r
j
r
k
r
z
O
M
y
x
z
r OM=
r
,j
r
,i
r
k
r
. . .r x i y j z k= + +
r
r r

r
⇒
6
•
Hệ tọa độ cầu:
Vị trí điểm M bất kỳ được
xác định bởi 3 tọa độ:
Trong đó:
: độ dài véctơ định vị
: góc định hướng từ trục Oz đến
: góc định hướng từ trục Ox đến vectơ hình chiếu của trên mặt
phẳng Oxy,
Nếu biết trước 3 tọa độ cầu ta có thể tính được 3 tọa độ
Descartes x, y, z như sau:

, ,r
θ ϕ
r
r
r
θ
0
, 0 180
θ
≤ ≤
r
r
ϕ
, ,r
θ ϕ

sin cos ;x r
θ ϕ
=
sin sin ;y r
θ ϕ
=
cos .z r
θ
=
r
r
0
0 360
ϕ
≤ ≤
7
Ngược lại, nếu ta biết trước 3 tọa độ Descartes có thể tính được 3
tọa độ cầu như sau:
•
Hệ tọa độ cong:
- Giả sử chất điểm M chuyển động trên
đường cong (C).
- Trên (C) ta chọn điểm A làm gốc
(điểm xuất phát) và chọn chiều dương là chiều chuyển động.
Khi đó, tại thời điểm t bất kỳ, vị trí của M trên (C) sẽ được xác định
bởi trị đại số của cung :

s = s(t) : hoành độ cong.
2 2 2
;r x y z= + +

2 2 2
arccos ;
z
x y z
θ
=
+ +
.
y
arctg
x
ϕ
=
AM
⇒
AM s=
τ
r
•
M
•
A
s
(C)
+
8
1.1.7. Phương trình chuyển động và phương trình
quỹ đạo
a) Phương trình chuyển động của chất điểm:
Giả sử chất điểm M chuyển động như hình vẽ:

Xét tại : M trùng O
: M cách O một khoảng
: M cách O một khoảng
: M cách O một khoảng
Khi thời gian t thay đổi thì r (vị trí của chất điểm trong không gian) cũng
thay đổi
(1) Gọi là phương trình chuyển động (PTCĐ) của chất điểm.
PTCĐ của chất điểm là một hàm số biểu diễn sự thay đổi vị trí của chất điểm
trong không gian theo thời gian.
Ví dụ: Phương trình của chất điểm trong chuyển động tròn:
0
t
1
( )r t
1
t
2
t
2
( )r t
3
( )r t
3
t
⇒
( )r r t⇒ =
(1)
⇒
1
( )r t

• •
0
( )M t
1
( )M t
2
( )r t
•
2
( )M t
3
( )r t
•
3
( )M t
O
x
cos
sin
x R t
y R t
ω
ω
=


=

r(t) trong không gian 2-D và không gian 3-D là gì ?
x

M
y
t
θ ω
=
9
Ví dụ: Xác định vị trí của chất điểm M trong không gian Oxy
và trong hệ tọa độ cực tại thời điểm t=1s. Cho biết PTCĐ
của chất điểm là:
Giải:
-
M(x,y)?
-
?
+ Ta có: t =1s
+ Trong hệ tọa độ cực:
M được xác định bởi 2 tọa độ r và
2
2
3 (cm)
2 2 (cm)
x t
y t

=


= +



( , )M r
ϕ
3 (cm)
4 (cm)
x
y
=

⇒

=

⇒
ϕ
o
M(5;53,1 )⇒
M(3,4)
x
y
ϕ
r
r
cos

sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=



=

2 2

r x y
y
tg
x
ϕ

= +

⇒

=


5( )

4
53,1
3
o
r cm
arctg
ϕ
=



⇒

= =


x
•
M
y
O
10
b) Phương trình quỹ đạo (PTQĐ) của chất điểm:
PTQĐ cho ta biết dạng quỹ đạo của chất điểm.
Nếu khử tham số thời gian trong PTCĐ ta được PTQĐ.
Ví dụ:
Từ PTCĐ của chất điểm trong chuyển động tròn:
Ta khử t,
Quỹ đạo của chất điểm là đường tròn tâm O bán kính R nằm trong
mặt phẳng Oxy.
cos
sin
x R t
y R t
ω
ω
=


