Chuyên đề Số Phức Thạc sỹ Lê Văn Đoàn

Chuyên đê
Chuyên đê




6
6













Ho
HoHo
Ho

va
vava
va

tên ho
tên hotên ho
tên hoc sinh
c sinhc sinh
c sinh

:
L
LL
Lp
pp
p



:


Ths. Lê Vn Đoa

n


15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 1 -
M

y

x

O

Chuyên đề



1/ Số phức và biểu diễn hình học của số phức
 Số phức
z a b.i
= +
có phần thực là a và phần ảo là b với
a b
,
∈

và
i
2
1
= −
.
 Do
i
2
1
= −
nên ta có i
୬
=൞
1nê
ሖ
un=4k
inê
ሖ
un=4k+1

−1nê
ሖ
un=4k+2
−inê
ሖ
un=4k+3
(vớik∈

)
 Nếu
a c
a b.i c d.i
b d


=

+ = + ⇔


=



(hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo)
 Số phức
z a b.i
= +
được biểu diễn bởi điểm
(

)
M a b
;
trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
.
 Mô đun của số phức
z OM a b
2 2
= = +

.
 Số phức liên hợp của
z a b.i
= +
là
z a b.i
= −
.
2/ Các phép toán trên số phức
Cho hai số phức
z a b.i
1
= +
và
z c d.i
2
= +

 Phép cộng :

(
)
(
)
(
)
(
)
z z a b.i c d.i a c b d .i
1 2
± = + ± + = ± + ±

 Phép nhân :
(
)
(
)
(
)
(
)
z z a b.i c d.i a.c b.d a.d b.c .i
1 2
. .
= + + = − + +

 Phép chia :
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
a b.i a b.i c d.i a b.i c d.i
z z z
z
c d.i c d.i c d.i c d
z z
1 1 2
2 2
2
2 2
.
.
+ + − + −
= = = =
+ + − +

3/ Giải phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai (phương trình trùng phương) vô nghiệm, nghĩa là

0
∆ <
. Khi đó,
phương trình có nghiệm phức là
b i.
x
a
1,2
2.
− ± ∆
=
.
4/ Căn bậc n của số phức
Cho số phức
z a b.i
= +
. Hãy tìm căn bậc n của số phức z ?
(
)
n
n
z a b.i
?
= + =

SỐ PHỨC


6
 Đặt

(
)
(
)
n
n
n
n
z a b.i
ω x y.i ω z x y.i a b.i
= + = = + ⇒ = = + = + ∗

 Khai tri
ển
(
)
n
x y.i
+
. So sánh với
(
)
∗
dựa vào 2 số phức bằng nhau
n
x y z
,
⇒ ⇒

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

a
b
(
)
a b
,

Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 2 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º

5 – Dạng lượng giác của số phức z
=

a + b.i

 Ta có
z OM a b r
2 2
0
= = + = >

. Đặt
a r cosφ
b
φ φ
b r sinφ
a
.
tan ?
.


=

⇒ = ⇒ =


=



 Khi đó
z a b.i

= +
được biểu diễn dưới dạng lượng giác là:
(
)
z a bi r
φ i. φ
cos sin
= + = +
và được biểu diễn dưới dạng mũ là
φi
z a b.i r.e
= + =

(
φ π
hay
π φ π
0 2
≤ < − ≤ ≤
;
φ
sin
cùng dấu với b và
φ
gọi là một acgumen của
z
)
 Lúc đó:
+ Tích:
(

)
(
)
z .z r r
φ φ i φ φ
1 2 1 2 1 2 1 2
. . cos .sin
 
= + + +
 
 

+ Thương:
( ) ( )
z r
φ φ i φ φ
z r
1 1
1 2 1 2
2 2
cos .sin
 
= − + −
 
 

6 – Công thức Moivre và ứng dụng
 Công thức Moivre:
(
)

