giải tích 12. phương pháp tích phân hàm số hữu ti

GIẢI TÍCH
CHUYÊN
ĐỀ :

12


TCH PHAN :

TCH PHAN HAỉM HệếU Tặ

1
ã Daùng 1 : I = ∫ 2
dx
ax + bx + c

( a ≠ 0)

dx + e
• Dạng 2 : I = ∫ 2
dx
ax + bx + c

( a ≠ 0)

P( x )
Tích phân dạng : I = ∫
dx
Q( x )
• Phương pháp : Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc
của Q(x) thì ta phải chia P(x) cho Q(x).

• Phương pháp : Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì
ta dùng đồng nhất thức để phân tích thành các tổng.


P( x )
Tích phân dạng : I = ∫
dx
Q( x )

• Dạng 1 : Mẫu số có nghiệm đơn.
P( x )
P( x )
A
B
C
=
=
+
+
Q( x ) ( x − a )( x − b)( x − c) x − a x − b x − c
• Dạng 2 : Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm.
P( x )
P( x )
A
Bx + C
=
=
+ 2
2
Q( x ) ( x − α)(ax + bx + c) x − α ax + bx + c

• Dạng 3 : Mẫu số có nghiệm bội.
P( x )
P( x )
=
Q( x ) ( x − a ) 3 ( x − b ) 2
A
B
C
D
E
=
+
+
+
+
3
2
2
(x − a )
(x − a )
( x − a ) ( x − b)
( x − b)


P( x )
Tích phân dạng : I = ∫
dx
Q( x )

• Dạng 1 : Mẫu số có nghiệm đơn.

3

3

3

3

2x 2 + 41x − 91
4
5
7
I=∫
=∫
dx + ∫
dx − ∫
dx
2
( x − 1)( x − x − 12) 2 x − 1
x−4
x−3
2
2
2
• Dạng 2 : Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghieäm.
1

1
1
4x − 1

1 9x + 2
9 dx
I=∫ 3
dx = ∫ 2
dx − ∫
2
x + 2x + x + 2
5 0 x +1
5 0 x+2
0

• Dạng 3 : Mẫu số có nghiệm bội.
3

3
3
3
x +1
dx
dx
dx
I=∫ 2
dx = − ∫ 2 − 2 ∫
+ 2∫
x ( x − 1)
x
x
x −1
2
2

2
2


TCH PHAN :

TCH PHAN HAỉM HệếU Tặ


dx
ã Daùng 1 : I = ∫ 2
(a ≠ 0)
ax + bx + c
α
Xeùt ∆ = b2 – 4ac
2
b 

2
1) Neáu ∆ = 0, thì : ax + bx + c = a  x + 
2a 

Áp dụng công thức :

1
dx
1 −1
I= ∫
= ⋅
+C

2
a 
a x+ b
b 
x + 
2a
2a 



Ví dụ 1
Ví dụ 1
• Bài giải :

2

dx
Tính : I = ∫ 2
x − 8x + 16
0
2

dx
Ta coù : I = ∫ 2
x − 8x + 16
0
2

dx
=∫

( x − 4) 2
0
2

1
1 
 1
=−
= −
−

x−4 0
2−4 0−4
 1 1 1
= − − +  =
 2 4 4


Ví dụ 2
Ví dụ 2
• Bài giải :

1

1
Tính : I = ∫ 2
dx
x − 5x + 6
0

Ta coù : x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔

x1 = 2 ∨ x 2 = 3

1
1
=
Áp dụng công thức :
( x − x1 )( x − x 2 ) x1 − x 2

 1
1 
−


 x − x 2 x − x1 

1
1
1
1
=
=
−
Ta coù : 2
x − 5x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 3 x − 2
1

1

1

1
dx
dx
Do đó : I = ∫ 2
dx = ∫
−∫
x − 5x + 6
x −3 0 x −2
0
0
1
1
4
= ln x − 3 0 − ln x − 2 0 = ln
3


TCH PHAN :

TCH PHAN HAỉM HệếU Tặ


dx
ã Daùng 1 : I = ∫ 2
(a ≠ 0)
ax + bx + c
α
Xeùt ∆ = b2 – 4ac

2

b 
∆
2
3) Neáu ∆ < 0, thì : ax + bx + c = a  x +  − 
2a  4a 




b
−∆
−∆ 2
tgt ⇒ dx =
( tg t + 1)dt
Đặt x + =
a
4a
4a
Tính được I.


