tích phân hàm vô tỉ rất hay

Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ.
Bài toán 1:
Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai.
Một số công thức thường được dùng trong phần này:
1/
2
2
xdx
x a C
x a
= + +
+
∫
2/
2
2
ln | |
dx
x x a C
x a
= + ± +
±
∫
3/
2 2 2
ln | |
2 2
x a
x adx x a x x a C± = ± + + ± +
∫

4/
2
1
arcsin
1
dx x C
x
= +
−
∫
5/
2
1
arccos
1
dx x C
x
−
= +
−
∫
Mở rộng công thức 4 và 5:
6/
( )
2 2
1
arcsin 0
x
C a
a

a x
= + >
−
∫
7/
( )
2 2
arccos 0
dx x
C a
a
a x
−
= + >
−
∫
.
Chú ý:
Dạng
1 1
2
a x b
dx
ax bx c
+
+ +
∫
ta có thể làm như sau:
B1:
Biến đổi:

( )
1 1
2a x b ax b
α β
+ = + +
.

2a x b
α α β
= + +
.
Đồng nhất hệ số ta có:
1
1
2a a
b b
α
α β
=


+ =

( trong đó
1 1
; ; ;a b a b
đã biết.)
B2:
Giải hệ phương trình trên tìm
;

α β
B3:
Ta có:
( )
1 1
2 2
2ax b
a x b
I dx dx
ax bx c ax bx c
α β
+ +
+
= =
+ + + +
∫ ∫

2 2
2ax b dx
dx
ax bx c ax bx c
α β
+
= +
+ + + +
∫ ∫
Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 1
Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân
Đặt
1

2
2
2
2ax b
I dx
ax bx c
dx
I
ax bx c
+
=
+ +
=
+ +
∫
∫
B4:
+ Tính
1
2
2ax b
I dx
ax bx c
+
=
+ +
∫
.
Đặt
( )

2
2t ax bx c dt ax b dx= + + ⇒ = +
.
Từ đó suy ra:
1
2
dt
I t C
t
= = +
∫

2
2 ax bx c C= + + +
+ Tính
2
2
dx
I
ax bx c
=
+ +
∫
Biến đổi:
2
2
2
4
b
ax bx c a x

a
a
∆
 
+ + = + −
 ÷
 
.
Tuỳ thuôc vào dấu của a và
∆
mà ta có tích phân
2
I
thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7

Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
2
2 2
dx
x x− +
∫
2/
2
2 1
1
x
dx
x x

−
− +
∫
3/
2
2
2 2
2
x x
dx
x x
− +
−
∫
4/
2
1
dx
x x+ +
∫
5/
2
2
3 4
1
x x
dx
x x
− +
− +

∫
6/
2
4
1
1
x
dx
x x
+
+
∫
7/
2
2 2x x dx− −
∫
8/
2
2 1
1
x
dx
x x
+
+ −
∫
9/
2
3 2
3 2

x
dx
x x
−
− +
∫
10/
2
2
2 1
2
x x
dx
x x
+ −
+ −
∫
11/
2
1 2
dx
x x− −
∫
12/
2
3 4
dx
x x− −
∫
13/

( )
2
2 3
2 2
x dx
x x
−
− −
∫
14/
2
1 4
dx
x x
−
− −
∫
15/
( )
2
1
2 3
x dx
x x
−
− +
∫
16/
( )
2

2
2 3
1
x x
dx
x
− +
−
∫
17/
( )
2
2
2 2
4
x x dx
x
− +
−
∫
18/
( )
2
2
2 3 1
4
x x dx
x
− +
−

∫
19/
( )
2
2
1
1
x x dx
x
+ +
−
∫
20/
( )
2
2
1
1
x x dx
x
− +
−
∫
Bài toán 2:
Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Dạng 1:
Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 2
Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân
Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và
n

ax b
cx d
+
+
có dạng:

,
n
ax b
I R x dx
cx d
 
+
=
 ÷
+
 
∫
với
0ad bc− ≠
.
Phương pháp giải:
B1: Thực hiện phép đổi biến:

n
ax b
t
cx d
+
=

+
n
n
n
ax b b dt
t x
cx d ct a
+ −
⇒ = ⇔ =
+ −
.
Từ đó suy ra:
?dx dt=
.
B2:
Thay biến x bởi t. Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ. Mà tích phân
này đã được học từ tiết trước.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
( )
3
1 1
dx
x x+ + +
∫
2/
3
2 3
x

dx
x x
+
+
∫
3/
3
1
xdx
x +
∫
4/
1 2
xdx
x+ +
∫
5/
3
dx
x x+
∫
6/
3
1
dx
x+
∫
7/
1 1
dx

x x+ + −
∫
8/
1
x
dx
x−
∫
9/
1 1
xdx
x+ −
∫
10/
9
dx
x x+ −
∫
11/
1
xdx
x+
∫
12/
2
2
1
x dx
x+
∫

13/
1x xdx−
∫
14/
4
1
dx
x+
∫
. 15/
2
1
dx
x −
∫
16/
2
3x x dx+
∫
Dạng 2:
Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và
2
ax bx c+ +
có dạng:
(
)
2
,I R x ax bx c dx= + +
∫
Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler):

Ta xét các trường hợp sau:
1/ Nếu a>0 đặt
2
ax bx c t x a+ + = −
hoặc
t x a+
2/ Nếu c>0 đặt
2
ax bx c tx c+ + = +
hoặc
tx c−
3/ Nếu tam thức
2
ax bx c+ +
có biệt số
0∆ >
thì
( ) ( )
2
1 2
ax bx c a x x x x+ + = − −
. Khi đó
đặt:
( )
2
1
ax bx c t x x+ + = −
.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:

Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 3
Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân
1/
2 2
4x x dx−
∫
2/
2
2x x dx−
∫
3/
( )
2x x dx− +
∫
4/
2
1
dx
x x x+ + +
∫
5/
2
1 1 2
dt
x x+ − −
∫
6/
( )
( )
2

2
1 4 3
x dx
x x x
−
− − + −
∫
7/
2
1 4 3
dx
x x+ − +
∫
8/
2
2 2 4
dx
x x x+ + +
∫
9/
2
1
dx
x x x+ +
∫
10/
2
2
3 2
3 2

x x x
dx
x x x
− + +
+ + +
∫
Dạng 3:
Tính tích phân bất định:
( )
2
1 1
dx
I
a x b ax bx c
=
+ + +
∫
.
Phương pháp giải.
Bước 1: Thực hiện phép đổi biến:
1
1
t
a x b
=
+

2
1 dt
ax b pdx

t t
−
⇒ + = ⇒ =
;
1 1
x b
a t
 
= −
 ÷
 
.
Khi đó:
( )
2
1 1
dx
I
a x b ax bx c
=
+ + +
∫
2
2
1 1 1
2
1 1
1 1
dt
a b

a t b b c
a t a t
−
=
   
− + − +
 ÷  ÷
   
∫
Sau khi rút gọn ta được:
2 2
2
; 0
; 0
dt
t
a t b t c
dt
t
a t bt c

− >

+ +

=


<


+ +

∫
∫
B2: Tính các tích phân vừa tìm được.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
( )
2
1 2 2
dx
x x x+ + +
∫
2/
( )
2
1 2 2
dx
x x x− − +
∫
3/
( )
2
1 4 5
dx
x x x+ − +
∫
4/
( )

2
2 3 3 1
dx
x x x+ + −
∫
5/
( )
2
2 4 3
dx
x x x+ − −
∫
6/
( )
2
1 3 2
dx
x x x− + +
∫
7/
( )
2
2 1 2 2
dx
x x x+ − +
∫
8/
4 2
2 1
dx

x x x+ −
∫
Dạng 4:
Tính tích phân bất định sau:
( )
1 1
2
2 2
a x b
I dx
a x b ax bx c
+
=
+ + +
∫
Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 4
Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân
Phương pháp giải:
B1:
Biến đổi:
( )
1 1 2 2
a x b a x b
α β
+ = + +

