Đề cương ôn tập lớp 11 kỳ II (full)

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010
MƠN: TỐN LỚP 11
II. Trắc nghiệm
1) Tính
2 1 2
lim
4 2 3
 
−
+
 ÷
+
 
n
n
n
n
ta được kết quả nào sau đây là đúng?
A.
1
2
B.
3
2
C. 0 D. Kết quả khác.
2) Tính
3 sin
lim
2
 
−

+
 ÷
 ÷
+
 
n n
n
n
ta được kết quả nào sau đây là đúng?
A. 0 B. 2 C. 1 D. Kết quả khác.
3) Giới hạn
2
2
1
1
lim
3 1
→
+ +
− −
x
x x
x x
có kết quả là
a/ 1 b/ –1 c/ 0 d/ 3
4) Giới hạn
(
)
2
lim 1

→+∞
+ − −
x
x x x
có kết quả là
a/
1
2
b/ –1 c/ 2 d –2
5) Giới hạn
2
3
9
lim
3
→
−
−
x
x
x
có kết quả là
a/ 1 b/ 6 c/ –6 d/
∞
6) Giới hạn
1
3 2
lim
1
→

+ −
−
x
x
x
có kết quả là
a/ 1 b/ –1 c/ 3 d/
1
4
7) Tìm :
2
0
1 1
lim
→
+ − + +
x
x x x
x
a). 0 b). 1 c). 3 d). 2
8) Giá trò của a để hàm số
2 1 ( 1)
( )
( 1)
+ ≥

=

<


x x
f x
a x
liên tục tại x = 1 là
a/ 1 b/ 2 c/ 3 d/ Không có
9) x =1 là điểm gián đoạn của hàm số
a/ y = 2x + 3 b/ y = sinx c/ y= 2
x
d/ y =
2
1−x
10) Hàm số y= sinx là liên tục trên
a/
[ ]
1;1−
b/ R c/
0;
2
 
 
 
π
d/Kết quả khác
11) Phương trình x
3
– x – 3 = 0 có nghiệm trên
a/
( )
0;1
b/

( )
5; 3− −
c/ (1;2) d/ (3;5)
12) Hàm số y =
2
4
2
2
4 2

−
≠

−


=

x
khi x
x
khi x
a/Gián đoạn tại x = 2 b/Liên tục tại x = 2 c/ a và b sai d/ a và b đúng
13) Cho M =
2
2
3 5 10
lim
6 5 3
→+∞

− +
+ −
x
x x
x x
và N=
0
sin 5
lim
5
→x
x
x
. Khi đó tổng M + N là:
A.
2
3
B. 1 C.
3
2
D.
3
2
−
14) Tính
2 2
4 1
lim
2 3
→+∞

+ + −
+
x
x x x
x
ta được kết quả nào sau đây là đúng?
A. 3 B.
5
C.
3
2
D. + ∞
15) Đạo hàm của hàm số
( )
3 2
2 2008 2009= − + −f x x x x
tại x = 0 là giá trị nào sau đây?
A. 4 B. − 4 C. 2008 D. −8
16) Cho hàm số y = tan2x. Khi đó đạo hàm của hàm số là:
A.
2
2
os 2c x
B.
2
2
os 2
−
c x
C.

2
2
sin 2x
D. cot2x
17) Đạo hàm của hàm số
2 1
1
−
=
+
x
y
x
là kết quả nào sau đây?
A.
( )
2
1
'
1
=
+
y
x
B.
( )
2
3
'
1

=
+
y
x
C.
( )
2
3
'
1
−
=
+
y
x
D. Kết quả khác.
18) Cho hàm số
( ) sin 4 osx= +f x x c
. Khi đó
2
 
′
 ÷
 
f
π
là:
A.
3
2

 
′
=
 ÷
 
f
π
B.
5
2
 
′
=
 ÷
 
f
π
C.
1
2
 
′
= −
 ÷
 
f
π
D. Kết quả khác.
19) Cho hàm số
3 2

2= −y x x
. Khi đó
( )
3
′
y
là:
A.
( )
5
3
2
′
=y
B.
( )
5
3
2
′
= −y
C.
( )
3
3
2
′
=y
D. Kết quả khác.
20) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 với

1
( ) sin( ) os(2 )
6 2 3
= − − +f x x c x
π π
là kết quả nào sau ?
a.
2
= − +
x k
π π
b.
4 2
9 3
= +
k
x
π π
c.
4 2
2
9 3
= − + = +
k
x k hay x
π π
π π
d.
2
2

