tuyen tap de thi vao lop chuyen toan quoc hoc

Sở Giáo dục và đào tạo
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Quốc
học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1991 - 1992
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): a) Giải hệ phơng trình:




=+
=+
052
012
yx
yx
b) Trong mặt phẳng toạ độ, cho ba đờng thẳng
x + 2y = 1
2x + y = 5
ax + 4y = 7
Tìm a để ba đờng thẳng có cùng một điểm chung.
Bài II (3 điểm): Cho phơng trình m(x
2
3x - 1)
2
+ n(x
2
3x) - 1 = 0

Giải phơng trình trong mỗi trờng hợp sau:
a) m = 0 và n =
4
1
b) m = 1 và n = 0
c) m = 1 và n = 5
Bài III (5 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Vẽ đờng tròn đờng kính AB, O là
tâm đờng tròn đó. Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đờng tròn đó (khác với CB), gọi T là tiếp điểm.
a) Gọi E là giao điểm của đờng thẳng AD và OT. Chứng minh hai tam giác OBC và
OCT bằng nhau, hai tam giác CET và CED bằng nhau. Tính góc OCE.
b) Đặt DE = x. Tính theo a và x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a.
c) Tính theo a diện tích tam giác OCE và đờng cao EH xuất phát từ E của tam giác
đó.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1992 - 1993
Môn thi: Toán (Bài thi hệ số 2)
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): Cho hệ phơng trình:






=

=+
2
73
2
2
yax
ayx
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm điều kiện của a để hệ có nghiệm.
Bài II (3 điểm): Cho parabol (P):
2
2
x
y =
và đờng thẳng (d):
bxy +=
a) Với giá trị nào của b thì đờng thẳng (d) cắt parabol tại hai điểm phân biệt A
và B ?
b) Trong trờng hợp b = 4, tìm toạ độ của A và B, tính khoảng cách AB.
Bài III (5 điểm): Cho Tam giác ABC vuông góc tại C. Đờng thẳng d đi qua A và vuông góc
với cạnh AB, d cắt đờng thẳng BC tại D. Phân giác của góc CAB cắt cạnh BC tại N. Đờng
thẳng qua N và vuông góc với cạnh BC cắt cạnh AB và d lần lợt tại M và P.
a) Chứng minh: AM = MN và

ADM =

MAN
b) Chứng minh tam giác PDB cân.
c) Q là điểm trên đoạn thẳng MB sao cho NQ // DM. Chứng minh NB là tiếp tuyến
của đờng tròn đờng kính AQ.

d) Cho AB = 6cm và

ABD = 30
0
. Tính diện tích tứ giác ACNM.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1992 - 1993
Môn thi: Toán (Bài thi hệ số 3)
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (1,5 điểm): Đơn giản biểu thức:










+

+


2
22
22
2
:
x
yx
y
yx
yx
y
yx
x

Bài II (1,5 điểm): Cho 3a
2
+ 3b
2
10ab = 0 và 0 < a < b
Tính giá trị biểu thức: M =
ba
ba

+

Bài III (2 điểm): Cho a là một số khác -1. Lập một phơng trình bậc hai mà có các nghiệm số
x
1
, x
1
thoả mãn hệ thức sau:
( )
( )( )





+
=
=++
a
xx
xxxx
1
1
11
0454
21
2121
Bài IV (2 điểm): Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy không cắt (O). Kẻ OA

xy (A nằm

trên xy). Qua A vẽ một cát tuyến không đi qua O và cắt (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C
cắt xy lần lợt tại D và E. Chứng minh A là trung điểm của DE.
Bài V (3 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn tâm O và M là giao điểm của
hai đờng chéo (M khác O). Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với đờng kính qua M, đờng
thẳng này cắt cạnh đối diện tứ giác tại E và F.
Chứng minh rằng tam giác EOF cân.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1993 - 1994
Môn thi: Toán (Vòng I)
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (1,5 điểm): Tìm tập xác định của hàm số:

13
532
+
+
=
xx
xx
y
Bài II (2 điểm): Với giá trị nào của a để cho (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình:



