Bài giảng xác suất thống kê chương 1 đại cương về xác suất

Chương 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
 Không gian mẫu và biến cố
 Định nghĩa xác suất
 Xác suất có điều kiện
 Công thức nhân xác suất
 Các biến cố độc lập
 Công thức Bayes


Khơng gian mẫu và biến cố
• Phép thử là một khái niệm cơ bản không định
nghĩa. Ta hiểu phép thử là một thí nghiệm hay
quan sát nào đó.
• Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu ta không
dự báo trước kết quả nào sẽ xảy ra.
• Thường trong mỗi phép thử có thể có nhiều kết
quả khác nhau.

• Tập hợp gồm tất cả các kết quả của phép thử
được gọi là không gian mẫu của phép thử và
được ký hiệu là S.


Khơng gian mẫu và biến cố
• Mỗi tập con của khơng gian mẫu được gọi là
một biến cố.
• Biến cố chỉ gồm một kết quả được gọi là biến cố
sơ cấp.
• Chú ý: Thơng thường ta xem biến cố sơ cấp và
kết quả là một.

• Ký hiệu:  : biến cố sơ cấp
S : Không gian mẫu
A, B, C,…: biến cố


Khơng gian mẫu và biến cố
Ví dụ : Gieo một đồng tiền xu một lần. Xác định
khơng gian mẫu.

Ví dụ : Gieo một đồng tiền xu hai lần. Xác định
không gian mẫu.
Ví dụ : Gieo một con xúc xắc một lần. Gọi làBi
kết
quả “Mặt trên của nó có i chấm”. Xác định khơng
gian mẫu.
Ví dụ : Gieo một con xúc xắc liên tiếp hai lần. Xác
định khơng gian mẫu.
Ví dụ : Gieo một con xúc xắc một lần. Gọi A là
biến cố “mặt trên của con xúc xắc có số chấm
chẵn”. Xác định A.


Khơng gian mẫu và biến cố
• Phép thử có khơng gian mẫu S và biến cố A.
Biến cố A xảy ra khi có một kết quả nào đó của A
xảy ra.
• S được gọi là biến cố chắc chắn;  được gọi là
biến cố khơng.
• Quan hệ kéo theo: A  B

A  B
• Quan hệ tương đương: A  B  
B  A
• Tổng, hiệu, tích: A  B,A  B,AB
• Xung khắc: AB  
• Đối lập: A  S  A, A  B  A.B, A.B  A  B


Định nghĩa xác suất cổ điển
Phép thử có khơng gian mẫu   1, 2 ,
mà các biến cố sơ cấp đồng khả năng.

, n 

Biến cố A gồm m là số biến cố sơ cấp có xác
suất là
m A
P(A)  
n

Số m được gọi là số trường hợp thuận lợi cho A.
Ví dụ : Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính
xác suất để:
1. Mặt trên con xúc xắc có một chấm;
2. Mặt trên con xúc xắc có số chấm là số chẵn.


Định nghĩa xác suất cổ điển
Ví dụ : Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10
nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trực lớp. Tính xác

suất của biến cố trong 3 người được chọn có đúng
1 người nữ.
Ví dụ : Một lô hàng gồm 10 sản phẩm, trong đó có 3
sản phẩm xấu.

a. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lơ hàng. Tính xác
suất để lấy được sản phẩm tốt.
b. Lấy ngẫu nhiên, khơng hồn lại, 4 sản phẩm từ
lơ hàng. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm lấy
ra có đúng 2 sản phẩm tốt.


Định nghĩa xác suất bằng hình học
Độ đo: Ta gọi độ đo của một tập trên một đường là
độ dài, trong một mặt là diện tích, trong khơng gian
là thể tích của tập đó.
Quy ước: Trong một mặt phẳng, tập nằm trên
đường có độ đo bằng 0; trong một khơng gian, tập
nằm trên mặt có độ đo bằng 0.
Định nghĩa: Cho tập S, khác rỗng và D là tập con
của S. Gọi A là biến cố “điểm M thuộc D”. Ta định
nghĩa
m(D)
P(A) 
m(S)

m(D) độ đo của D.


Định nghĩa xác suất bằng thống kê

Giả sử ta thực hiện n lần một phép thử, biến cố A
xuất hiện k lần. Ta gọi

k
fn (A) 
n
là tần suất của biến cố A trong n phép thử.
Ta định nghĩa

P(A)  lim fn (A)
n

Ví dụ : Quan sát 10 000 em bé mới sinh, thấy có
5097 bé trai. Gọi A là biến cố em bé mới sinh là
con trai. Tính P(A).