3
= + =x k hay x k
π
π π
21) Cho
2
( ) 2sin (2 )
3
= −f x x
π
, tập giá trị của f’(x) là kết quả nào sau đây?
a. [-2; 2] b. [0; 2] c. [0; 4] d. [-4; 4]
22) Tiếp tuyến với (C) :
2
( ) 2 3 5= = − +y f x x x
tại điểm x = 1 có hệ số góc k là giá trị nào ?
a. k = 4 b. k = 1 c. k = 2 d. Một số khác.
23) Cho đồ thị (C):
2
( ) 3 5= = − +y f x x x
và k là hệ số góc của (C) tại tiếp điểm có hoành độ x
0
. Kết
quả nào sau đây đúng?
a. x
0
= 1 thì k = 3 b. x
0
= -1 thì k = 9 c. x
0

= 0 thì k = -3 d. x
0
= 2 thì k = 2
24) Cho đồ thị (C):
1
( )
2
= =
+
y f x
x
, k là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm x
0
. Kết quả
nào sau đây sai?
a. x
0
= 0 thì
1
4
= −k
b. x
0
= -3 thì k = -1
c. k = -1 thì x
0
= -3 hay x
0
= -1 d. k = -4 thì x
0

= 2 hay x
0
= -2
25) Giá trị nào của k để đường thẳng (d); y = 3x + k là tiếp tuyến của đồ thị (C) :
2
( ) 1= = − +y f x x x
?
a. k = 1 b. k = -1 c. k = 3 d. k = -3
26) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) :
3 2
( ) 3 6= = + −y f x x x
tại tiếp điểm (1; -2) là :
a. y = 2x + 3 b. y = 9x – 11 c. y = 6x – 10 d. y = 3x – 6
27) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) :
2
1
( )
1
+
= =
−
x
y f x
x
tại điểm x = 2 là :
a. y = 2x + 7 b. y = -x + 7 c. y = 2x – 3 d. y = - x + 3
28) Phương trình tiếp tuyến với (C) :
3
( ) 1= = +y f x x
biết hệ số góc k = 3 là :

a. y = 3x – 1 b. y = 3x + 3 c. y = 3x – 1 hay y = 3x + 3 d. y = 3x + 1
29) Gọi y’ ; y’’ là đạo hàm cấp một và cấp hai của y = sin
2
x. Hệ thức giữa y’ và y’’ độc lập đối với
x là :
2 2
.( ') ( '') 1a y y+ =
b.
2 2
( ') 4( '') 1+ =y y
c.
2 2
4( ') ( '') 4+ =y y
d.
2 2
( ') 4( '') 4+ =y y
30) Cho
2
2= −y x x
, hệ thức nào sau đây giữa y và y’’ đúng ?
a. 3y + y’’ + 1 = 0 b.
3
'' 1 0+ =y y
c.
3 '' 1 0+ =yy
d.
3
'' 0+ =y y
31/ Đạo hàm của hàm số
2

y 2x 1= +
bằng
2
x
2 2x 1+
b.
2
1
2 2x 1+
c.
2
2x
2x 1+
d một kết quả khác
32/ Đạo hàm của hàm số
3
y x x 1= − +
a
2
1
3x
x
−
b.
2
1
3x
2 x
−
c.

2
1
3x
2 x
+
d
2
1
3x
x
+
33/ Đạo hàm của hàm số
y sin 2008=
bằng
a 2008.cos2008 b. cos2008 c. 0 d một kết quả khác
34/ Đạo hàm của hàm số
( ) ( )
y x 2 x 9= + −
bằng
a.2x + 5 b.2x - 5 c.1 d.2x – 7
35/ Đạo hàm của hàm số
x 3
y
2 5x
−
=
−
bằng
a
( )

2
1
2 5x−
b.
( )
2
17
2 5x−
c.
( )
2
13
2 5x
−
−
d.
( )
2
6
2 5x
−
−
36/ Cho hàm số
( )
f x x sin x=
. Giá trị
f '
2
π
 

−
 ÷
 
bằng:
a 0 b -1 c
2
π
d
2
π
−
37/ Đạo hàm của hàm số
2
x 3x 3
y
x 1
− +
=
−
bằng
a
( )
2
2
x 2x
x 1
−
−
b.
( )

2
2
x 8x 6
x 1
− +
−
c.
( )
2
2
x 2x 6
x 1
− +
−
d. một kết quả khác
31) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước thì song song.
C. Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì giao tuyến cũng
vuông góc với mặt phẳng cho trước đó.
D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng a vuông góc với d thì a song
song (P).
32) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Khi đó hình chiếu của đỉnh S trên (ABC) là:
A. Trọng tâm G của tam giác ABC. B. Trung điểm của M của BC.
C. Trùng với điểm A của tam giác ABC. D. Một điểm bất kỳ trên mp(ABC).
33) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình lăng trụ đứng có tất cả các mặt là hình chữ nhật.
B. Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình bình hành.
C. Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình thoi.
D. Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình chữ nhật.

34) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Khi đó góc giữa đường thẳng AB và mp(BCD) là:
A. 60
0
B. ≈35
0
15’ C. 90
0
D. ≈54
0
45’
35) Hình hộp chữ nhật có các kích thước là 3, 4 và 5 . Khi đó đường chéo của hình hộp có độ dài là:
A. 10 B. 6 C.
5 2
D.
10 2
36) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA
⊥
(ABCD). Biểu thức nào sau đây
SAI:
A. CB
⊥
(SAB) B. CD
⊥
(SAD) C. AC
⊥
(SBD) D. BD
⊥
(SAC)
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A. SA
⊥

(ABC ). Biểu thức nào sau đây
SAI:
A. BC
⊥
SB B. BC
⊥
SA C. AC
⊥
SB D. AB
⊥
SC
37) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB=a, AC=2a. SA
⊥
(ABC) và SA=2a.
Góc giữa SC và (SAB) là:
A. arctan(
3/5
) B. arctan(
5/3
) C. arcsin(
5/8
) D. arcos(
3/ 8
)
38) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB=a, AC=2a. SA
⊥
(ABC) và SA=2a. H
là hình chiếu của A lên SB. Biểu thức nào sau đây SAI:
A. HC
⊥

HB B. AH
⊥
BC C. BC
⊥
SB D. HC
⊥
SB
39) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA
⊥
(ABCD). Biểu thức nào sau đây
đúng:
A. BD
⊥
SC B. AC
⊥
SB C. SD=SB D. CD
⊥
SD
40) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA vuông góc với đáy. Biểu thức nào sau
đây đúng:
A. BC
⊥
SB B. AC
⊥
SB C. BD
⊥
SC D. CD
⊥
SD
II. Tự Luận

1/Giới hạn hàm số:
Bài toán 1:Tìm giới hạn hàm số khi
0
x x→
(tương tự cho trường hợp
0 0
;x x x x
+ −
→ →
).
* Dạng 1: Nếu
( )
f x
xác định tại
0
x
thì
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
.
Áp dụng:
a/
( )
2

1
lim 2 15 7
x
x x
→
+ +
b/
2
2
4 3
lim
1
x
x
x
→
+
−
c/
(
)
2
3
lim 3 7 2
x
x x
→
+ + −
d/
2

3
2 3 1
lim
3 5
x
x x
x
→−
+ −
+
* Dạng 2:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
với
( ) ( )
0 0
0f x g x= =
Cách giải:
☺Nếu
( ) ( )
,f x g x
là những đa thức thì phân tích
( ) ( ) ( )
0 1

f x x x f x= −
,
( ) ( ) ( )
0 1
g x x x g x= −
khi
đó:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
=
( )
( )
0
1
1
lim
x x
f x
g x
→
.
☺Nếu
( )
f x

hoặc
( )
g x
có chứa căn bậc hai ta nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn
đặc biệt
Ví dụ:
a
3
2
2
8
lim
4
x
x
x
→
−
−
=
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 4
lim
2 2
x
x x x

x x
→
− + +
− +
=
2
2
2 4
lim 3
2
x
x x
x
→
+ +
=
+
b/
2
6
4 1 5
lim
7 6
x
x
x x
→
+ −
− +
=

( ) ( )
( )
( )
2
4 1 5 4 1 5
lim
7 6 4 1 5
x
x x
x x x
→∞
+ − + +
− + + +
=
( )
( ) ( )
( )
6
4 6
lim
1 6 4 1 5
x
x
x x x
→
−
− − + +
=
( )
( )

6
4 2
lim
25
1 4 1 5
x
x x
→
=
− + +
Áp dụng:
Bài 1 :
a/
( ) ( )
2
5
25
lim
5 1
x
x
x x
→
−
− +
b/
3
2
1
11 10

lim
1
x
x x
x
→
− +
−
c/
2
2
3
5 6
lim
9
x
x x
x
→
− +
−
d/
5
1
1
lim
1
x
x
x

→−
+
+
e/
2
2
4
2 13 20
lim
16
x
x x
x
→
− +
−
f/
3
2
1
3 2
lim
10 9
x
x x
x x
→
− +
− +
g/