+=

=+
1132
542
ayx
ayx
và x
2
+ y
2
nhỏ nhất ?
Bài III (2.5 điểm): Cho parabol (P): y = 4x
2
và đờng thẳng (d): y = mx - m + 4.
a) Với giá trị nào của m thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt? Tìm
hoành độ giao điểm đó theo m.
b) Viết phơng trình các đờng thẳng qua A(1; 3) và tiếp xúc với parabol (P).
Bài IV (4điểm): Cho đờng tròn (O) bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đờng tròn (O) kẻ
các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (không đi qua O). Đờng tròn đờng kính MO cắt
đoạn thẳng CD tại I.
a) Chứng minh C cách đều hai đờng thẳng AI và BI.
b) Đờng thẳng AI cắt đờng tròn (O) tại điểm E. Tam giác IEB là tam giác gì?
c) Chứng minh IC
2
= IA.IB.
d) Tìm diện tích của hình giới hạn bởi hai đoạn thẳng MA, MB và cung tròn
ACB khi MO = 2R.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học

Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1993 - 1994
Môn thi: Toán (Vòng II)
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): a) Giải hệ phơng trình:






=+
=++
22
4
yx
xyyx
Bài II (2 điểm): Cho phơng trình x
4
2x
3
+ x + m = 0
a) Giải phơng trình khi m =
4
1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm ?
Bài III (2.5 điểm): Đúng 6 giờ sáng một xe đạp xuất phát từ A để đến B và đúng 7 giờ sáng
cùng ngày một ngời đi ô tô xuất phát từ B đến A. 16 phút sau khi gặp nhau ngời đi ô tô về
đến A và 1 giờ 40 phút sau khi gặp ngời đi xe đạp về đến B. Hỏi mỗi ngời đã đi hết quãng đ-

ờng AB mất bao lâu? Biết vận tốc mỗi ngời không đổi trong suốt quãng đờng.
Bài IV (3,5 điểm): Cho tam giác ABC (AB < AC), BE là phân giác góc B. D là điểm trên
AC sao cho AB = AD. I là trung điểm BD. Đờng tròn (O) tiếp xúc cạnh AB, BC, AC lần lợt
tại M, N, P, K là giao điểm của đoạn thẳng BE và NP.
a) Chứng minh N, I, K thẳng hàng.
b) Tứ giác AMNK là hình gì?
c) Chứng minh: BO(AB + BC + AC) = BE (AB + BC)

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THCB Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1994 - 1995
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): Cho hệ phơng trình:
(I)



=
=+
15
32
yx
myx
a) Giải hệ (I) khi m = 3
b) Tìm gá trị của m để hệ (I) có nghiệm (x > 0, y < 0).
Bài II (2 điểm): Cho biểu thức: A= -2x

3
+ 4x
2
x 1
Tính giá trị của A khi x =
2
31+
Bài III (2 điểm): Cho hàm số y = ax
2
+ bx +c
a) Xác định các hệ số a, b, c biết rằng đồ thị của hàm số đi qua các điểm
A(0; -1), B(1; 0) và C(-1; 2).
b) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = mx 1 tiếp xúc với đồ thị của hàm
số vừa xác định.
Bài IV (4 điểm): Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một đờng thẳng cố định d không cắt
(O, R). Hạ OH vuông góc với d. M là một điểm thay đổi trên d (M không trùng với H). Từ
M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ (P, Q là tiếp điểm) với đờng trong (O; R). Dây cung PQ cắt
OH ở I, cắt OM ở K.
a) Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P, cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh IH.IO = IQ.IP.
c) Chứng minh khi M thay đổi trên d thì tích IP.IQ không đổi
d) Giả sử góc PMQ = 60
0
. Tính tỷ số diện tích hai tam giác MPQ và OPQ

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1994 - 1995

Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (1,5 điểm): Giải phơng trình:
721 =++++ xxx

Bài II (1,5 điểm): Với 4 số a, b, c ,d thoả mãn các điều kiện
a
2
+ b
2
= 2 và (a d)(b - c) = 1
Chứng minh rằng: c
2
+ d
2
2ad 2bc 2ab