Ví dụ 3
Ví dụ 3
• Bài giải :
1

1

dx
Tính : I = ∫ 2
x + x +1
0
1

1

dx
dx
dx
I=∫ 2
=∫
=∫
2
2
2
x + x +1 0 
1 3 0 
0
1  3
x +  +

x +  +
2 4

2  2 




1
3
3 2
Đặt : x + =
tgt ⇒ dx =
( tg t + 1)dt x 0 1
2
2
2
π π
t
π/3
π/3
6 3
3 ( tg 2 t + 1)dt
3 4
⇒ I=
=
⋅ ∫ dt
∫/ 6 3 2
2 π
2 3 π/6
( tg t + 1)
4
2 3 π/3 2 3  π π  2 3 π π 3
⇒ I=
t π/6 =
⋅ =
 − =
3

3 3 6
3 6
9


TCH PHAN :

TCH PHAN HAỉM HệếU Tặ


dx + e
ã Daùng 2 : I = ∫ 2
dx (a ≠ 0)
ax + bx + c
α

Phương pháp : Ta biến đổi :
β

β

β

dx + e
d
2ax + b
bd 
dx

I=∫ 2

dx = ∫ 2
dx +  e −  ∫ 2
ax + bx + c
2a α ax + bx + c
2a  α ax + bx + c

α
β

2ax + b
dx có dạng I1 = ∫ du = ln u + C
Tích phân : I1 = ∫ 2
ax + bx + c
u
α
β

dx
Tích phân : I 2 = ∫ 2
có dạng 1 mà ta đã biết.
ax + bx + c
α

Ghi chú : Nếu ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm, ta có thể
tính I bằng phương pháp đồng nhất.


5

3x − 7

Tính : I = ∫ 2
dx
x − 5x + 6
4

Ví dụ 4
Ví dụ 4

• Bài giải :
3x − 7
3x − 7
A
B
=
=
+
Ta coù : 2
x − 5x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3
Đồng nhất tử số : 3x – 7 ≡ A(x – 3) + B(x – 2)
⇔ 3x – 7 ≡ (A + B)x – 3A – 2B

A+B= 3
A = 1
Ta coù : 
⇔ 
− 3A − 2B = −7
B = 2
5
5
5

3x − 7
dx
dx
Do đó : I = ∫ 2
dx = ∫
+ 2∫
x − 5x + 6
x−2
x −3
4
4
4
5

5

= ln x − 2 4 + 2ln x − 3 4 = ln 3 − ln 2 + 2 ln 2 = ln 6


TÍCH PHÂN :

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

P( x )
Tích phân dạng : I = ∫
dx
Q( x )

• Phương pháp : Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc
bằng bậc của Q(x) thì ta phải chia P(x) cho Q(x).

Ví dụ 5
Ví dụ 5
• Bài giải :
Ta có :

1

x 2 + 3x + 2
Tính : I = ∫
dx
x +3
0
x 2 + 3x + 2
2
=x+
x+3
x +3
1

Do đó : I = ∫
0

1

x + 3x + 2
2 

dx = ∫  x +

dx
x+3
x +3
0
2

1

x

1
4
=  + 2 ln x + 3  = + 2 ln
 2

3

0 2
2


Ví dụ 6
Ví dụ 6
• Bài giải :

