Bài Tập Vecto & Các Phép Toán Trong Không Gian(Hot)

Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải
Chơng I - Véc tơ
I. Véc tơ:

Véctơ là một đoạn thẳng có:
+ Một đầu đợc xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn.
+ Hớng từ gốc đến ngọn gọi là hớng của véctơ.
+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun)
Véctơ có gốc A, ngọn B đợc kí hiệu là

; độ dài của

kí hiệu
là

Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thờng phía trên có mũi
tên nh:


Véctơ không:

là véctơ có:
+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau.
+ Độ dài bằng 0.
+ Hớng bất kì.

Hai véctơ

gọi là cùng phơng: kí hiệu

!" ###
$$
$$
% &
Hai véctơ

gọi là cùng hớng: kí hiệu




'& #
$$

( ) &
Hai véctơ

gọi là ngợcchớng: kí hiệu




'&') #
$$

*+, Hai véctơ

bằng nhau: kí hiệu




=
=



-./, Hai véctơ

đối nhau: kí hiệu




=
=



0123
Góc của hai véctơ

là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lợt
cùng hớng với hai tia AB; CD.
+ Khi

không cùng hớng thì

44
056
7
8
.
+ Khi

cùng hớng thì
4
56
7
8 =
II. Các phép toán véctơ:
9:
Tổng của hai véctơ

là một véctơ đợc xác
định nh sau:
+ Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ
6 =
.
+ Từ điểm A dựng véctơ
=
+ Khi đó véctơ
6
gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ

:
6 +=
;<=>?=@A,B.CDE

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có:
=+
(Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên
tiếp)
9:.FG,@A,BHH!E
=+
(với ABCD là hình bình hành)
Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của
AB ta luôn có:
( )
II


IJ +=
KLM
- Giao hoán:
+=+
- Kết hợp:
( ) ( )
++=++
- Cộng với không:
=+
- Cộng với véctơ đối:
E@ =+
9NO
E@ +=
Với
+==
A,B.CD
Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có:

66 =
9PD:&D:=/Q


là một véctơ:
- Với

thì véctơ

sẽ cùng phơng với


và sẽ:
+ Cùng hớng với

nếu k>0.
+ Ngợc hớng với

nếu k<0.
+ Có độ dài
=
-
==
KLM
+)
E@ ==
+)
ED@E@D =

+)

DED@ +=+
+)
DDE@D +=+

+)

cùng phơng
E@ =
%KR=/3
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
1
Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải










=
<
>
=

S,
S,



$$
phân loại bài tập về Véc tơ và các phép toán
Dạng 1. Chứng minh các đẳng thức véctơ
*Ph ơng pháp:
+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung
điểm.
+ Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT
thành VP và ngợc lại; biến đổi hai vế cùng thành một đẳng thức;
biến đổi đẳng thức đ cho thành một đẳng thức luôn đúng.ã
*Bài tập minh hoạ:
! Cho 4 điểm A, B, C, D chứng minh rằng:
a
+=+
b.
=
c.
=+++
d.
=+++
! Cho tam giác A, B, C. G là trọng tâm của tam giác và M là
một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng. CM:
a.
111 =++
b.

I1III =++
! Cho hình bình hành ABCD tâm I.
66 ==

a. Chứng minh rằng:
J =+
b. Tính

theo

.
!% Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng:
TUTU ++=++
!( Cho tam giác ABC. I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác. CM:
JJJ =++
!* Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Gọi G là trọng tâm của G và
G'. Chứng minh rằng:
V11VVV =++
!- Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh rằng:
IW% =+++
!0 Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng
tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
6 =++
b)
161 =
!X Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong
tam giác; D, E, F lần lợt là hình chiếu của nó trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng:

I6


ITIUI =++
! Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác
các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS. Chứng mình:
9YJAZT =++
! Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lợt là trung điểm của
BC, CD. CM:
( )
TJ =+++
! Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối
xứng với B qua G. CM:
a.