(
)
n n
z r
φ
i
φ
z r n
φ
i n
φ
. cos .sin . cos .sin
= + ⇒ = +
.
Công thức này dùng để nâng lũy thừa.
 Công thức khai căn:
+ Cho dạng lượng giác của số phức
(
)
z r
φ
i.
φ
cos sin
= +
(hoặc ta biến đổi).
+ Khi đó:
( )
n n
n

φ k π φ k π
z r. φ i. φ r i.
n n
2 2
cos sin cos sin
 
+ +



= + = +





 
;
k n
0,1,2, , 1
= −

7 – Tính chất của số phức

Cho số phức
z a b.i
z a b.i
z a b
2 2



= −


= + ⇒


= +



. Khi đó:








z z
=

z.z a b
2 2
= +

z z z z
' '
+ = +


z z z z
. ' . '
=

z
z
z
z
'
'
=


z z z z
1 2 1 2
+ ≤ +

Lưu ý: Cho số phức
z a bi
= +
với
a b
,
∈

. Khi đó:
 Để z là một số thực, điều kiện là:
b

0
=

 Để z là một số thực âm, điều kiện là:
a
b
0
0


<



=



 Để
z
là một số thực dương, điều kiện là:
a
b
0
0


>




=



 Để
z
là một số thuần ảo, điều kiện là:
a
0
=
, lúc đó:
z bi
=


15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 3 -






► Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần 1, 2, 4
Thí dụ 1. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức
a/
(

)
(
)
2 4 2 1 3
z i i i
= + + −
(TN.THPT – 2011 Hệ bổ túc) ĐS:

8 6 , 10
z i z= − =
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/
(
)
(
)
2 3
3 2 2
z i i
= − + +
ĐS:
7 5 2
z i z= − ⇒ =
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/
ω

1 2
2
z z
= −
với
1
1 2
z i
= +
và
1
2 3
z i
= −
(Trích đề TN.THPT – 2010 ban cơ bản)
ĐS:
3 8
z i
= − +
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/
ω
1 2
.
z z
=
với
1

2 5
z i
= +
và
2
3 4
z i
= −
(Trích đề TN.THPT – 2010 ban nâng cao)
ĐS:
26 7
z i
= +

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/
( )( )
4 5
2 4 5 2
2
i
z i i
i
−
= − + +
+
ĐS:
93 94
5 5

z i
= −
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/
2 1
1 2 3
i i
z
i i
− +
= −
−
ĐS:
7 14
15 15
z i
= +
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng toŸn 1
Dạng toŸn 1Dạng toŸn 1
Dạng toŸn 1
.

CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức
CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức
CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức
¼
¼¼
¼



Sự bằng nhau của hai của số phức
Sự bằng nhau của hai của số phứcSự bằng nhau của hai của số phức
Sự bằng nhau của hai của số phức



Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 4 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/
2
1 3 2
1 3
i i
z
i
i

 
−  −



= +






+
 
ĐS:
(
)
3 2 2
3
.
2 2
z i
−
= − +

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

h/
(
)
(
)
(
)
6 5 100
2 3 3
1
z i i
i
= − + + +
−
ĐS:
(
)
50
3771 2 3844.
z i
= − +

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
i/
2011 2012 2013
z i i i

= + +
ĐS:
1
z
=
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
j/
(
)
(
)
(
)
2 20
1 1 1 1
z i i i
= + + + + + + +
ĐS:
(
)
10 10
2 2 1
z i
= − + +
.
Cách 1. Sử dụng hằng đẳng thức:
(
)

(
)
n 2 3 n
i i i i i i n N
1 *
1 1 1 ;
−
− = − + + + + + ∀ ∈

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 5 -
Cách 2. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân:
( )
n
n
q
S u q
q
1
1
. , 1

