Một số bài tập tổ hợp

Đại Số Học thêm 11 Nâng Cao
Dạng bài :Tính các tổng
k
n
C
bằng phương pháp đạo hàm và tích phân
+ Để tính các tổng có dạng
k
n
k
kC
∑
hoặc
( 1)
k
n
k
k k C−
∑
ta lấy đạo hàm một, hai lần nhị thức Newton
+ Để tính các tổng có dạng
1
k
n
k
C
k +
∑
hoặc
( 1)( 2)
k

n
k
C
k k+ +
∑
ta lấy tích phân môt, hai lần.
Bài tập
1, CM các hệ thức:
a,
0 1 2 1
2 3 ( 1) ( 2).2
n n
n n n n
C C C n C n
−
+ + + + + = +
b,
2 3 2
2.1. 3.2. .( 1). .( 1).2
n n
n n n
C C n n C n n
−
+ + + − = −
2, a, Tính
1
2
0
(1 )
n

x dx−
∫
b, Từ kết quả đó chứng minh rằng:

1 2 3
( 1)
2.4.6 (2 2).2
1
3 5 7 2 1 1.3.5 (2 1)
n n
n n n n
C C C C
n n
n n
−
−
− + − + + =
+ +
3, Tính
1
0
(1 )
n
x dx+
∫
.Từ kết quả đó chứng minh rằng:

1
1 2
1 1 1 2 1

1
2 3 1 1
n
n
n n n
C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
4, Tính:
A =
0 1 1
. ( 1)
n
n n n
n C n C C
−
+ − + +
ĐS:
1
.2
n
n
−
B =
0 1 2

1 1 1

n
n n n n
C C C C
n n n
+ + + +
+ −
ĐS:
1
2 1
1
n
n
+
−
+
C =
1 2 3
( 1)

1 2 2
n n
n n n n
C C C C
n n n
−
− + + +
− −
ĐS :
2
2 1

1
0 2
khi n k
n
khi n k

= +

+


=

D =
1 2 1
( 1)

2 3 1
n n
n n n
C C C
n
+
−
− + +
+
ĐS :
1
n
n +

Một số bài tập khác
1, Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a, Từ các csố trên, có thể thành lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 csố khác nhau?
b, Trong các số nói ở câu a, có bao nhiêu số chẵn ?
c, Trong các số nói ở câu a, có bao nhiêu số chia hết cho 5?
2, Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm 5 csố khác
nhau?
3, Tìm số tự nhiên k sao cho các số
1 2
14 14 14
, ,
k k k
C C C
+ +
lập thành cấp số cộng
Trường THPT Trần Hưng Đạo GV Nguyễn Nhật Minh