-2
Khi nào dấu bằng xảy ra?
Bài III (2 điểm): d là ớc số nguyên dơng của số chính phơng n. Chứng minh rằng: 4n +
d không phải là số chính phơng.
Bài IV (2 điểm): Tìm các cạnh của một tam giác, biết rằng số đo của các đờng cao của tam
giác đó là những số nguyên và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác là 1/3.
Bài V (3 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (
B

> 90
0
,

C

> 90
0
). Đờng thẳng
vuông góc với AB kẻ từ A và đờng thẳng vuông góc với CD kẻ từ D cắt nhau tại M. Đờng
thẳng vuông góc với AB kẻ từ B và đờng vuông góc với CD kẻ từ C cắt nhau tại N.
a) Chứng minh MAD ~ NCB
b) Gọi P và Q là hình chiếu vuông góc của M lần lợt xuống BD và AC. Chứng minh
MP.MA = MQ.MD.
c) Chứng minh ba đờng thẳng AC, BD và MN đồng quy.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1995 - 1996
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): Với giá trị nào của a thì hệ sau đây vô nghiệm?




+=+
=+
1
2
aayx

yax
Bài II (2 điểm): Cho đa thức A(x) = (x - a)(x b) 1
a, b là hai số nguyên khác nhau.
Chứng minh: Đa thức A(x) không thể phân tích thành hai đa thức bặc nhất có các hệ số là
các số nguyên.
Bài III (2 điểm): Tìm các nghiệm nguyên dơng (x, y) của phơng trình:
2y
2
(3x + x
2
)y + 3x
2
x = 0
Bài IV (2 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng phân giác trong của góc A cắt
cạnh BC tại M và cắt đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC tại N. Gọi P và Q là chân các
đờng vuông góc hạ từ M theo thứ tự xuống các cạnh AB và AC.
Chứng minh diện tích tứ giác APNQ bằng diện tích tam giác ABC.
Bài V (2 điểm): Cho hình bình hành ABCD góc BAD nhọn. O là giao điểm của các đờng
chéo. Kẻ các đờng DM, DN, DP lần lợt vuông góc với AB, BC, AC. Chứng minh M, N, P, O
ở trên một đờng tròn.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THCB Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1995 - 1996
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (1,5 điểm): Cho hai biểu thức:

A
( )
yx
xyyx

+
=
4
2
và B
xy
xyyx +
=

a) Tìm điều kiện có nghĩa của mỗi biểu thức.
b) Rút gọn A và B.
c) Tính tích AB với
23 =x
và
23 +=y
.
Bài II (1,5 điểm): Trên cùng một trục toạ độ, cho đờng thẳng (d) và parabol (P) có phơng
trình:
(d): y = k(x - 1)
(P): y = x
2
3x + 2
a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k, (d) và (P) luôn luôn có điểm chung.
b) Trong trờng hợp (d) tiếp xúc với (P) tìm toạ độ tiếp điểm.

Bài III (2 điểm): Hai vòi nớc cùng chảy đầy bể không có nớc mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy
riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 1 giờ 30 phút. Hỏi nếu chảy riêng, mỗi
vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài IV (3 điểm): Cho đờng tròn tâm O và một điểm P ở ngoài đờng tròn. Kẻ hai tiếp tuyến
PA và PB (A, B là tiếp điểm ). Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) tại C (C A). Đoạn PC
cắt đờng tròn tại điểm thứ hai D. Tia AD cắt PB tại E.

a) Chứng minh EAB đồng dạng với EBD.
b) Chứng minh AE là trung tuyến của tam giác PAB.
Bài V (2 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều SABCD (tức hình chóp có đáy ABCD là hình
vuông và chân đờng cao trùng với tâm đáy). Tính diện tích xung quanh và thể tích hình
chóp. Biết rằng SA = AB = a.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THCB Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1996 - 1997
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (1,5 điểm): Rút gọn biểu thức:
A
( ) ( )
bbaa
bbaaba
ba
bab
+
++