=


2 2 2
x y R+ =
⇒
PTQD:⇒
1.2. Vectơ vận tốc của chất điểm
11
1.2.1. Định nghĩa:
a) Vectơ vận tốc trung bình:
. .r x i y j∆ = ∆ + ∆
r r
r
r x y
v i j
t t t
∆ ∆ ∆
= = +
∆ ∆ ∆
r
r r
r
Đặc điểm
* Cùng chiều vectơ dịch chuyển
r∆
r
* Có độ lớn bằng
r
t
∆
∆

( Trong không gian 2 chiều )
Vectơ vận tốc trung bình của chất điểm
sau khoảng thời gian dịch chuyển
được một đoạn vectơ là:
t∆
MM r
′
= ∆
r
M’
M
r
r
r∆
r
x∆
r
y∆
r
x
y
O
{ {
{


x y z
v v v
r x y z
v i j k

t t t t
≡ ≡ ≡
∆ ∆ ∆ ∆
= = +
∆ ∆ ∆ ∆
⇒ +
r
r
r r
r
( Trong không gian 3 chiều )

x y z
v v i v j v k= +⇒ +
r
r r
r
v < 0 khi chất điểm chuyển động NGƯỢC chiều dương,
và v > 0 khi chất điểm chuyển động CÙNG chiều
dương.
?????
Lưu ý:
12
-
Vận tốc tức thời của chất điểm tại M, là vận
tốc trung bình khi khoảng thời gian là rất bé
( ).
0t∆ →
t t
′

→
t∆
0
lim
t
r dr
v
t dt
∆ →
∆
= =
∆
r r
r
t∆
0t∆ →
b) Vectơ vận tốc tức thời:
•
M’
•
M
( )r t
r
( )r t t+ ∆
r
r∆
r
x
v
r

y
v
r
x
y
O
v
r
( )
{ {

v . .
x y
v v
d dx dy
x i y j i j
dt dt dt
≡ ≡
⇔ = + = +
r r r r
r
. .
x y
v v i v j⇔ = +
r r
r
(Trong không gian 2 chiều)
. . .
x y z
v v i v j v k= + +⇒

r
r r
r
(Trong không gian 3 chiều)
τ
r
2 2
x y
v v v v= = +
r
Có độ lớn bằng:
???
Có phương tiếp
tuyến với quỹ đạo.
Cùng chiều chuyển
động.
τ
r
13
* Vectơ vận tốc tức thời tại M cùng phương chiều với vectơ tiếp
tuyến của quỹ đạo tại M.
Đặc điểm:
* Có độ lớn bằng:
2 2 2
x y z
v v v v v= = + +
r
Ta có thể biểu diễn theo vectơ tiếp tuyến :
v
r

τ
r
v v
τ
=
r
r
14
1.3. Vectơ gia tốc của chất điểm
Giả sử:
- Vào thời điểm t chất điểm tại P có vận tốc
v
r
- Q
v
′
r
t t t
′
= + ∆
Khi đó:
v v v
′
∆ = −
r r r
: vectơ độ biến thiên của vận tốc trong khoảng thời gian
t∆
1.3.1. Định nghĩa vectơ gia tốc:
v
r

v
′
r
v∆
r
v
r
P
Q
v
′
r
a
r
■ Vectơ gia tốc trung bình, , của chất điểm khi dịch chuyển từ
P đến Q bằng vectơ độ biến thiên vận tốc chia cho khoảng thời
gian xảy ra biến thiên .
t∆
a
r
15
x y z
a i a j a k= + +
r
r r
. . .
y
x z
v
v v

i j k
t t t
∆
∆ ∆
= + +
∆ ∆ ∆
r
r r
v v v
a
t t
′
− ∆
= =
∆ ∆
r r r
r
⇒
0a ≠
r
Khi:
Vận tốc giữa hai điểm P và Q có sự thay đổi hướng
hoặc thay đổi độ lớn.
■ Vectơ gia tốc tức thời, , của chất điểm tại P xác định bởi giới
hạn (lim) của gia tốc trung bình khi điểm Q dịch chuyển dần về P (khi