3
2
2
5 2
lim
3 2
x
x x
x x
→
− +
− +
h/
3
2
3
10 3
lim
7 12
x
x x
x x
→
− +
− +
k/
3
2
3
3 3

lim
3
x
x
x x
→
−
−
m/
10
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
Đáp số theo thứ tự là:
5
3
−
; -4;
1
6
; 5;
3
8

−
; 0; 7; -17;
3 3
; 10.
Bài 2 :
a/
2
0
2 1 1
lim
3
x
x
x x
→
+ −
+
b/
2
1
4 5 3
lim
1
x
x
x
→
+ −
−
c/

3
2 3
lim
3
x
x x
x
→
+ −
−
d/
2
8
1 3
lim
2 15 8
x
x
x x
→
+ −
− −
e/
4
3 4 4
lim
4 9 5
x
x
x

→
+ −
+ −
f/
3
2
8
lim
6 4 4
x
x
x
→
−
+ −
g/
2
2
3 12 1
lim
6
x
x x
x x
→
+ − +
+ −
h/
2
4

6 1 2 3
lim
16
x
x x
x
→
+ − +
−
k/
2
3
9 2
lim
3 7 6
x
x x
x x
→
− −
− −
. l/
2 3
0
1 2 1
lim
3
x
x x
x x

→
+ − +
+
Đáp số theo thứ tự là:
1
3
;
1
3
−
;
2
3
−
;
1
102
;
15
16
; -16;
1
25
−
;
7
40
;
3
22

−
;
1
6
* Dạng 2:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
với
( ) ( )
0 0
0; 0f x g x≠ =
Cách giải:Sử dụng quy tắc b trang 131.
Ví dụ:
3
5 8
lim
3
x
x
x
+
→
−
−

.Ta có:
( )
3
lim 5 8 7 0
x
x
+
→
− = 〉
;
( )
3
lim 3 0
x
x
+
→
− =
và
3 0x − 〉
3x∀ 〉
do đó
3
5 8
lim
3
x
x
x
+

→
−
= +∞
−
Áp dụng:
a/
2
2 11
lim
2 4
x
x
x
+
→
−
−
b/
2
5
10
lim
5
x
x x
x
−
→
+ −
−

c/
( )
2
2
2 5
lim
2
x
x
x
→
−
−
d/
2
4
2 1 7
lim
16
x
x
x
+
→
+ −
−
e/
3
2
2 7

lim
2 3
x
x
x
−
 
→ −
 ÷
 
−
+
Bài toán 2:Tìm giới hạn hàm số khi
x → +∞
(
x → −∞
)
* Dạng 1:
( )
lim
x
f x
→+∞
Với
( )
f x
là một đa thức.
Cách giải:Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khi
x → −∞
giải tương tự)

Ví dụ:
( )
3
lim 2 1
x
x x
→−∞
+ −
=
3
2 3
1 1
lim 2
x
x
x x
→−∞
 
+ − = −∞
 ÷
 
vì
3
lim
x
x
→−∞
= −∞
và
2 3

1 1
lim 2 2 0
x
x x
→−∞
 
+ − = 〉
 ÷
 
Áp dụng:
a/
( )
3 2
lim 20 3 4
x
x x
→−∞
− +
b/
3
3
lim 6 7
x
x
x
→+∞
 
+ +
 ÷
 

c/
4
2
lim 2 3 5
4
x
x
x x
→−∞
 
− + − +
 ÷
 
d/
( )
7 5
lim 2 1
x
x x
→+∞
− + −

* Dạng 2:
( )
( )
lim
x
f x
g x
→+∞

Với
( )
f x
,
( )
g x
là một đa thức.
Cách giải:
Chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất,biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(tương tự
cho trường hợp
x → −∞
)
Ví dụ:a/
2
2
3 7 1
lim
4 7
x
x x
x
→+∞
+ +
− +
=
2
2
7 1
3
3

lim
7
4
4
x
x x
x
→+∞
+ +
= −
− +
;(Đã chia cả tử và mẫu cho
2
x
)
b/
5
2 1
lim
4 3
x
x
x x
→+∞
+
+ +
=
4 5
4 5
3 1

lim 0
4 3
1
x
x x
x x
→∞
+
=
+
;(Đã chia cả tử và mẫu cho
5
x
)
Tuy nhiên nếu
( )
f x
là đa thức bậc cao hơn
( )
g x
thì ta có thể đưa về dạng tích
Ví dụ:
6 2
3
10 3
lim
4 2 1
x
x x
x x