Công thức cộng xác suất
1. P()  0

2. P()  1

3. 0  P(A)  1

Công thức cộng xác suất

Giả sử A và B là hai biến cố trong một phép thử.
Ta có
P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB)
(1)

Hệ quả:

P(A  B)  P(A)  P(B),AB  
P(A)  1  P(A)

Khái quát cho (1) và (2)!

(2)


Cơng thức cộng xác suất
Ví dụ : Một lớp có 50 học sinh trong đó có 20 học
sinh giỏi văn, 25 học sinh giỏi toán, 10 học sinh giỏi
cả văn và tốn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của
lớp. Tính xác suất học sinh này giỏi văn hoặc giỏi
tốn
Ví dụ : Một hộp đựng 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác suất để:
a. Khơng có bi đỏ
b. Có ít nhất 1 bi đỏ.


Xác suất có điều kiện
Ví dụ : Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất
hai lần. Gọi A là biến cố “lần gieo đầu xuất hiện
mặt một chấm”, B là biến cố “tổng số chấm trong
hai lần gieo không vượt quá 3”.Ta thấy

S  (i, j) : 1  i, j  6

B  (1
,1);(1
,2);(2,1)

A  (1
,1);(1
,2);(1
,3);(1
,4);(1
,5);(1 
,6);

6
P(A) 
36

3
P(B) 
36

2
P(AB) 
36

Biết B đã xảy ra hỏi A xảy ra khi nào? Tính xác
suất của A khi B đã xảy ra, P(A | B)


Xác suất có điều kiện
2

P(A | B)  
3

2
36
3
36

P(AB)

P(B)

Giả sử A và B là hai biến cố và P(B)  0. Ta gọi tỉ
số

P(AB)
 P(A | B)
P(B)

là xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B
đã xảy ra.


Xác suất có điều kiện
Ví dụ: Một lớp có 50 sinh viên trong đó có 20 nữ
và 30 nam. Trong kỳ thi mơn Tốn có 10 sinh viên
đạt điểm giỏi, gồm 6 nam và 4 nữ. Gọi tên ngẫu
nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác
suất gọi được sinh viên giỏi mơn Tốn biết rằng
sinh viên đó là nữ.

Đáp số : 0,2.
Hướng dẫn: A là biến cố “gọi được sinh viên nữ”,
B là biến cố “gọi được sinh viên đạt điểm giỏi mơn
Tốn”. Tính p(B/A).


Công thức nhân xác suất
Định lý: Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có

P(AB)  P(A)P(B | A)
P(AB)  P(B)P(A | B)

P(ABC)  P(A)P(B | A)P(C | AB)
Ví dụ: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu
nhiên ra một bi. Sau đó lấy tiếp một bi từ số bi cịn
lại. Tính xác suất được hai bi đỏ
Ví dụ: Một hộp có 10 sản phẩm, gồm 8 chính
phẩm và 2 phế phẩm. Một người lấy ngẫu nhiên
từng sản phẩm cho tới khi gặp phế phẩm thì dừng.
Tính xác suất để người này dừng lại ở lần thứ ba.


Cơng thức nhân xác suất
Ví dụ: Một lơ hàng gồm 12 sản phẩm trong đó có
8 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.
1. Rút ngẫu nhiên liên tiếp không hồn lại hai sản
phẩm từ lơ hàng. Tìm xác suất để cả hai sản
phẩm đó là sản phẩm tốt.
2. Rút ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng và
không để ý tới sản phẩm đó. Rút tiếp sản phẩm

thứ hai. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ
hai là sản phẩm tốt.
Đáp số : 1. 14/33; 2. 2/3
Hướng dẫn: A là biến cố “sản phẩm lấy ra lần 1 là
sản phẩm tốt”, B là biến cố “sản phẩm lấy ra lần 2
là sản phẩm tốt”.