=
;
( )



+=

b. M là trung điểm của BC. CM:

*
(

*

I =
Dạng 2. Xác định điểm thoả mãn một đẳng
thức véctơ
*Ph ơng pháp chung:
+ Biến đổi đẳng thức đ cho về dạng: ã
6I =

trong đó O và

đ biết.ã
+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng
một véctơ bằng véctơ

. Khi đó ngọn của véctơ này chính
là điểm M.
*Bài tập áp dụng:
! Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết:
II =
! Cho hai điểm A, B và một véc tơ

. Xác định điểm M
biết:
II =+
! Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N
là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.

a. Xác định điểm K sao cho:
[ =+
b. Xác định điểm D sao cho:
[ % =+
!% Cho tam giác ABC.
a. Xác định điểm I sao cho:
JJ =+
b. Xác định điểm K sao cho:
[[ =+
c. Xác định điểm M sao cho:
III =++
!( Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K
sao cho:
. 2 3 0a OA OB OC+ + =
uuur uuur uuur r

. 0b IA IB IC ID+ + + =
uur uur uur uur r
. 3( ) 0c KA KB KC KD KE+ + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur r
!* Cho tam giác ABC. Xác định vị trí điểm M sao cho:
III =++
!- Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N sao cho:
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
2
Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải
a.
II =+

b.
WW =+
!0 Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả m n:ã
I ++=
!X Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm O thoả m n:ã
6 666 =+++
! Cho tam giác ABC cố định. Chứng minh
I(I%I +=
không phụ thuộc vị trí của điểm M.
! Cho tứ giác ABCD. Chứng minh chỉ có một điểm M thoả
m n hệ thức: ã
I I(II =++
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
*Ph ơng pháp chung:
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng
minh:
EZ@ =
. Để chứng minh đợc điều này ta có thể
áp dụng một trong hai phơng pháp:
+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ.
+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung
gian.
*Bài tập áp dụng:
! Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai
điểm sao cho:
U U ==
a. Chứng minh:
U +=+
b. Tính véctơ:
U Y +++=

theo
J
c. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
! Cho tam giác ABC. Đặt
, ==
a. Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính
9
theo
,
?
b. Qọi Q và R là hai điểm định bởi:



Z


A ==
.
Tính
ZAZ9
theo
,
.
c. Suy ra P, Q, R thẳng hàng.
! Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho:
JJ =+
,
\\(\ =++
a. CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC.

b. CMR: J là trung điểm của BI.
!% Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J thoả m n:ã
JJ =
;
\\ =+
Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
!( Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P thoả m n:ã
99WII ===+
Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
!* Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm I, J thoả m n:ã
\\\\ \\ =+=+
Chứng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD.
!- Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn
ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. CMR: O, G, H
thẳng hàng.
!0 Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho:
II =
,
WW =
,
99 =+
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Dạng 4. Chứng minh hai điểm trùng nhau
*Ph ơng pháp chung:
Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong
hai hớng:
Cách 1: Chứng minh
VII =
Cách 2: Chứng minh
V6I6I =

với O là điểm tuỳ ý.
*Bài tập áp dụng:
! Cho tam giác ABC. Lấy các điểm



sao cho:

++
. Chứng minh rằng hai tam giác ABC
và A
1
B
1
C
1
có cùng trọng tâm.
! Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung
điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác
ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Dạng 5. Quỹ tích điểm
*Ph ơng pháp chung:
Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ
tích cơ bản sau:
- Nếu
II =
với A, B cho trớc thì M thuộc đờng trung
trực của đoạn AB.
- Nếu
I =

với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng
tròn tâm C, bán kính bằng

.
- Nếu
I =
thì
+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC nếu
Z
+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC
và cùng hớng

nếu
+
Z
+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC
và ngợc hớng

nếu

Z
*Bài tập áp dụng:
! Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả
m n:ã
a.
II


III +=++
b.

IIIIII =+
! Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a. CMR: véctơ
II(I +=
không đổi.
b. Tìm tập hợp những điểm M thoả m n:ã
IIIII =+
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
3
Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
4
Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải
CHƯƠNG II , trục toạ độ và hệ trục toạ độ
Phần 1. Trục toạ độ
! Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là
2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của

AB
.
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2

MA
+ 5

MB
=
0
r
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3
NB
= 1
! Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt
là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho

MA
+

MB


MC
=
0
r
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2

NA
3

NB
=

NC
! Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là
3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3
MA
2
MB
= 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA
+ 3
NB
=
AB
!% Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+
AD
1
=
AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR:
2
IAID.IC =

c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR:
AJ.ABAD.AC =
phần 2. Hệ toạ độ đề các vuông góc
I. Toạ độ véc tơ - Toạ độ điểm:
! Biểu diễn véc tơ
]58, +=
biết a)
E(@,
b)
E%@,
! Xác định toạ độ của véc tơ
,
biết: a)
](, =
b)
, =
c)
]-, =
! Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ

biết
a)
+=
;
E@
;
E%@
b)
( =
;