→−∞
+ +
+ +
=
6
4 6
3
2 3
1 3
10
lim
2 1
4
x
x
x x
x
x x
→−∞
 
+ +
 ÷
 
 
+ +
 ÷
 
=
4 6
3

2 3
1 3
10
lim
2 1
4
x
x x
x
x x
→−∞
+ +
= −∞
+ +
Vì:
3
lim
x
x
→−∞
= −∞
,
4 6
2 3
1 3
10
5
lim 0
2 1
2

4
x
x x
x x
→−∞
+ +
= 〉
+ +
Áp dụng:
a/
5 3
5 2
4 5 4
lim
2 3 7
x
x x
x x
→−∞
+ +
− +
b/
3 2
3
6 7
lim
2 3 5
x
x x
x x

→+∞
− + +
+ −
c/
2
4 3
2 3
lim
4 6 9
x
x
x x
→−∞
+
+ +
d/
4 3
2
7 6 13
lim
2 4
x
x x
x x
→−∞
+ −
− +

e/
6 4

3
3 3
lim
4 10 7
x
x x
x x
→+∞
− + +
− +
f/
10 3
6
10 5 3
lim
3 2 1
x
x x
x x
→+∞
− +
− + +
* Dạng 3:
( )
lim
x
f x
→+∞
với
( )

f x
có chứa căn bậc hai thì tùy mỗi bài ta có thể đưa về dạng tích hoặc
nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(Tương tự cho trường hợp
x → −∞
)
Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích.
Ví dụ:a/
(
)
2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ + −
Nhận xét:
x
−
có hệ số là-1;vì
x → +∞
nên
2
x x x= =
có hệ số là 1
Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Giải: a/
(
)

2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ + −
=
( ) ( )
2 2
2
1 1
lim
1
x
x x x x x x
x x x
→+∞
+ + − + + +
+ + +
=
2
1
lim
1
x
x
x x x
→+∞
+
+ + +

=
2
1
lim
1 1
1
x
x
x x
x x
→+∞
+
+ + +
=
2
1
1
lim
1 1
1 1
x
x
x x
→+∞
+
+ + +
=
1
2
b/

(
)
2
lim 4 3 1
x
x x x
→−∞
+ + +
Nhận xét:
3x
có hệ số là 3;vì
x → −∞
nên
2
4 2 2x x x= = −
có hệ số là -2 hệ số không là hai số đối nhau→Đưa về dạng
tích
Giải: b/
(
)
2
lim 4 3 1
x
x x x
→−∞
+ + +
=
1
lim 4 3 1
x

x x
x
→−∞
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
=
1 1
lim 4 3
x
x
x x
→−∞
 
− + + +
 ÷
 ÷
 
=
−∞
Vì:
lim
x
x
→−∞
= −∞
;
1 1

lim 4 3 1 0
x
x x
→−∞
 
− + + + = 〉
 ÷
 ÷
 
c/
(
)
3 2
lim 3 2 9 1
x
x x
→−∞
+ + +
Nhận xét:
3
3x
bậc ba; vì
x → −∞
nên
2
9 3 3= = −x x x
bậc
nhất
→Không cùng bậc→Đưa về dạng tích.
Giải:

(
)
3 2
lim 3 2 9 1
x
x x
→−∞
+ + +
3 6
4 6
9 1
lim 3 2
x
x x
x x
→−∞
 
 
= + + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
=
3 3
4 6
9 1
lim 3 2
x

x x
x x
→−∞
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
=
3
3 4 6
2 9 1
lim 3
x
x
x x x
→−∞
 
+ − + = −∞
 ÷
 ÷
 

vì:
3
lim
x
x
→−∞
= −∞

,
3 4 6
2 9 1
lim 3 3 0
x
x x x
→−∞
 
+ − + = >
 ÷
 ÷
 
Áp dụng:
a/
(
)
2
lim 2 3 5 2
x
x x x
→+∞
+ + −
b/
(
)
2
lim 1 10 3
x
x x x
→−∞

+ + − +
c/
(
)
4 2 4
lim 4 10 3 4 1
x
x x x
→+∞
+ + − +

d/
( )
lim 2 3 2 1
x
x x
→+∞
+ − +
e/
(
)
2 2
lim 1 2 3
x
x x x
→−∞
+ + − +
f/
(
)

2
lim 9 3 7 5 3
x
x x x
→+∞
+ + − +
g/
(
)
4 2
lim 3 9
x
x x x
→−∞
+ + + +
h/
(
)
2 2
lim 3 7 16 4 3
x
x x x x
→+∞
+ − − +
k/
(
)
2
lim 9 3 1
x

x x x
→−∞
+ + −
.
Hướng dẫn:
a/b/c/d/k:Nhân lượng liên hợp biến đổi.Đáp số theo thứ tự là:
3 2
4
; 6;
5
2
; 0;
7
6
−
e/f/g/h:Đặt thừa số đưa về dạng tích. Đáp số theo thứ tự là:
+∞
;
−∞
;
+∞
;
−∞
* Các dạng khác:
a)
(
)
( ) ( )
( )
3