1
−
= ≠
−
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
k/
(
)
2012
1z i= +
ĐS:
1006 1006
2 2
z z
= − ⇒ = −
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
l/
(
)
(
)
2
2 1 2

z i i= + −
(Đại học khối A – 2010 ban cơ bản) ĐS: phần ảo là
2
−

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
m/
(
)
1
n
z i
= +
với
N*
n
∈
thỏa
(
)
(
)
(
)

4 4
log 3 log 9 3 1
n n

− + + =
ĐS:
8 8
z i
= −
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
n/
3
1 3
1
i
z
i
 
+ 



=




+



 
ĐS:
2 2
z i
= +

(Trích đề thi Đại học khối B – 2011 theo chương trình nâng cao)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 6 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Thí dụ 2. Tìm các số thực x, y thỏa:
a/
(
)
(
)
1 2 1 2 1
i x y i i
− + + = +
. ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/

(
)
(
)
3
1 4 1 2 2 9
i x i y i
− + + + = +
. ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/
3 2
1
x yi
i
i
+
= +
−
. ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/
3 3
3 3
x y

i
i i
− −
+ =
+ −
. ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/
( ) ( )
(
)
2 2 2 2
1
4 3 3 2 4 3 2
2
i x i xy y x xy y i
− + + = − + −
. ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 7 -

Thí dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:
(
)
(
)
(
)
2
1 2 8 1 2
i i z i i z
+ − = + + +
. Hãy tìm phần thực
và phần ảo của số phức z
(Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D – 2009 ban cơ bản) ĐS:
2 3
z i
= −
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:
(
)
(
)
(
)

2
2 3 4 1 3
i z i z i
− + + = − +
. Hãy tìm phần thực và
phân ảo của số phức z
(Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D – 2010 ban cơ bản) ĐS:
2 5
z i
= − +

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 5. Tìm số phức z biết:
2
0
z z
+ =
ĐS:

0; ;
z z i z i
= = = −

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 6. Tìm số phức z biết:
2
2
z z z
= +
ĐS:

1 1 1 1
0, ,
2 2 2 2
z z i z i
= = − − = − +

(Trích đề thi Đại học khối A – 2011, theo chương trình chuẩn)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 8 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 7. Tìm môđun của số phức z biết:
(

)
(
)
(
)
(
)
2 1 1 1 1 2 2
z i z i i
− + + + − = −
.
ĐS:
2
3
z =
(Đại học khối A – 2011, theo chương trình nâng cao)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 8. Tìm số phức z biết:
5 3
1 0
i
z
z
+
− − =

ĐS:
1 3
z
= − −
hoặc
2 3
z
= −
(Đại học khối B – 2011, ban cơ bản)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 9. Tìm số nguyên
,
x y
sao cho số phức
z x yi
= +
thỏa mãn:
3
18 26
z i
= +

ĐS:

3; 1 3

x y z i
= = ⇒ = +

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 9 -
Thí dụ 10. Tìm môđun của số phức
ω
2 4
z i
= − −
với
z x yi
= +
,
(
)
,x y
∈

.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 11. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
2 2
z i
− + =
và phần ảo nhỏ hơn phần
thực 3 đơn vị. ĐS:
(
)
2 2 1 2
z i
= − − +
hoặc
(
)
2 2 1 2
z i
= + − −

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 12. Tìm các số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
1 2 2
z i z i

+ − = − −
và
1 5
z − =
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

ĐS: Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán:
1 3
z i
= +
hoặc
2 6
5 5
z i
= − −

Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 10 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Thí dụ 13. Tìm z thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

2 2
z i z z i
− = − +
và
(
)
2
2
4
z z
− =

ĐS:
3
3
1
4 .
4
z i
= ± +

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 14. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
12 5

8 3
z
z i
−
=
−
và
4
1
8
z
z
−
=
−

ĐS:
1
z i
= +

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 15. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:
(
)

2 10
z i− + =
và
. 25
z z
=

(Đại học khối B – 2009, theo chương trình chuẩn)
ĐS:
3 4
z i
= +
hoặc
5
z
=

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 11 -
Thí dụ 16. Tìm số phức
z
thỏa mãn điều kiện:

2
z =
và
2
z
là số thuần ảo.
(Đại học khối D – 2010) ĐS:

1 , 1 , 1 , 1
z i z i z i z i
= + = − = − − = − +

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 17. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời:
(
)
(
)
1 2
z z i
− +
là số thực và
1 5
z − =

ĐS:

2 , 2 2
z i z i
= = −

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí du 18. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời
5
z
=
và
7
1
z i
z
+
+
là số thực.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 19. Tìm số phức z sao cho
1 2 3

z i z i
+ − = + +
và
2
z i
z i
−
+
là một số thuần ảo.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 12 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của số phức z
a/
(
)
(
)
3
1 2 1
i
z
i i
+

=
− +
b/
1 2 3
2 4 5
i i
z
i i
+ −
= +
− +

c/
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
1 2 1
3 2 2
i i
z
i i
+ − −
=

+ − +
d/
(
)
(
)
(
)
2 3 2 5 4
z i i i
= − − + −

e/
(
)
3
2
z i
= −
f/
(
)
(
)
3 3
2 3
z i i
= + − −

i/

(
)
(
)
2 9
1 1
z i i
= + − −
j/
3 2
1 4
i i
z
i i
− +
= −
+

k/
7
7
1 1
2
z i
i
i
 




= −





 
l/
(
)
(
)
3 2013
1 2z i i= − + −

m/
( ) ( )( )
2
10
1 1
1 2 3 2 3
1
i
z i i i
i i
 
+




= + − + + − +





−
 
n/
(
)
2010
1
1
i
z
i
+
=
−

o/
(
)
(
)
1 2
1 2
i i
z

i
+ −
=
+
p/
21
5 3 3
1 2 3
i
z
i
 
+ 



=






−
 

q/
(
)
(

)
(
)
( )
2
2
1 2
2 1
i i
z
i i
+ −
=
+ −
r/
(
)
(
)
(
)
2 1 2 2 4
2 3
i i i
z
i
− + −
=
+

s/
1 2
1 2
i
z
i
+ −
=
+ +
t/
2 3 2009
1
z i i i i
= + + + + +

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức
a/ Tính:
(
)

3
2 2
; ; ; 1
z z z z z
+ +
. Biết rằng:
3 1
2 2
z i
= −

b/ Tính:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 20
1 1 1 1 1
A i i i i
= + + + + + + + + +

c/ Tính:
2 3 4 2013
1
B i i i i i
= + + + + + +

d/ Tính:
1
2
z
C
z
=
. Biết rằng:
1

3
z i
= −
và
2
1 3
z i
= +

e/ Tính:
1 2
D z z
= −
. Biết rằng:
1 2
1
z z
= =
và
1 2
3
z z+ =

f/ Tính:
5 7 9 2013
4 6 8 2012


i i i i
E

i i i i
+ + + +
=
+ + + +

g/ Tính:
(
)
(
)
(
)
2 4 2012
1 1 1 1F i i i= + + + + + + +

h/ Tính:
(
)
(
)
2012 2013
1 1G i i= − + +

i/ Tính:
2010
F z
=
. Biết rằng:
1
1

i
z
i
−
=
+

15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 13 -
j/ Tính:
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 8 10
16 8
1 1 1 1
1 1
1 1
i i i i
G
i i
i i
− + + + + + −

=
   
+ −
 
 
 
+
 
 
 
 
 
− +
   

k/ Tính:
( )

2
2
1
, 0
1
1
z
z
H z
z
z
+

= ≠
+ −

l/ Tính:
2
2
1
1
m mi
I
m i m
+ +
=
− +
với m là tham số thực
m/ Tính:
(
)
( )
1 2
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 1 2 1 1
, ; 0
J z z
z z z z
z z
z z

 
 








= + + ≠









+
+

 


+
 

n/ Tính:

(
)
(
)
2012 2012
2 4K z z= − + −
, biết
(
)
, ;z x yi x y
= + ∈

thỏa:
3
18 26
z i
= +

Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa:
a/
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2 2 1 1 5

x y i x y i
− + + = + − −

b/
(
)
(
)
1 2 3 5 1 3
x i y i
− − = + −

c/
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 3 2 1
x y y x i x y y x i
+ + − = − + + + +

d/
(
)
3 2 1 2
x yi y x i

+ = + + −

e/
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 2 3 2 2 4 3
x y y x i x y x y i
+ + − = − + + − −

f/
(
)
(
)
2 1 1 2 2 3 2
x y i x y i
+ + − = − + −

g/
(
)
(
)
4 3 3 2 1 3

x y i y x i
+ + − = + + −

h/
(
)
(
)
2 2 2 2
x y x y i x y x y i
+ + − = + + +

i/
3 2 5 7 5
x iy ix y i
+ − + = +

j/
(
)
(
)
2 3 4 2 5 10 2 3
x iy ix y i x y i y x
− + − − − = + + − − +

Bài 4. Tìm số phức z thỏa điều kiện cho trước:
a/ Tìm môđun của số phức
2 2 1 2
1 2 2 2

i i
z
i i
+ +
= +
− −

b/ Cho số phức
z x yi
= +
với
,
x y
∈

. Tìm
2
z i
− +
?
c/ Tìm số phức z thỏa:
20
1 3
z i
z
− = −
.
d/ Tìm số phức z thỏa:
2 1 8
z z i

− = − −
.
e/ Tìm s
ố phức z thỏa:
4
1
z i
z i
 
+



=





−
 
.
ĐS:

0, 1
z z
= = ±

Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc

Page - 14 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
f/ Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
2 2
2. . 8
z z z z
+ + =
và
2
z z
+ =

ĐS:
1
z i
= ±

g/ Cho số phức z thỏa:
(
)
3
1 3.
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môđun của số phức

z iz
+

ĐS:
8 2
z iz+ =
(Trích đề thi ĐH khối A – 2010 hệ nâng cao)
h/ Tìm các số phức z thỏa mãn:
(
)
. 3 4 3
z z z z i
+ − = −
.
ĐS:
15 1
.
2 2
z i
= ± −

i/ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:
20
1 3
z i
z
− = −
.
j/ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:
(

)
(
)
(
)
4 2 2
1 2 1 4 1 0
z z z
+ + + + + + =
.
k/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời:
1
z
=
và
1
z z
z
z
+ =
.
l/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời:
1
z i z
− = −
và
2
z i z
− =
.

m/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời:
1
1
z
z i
−
=
−
và
3
1
z i
z i
−
=
+
.
n/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời:
(
)
(
)
1 2 1 2 6
i z i z
− + + =
và
(
)
2
2 3 0

z i z z
+ − + =
.
o/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời:
5
z
=
và phần thực bằng 2 lần phần ảo.
p/ Tìm số phức
z
, biết
2 5
z =
và phần ảo bằng hai lần phần thực của nó.
q/ Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3.
r/ Tìm số phức
z
, biết
4
z
=
và
z
là số thuần ảo.
s/ Tìm các số nguyên n để số phức:
n
1 3
1 3
i
z

i
 
+ 



=






−
 
là một số thực.
t/ Cho hai số phức

1 2
,
z z
thỏa mãn:

1 2 1 2
3; 3; 37
z z z z= = − =
. Tìm
1
2
z

z
z
=
.

u/ Với giá trị nào của
,
x y
thì các số phức:
2 5
1
9 4 10
z y xi
= − −
và
2 11
2
8 20
z y i
= +
là liên
hợp của nhau.
v/ Tìm môđun của số phức
ω
z iz
= +
, biết rằng:
11 8
1 2
.