+


=
23
3

Với a > 0, b > 0 và a

b.
Bài II (2 điểm): Cho phơng trình: (m+1) x
2
2(m-1)x + m 2 = 0
a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2 và tính nghiệm kia.
c) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức:
4
711
21
=+
xx
Bài III (1,5 điểm):
a) Tìm toạ độ giao điểm của parabol:
2
3
1

xy =
và đờng thẳng
( )
2
6
1
+= xy
b) Với giá trị nào của
k
thì đờng thẳng
( )
1= xky
tiếp xúc với parabol
2
3
1
xy =
?
Bài IV (2 điểm): Một mặt phẳng đi qua trục OO của một hình trụ, phần mặt phẳng đó bị
giới hạn bởi hình trụ là hình chữ nhật có diện tích là 72cm
2
. Tính diện tích xung quanh và
thể tích hình trụ, biết rằng đờng kính đáy bằng một nửa đờng cao.
Bài V (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn và
0
45

=C
nội tiếp trong đờng
tròn O. Đờng tròn tâm K đờng kính AB cắt các cạnh AC và BC tại M và N (M A; N

B).
a) Chứng minh O nằm trên đờng tròn (K).
b) Gọi G là giao điểm của AN và BM. Chứng minh tứ giác MONG là hình bình hành.
c) Gọi I là giao điểm của hai đờng chéo hình bình hành MONG. Chứng minh IK // CO
d) Chứng minh AB =
2
MN.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1996 - 1997
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (4 điểm): Giải phơng trình:

6
32
13
352
2
22
=
++
+
+ xx
x
xx

x

Bài II (4 điểm): Tìm các số nguyên x,y sao cho:
5x
2
+ 6y
2
74 = 0
Bài III (4 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của tích xy nếu:
22 xy
và
104 + yx
Bài IV (4 điểm): Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a. Một mặt phẳng qua A cắt
các cạnh BB, CC, DD lần lợt tại M, N, P sao cho BM = CN = x
Xác định vị trí của điểm P trên DD.
Bài V (4 điểm): Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC (AB > AC) tiếp xúc với cạnh AB, BC, AC
tại M, N, Q phân giác trong của góc BAC cắt tia MN tại P. Chứng minh tứ giác NPCQ nội
tiếp trong một đờng tròn.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1997 - 1998
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (1 điểm): Các nghiệm của phơng trình:
x
2

+ px + q + 1 = 0 (q

-1)
là số nguyên. Chứng minh p
2
+ q
2
là hợp số.
Bài II (2 điểm): Giải hệ phơng trình:
( ) ( )
( )( )





=++
=++
xyyx
xyyx
1011
2711
22
22
Bài III (2 điểm): Cho parabol (P): y = x
2
2x 3 và điểm M(1; -1). Gọi m (m

0) là hệ
số của đờng thẳng (d): y = ax + b đi qua M.

a) Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm A, B.
b) Xác định giá trị của m để AB ngắn nhất?
Bài IV (2.5 điểm): Cho hình chóp SABC biết rằng ABC là tam giác vuông tại
A
,
0
60

=B
.
Gọi M, N lần lợt là trọng tâm của tam giác SAB và SAC.
a) Chứng minh KBN ~ ABC từ đó rút ra các cặp tam giác tơng tự đồng dạng với
nhau.
b) Chứng minh 4 điểm N, K, L, M cùng nằm trên một đờng tròn.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THCB Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1997 - 1998
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (1 điểm): Giải hệ phơng trình:





=+

=

=
1234
2106
zyx
zyx

Bài II (2 điểm): Rút gọn các biểu thức sau:
a) A
aaaa
a
aa ++
+

=
1
:
1
2
b) P
1212
22
+++= xxxx
Bài III (2 điểm): Cho phơng trình:
x
2
2(m 1)x + m - 3 = 0
a) Chứng minh rằng, với mọi giá trị của m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình đã cho. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
độc lập
đối với m.

