De va DA HSG Tinh Bac Ninh 2006-2007

UBND tỉnh Bắc Ninh Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo Dục và đào tạo Năm học 2006 2007
Môn thi: Toán lớp 12 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể giao đề)
Ngày thi 06 tháng 04 năm 2007
Câu 1 (3 điểm). Tìm các giới hạn sau:
1)
x
x
x
cos21
3sin
lim
3



2)
x
x
x
2007cosln
1989cosln
lim
0
Câu 2 (3 điểm). Cho hàm số
14162
2
+++= xxxy
có đồ thị (C).
Tìm các điểm trên trục tung để từ điểm đó kẻ đợc duy nhất một tiếp

tuyến với đồ thị (C).
Câu 3 (4 điểm).
1) Giải hệ phơng trình:







=+++
=+++
=+++
05133
05133
05133
3
3
3
xzzz
zyyy
yxxx
2) Giải hệ bất phơng trình:






+

+
1
1
33
22
yx
yx
Câu 4 (3 điểm). Giải phơng trình:
3)12()223(
coscos
+=+
xx
Câu 5 (3 điểm). Cho hình chóp S.ABC, có tổng các góc phẳng ở đỉnh của
tam diện đỉnh S bằng 180
0
, các cạnh bên của hình chóp bằng 1. Chứng minh
rằng tổng diện tích các mặt bên và diện tích mặt đáy của hình chóp đó không
lớn hơn
3
.
Câu 6 (2 điểm). Trong góc XOY nhọn, cho hình bình hành AOBM. Tìm tập
hợp các điểm M sao cho hình bình hành AOBM có diện tích bằng 1và các
đỉnh A, B tơng ứng chuyển động trên cạnh OX, OY.
Câu 7 (2 điểm). Cho

+






+=
xx
xf
x
4
1
1
1
1)(
, với x > 0
Chứng minh rằng: f(n) < f(n+1),

n

N
*
.

Hết
Đề này có 01 trang
Họ và tên .SBD .
Đề chính thức
§¸p ¸n, thang ®iÓm §Ò thi HSG THPT n¨m häc 2006-2007

Câu
ý
Nội dung Điểm
1
(3,0)
1
Tìm giới hạn
x
x
x
cos21
3sin
lim
3



+) Đặt
3

= xt
;
=


x
x
x
cos21
3sin

lim
3

=
+


)]
3
cos(
3
[cos2
3sin
lim
0

t
t
t

+)
=






+

2
sin
32
sin4
3sin
lim
0
tt
t
t

2
1
2
2
sin
.
32
sin4
3
3
3sin
lim
0
t
t
t
t
t

t






+



+)
3=
1,5
0,5
0,5
0,5
2
Tìm giới hạn
x
x
x
2007cosln
1989cosln
lim
0
+)
)12007(cos
12007cos
)]12007(cos1ln[

)11989(cos
11989cos
)]11989(cos1ln[
lim
0


+


+
=

x
x
x
x
x
x
x
2
2007
sin2
12007cos
)]12007(cos1ln[
2
1989
sin2
11989cos
)]11989(cos1ln[

2
2
0
lim
x
x
x
x
x
x
x

+

+
=

+)
12007cos
)]12007(cos1ln[
11989cos
)]11989(cos1ln[
lim
0

+

+
=

x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2007
.
2
2007
2
2007
sin
2
1989
.
2
1989
2
1989
sin

x
x
x
x
+)
2
2007
1989






=
1,5
0,5
0,5
0,5
2
(3,0)
+) TXĐ: R, giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại M(x
0
; y
0
)
1416
216
2

2
,
++
+
+=
xx
x
y
+) Phơng trình tiếp tuyến với (C) tại M(x
0
; y
0
) là:
(d): y = f(x
0
)(x x
0
) + f(x
0
)
B(0; b)

(d)


1416
12
0
2
0

0
++
+
=
xx
x
b
+) Xét hàm số
322
)1416(
12
)('
1416
12
)(
++

=
++
+
=
tt
t
xg
tt
t
tg
+)
2/1)(
lim

=
+
tg
x
,
2/1)(
lim
=

tg
x

t

0
+
+) g(t) + 0 -
1
g(t)
1/2
-1/2
+) Qua điểm B(0; b) kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị
(C)



=
<

1

2/12/1
b
b

3,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5