Đề thi thử ĐH 2010 + ĐA chi tiết 0.25 (số 4)

Sở GD & ĐT hà nội đề thi thử đại học Số 4 năm 2010
GV. Trần Mạnh Tùng Môn thi: Toán

Lớp Toán 12
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Phần chung cho tất cả các thí sinh.
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số :
1
2

+
=
x
x
y
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (1) đều lập với hai đờng tiệm cận một
tam giác có diện tích không đổi.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phơng trình

2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
= +

+
.
2. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm

mxxxx =+++ 11
22
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
với a, b, c > 0.
1. Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC).
2. Tính thể tích khối đa diện OIBC trong đó I là chân đờng cao kẻ từ C của
ABC
.
Câu IV (2 điểm)
1. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = 0; y =
1
)1(
2
+

x
xx
.
2. Cho x, y, z là các số thực dơng thoả mãn x + y + z = xyz.
Tìm GTNN của A =
)1()1()1( zxy
zx
yzx
yz
xyz

xy
+
+
+
+
+
.
Phần riêng Thí sinh chỉ đợc làm 1 trong 2 câu: V. a hoặc V.b
Câu V. a. Dành cho chơng trình chuẩn (2 điểm).
1. Giải phơng trình
log(10.5 15.20 ) log 25
x x
x
+ = +
.
2. Tính thể tích lăng trụ đều ABC.ABC biết (ABC) hợp với đáy góc 60
0
và diện
tích tam giác ABC
'
bằng
2
3a
Câu V. b. Dành cho chơng trình nâng cao (2 điểm).
1. Giải bất phơng trình:

32
4
)32()32(
1212

22

++
+ xxxx
2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành có AB = a, góc ABC = 30
0
; hai mặt
bên SAD và SBC vuông tại A, C cùng hợp với đáy góc

.
CMR: (SAC)

(ABCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD.
tranmanhtung
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh SBD: 02 - 2010

đáp án và thang điểm chi tiết - môn toán - đề số 4 12u
Gv. Trần Mạnh Tùng 091 3366 543

Câu ý
Nội dung
Điểm
I
2
1
Khảo sát- vẽ đồ thị (1 điểm)
TMT 091 3366 543
Page - 1/6
Ta có:

1
3
1

+=
x
y
TXĐ: D = R\ {1}
Sự biến thiên:
+ Giới hạn Tiệm cận:

+=
+

y
x 1
lim


=


y
x 1
lim


ĐTHS có tiệm cận đứng: x = 1

1lim =

+x
y


ĐTHS có tiệm cận ngang: y = 1
0,25
+ Bảng biến thiên:

'y
=
0
)1(
3
2
<


x
,
Dx


HS nghịch biến trên các khoảng (-

; 1) và (1; +

)
HS không có cực trị
0,5
Đồ thị:

KL: Đồ thị hàm số nhận giao hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
0,25
2 CMR: Mọi tiếp tuyến diện tích không đổi (1 điểm)
Giả sử M







+
1
2
;
a
a
a
thuộc đồ thị (1)
Tiếp tuyến của (1) tại M:
1
2
))((
'

+
+=
a
a
axayy

=
2
2
2
)1(
24
)1(
3

+
+


a
aa
x
a
0,25
TCĐ: x = 1 (
1

) ; TCN: y = 1(
1

)
Gọi I là giao 2 tiệm cận

I(1; 1)
A = d

1



A(1;
1
5

+
a
a
) ; B = d

2



B(2a-1; 1)
0,25
TMT 091 3366 543
Page - 2/6







−
=

→
1
6
;0
a
IA

⇒
IA =
1
6
−a
;
( )
0;22 −=
→
aIB

⇒
IB = 2
1−a
0,25
 DiÖn tÝch
IAB
∆
: S
IAB∆
=
IBIA.
2

1
= 6 (®vdt)
⇒
§PCM
0,25
II

2
1
T×m x
);0(
π
∈
tho¶ m·n pt (1 ®iÓm)
§K:



−≠
≠
⇔



≠+
≠
1tan
02sin
0cossin
02sin

x
x
xx
x

-
Khi ®ã pt
xxx
xx
xx
x
xx
cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos
2
−+
+
=
−
⇔

xxxxxx
x
xx
cossinsincossincos
sin
sincos

22
−+−=
−
⇔
0,25

0,25

⇔
)2sin1(sinsincos xxxx −=−

⇔
0)1sincos)(sinsin(cos
2
=−−− xxxxx
0,25

⇔
0)32cos2)(sinsin(cos =−+− xxxx

⇔
0sincos =− xx

⇔
tanx = 1
)(
4
Zkkx ∈+=⇔
π
π

(tm)
0,25
2 T×m m ®Ó pt cã nghiÖm (1 ®iÓm)
XÐt hs:
11)(
22
+−−++= xxxxxf

12
12
12
12
)('
22
+−
−
−
++
+
=
xx
x
xx
x
xf




++−=+−+

≥−+
⇔=
)1()12()1()12(
0)12)(12(
0)('
2222
xxxxxx
xx
xf
0,25
TMT – 091 3366 543
Page - 3/6






=
−
≤∨≥
⇔
)(0
2
1
2
1
lx
xx

Rxf ∈∀>= ,01)0('

⇒
HS
)(xf
®ång biÕn trªn R.
0,25

1)(lim;1)(lim −==
−∞→+∞→ xx
xfxf
0,25
PT cã nghiÖm khi: -1 < m < 1.