E@
;
E*@

!% Cho ba điểm A(-1;1); B(1;3)
a) Xác định toạ độ của các véc tơ:

b) Tìm toạ độ điểm
M sao cho
E@I
c) Tìm toạ độ điểm N sao cho
E@W
II. Biểu diễn Véc tơ:
! Biểu diễn véc tơ

theo các véc tơ

biết:
a)
E-%@E%@E@
b)
E@E@E@

! Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). H y biểu ã
diễn véc tơ

theo các véc tơ

;

! Biểu diễn véc tơ

theo các véc tơ

biết:
a)
E(@E@E%@
b)
E@E(@E%@

!% Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). H y biểu ã
diễn véc tơ

theo các véc tơ

;

III. Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức
véc tơ, độ dài:
! Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a. Xác định toạ độ điểm E sao cho
U =
b. Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5
c. Tìm tập hợp điểm M biết:
IIIEII@ =+
! Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1). Xác định toạ
độ:
a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA
1

c) Tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác.
d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
! Cho M(1+2t; 1+3t). H y tìm điểm M ã sao cho

I

I
58 +
nhỏ
nhất.
!% Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;


)
a. CM: ABC vuông
b. Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
c. Tìm tập hợp các điểm M thoả m n:ã
IIIII =+
!( Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2). Tìm toạ độ
của:
a. Trọng tâm G của tam giác
b. Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC
c. Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
d. Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
e. Điểm M biết:
I =

f. Điểm N biết:
W%WW =+

!* Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). Tìm toạ độ
của:
a. Trọng tâm G b. Tâm đờng tròn ngoại tiếp
c. Điểm M biết
II =
!- Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ
điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
!0 Cho điểm A(3;1)
a. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và
điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất.
b. Viết phơng trình hai đờng chéo của hình vuông OABC.
!X Cho M(1-2t; 1-3t). H y tìm điểm M sao cho ã

I

I
58 +
nhỏ
nhất.
IV. Véc tơ cùng ph ơng - Ba điểm thẳng
hàng:
! Cho A(0;4); B(3;2).
a. Chứng minh
##
biết C(-6-3t;8+2t)
b. A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0). Tính chu vi ABD.
! Cho A(2;1); B(6;-1). Tìm toạ độ:
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
5

Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải
a. Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng.
c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và
(9 =
.
!@WWX-E Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)
a. Tính diện tích tam giác ABC.
b. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ
nhất.
!% Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ
P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(2;-4) b) A(1;2) và B(3;4)
!( Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho
A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất
c.

6

6

+
nhỏ nhất.
!* Cho A(-1;-4); B(3;4). Tìm toạ độ:
a. Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng.
b. Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng.
c. Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và
(9 =

.
!- Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)
a. Tính diện tích tam giác ABC.
b. Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ
nhất.
!0 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ
P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;2) và B(3;4) b) A(1;1) và B(2;-5)
!X Tìm điểm P trên trục tung sao cho tổng khoảng cách từ P
tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-3)
! Tìm điểm P trên đờng thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng
khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)
! Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho
A,B,M thẳng hàng. Xác định toạ độ A và B sao cho:
a. Diện tích OAB lớn nhất. b. OA+OB nhỏ nhất
c.

6

6

+
nhỏ nhất.
Bài tập tự luyện:
! Viết tọa độ của các vectơ sau:
a
r
=

i
r
3
j
r
,
b
r
=
2
1
i
r
+
j
r
;
c
r
=
i
r
+
2
3
j
r
;
d
r

= 3
i
r
;
e
r
= 4
j
r
.
! Viết dới dạng
u
r
= x
i
r
+ y
j
r
, biết rằng:
u
r
= (1; 3) ;
u
r
= (4; 1) ;
u
r
= (0; 1) ;
u

r
= (1, 0) ;
u
r
= (0, 0)
! Trong mp Oxy cho
a
r
= (1; 3) ,
b
r
= (2, 0). Tìm
tọa độ và độ dài của các vectơ:
a/
u
r
= 3
a
r
2
b
r
b/
v
r
= 2
a
r
+
b

r
c/
w
r
= 4
a
r

2
1
b
r
!% Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ

AB
,

AC
,

BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho:

CM
= 2

AB
3

AC
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho:

AN
+ 2

BN
4

CN
=
0
r
!( Trong mp Oxy cho ABC có A (4; 3) , B(1; 2) ,
C(3; 2).
a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
!* Trong mp Oxy cho ABC có A (0; 2) , B(6; 4) , C(1;
1).
a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC.b/ Gọi D (3; 1).
CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
!- Trong mp Oxy cho ABC có A (3; 6), B(9;10),
C(5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.b/ Tìm tọa độ trọng tâm G
của ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính bán
kính đờng tròn đó.