Bài IV (3 điểm): Cho hai đờng tròn ở ngoài nhau (O) và (O) kẻ tiếp tuyến chung ngoài AA
và tiếp chung trong BB của hai đờng tròn A và B là tiếp điểm thuộc (O) và A, B là tiếp
điểm thuộc (O). Gọi giao điểm của AA và BB là P. Giao điểm AB và AB là P
1
.
a) Chứng minh

OPO = 90
0
b) Chứng minh PA.PA = AO.AO
c) Chứng minh O, P
1
, O thẳng hàng
Bài V (2 điểm): Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là một hình thang (AB // CD). Gọi MN
là đờng trung bình của hình thang.
a) Chứng minh MN // (SAB) và MN // (SCD).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:

Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1998 - 1999
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): a) Chứng minh đẳng thức:

0112 =++
a
a
aa
với
0>a
b) Tính giá trị của:
( )
13111121213214212 +






+++
Bài II (2 điểm): Cho p, q, r là ba số khác nhau và r

0. Chứng minh rằng, nếu hai phơng
trình: x
2

+ px + qr = 0 và x
2
+ qx + pr = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại
của chúng thoả mãn phơng trình x
2
+ rx + pq = 0.
Bài III (1,5 điểm): Giải hệ phơng trình:





=++
=++
=++
0
0
0
2
2
2
zccyx
zbbyx
zaayx
Với a, b, c là ba số phân biệt.
Bài IV (2,5 điểm): Cho tứ giác ABCD (AB < CD) nội tiếp trong một đờng tròn, M là trung
điểm của cung AB (cung AB không chứa C, D), CM cắt AB tại E và cắt DA tại I. DM cắt
AB tại F và cắt CB tại K.
a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đợc trong một đờng tròn.

b) Chứng minh:
MK
MF
MI
ME
IK
EF
==

Bài V (2 điểm): Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Một đờng thẳng d vuông góc
với mặt phẳng (ABC) tại G, trên d lấy một điểm S, nối S với A, B, C.
Cho SG = 2a, tính tổng diện tích các mặt của tứ giác SABC.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1998 - 1999
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (1,5 điểm): Cho biểu thức:
A

++









+
++
= 1
3
3
.
27
3
33
3
32
x
x
xxx
Rút gọn A, rồi tính giá trị của A khi x =
23 +
Bài II (2 điểm): a) Giải phơng trình: x
2
+ 2x 11 +

36
= 0
b) Vẽ đồ thị hàm số:
12 ++= xxxy
Bài III (1,5 điểm): Cho phơng trình: 2x
2
6x + m = 0
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm dơng?
b) Với giá trị nào của m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
sao cho
3
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
Bài IV (2 điểm): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD biết rằng hình hộp chữ nhật có
thể tích 60 dm
3
, diện tích toàn phần 94dm
2
và AB + BC = 7 dm. Tính độ dài các cạnh AB,
BC, AA.

Bài V (3 điểm): Cho tam giác ABC cân (AB = AC), M là một điểm trên cạnh BC (M khác B
và C ). Tia AM cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại P.
a) Chứng minh MB.PC = PB.MC
b) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BMP.
c) Gọi R
1
, R
2
là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác MBP, MPC. Tính
tổng R
1
+ R
2
khi tam giác ABC là tam giác đều cạnh a.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1999 - 2000
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): Rút gọn phân thức:
A
62322
62
62322
232
+++

+
+
+
=
xx
x
xx
x
Bài II (3 điểm): a) giải phơng trình:
217
3
=++ xx
b) Tìm các giá trị a, b để nghiệm (x; y) của phơng trình
(x + y)
2
= a(x - y)
2
(y

0)
cũng là nghiệm của phơng trình: x = by.
Bài III (2 điểm): Trong một cuộc đua, ba tay đua mô tô đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi
giờ, ngời thứ hai chạy chậm hơn ngời thứ nhất 15km và nhanh hơn ngời thứ ba 3km. Ngời
thứ hai đến đích chậm hơn ngời thứ nhất 12 phút và sớm hơn ngời thứ ba 3 phút. Tính thời
gian chạy hết quãng đờng đua của các tay đua.
Bài IV (1 điểm): Cho hình thang cân có chiều cao h, cạnh bên có độ dài bằng bán kính của
đờng tròn ngoại tiếp hình thang. Tính diện tích hình thang theo h.
Bài V (2 điểm): Cho tứ giác ABCD có

ABC =

ADB = 90
0
. H là hình chiếu vuông góc
của D xuống AB. Đờng tròn tâm A bán kính AD cắt đờng tròn đờng kính AC tại M và N
(M trên cung nhỏ AB).
a) Chứng minh tam giác HAM đồng dạng với tam giác MAB.
b) Chứng minh N, H, M thẳng hàng.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 1999 - 2000
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): a) Giải phơng trình:
4
72
2
=


x
x
x
b) Giải hệ phơng trình:
( ) ( )