2
1 1 1 1
1
1 1
lim lim lim lim 1 3
1 1 1
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x x
→ → → →
−
− + +
−
= = = + + =
− − −

( )
(
)
( )
(
)
3 3
3 2 3 2
2 2 2
1 1
3 3 2

2
1 1 1
2 3 3
5 7 5 2 7 2
) lim lim (1)
1 1 1
5 2 1 ( 1 3
lim lim lim (2)
8
1
1 5 2 1 5 2
x x
x x x
x x x x
b
x x x
x x x x
x
x x x x
→ →
→ → →
 
− − + − − + −
 ÷
= −
 ÷
− − −
 
 
− − − − + +

 ÷
= = = −
 ÷
−
− − + + − +
 
( ) ( )
3
2 2
2
1 1
2
3
2 2 2
3
7 2 1
lim lim
1
1 7 2 7 4
x x
x x
x
x x x
→ →
+ − −
=
 
−
− + + + +
 ÷

 
=
( )
1
2
3
2 2
3
1 1
lim (3)
12
7 2 7 4
x
x x
→
=
+ + + +
Thay ( 2) , ( 3 ) vào ( 1 ) có : A =
3 1 11
8 12 24
− − =

2.Hàm số liên tục:
* Dạng 1:Xét tính liên tục của hàm số
( )
f x
tại
0
x
.

Cách giải:
Dùng định nghĩa: Nếu
( )
f x
xác định tại
0
x
và
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
thì
( )
f x
liên tục tại
0
x
Ví dụ:Cho hàm số
( )
2
17 16
16
16
15 16


− +
≠

=
 −

=

x x
neáu x
f x
x
neáu x
.Xét tính liên tục của h/số
( )
f x
tại
0
x
=16
Giải:Ta có
( )
f x
xác định tại
0
x
=16 và
( )
16 15f =
( )

2
16 16
17 16
lim lim
16
x x
x x
f x
x
→ →
− +
=
−
=
( ) ( )
16
lim 1 15 16
x
x f
→
− = =
.Vậy
( )
f x
liên tục tại
0
x
=16
Áp dụng:
Xét tính liên tục của ham số

( )
f x
tại
0
x
trong các trường hợp sau:
a/
( )
2
0
2 5 3
3
3
3
5 3

− −
≠

= =
 −

=

x x
neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
; b/

( )
2
0
2 3 20
4
4
4
13 4

− −
≠

= =
 −

=

x x
neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
c/
( )
0
5 6 6
6
6
6
5

6
12

+ −
≠


−
= =


=


x
neáu x
x
f x Taïi x
neáu x
; d/
( )
0
9 4 0
0
8
0
2

+ ≥


= =

−
<


x neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
e/
( )
2
0
3 2
1
1
1
1
2

− +
>


−
= =


− ≤



x x
neáu x
x
f x Taïi x
x
neáu x
; f/
( )
0
1 1
0
0
6 1
0
1

− − +
<


= =

+

− ≥

+


x x
neáu x
x
f x Taïi x
x
neáu x
x
Hướng dẫn:d/e/f để tính được
( )
0
lim
x x
f x
→
cần tính
( )
0
lim
x x
f x
+
→
và
( )
0
lim
x x
f x
−
→

* Dạng 2:Định tham số để hàm số liên tục tại
0
x
Cách giải:Tính
( )
0
f x
,
( )
0
lim
x x
f x
→
,lập phương trình
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
giải tìm tham số.
Ví dụ: Cho hàm số
( )
2
2
7 6
6

6
2 7 10 6

− +
≠

=
−


− + =

x x
neáu x
f x
x
m m neáu x
.Tìm m để h/số
( )
f x
liên tục tại
0
x
=6
Giải:Ta có hàm số
( )
f x
xác định tại
0
x

=6 và
( )
2
6 2 7 10f m m= − +
( )
2
6 6
7 6
lim lim
6
x x
x x
f x
x

+
=

( )
6
lim 1 5
x
x

= =
. Hm s
( )
f x
liờn tc ti
0

x
= 6 khi ch khi:
( ) ( )
6
lim 6
x
f x f

=
2
2 7 10 5m m + =
2
2 7 5 0m m + =
1
5
2
m
m
=




=

p dng:
Tỡm m hm s
( )
f x
liờn tc ti

0
x
trong cỏc trng hp sau:
a/
( )
2
0
2
4 3
3
3
3
7 8 3

+


= =



+ =

x x
neỏu x
f x Taùi x
x
m m neỏu x
; b/
( )