!0 Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). H y tìm trên ã
trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M.
!X Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ H y tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ã ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
! Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.b/ Tìm tọa độ trọng tâm G
của ABC.
c/ CMR : ABC vuông cân. d/ Tính diện tích ABC.
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
6
Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải
CHƯƠNG III , Tích vô hớng
I. Lí thuyết:

( )
#4= =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
44
4
4
0#X#4=
X##4=
X##4=
<<<

===
<>>
KLM
a. Giao hoán b. Tính chất phân phối c.
=
( )
+=+
( ) ( )
DD =
C,<4^.:3L &
Nếu

5858E58@E58@ +=
%<HS,
a. Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì:
=
b. Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của

thì:
VV =
II. Bài tập áp dụng:
) Tính tích vô hớng
! Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G.
a. Tính các tích vô hớng

b. Gọi I là điểm
thoả m n ã
J%JJ =+
. Chứng minh rằng:
BCIG là hình bình hành từ đó tính

( )
JJJJJ +
! Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.
a. Tính

từ đó suy ra:
++
b. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ
dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi
AG và BC.
! Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý
trên đờng tròn nội tiếp hình vuông, N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC.
Tính:
a.
I III +
b.
WW
c.
W6
!% Cho ba véc tơ

thoả m n điều kiệnã
===
và
=++
. Tính:
++=
!( Cho tam giác đều ABC cạnh a, đờng cao AH
a. Tính các tích vô hớng

b.
( ) ( )
+
!* Cho tam giác ABC có AB=6, AC=8, BC=10
a. Tính

b. Trên AB lấy M sao cho AM=2; trên
cạnh AC lấy N sao ch0o AN=4. Tính
WI
!- Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn
BC=3; đáy nhỏ AD=2
Tính các tích vô hớng

!0 Cho ba véc tơ

thoả m n điều kiệnã
===
và
=++
. Tính:
++=
) Chứng minh đẳng thức về tích vô hớng
hay về độ dài
!X Cho hai điểm A và B, O là trung điểm của AB và M là một
điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng:

66III =
! Cho MM
1

là đờng kính của đờng tròn tâm O, bán kính R.
A là điểm cố định và OA=d. Giả sử AM cắt (O) tại N.
a. Chứng minh rằng tích vô hớng

II
có giá trị không phụ
thuộc M.
b. CMR:
WI
có giá trị không phụ thuộc M.
! Cho nửa đờng tròn đờng kính AB có AC, BD là hai dây
thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E.
Chứng minh rằng:

UU =+
! Cho tam giác ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a.


%

II =
b.




II +=+
! Cho bốn điểm tuỳ ý M, A, B, C. Chứng minh rằng:

III =++
) Chứng minh tính vuông góc - thiết lập
điều kiện vuông góc
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
7
Tổ Toán Tin Tr -
ờng THPT Trần quang Khải
!% Chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy.
!( Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài các tam
giác vuông cân đỉnh A là ABD, ACE. Gọi M là trung điểm BC.
Chứng minh rằng: AMDE
!* Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: ABCD

+=+
!- Cho hình thang vuông ABCD, hai đáy AD=a; BC=b, đ-
ờng cao AB=h. Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:
a. BDCI b. ACDI
c.BMCN với M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BD.
!0 Cho tứ giác ABCD biết
=+++
. Tứ giác ABCD là
hình gì? Vì sao?
)Điểm thoả m n đẳng thức về tích vô hã -
ớng hay độ dài
!X Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm tập hợp những điểm
M sao cho:
%

IIIIII

=++
! Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a.
( ) ( )
IIII =++
b.

III =+
với BC=a.
! Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a.
I =

b. I

_I

`

_

a
Đề Cơng Hình Học 10A GV: Đỗ Trung
Kiên
8