=
=+++
05
023
2
yx
yxyx
Bài II (2,5 điểm): Cho biểu thức: A
( )( )
11214
49
2
2
++

=
xxx
x
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm x để A > 0.
d) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A là một số nguyên.
Bài III (1,5 điểm): Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b (d) trong các trờng hợp:
a) Đồ thị của (d) là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = -3x + 1 và đi qua
A(2; -2).
b) Đồ thị của (d) là đờng thẳng cắt parbol y
2

1
=
x
2
tại hai điểm có hoành độ
các giao điểm là -1 và 3.
Bài IV (1,5 điểm): Cho hình vuông ABCD, một đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) tại A. Trên đờng thẳng d lấy một điểm S, nối SA, SB, SC và SD.
a) Chứng minh các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA là những tam giác vuông.
b) Tính diện tích xung quanh hình chóp SABCD, cho biết AB = a, SA = 2a.
Bài V (2,5điểm): Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d cắt đờng tròn tại hai điểm A, B. Từ
một điểm M bất kỳ trên d và nằm miền ngoài đờng tròn, vẽ các tiếp tuyến MP và MQ (P và
Q là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác OPMQ nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b) Chứng minh rằng khi M di động trên d (M nằm ngoài đờng tròn (O)) thì đờng
tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua hai điểm cố định.
c) Xác định vị trí điểm M để

MPQ đều

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 2000 - 2001
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2,5 điểm): Cho biểu thức:
P

( )
12
114444








++
=
xx
xxxxx
a) Tìm điều kiện của x để cho P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.
Bài II (1,5 điểm): Tìm m để phơng trình
0
2
=+ mxx
có nghiệm.
Bài III (1,5 điểm): Với hai số tuỳ ý a, b, chứng minh rằng:
a
2
+ b
2
ab + a + b + 1

0

Bài IV (2,5 điểm): Cho tam giác ABC (AB < AC), (O) là đờng tròn nội tiếp tam giác ABC
(O) tiếp xúc với các cạnh AB, AC, BC lần lợt tại M, N, P. Trong dờng tròn (O). Gọi I là
trung điểm của cung nhỏ MN. H là trung điểm của dây cung MN, K là điểm đối xứng của I
qua O.
a) Chứng minh: KA.IH = HK.IA
b) Chứng minh PI là phân giác của góc APH.
Bài V (2 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB > AC). Phân giác ngoài của góc
B và C cắt nhau tại M. Qua M dựng đờng thẳng cắt tia AB, AC lần lợt tại P và Q sao cho tứ
giác PBCQ là tứ giác nội tiếp.
a) Tìm điều kiện của tam giác ABC để cho tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh PQ = PB + CQ.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 2000 - 2001
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (3 điểm): a) Giải bất phơng trình:
15
25
10
311 +
<
xx
b) Cho phơng trình: (m + 1)x
2
+ 2(1 m)x + m 2 = 0 (1)

- Xác định m để (1) có nghiệm.
- Xác định m để (1) có một nghiệm bằng 2 và tính nghiệm kia.
- Xác định m để (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện
3(x
1
+ x
2
) = 5x
1
x
2

Bài II (3 điểm): Cho biểu thức:
P
3
32
1
23
32
1115
+
+

+

=
x
x
x
x
xx
x
a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa.
b) gọn biểu thức P và tính x khi P
3
1
=
c) Tìm giá trị lớn nhất của P và giá trị tơng ứng của x.
Bài III (1,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Đờng thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại A. Lấy một điểm S trên đờng thẳng d, nối SA, SB, SC. Gọi O là trung điểm
BC.
a) Chứng minh BC

mp(SAO)
b) Tính thể tích hình chóp SABC, cho biết AB = a, SO = a
2
Bài IV (2,5 điểm): Cho tam giác đều ABC cạnh a với O là trung điểm cạnh BC. Một góc

xOy = 60
0
sao cho tia Ox cắt cạnh AB ở E, tia Oy cắt cạnh AC ở F. Chứng minh rằng:
a) OBE ~ FCO.
b) EO và FO theo thứ tự là tia phân giác của góc