)
, 0v t∆ ∆ →
r
a

r
2
2
0
lim
t
v dv d r
a
t dt dt
∆ →
∆
= = =
∆
r r
r
v
r
P
a
r
Q
•
Q
Bt 11
tr.42
16

x y z
a a i a j a k= +⇔ +
r

r r
r
2 2 2
2 2 2

y
x z
dv
dv dv d x d y d z
a i j k i j k
dt dt dt d t dt dt
⇔ = + + = + +
r r
r r r r
r
2
2
,
x
x
dv d x
a
dt dt
= =
Trong đó:
2
2

z
z

dv d z
a
dt dt
= =
2
2
,
y
y
dv
d y
a
dt dt
= =
Độ lớn:
2 2 2
x y z
a a a a a= = + +
r
⇒
* Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho độ biến đổi nhanh hay chậm của
vận tốc và được đo bằng độ biến thiên vận tốc trên một đơn vị thời gian.
* Gia tốc khác 0 khi vận tốc có sự thay đổi về hướng hoặc độ lớn.
* Gia tốc có thể cùng hướng hoặc không cùng hướng với
vectơ vận tốc.
Bt 12 tr.42
17
- Khi chất điểm chuyển động nhanh dần đều thì gia tốc cùng hướng vectơ vận tốc.
- chậm dần đều cùng phương nhưng ngược chiều
- Khi chất điểm chuyển động trên quỹ đạo cong thì vectơ gia tốc luôn hướng về

phía lõm của quỹ đạo.
v
r
P
Q
a
r
a
r
v
r
v
′
r
v∆
r
v
r
v
′
r
a
r
v∆
r
Hình a)
Hình b)
Hình c)
Lưu ý:
- Gia tốc trung bình liên quan đến khoảng thời gian hữu hạn

xảy ra sự thay đổi vận tốc.
- Gia tốc tức thời liên quan đến vị trí xảy ra sự thay đổi vận
tốc tại một thời điểm cụ thể.
v
r
v
′
r
v∆
r
18
1
r r i=
r
r r
2
cos sinr r i r j
θ θ
= ∆ + ∆
r r
r r r
12
rrr

−=∆
j
r
i
r
1 2

r r r= =
r r r
θ
∆
2 1
cos sinr r r r i r j r i
θ θ
⇒ ∆ = − = ∆ + ∆ −
r r r
r r r r r r
r i r j r i
θ
= + ∆ −
r r r
r r r
r j
θ
= ∆
r
r
( 1)do
θ
∆ =
có phương vuông góc
r⇒ ∆
r
1
r
r

γ
r
Một Số Kiến Thức Toán Liên Quan
1.3.2. Gia tốc pháp tuyến và gia tốc tiếp tuyến
19
r
r
γ
=
r
r
r
0
lim
d
d
θ
γ γ
τ
θ θ
∆ →
∆
= ≡
∆
r r
r
γ
r
Nếu ta đặt:
thì

.cos . sin .
x y
i j
γ γ γ γ θ γ θ
= + = +
r r
r r r r r
0
γ τ γ τ
× = → ⊥
r r
r r
x
y
r

τ
r
θ
i
r
j
r
Vectơ đơn vị
theo phương
tiếp tuyến
Vectơ đơn vị
theo phương
bán kính
M

Kiểm tra xem:
Ta có:
cos . sin .i j
θ θ
= +
r r
(cos ,sin )
γ θ θ
=
r
(1)
(2)
sin . cos .
d
i j
d
γ
τ θ θ
θ
≡ = − +
r
r r
r
(3)
( sin ,cos )
τ θ θ
= −
r
(4)
sin cos sin cos 0 .