2

2

 x −1 

Tính : I = ∫ 
 dx
x+2
−1 
2

2

3 
6
9
 x −1  
Ta coù : 
+
 = 1 −
 = 1−
x+2  x+2
x + 2 ( x + 2) 2

Do ñoù :
2

2

2

2

2

dx
dx
 x −1 
I = ∫
+ 9∫
 dx = ∫ dx − 6 ∫
x+2
x + 2 −1 ( x + 2) 2
−1
−1
−1
2

9
= x −1 − 6 ln x + 2 −1 −
x + 2 −1
39
=
− 12 ln 2
4
2

2


TÍCH PHÂN :

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

P( x )

Tích phân dạng : I = ∫
dx
Q( x )

• Phương pháp : Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của
Q(x) thì ta dùng đồng nhất thức để phân tích thành
các tổng.


TCH PHAN :

TCH PHAN HAỉM HệếU Tặ

ã Daùng 1 : Mẫu số có nghiệm đơn.

P( x )
P( x )
A
B
C
=
=
+
+
Q( x ) ( x − a )( x − b)( x − c) x − a x − b x − c
3

2 x 2 + 41x − 91
Thí dụ : Tính : 1) I = ∫
dx

2
( x − 1)( x − x − 12)
2
1

x
2) I = ∫
dx
( x + 1)(2 x + 1)
0
5

3x − 7
3) I = ∫ 2
dx
x − 5x + 6
4


Ví dụ 7
Ví dụ 7

3

2 x 2 + 41x − 91
Tính : I = ∫
dx
2
( x − 1)( x − x − 12)
2

• Bài giải :
Ta có :
2 x 2 + 41x − 91
2 x 2 + 41x − 91
A
B
C
=
=
+
+
2
( x − 1)( x − x − 12) ( x − 1)( x − 4)( x − 3) x − 1 x − 4 x − 3
Đồng nhất tử số :
2x2+ 41x–91 ≡ A(x–4)(x +3) + B(x–1)(x+3) + C(x–1)(x–4)
2x2+ 41x–91 ≡ (A+B+C)x2 + (–A+2B–5C)x–12A–3B +4C

 A+ B+C = 2
A=4


Ta coù :  − A + 2B − 5C = 41
⇔  B=5
− 12A − 3B + 4C = −91
C = − 7



2 x + 41x − 91
4
5
7
=
+
−
Ta coù :
2
( x − 1)( x − x − 12) x − 1 x − 4 x − 3
2

Do đó :
3

3

3

3

2 x 2 + 41x − 91
4
5
7
I=∫
=∫
dx + ∫
dx − ∫
dx

2
( x − 1)( x − x − 12) 2 x − 1
x−4
x−3
2
2
2
3

3

3

= 4 ln x − 1 2 + 5 ln x − 4 2 − 7 ln x − 3 2

= 4(ln 2 − 0) + 5(0 − ln 2) − 7(ln 6 − ln 5)

= ln 2 − 7 ln 6 + 7 ln 5


Ví dụ 8
Ví dụ 8

3

x +1
Tính : I = ∫ 2
dx
x ( x − 1)
2

• Bài giải :
x +1
A B
C
= 2+ +
Ta coù : 2
x ( x − 1) x
x x −1

Đồng nhất tử số : x + 1 ≡ A(x – 1) + Bx(x – 1) + Cx2
Choïn x = 0 : 1 = –A ⇔ A = – 1
Choïn x = 1 : 2 = C
Choïn x = –1 : 0 = 2 + 2B + 2 ⇔ B = – 2
3

3

3

dx
dx
dx
+ 2∫
Do đó : I = − ∫ 2 − 2 ∫
x
x
x −1
2
2

2
3

3
1
1
3
=
− 2ln x 2 + 2ln x − 1 2 = 4 ln 2 − 2 ln 3 −
x2
6


Ví dụ 9
Ví dụ 9

1

x
dx
Tính : I = ∫
3
( x + 1)
0

• Bài giải :
x
A
B
C

=
+
+
Ta có :
3
3
2
( x + 1)
( x + 1) ( x + 1)
x +1
Đồng nhất tử soá : x ≡ A + B(x + 1) + C(x + 1)2
⇔ x ≡ Cx2 + (B + 2C)x + A + B + C
C = 0
C=0
1
1
dx
dx