2 2
a x b
α α β
= + +

Đồng nhất hệ số:
2 1
2 1
a a
b b
α
α β
=


+ =

( trong đó:
1 2 1 2
; ; ;a a b b
là các hằng số ).
Giải hệ phương trình trên tìm
,
α β
B2:
( )
( )
1 1
2
1 1
a x b
I dx
a x b ax bx c
α β
+ +

=
+ + +
∫


( )
2 2
1 1
dx
dx
ax bx c a x b ax bx c
β
α
= +
+ + + + +
∫ ∫
B3: Tính
1
2
dx
I
ax bx c
=
+ +
∫

( )
2
2
1 1

dx
I
a x b ax bx c
=
+ + +
∫
Dễ thấy
1 2
;I I
là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên.
Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân bất định sau:
1/
( )
( )
2
2 3
1 2 2
x dx
x x x
+
+ + +
∫
2/
( )
( )
2
2 1
1 3 2
x dx

x x x
−
− − +
∫
3/
( )
( )
2
2
1 2 3
x dx
x x x
+
+ − +
∫
4/
( )
( )
2
2 3
2 1 2
x dx
x x
−
− +
∫
5/
( )
( )
2

3 5
1 2
x
dx
x x x
−
+ +
∫
6/
( )
( )
2
2
1 1
x
dx
x x
+
− +
∫
7/
( )
( )
2
3 4
2 1
x dx
x x
−
− −

∫
8/
( )
( )
2
2 1
1 4
x dx
x x
+
+ −
∫
BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.
∫
+
32
5
2
4xx
dx
2.
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx

3.
∫
−
+++
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4.
∫
+
2
1
3
1xx
dx
5.
∫
+
2
1
2
2008dxx
6.
∫
+
2

1
2
2008x
dx
7.
∫
+
1
0
22
1 dxxx
8.
∫
−
1
0
32
)1( dxx
9.
∫
+
+
3
1
22
2
1
1
dx
xx

x
10.
∫
−
+
2
2
0
1
1
dx
x
x
11.
∫
+
1
0
32
)1( x
dx
12.
∫
−
2
2
0
32
)1( x
dx

Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 5
Trường THPT Trần Phú Trần Hùng Quân
13.
∫
+
1
0
2
1 dxx
14.
∫
−
2
2
0
2
2
1 x
dxx
15.
∫
+
2
0
2cos7
cos
π
x
xdx
16.

∫
−
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
17.
∫
+
2
0
2
cos2
cos
π
x
xdx
18.
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x

xx
19.
∫
+
7
0
3 2
3
1 x
dxx
20.
∫
−
3
0
23
10 dxxx
21.
∫
+
1
0
12x
xdx
22.
∫
++
1
0
2

3
1xx
dxx
23.
∫
++
7
2
112x
dx
24.
dxxx
∫
+
1
0
815
31

25.
∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
27.
∫

−
+++
1
1
2
11 xx
dx
28.
∫
+
2ln
0
2
1
x
x
e
dxe
29.
∫
−−
1
4
5
2
8412 dxxx
30.
∫
+
e

dx
x
xx
1
lnln31
31.
∫
+
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
32.
dxxxx
∫
+−
4
0
23
2
33.
∫
−
++
0

1
3
2
)1( dxxex
x
34.
∫
+
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.
∫
+
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos
π
dx
x

tgx
x
x
36.
∫
+
2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe
37.
∫
+
3
0
2cos2
cos
π
x
xdx
38.
∫
+
2
0
2

cos1
cos
π
x
xdx
39.
dx
x
x
∫
+
+
7
0
3
3
2
40.
∫
+
a
dxax
2
0
22
Nguyên hàm các hàm số vô tỉ Trang 6