Cơng thức nhân xác suất
Ví dụ: Một lơ hàng gồm 100 sản phẩm trong đó có
90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu
nhiên liên tiếp khơng hồn lại 5 sản phẩm từ lơ
hàng. Nếu có ít nhất một phế phẩm trong 5 sản
phẩm kiểm tra đó thì khơng nhận lơ hàng. Tìm xác
suất để nhận lơ hàng.
Đáp số :
Hướng dẫn: A i là biến cố “sản phẩm lấy ra lần i là
sản phẩm tốt”, i=1,…,5; B là biến cố “nhận lô
hàng”. B  A1A 2 A3 A 4 A 5


Các biến cố độc lập
Định nghĩa: Hai biến cố A, B được gọi là độc lập
nếu

P(AB)  P(A)P(B)

Định lý: Hai biến cố A, B độc lập nếu và chỉ nếu

P(A | B)  P(A) hoặc P(B | A)  P(B)

Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Gọi A = “đồng xu thứ nhất
sấp”, B = “đồng xu thứ hai sấp”, C = “có ít nhất
một mặt sấp”. Hỏi A và B có độc lập?


Các biến cố độc lập
Định nghĩa: Dãy n biến cố A1,A 2, ,Anđược gọi là
độc lập toàn thể nếu ta lấy ra một dãy con bất kỳ
các biến cố từ n biến cố trên thì xác suất của tích
các biến cố của dãy con bằng tích xác suất của
từng biến cố.

Nếu từng đơi một trong dãy là độc lập thì dãy đó
được gọi là độc lập từng đơi.
Ví dụ: Tung 2 đồng xu. Gọi A = “đồng xu thứ nhất
sấp”, B = “đồng xu thứ hai sấp”, C = “có ít nhất
một mặt sấp”. Hỏi A, B và C có độc lập toàn thể?


Các biến cố độc lập
Định lý
A, B độc lập  A,B độc lập  A,B độc lập

 A,B độc lập.
Ví dụ: Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc
lập. Xác suất các máy trong ngày bị hỏng là :
0,1;0,2;0,15. Tính xác suất có một máy hỏng trong
ngày.
Đáp số :0,329.

Cơng thức Bayes
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai
phân xưởng: I và II. Phân xưởng II sản xuất gấp 4
lần phân xưởng I. Tỷ lệ bóng hư của phân xưởng I
là 10%, của phân xưởng II là 20%. Mua một bóng
đèn do nhà máy này sản xuất.
a.Tính xác suất để mua được bóng tốt.
b.Biết rằng mua được bóng tốt, tính xác suất để
bóng đèn do phân xưởng I sản xuất.


Công thức Bayes

n

P(A)   P(Bk )P(A | Bk )

(1)

k 1

Nếu có thêm p(A)  0 thì

P(B j / A) 

P(B j )P(A | B j )
n

 P(B )P(A | B )

k 1

k

k

(1) công thức XSTP; (2) công thức Bayes.

(2)


Công thức Bayes
A  A.S  A(B1  B2 

 Bn )

 AB1  AB2 
n

n

k 1

 ABn

k 1

P(A)   P(ABk )  P(Bk )P(A / Bk )

P(Bk )P(A / Bk )  P(ABk )  P(A)P(Bk / A)

P(Bk )P(A / Bk )
P(Bk )P(A / Bk )
 n
P(Bk / A) 
P(A)
 P(Bk )P(A / Bk )
k 1


Cơng thức Bayes
Ví dụ: Có 3 lơ sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của từng
lô tương ứng là 6%, 2%, 1%. Chọn ngẫu nhiên
một lô, rồi từ lô này chọn ngẫu nhiên một sản
phẩm.
1. Tìm xác suất để lấy được phế phẩm.
2. Biết lấy được phế phẩm. Tìm xác suất được
chọn của từng lô hàng.
Đáp số : 1) 0,03. 2) 6/9;2/9;1/9

Hướng dẫn: A là biến cố “lấy được phế phẩm”, và
Bk là biến cố “sản phẩm lấy ra thuộc lô k”,k=1;2;3.


Cơng thức Bayes
Ví dụ: Trong một trạm cấp cứu phỏng có 80%
bệnh nhân phỏng do nóng và 20% phỏng do hóa
chất. Loại phỏng do nóng có 30% bị biến chứng.
Loại phỏng do hóa chất có 50% bị biến chứng.
1. Tính xác suất khi bác sĩ mở tập hồ sơ của bệnh

nhân gặp một bệnh án của bệnh nhân bị biến
chứng.
2. Biết gặp bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng.
Tính xác suất do:
a. Nóng gây nên;
b. Hóa chất gây nên.