1 1
i i
i z
i i
   
+
 
 
 
= +
 
 
 
 
 
− +
   
.
w/
Tìm các số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
1 2 2
z i z i
+ − = − −
và
1 5
z − =
.

x/
Tìm các số phức (nếu có) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2

z i
− +
và
20
1 3
z i
z
− = −
.

y/
Tìm các số phức (nếu có) thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
2
z =
và
1 3 2
z i i
− + = −
.


15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 15 -













Dạng toŸn 2
Dạng toŸn 2Dạng toŸn 2
Dạng toŸn 2. T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức
. T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức . T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức
. T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức ¼

¼¼
¼

T˜m số phức c‚ m“đun max
T˜m số phức c‚ m“đun max T˜m số phức c‚ m“đun max
T˜m số phức c‚ m“đun max ¼
¼¼
¼

min
minmin
min


► Phương pháp
:
1/ Tìm tập hợp biểu diễn số phức
Tìm tập hợp điểm
(
)
M x y
,
biểu diễn số phức
z x y.i
= +
là tìm hệ thức giữa mối liên hệ x và
y dựa vào kiến thức về

, ,
z z z

và hai số phức bằng nhau.
Các mối liên hệ giữa x và y thường gặp:

Ax By C
0
+ + = ⇒
Tập hợp điểm
(
)
M x y
,
biểu diễn số phức là một đường thẳng.

(
)
(
)
x a y b R
2 2
2
− + − = ⇒
Tập hợp điểm
(
)
M x y
,
biểu diễn số phức là một đường tròn
có tâm là
(
)

I a b
,
và bán kính R.

(
)
(
)
x a y b R
2 2
2
− + − ≤ ⇒
Tập hợp điểm
(
)
M x y
,
biểu diễn số phức là một hình tròn
có tâm là
(
)
I a b
,
và bán kính R.

(
)
(
)
R x a y b R

2 2
2 2
1 2
≤ − + − ≤ ⇒
Tập hợp điểm
(
)
M x y
,
biểu diễn số phức là những
điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm
(
)
I a b
,
và bán kính
lần lượt là R
1
và R
2
.

x y
a b
2 2
1
+ = ⇒
Tập hợp điểm
(
)

M x y
,
biểu diễn số phức là một Elíp có trục lớn là 2a,
trục nhỏ là 2b và tiêu cự là
2c a b
2 2
2
= −
(với
a b
0
> >
).

x y
a b
2 2
1
− = ⇒
Tập hợp điểm
(
)
M x y
,
biểu diễn số phức là một Hypebol có trục thực là
2a, trục ảo là 2b và tiêu cự là
c a b
2 2
2 2
= +

(với
, 0
a b
>
).

y ax bx c
2
= + + ⇒
Tập hợp điểm
(
)
M x y
,
biểu diễn số phức là một Parabol (P).
2/ Tìm tất cả các số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước.
 Bước 1. Tìm tập hợp điểm
(
)
M x y
,
biểu diễn số phức
z x y.i
= +
để được mối liên hệ x, y.
 Bước 2. Dựa vào mối liên hệ giữa x và y ở bước 1 để tìm
z
max
và
z

min
.

Lưu ý: Từ điều kiện ở bước 1, ta có thể tìm
z
max
và
z
min
bằng các cách:
 Lượng giác hóa, sử dụng BĐT Bunhiacopxki:
(
)
(
)
(
)
a b c d a c b d
2
2 2 2 2
. .+ ≤ + +
.
 Sử dụng bất đẳng thức tam giác:
a b a b
− ≤ −
.
 Phương pháp đại số: Sử dụng BĐT Bunhiacopxki và giải hệ bất phương trình để
tìm ra:
A z x y B
2 2

≤ = + ≤ ⇒
z
max
và
z
min
.

Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 16 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Thí dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a/
2 3
z z i
= − +
ĐS: Đường thẳng:
4 6 13
x y
+ =
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/
(

)
1
z i i z
− = +
(Trích đề thi Đại học khối B – 2010)
ĐS: Đường tròn
(
)
(
)
2
2
: 1 2
C x y
+ + =
có tâm I(0;–1) và bán kính
R
2
=
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/
(
)
3 4 2

z i
− − =
(Trích đề thi Đại học khối D – 2009)
ĐS: Đường tròn
(
)
(
)
(
)
2 2
: 3 4 4
C x y
− + + =
có tâm I(3;–4) và bán kính
R
2
=
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/
3
z
z i
=

−
ĐS:
( )
2
2
9 9
:
8 64
C x y
 



+ − =





 
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 17 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
e/
4
z i z i
− + + =
ĐS: Elíp
( )
E
2 2
: 1
3 4
x y
+ =
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/
1
z i
z i
−
=
+
ĐS: Đường thẳng

0
y
= ⇒
Trục thực Ox.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/
2
z
≤
ĐS: Hình tròn
2 2
4
x y
+ ≤
tâm O(0;0), bán kính R = 2.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 18 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
h/

(
)
ω
1 3 2
i z
= + +
với
1 2
z
− ≤
.
ĐS: Hình tròn
( )
(
)
2
2
3 3 16
x y− + − ≤
có tâm
(
)
I
3; 3
và bán kính
R
4
=
.
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
i/
1 1 2
z i
≤ + − ≤
ĐS: Hình vành khăn có tâm I(–1;1) bán kín R
1
= 1; R
2
= 2.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
j/
2 1 2
z z z
− = − +
ĐS: Hai đường thẳng x = 0 và x = 2.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn


“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 19 -
k/
1 2 3
z z i
− + − =
ĐS: Hai đường thẳng song song với trục hoành
1 2
y
= ±
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
l/
2 2
z i z z i
− = − +
ĐS: Parabol

( )
P
2
:
4
x
y =
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
m/
2
z
là số thuần ảo ĐS: Hai đường phân giác

;
y x y x
= = −
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

n/
z i
z i
+
−
là một số thuần ảo ĐS:
2 2
1
0
x y
x


+ =




≠




Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 20 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
o/
z i
z i
+
+
là số thực ĐS: Những điểm nằm trên hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
p/
3
3
z i
z i
−
+
là một số thực dương ĐS: Hai đường
0
y
=
và
3
x
>
.
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
q/
(
)
2
2
. 4
z z z
− =
ĐS: Hypelbol
( )
H
1 1
: ,
y y
x x
= = −

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn

“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 21 -
Thí dụ 2. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
2 4 2
z i z i
− − = −
. Tìm số phức có môđun nhỏ
nhất ?
ĐS:
2 2
z i
= +
với
min 2 2
z =
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 3. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
2 4 5

z i− − =
. Tìm số phức có môđun lớn nhất,
môđun nhỏ nhất ?
ĐS:

min
max
5 1 2
3 5 3 6
z z i
z z i


= ⇔ = +




= ⇔ = +




……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê Vn Đoàn Chuyên đê 6: Sô phc


Page - 22 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 4. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
3 4 4
z i
− + =
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của
z
?
ĐS:
min 1
z
=
và
max 9
z
=
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 5. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
3
2 3
2
z i
− + =
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất .
ĐS:
26 3 13 78 9 13
13 26
z
− −
= +
.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê ôn Đai hoc và Cao đng môn Toan Ths. Lê Vn Đoàn

“Tng lai ngày mai đang bt đu t ngày hôm nay…………” Page - 23 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 6. Xét số phức thỏa mãn:
(
)
( )
,
1 2
i m
z m
m m i
−
= ∈
− −

.
a/ Tìm m để
1
.
2
z z
=
. ĐS:
1

m
= ±
.
b/ Tìm m để
1
4
z i
− ≤
. ĐS:
1 1
15 15
m− ≤ ≤
.
c/ Tìm số phức z có môđun lớn nhất ? ĐS:
khi
max
1 0
z m
= =
.
d/
Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để
k
1z
− ≤
. ĐS:
k
5 1
2
−

=
.

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
z