⇒  B + 2C = 1 ⇒  B = 1 ⇒ I = −
+
3
( x + 1) 0 ( x + 1) 2
A + B + C = 0 A = −1
0



∫

∫

Do đó :
1

1
1 
1 1 1  1
⇒I=
 2( x + 1) 2 − x + 1  =  8 − 2  −  2 − 1 = 8

 


0 


TÍCH PHÂN :

TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

P( x )
Tích phân dạng : I = ∫
dx
Q( x )

Một số dạng khác

Ví dụ 10
Ví dụ 10

1

dx
Tính : I = ∫ 2
( x + 3x + 2) 2
0

• Bài giải :
2
1
1
1 
 1
Ta coù : 2
=
=
−

2
2
( x + 3x + 2)
[ ( x + 1)(x + 2)]  x + 1 x + 2 
1

1

1

1

1

1

dx
dx
dx
⇒I=∫
+∫
− 2∫
2
2
( x + 1)
( x + 2)
( x + 1)( x + 2)
0
0
0
1

dx
dx
dx
dx
=∫
+∫
− 2∫

+ 2∫
2
2
( x + 1)
( x + 2)
x +1 0 x + 2
0
0
0
1

1

1
1
1
1
=−
−
− 2 ln x + 1 0 + 2 ln x + 2 0
x +1 0 x + 2 0
2
= − 4 ln 2 + 2 ln 3
3


1

dx
Ví dụ 11 Tính : I = ∫ 4

Ví dụ 11
2
x + 4x + 3
0
• Hướng dẫn :
1
1
1  1
1 
Ta coù : 4
= 2
= ⋅ 2 − 2

2
2
x + 4 x + 3 ( x + 3)( x + 1) 2  x + 1 x + 3 
 1 dx
1
dx  1
 = ( I1 − I 2 )
⇒ I = ∫ 2
− 2
2  0 x +1 x + 3  2


1

dx
• Tính : I1 = ∫ 2
bằng cách đặt x = tgt.

x +1
0

π
⇒ I1 =
4

π 3
dx
• Tính : I 2 = ∫ 2 bằng cách đặt x = tgt. ⇒ I1 =
18
x +3
0
1

1π π 3

⇒I=  −
2  4 18 




1

Ví dụ 12
Ví dụ 12

Tính :

• Bài giải :
1

Ta có : I =
∫
0

xdx
I=∫ 4
x + 6x 2 + 5
0
1

1

xdx
xdx
xdx
=∫ 2
=∫ 2
4
2
2
x + 6 x + 5 0 ( x + 3) − 4 0 ( x + 3) 2 − 2 2

dt
= xdx
Đặt t = x + 3 ⇒ dt = 2 xdx ⇔
2
2

4

1 t −2
1
dt
⇒I= ∫ 2
=  ln
2 3 t −4 8 t +2


1 2
1 1 5
=  ln − ln  = ln
8 6
5 8 3

4




3

x

0

1

t

3

4


Ví dụ 13
Ví dụ 13

Tính :

• Bài giải :
1

1

xdx
I=∫ 4
x + x2 +1
0

1

1

xdx
xdx
xdx
I=∫ 4

=∫
=∫
2
2
2
2
x + x +1 0  2 1  3 0 
0
1  3
2
x +  −


x +  −
2 4

2  2 



Đặt :
x 0 1
1
3
3 2
2
x + =
tgt ⇔ 2xdx =
( tg t + 1)dt
2

2
2
t π/6 π/3
π/3

 3 
3 ( tg t + 1)dt
3
3π
⇒I=
=
∫/ 6 3 2
∫/ 6dt =  3 t  = 18


4 π
3 π

 π/6
( tg t + 1)
4
π/3

2

π/3