γ τ θ θ θ θ γ τ
× = − + = → ⊥
r r
r r
Từ (1)&(3) or (2) &(4):
Một Số Kiến Thức Toán Liên Quan(tt)
20
Tóm lại:
cos . sin .
d
i j
d
τ
θ θ γ
θ
= − − = −
r
r r
r
(1)
(cos sin )
do
r r r i j
γ θ θ
= = +
r r
r r
sin . cos .
d
i j

d
γ
θ θ τ
θ
= − + =
r
r r
r
.d s R d
θ
=
Một Số Kiến Thức Toán Liên Quan(tt)
R
r
d
θ
ds
O
R
r
21
P
h
’
’
g

p
h
á

p

t
u
y
ế
n

t
ạ
i

Q
P
•
a
r
n
a
r
v
′
r
v∆
r
v
r
Q
•
d d d

dt d dt
τ τ θ
θ
=
r r
d ds
ds dt
θ
γ
= −
r
1.3.2. Gia tốc pháp tuyến và gia tốc tiếp tuyến
1 v
v n
r r
γ
= − =
r r
{
{
2
n
a a
dv v
a n
dt r
τ
τ
= =
= +

r r
r
dv
a
dt
τ
=
2
n
v
a
r
=
Ta có:
a
τ
r
P
h
’
’
g

t
i
ế
p

t
u

y
ế
n

t
ạ
i

Q
do sự thay đổi độ lớn của v
v
r
do sự thay đổi phương lớn của
n
r
τ
r
O
•
r
r
(C)
khi vận tốc tăng, và ngược lại
a v
τ
↑↑
r r
n
a r↑↓
r r

quỹ đạo tròn thì là gia
tốc hướng tâm.
2
n
v
a
R
=
0
lim
t
v
a
t
∆ →
∆
= =
∆
r
r
v
r
n
v∆
r
v
τ
∆
r
v v

τ
=
r
r
( )
d v
dv dv
v
dt dt d dt
d
t
τ
τ
τ
= = +
r
r
r
r
22
y
x
P tại t
2
θ
2
θ
1
P tại t
1

Vận tốc góc trung bình:
1.3.Vận tốc góc và gia tốc góc trong chuyển động tròn
2 1
2 1
t t t
θ θ θ
ω
∆ −
= =
∆ −
rad/s
Vận tốc góc tức thời:
0
lim
t
d
t dt
θ θ
ω
∆ →
∆
= =
∆
rad/s
Liên hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài:
1d d ds
v
dt ds dt R
θ θ
ω

= = =
Độ dịch chuyển góc:
2 1
θ θ θ
∆ = −
( trong khoảng thời
gian )
2 1
t t t∆ = −
v R
ω
⇔ =
R
r
Bt 10 tr.42
23
1.3.Vận tốc góc và gia tốc góc trong chuyển động tròn(tt)
ω ω
=
r
ω
r
a
τ
r
Định nghĩa vectơ vận tốc góc:
Đặc trưng cho chiều quay và sự biến đổi
của góc quay theo thời gian trong chuyển
động tròn.
Có đặc điểm:

- Độ lớn:
- Phương: là phương của trục quay.
T
r
ụ
c

q
u
a
y
-
Chiều: xác định bằng quy tắc vặn nút chai
hoặc quy tắc vặn đinh ốc.
R
r
24
Sự tương ứng trong chuyển động thẳng và chuyển động tròn
Chuyển động thẳng Chuyển động tròn
s
v
a
s=vt
θ
ω
β
t
θ ω
=
2

0
1
2
s v t at= +
2
0
1
2
t t
θ ω β
= +
0
v v at= +
0
t
ω ω β
= +
2 2
0
2v v as− =
2 2
0
2
ω ω βϕ
− =
25
Bài tập
1/ Xác định phương trình quỹ đạo của chất điểm biết
phương trình chuyển động của chất điểm có dạng:
2/ Một chất điểm ban đầu đứng yên, sau đó chuyển động

thẳng với gia tốc .
a/ Chất điểm chuyển động như thế nào?
b/ Sau mỗi giây vận tốc thay đổi một lượng bằng bao
nhiêu?
cos
sin
x A R t
y R t
ω
ω
= − +


= −

2
2 /a m s=