2
0
2 6
2
2
2
3 1 2




= =


+ =

x x
neỏu x
f x Taùi x
x
m neỏu x
c/
( )
3
0
1
1
1
1
2 1

<

= =




x
neỏu x
f x Taùi x
x
mx neỏu x
; d/
( )
3
0
2
27 1 1
1
3 1 3
3
1
4 6
3

= =


+ =


x
neỏu x
x
f x Taùi x
m m neỏu x
3/Chng V: O HM
Bi 1:Tớnh o hm ca cỏc hm s sau :
a/
3 2
5 3 1y x x x= + +
b/
4 3 2
5 3
10
4 3 2
x x x
y = + +
c/
( ) ( )
2 3 7y x x= +
d/
( )

10
3 7y x=

e/
( )
20
5 3 7y x= +
f/
( ) ( )
12
4 1 5 3y x x= +
g/
2
7 3 5y x x= +
h/
2
7 5y x=

k/
5 7
4 3
x
y
x
+
=

l/
7 4
2 10

x
y
x

=
+
m/
2
3 1
5 3 2
x
y
x x
+
=
+
n/
2
3
x
y
x
+
=

o/ Cho
3
( ) 3 1. '(5)= +f x x x Tớnh f
p/ Cho
5

( ) . '(2)
3 2

=
+
x
f x Tớnh f
x
(HD:
17
'(5) 72; '(2)
64
= =f f
)
q/ Cho h/s
( ) . '(7)=f x x Tớnh f
r/ Cho
3
( ) . '( 2)= f x Tớnh f
x
s/ Cho h/s
2
8
( ) . '(1)
3
=
+
f x Tớnh f
x x
( HD:

1 3 5
'(7) ; '( 2) ; '(1)
4 2
2 7
= = = f f f
)
t/ Cho
3
3 2. : ) ' 0 ) ' 3= + > <y x x Tỡm x ủeồ a y b y
Gii
Ta cú: a)
2
' 0 3 3 0 0 2> > < >y x x x hoaởc x
b)
2 2
' 3 3 6 3 2 1 0 1 2 1 2< < < < < +y x x x x x
Bi 2:Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
a/
sin 2 3cos 1y x x= + +
b/
2
3sin5 2cos(3 8)y x x= + +
c/
( )
( )
sin 7 3 3cos 2 1 4y x x= + + +
d/
( )
tan 4 3y x=
e/

( )
2
tan 4 2 5y x x= +
f/
2
cot 2 7y x= +
g/
( )
20
1 tan 5y x= +
h/ Cho h/s
sin
( ) . '( ) , '(0) '
1 cos 4

=
ữ
+


x
f x Tớnh f x f vaứ f
x
. s:
1 2
'(0) ; '
2 4
2 1

= =

ữ
+


f f
Bài 3: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau :
a/
10
1
10
x
y x= + +
b/
3 2
4 1
x
y
x
−
=
+
c/
( )
6
2 5y x= −
d/
cos 2=y x x
e/
2
siny x x=

Bài 4:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:
a/
3 2
3 2y x x= − +
tại điểm
( )
0
1; 2M − −
b/
2
2 1y x x= − +
tại điểm có hoành độ
0
1x =
c/
2
4 5
2
x x
y
x
+ +
=
+
tại điểm có hoành độ
0
0x =
d/
2 1y x= +
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:

7
3
x
y = +
e/
2
2 8 1y x x= − +
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
4 16 0x y− + =
f/
2
3 1
1
x x
y
x
− +
=
−
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
Hướng dẫn:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại tiếp điểm
( )
;
o o o
M x y
có phương trình

( ) ( )
'
o o o
y y f x x x− = −
.(1)
*Nếu tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng
( )
, 0y ax b a= + ≠
thì
( )
'
o
f x a=
o o
x y⇒ ⇒
áp dụng công thức (1) viết được phương trình.
*Nếu tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng
( )
, 0y ax b a= + ≠
thì
( )
'
1
o
f x
a
= −
o o
x y⇒ ⇒
áp dụng công thức (1) viết được phương trình.