BEF và

CFE
c) Đờng EF luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi góc xOy
quay quanh O sao cho Ox và Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 2001 - 2002
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (3 điểm): Cho biểu thức:
M
( ) ( )

+
+








+


+
+
= x
x
x
x
x
x
x
xx
1
1
1
1

:
1
11
33
2
23
a) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M.
c) Tìm giá trị của x để cho M
5
1
=

d) Tính giá trị của M khi
45 =x
Bài II (3 điểm):
1) Giải hệ phơng trình







=
+


=
+

0
1
2
1
1
6
2
3
yxyx
yxyx
2) Cho phơng trình bậc hai: x
2
2(m + 1) + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1)
a) Tìm m để m (1) có nghiệm.
b) Cho biểu thức : P = 6x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
(x
1
, x
2

là nghiệm của (1)). Tìm m
sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị ấy.
Bài III (1,5 điểm): Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD.
Một đờng thẳng d vuông góc với mp(ABCD) tại O. Lấy một điểm S trên đờng thẳng d, nối
SA, SB, SC và SD.
a) Chứng minh BC

mp(SAC)
b) Biết BA = a, SA = a
5
. Tính diện tích xung quanh của hình chóp SABCD
Bài IV (2,5 điểm): Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn tâm O, bán kính R, vẽ một cát tuyến
không đi qua O cắt đờng tròn tại hai điểm A và B (A nằm giữa B và P).
a) Chứng minh: PA.PB = PO
2
R
2
b) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua P và vuông góc với OP. Các tiếp tuyến tại A và B của
đờng tròn (O) cắt (d) lần lợt tại C và D. Chứng minh:

COP =

DOP.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2:
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 2001 - 2002
Môn thi: Toán

Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): Cho biểu thức:
P
)1(4
1121
2

++
=
xx
xxx
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P
Bài II (1,5 điểm): Giải phơng trình:
4
5
1
2
2
=






+
+
x

x
x
Bài III (2 điểm): a) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n 65 là hai số chính phơng.
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
2<
+
+
+
+
+ ac
c
cb
b
ba
a
Bài IV (2,5 điểm): Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). Các cạnh đối AB và CD kéo
dài cắt nhau tại E, các cạnh đối AD và CB cắt nhau tại F. Phân giác trong góc DFC cắt AB
tại P, cắt DC tại Q.
a) Chứng minh tam giác PQE là tam giác cân.
b) Cứng minh: EF
2
= FA.FD + EA.EB
Bài IV (2 điểm): Cho hai điểm B, C (cố định nằm trên đờng tròn cố định (O)). A là điểm
thay đổi trên đờng tròn (O) (A khác B, C). Gọi H là trực tâm tam giác ABC, K là điểm đối
xứng của H qua A.
a) Chứng minh AH có độ dài không đổi.
b) Tìm quỹ tích điểm K.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2: .

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 2002 - 2003
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): Cho biểu thức:
A
2
168
1
4444
a
a
aaaa
+
++
=
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị a nguyên lớn hơn 8 (a

Z; a > 8) để A có giá trị nguyên.
Bài II (2 điểm):
a) Giải phơng trình:
014
54
5
2
2
=+

+
xx
xx

b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đờng thẳng có phơng trình:
(d
1
):
4
2
1
+= xy
, (d
2
):
2=y
và (d
3
):
( )
kxky ++= 1
Tìm k để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy.
Bài III (2,5 điểm): Cho phơng trình bậc hai đối với

(m + 1)x
2
2(m 1)x +m 3 = 0 (m

- 1) (1)
a) Chứng minh phơng trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của (1) tìm m để x
1
x
2
> 0 và x
1
= 2x
2
Bài IV (3,5 điểm): Từ điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C
là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O) (M

B, C).
Tiếp truyên qua M cắt AB và AC ở E và F. Đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q.
a) Chứng minh tứ giác PQFE nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
b) Chứng minh tỉ số
FE
PQ
là không đổi khi M di chuyển trên đờng tròn (Đờng tròn
(O) và điểm A đã cho cố định).

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2: .
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 2002 - 2003
Môn thi: Toán

Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

9124441
22
++++ xxxx
b) Chứng tỏ rằng:
5490170490170
33
=++
Bài II : Cho hệ phơng trình:





=+++
=+
0443
81
697
22
24
yxxyyx
yx
a) Nếu có (x, y) thoả mãn (2). Chứng minh rằng 1

y
3

7

b) Giải hệ phơng trình (1) và (2)
Bài III : Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y sao cho:
3x
2
+ 7y
2
= 2002?
Bài IV : Trên mặt phẳng cho đa giác lồi có 12 cạnh.
Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó là đỉnh của đa giác lồi đã cho?
Bài IV : Cho hình thoi ABCD có

BAD = 40
0
. O là giao điểm của hai đờng chéo. Gọi
H là hình chiếu vuông góc của O trên cạnh AB. Trên tia đối của tia BC và tia đối của tia DC
lần lợt lấy các điểm M và N sao cho HM // AN. Tính số đo góc MON.

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2: .
(1)
(2)
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 2003 - 2004
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): Cho biểu thức: M

12
1
12
1


+
=
xxxx

a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức M xác định.
b) Rút gọn biểu thức M.
Bài II (2 điểm): Trong cùng một hệ trục toạ độ, cho (P) và (d) lần lợt là đồ thị của y = x
2
và y = - x + 2.
1) Gọi (d) là đờng thẳng song song với (d) và (d) đi qua điểm M(0, m) (m là tham
số). Viết phơng trình (d).
2) Với giá trị nào của m :
+ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt?

+ (d) và (P) không có điểm chung?
+ (d) tiếp xúc với (P)?
Bài III (2,5 điểm):
1) Giải phơng trình:
020
2
= xx

2) Viết các phơng trình bậc hai dạng x
2

+ px + q = 0. Biết rằng phơng trình có nghiệm
nguyên, các hệ số p, q đều là những số nguyên và p + q + 1 = 2003.
Bài IV (3,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R. M là một điểm
tuỳ ý trên đáy BC (M khác B, C). Vẽ đờng trong tâm O
1
đi qua M và tiếp xúc với AB tai B.
Vẽ đờng tròn tâm O
2
qua M và tiếp xúc với AC tại C. Hai đờng tròn (O
1
) và (O
2
)cắt nhau tại
điểm thứ hai D.
1) Chứng minh D nằm trên đờng tròn tâm (O).
2) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đáy BC (M khác B, C) thì đờng thẳng
MD luôn đi qua một điểm cố định.
3) Giả sử tam giác ABC đều. Tính tích AM.AD theo R. Em có nhận xét gì qua kết
quả vừa tìm đợc?

Họ và tên thí sinh: Chữ ký Giám thị 1:
Số Báo danh: Chữ ký Giám thị 2: .
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Quốc học
Tỉnh Thừa Thiên Huế
Năm học 2003 - 2004
Môn thi: Toán
Đề Chính thức (150 phút, Không kể thời gian giao đề)

Bài I (2 điểm): Rút gọn biểu thức: P
xxxx

x
xx ++
+

=
1
:
1
2
Bài II (2 điểm): a) Phân tích đa thức:
A = x
4
+ x
3
+ 2(m 1)x
2
+ mx + m
2
thành tích
b) Chứng minh rằng:
2
1
20032002
1

13
1
5
1
22

<
+
+++
Bài III (1,5 điểm): Cho tam giác ABC. Gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
Trên cạnh AC và BC lấy các điểm M và N sao cho: AM.AB = AO
2
; BN.AB = BO
2
Chứng minh MON thẳng hàng.
Bài IV (2 điểm): Cho tam giác cân ABC cân tại A, từ điểm M thay đổi trên đáy BC kẻ các
đờng thẳng song song với hai cạnh bên AB, AC và cắt AC và AB tại P và Q. Gọi D là điểm
đối xứng của M qua PQ. Chứng minh rằng các điểm D ở trên một cung tròn khi M thay đổi
trên cạnh BC.
Bài IV (2,5 điểm): a) Giải hệ phơng trình
( ) ( )





=+
=+
xyxyyx
xyxyx
211
11
b) Với 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên
có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3?