*Nếu biết tiếp tuyến có hệ số góc k thì :
( )
'
o
f x k=
o o
x y⇒ ⇒
áp dụng công thức (1) viết được
phương trình
*Bài tập tương tự:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:
a/
2
5 6y x x= + +
tại điểm
( )
0
1; 2M − −
b/
3 2
3 5 1y x x x= − + +
tại điểm có hoành độ
0
2x =
c/
2
4 3 5y x x= − −
tại điểm có tung độ
0
2y =

d/
2 1y x= − +
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
2 1y x= −
e/
5 1
2 1
x
y
x
+
=
+
biết tiếp tuyến đó song song với đương thẳng d:
3 6 0x y− − =
4. Hình Học:
A. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
( ) ( )
,d d a a
α α
⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
2/ Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a/ Định lí
( )
( )
( )
b=M
d a
a

d b d
b
a
α
α
α









⊥
⊂
⊥ ⇒ ⊥
⊂
∩
b/ Hệ quả
a AB
a BC
a AC
⊥

⇒ ⊥

⊥


3/ Tính chất
a/ Cho trước
( )
, !O d O
α
⇒ ∃ ∈
và
( )
d
α
⊥
b/ Cho trước
( )
, !O O d
α
⇒ ∃ ∈
và
( )
d
α
⊥
Từ tính chất a, ta thấy có duy nhất một mp vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn
thẳng AB. Mặt phẳng đó đgl mp trung trực của đoạn thẳng AB.
4/ Sự liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song
* Tính chất 1
a/
/ /
( )
( )
a b

b
a
α
α



⇒ ⊥
⊥
b/
( )
( ) / /
a
b a b
a b
α
α





⊥
⊥ ⇒
≡
* Tính chất 2
a/
( ) / /( )
( )
( )

d
d
α β
β
α



⇒ ⊥
⊥
b/
( )
( ) ( )/ /( )
( ) ( )
a
a
α
β α β
α β





⊥
⊥ ⇒
≡
* Tính chất 3
a/
( )

( )
/ /a
b a
b
α
α





⇒ ⊥
⊥
b/
A
B
C
a
b
α
a
α
d
β
b
α
a
α
α
.O

.O
d
d
/
/
( )
( )
( )
/ /
a
a b a
b
α
α
α





⊄
⊥ ⇒
⊥
5/ Phép chiếu vng góc và định lí ba đường vng góc
a/ Phép chiếu vng góc:
Cho đường thẳng d vng góc với mp
( )
α
. Phép chiếu song song theo phương d lên mp
( )

α
đgl phép chiếu vng góc lên mp
( )
α
b/ Định lí ba đường vng góc
Cho đường thẳng a nằm trong mp
( )
α
và b là đường thẳng khơng thuộc mp
( )
α

đồng thời khơng vng góc với
( )
α
. Gọi b’ là hình chiếu vng góc của b trên
( )
α
. Khi đó
a vng góc với b khi và chỉ khi a vng góc với b’.
6/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho d và
( )
α
, ta có:
*
( ) ( )
·
(
)

0
, 90d d
α α
⊥ ⇔ =
*
( )
·
(
)
( )
·
(
)
( )
' '
, , ,
chd
d d d d d
α α
α
⊥ ⇒ = =
LƯU Ý: Góc giữa đường thẳng và mp khơng vượt qúa 90
0
B. Hai mp vng góc + Khoảng cách (SGK)
C. BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a, SA vng góc với mặt
phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh AB.
Chứng minh OI ⊥ ( ABCD)
Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a; góc
·

ASC
= 2α
Chứng minh BD vuông góc với mp(SAC)
Bài 3: 2). Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a; cạnh bên SA
= a
2
.
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ O đến (SCD)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A có góc A bằng 120
0
,cạnh AB =
SC = a, SC ⊥ (ABC) ,M là trung điểm của SC .Tính khoảng cách từ C đến mp(SAB) .
Bài 5 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a
2
Tính khoảng cách từ SC đến (SBC)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình vng. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của cạnh SB và SD. Chứng minh
a)
( )BC SAB⊥

b) MN
⊥
(SAC).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O cạnh a, SA vng góc với
(ABCD), SA = a
3
. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng : (SAB) và (SCD) ; (SBC) và (ABC) ;

(SBD) và (ABD) ; (SBC) và (SCD) ; (SAB) và (SBD).
M
d’
d
A
α
ϕ
O
Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với
(ABCD), SO =
2
a
. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh (SAC)
vuông góc với (SBD) ; (SAB) vuông góc với (SIJ) ; (SAB) vuông góc với (SCD).
Hết
Chúc các em ôn tập tốt !
Mọi thắc mắc xin liên hệ theo các địa chỉ :
http// :www.thpt-vogiu-binhdinh.edu.vn
http// :violet.vn/quocvietvg
Email :