0,25
III 2
1 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (ABC) (1 ®iÓm)
PT mp(ABC):
1=++
c
z
b
y
a
x
0,5

0=−++⇔ abcabzcaybcx
O,25

( )
222222
)(,
accbba
abc
ABCOd
++
=
0,25
2 TÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn OIBC (1 ®iÓm)


→
AB
=
( )
0;;ba−
PTTS cña AB:





=
=
−=
0z
bty
atax

0,25

)0;;( btataIABI −⇒∈

⇒
→
IC
=
( )
cbtaat ;;−−


→
IC
⊥
→
AB

→
⇔ IC
.
→
AB
= 0
22
2
222
0)(
ba
a

ttbaa
+
=⇔=+−⇔

⇒








++
0;;
22
2
22
2
ba
ba
ba
ab
I
( )
0;0;
00
0
;
0

00
;
0
0
, bc
b
cc
b
OCOB =








=






→→

22
3
.,
ba

cab
OIOCOB
+
=






⇒
→→→


( )
22
3
6
.,
6
1
ba
cab
OIOCOB
V
OIBC
+
=







=
→→→
(®vtt)
0,25
0,25
0,25
TMT – 091 3366 543
Page - 4/6
IV 2
1 TÝnh tÝch ph©n (1 ®iÓm)

0 0; 1y x x= ⇔ = =
0,25
Khi ®ã:
1 1
2
2 2
0 0
(1 )
1 1
x x x x
S dx dx
x x
− −
= =
+ +

∫ ∫
0,25
=
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1
x dx
dx dx
x x
− +
+ +
∫ ∫ ∫
1
ln 2 1
2 4
π
= − +
0,25
0,25
2 T×m GTNN (1 ®iÓm)
 C¸ch 1:
• CM: Víi mäi a, b > 0 th×






+≤

+ baba
11
4
11
(1)
DÊu “ =” x¶y ra
ba =⇔

A =








+
+
+
+
+
−++
xyzzxyzyxyzxzyx
111111
A =









++
+
++
+
++
−++
yxzxzyzyxzyx 2
1
2
1
2
1111
• ¸p dông (1) ta cã:
A








+
+
+
+

+
+++−++≥
yxxzzyzyxzyx
111
2
1
2
1
2
1
4
1111









++=









++−++≥
zyxzyxzyx
111
4
3111
4
1111
• CM: Víi mäi a, b, c th×:
( ) ( )
cabcabcba ++≥++ 3
2
(2)
DÊu “=” x¶y ra
cba ==⇔
¸p dông (2) ta cã:

3.3
111
3
111
2
=
++
=









++≥








++
xyz
zyx
zxyzxyzyx
• Do x, y, z > 0 nªn
3
111
≥++
zyx

⇒
A
4
33
≥
KL:
4
33
min

=
A
®¹t ®îc khi
3=== zyx
 C¸ch 2:
A =








++
+
++
+
++
−++
yxzxzyzyxzyx 2
1
2
1
2
1111
Theo C«Si:
A









++−++≥
444
4
1
4
1
4
1111
xyzzxyyzxxyz
zyx

A








++++++++−++≥
zyxzyxzyxzyx
211121112
16

1111


0,25
0,25
0,25
0,25
TMT – 091 3366 543
Page - 5/6
A








++
zyx
111
4
3
(Cách 1)
V.a Dành cho ban Cơ Bản 2
1 Giải phơng trình (1 điểm)
PT
( ) ( )
xxx
10.25lg20.155.10lg =+

0,25

xxx
10.2520.155.10 =+

0102.254.15 =+
xx
0,25
Đặt
)0(2 >= tt
x
, ta đợc: 15t
2
- 25t +10 = 0




=
=

)(
3
2
)(1
tmt
tmt
0,25

1=t

012 == x
x








===
3
2
log
3
2
2
3
2
2
xt
x
KL:
0,25
2 Tính thể tích lăng trụ (1 điểm)


Gọi H là trung điểm AB

ABHC
ABCH
'
( )
0
60')',()(),'( === CHCHCCHABCABC

22
'
32'.3 aABHCa
S
ABC
==

(1)
Xét
'HCC
vuông tại C:
3
60cos
'
0
AB
HC
HC ==

(2)
Từ (1),(2)
6';2 aHCaAB ==

aHCCC
2
23
60sin'.'
0
==

202
2
3
60sin
2
1
aAB
S
ABC
==


3
'''.
4
63
'. aCC
SV
ABCCBAABC

==

(đvtt)

0,25
0,25
0,25
0,25
V.b Dành cho ban KHTN 2
TMT 091 3366 543
Page - 6/6
1 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh (1 ®iÓm)
Bpt
( ) ( )
43232
22
22
≤−++⇔
−− xxxx
§Æt
( )
)0(32
2
2
>+=
−
tt
xx
, ta ®îc:
4

1
≤+
t
t

014
2
≤+− tt
3232 +≤≤−⇔ t
(tm)
0,5
Khi ®ã:
( )
323232
2
2
+≤+≤−
− xx
121
2
≤−≤−⇔ xx

⇔
2121012
2
+≤≤−⇔≤−− xxx
KL:

0,5
2

CM: (SAC)
⊥
(ABCD) vµ tÝnh thÓ tÝch S.ABCD (1 ®iÓm)

S
 CM: (SAC)
⊥
(ABCD):

BCSA
BCAD
ADSA
⊥⇒



⊥
//
)()()( ABCDSACSA CBC
BCSC
⊥⇒⊥ →
⊥
 TÝnh thÓ tÝch:
( ) ( )
α
== →



⊥

⊥
=∩
ACSCABCDSBC
ACBC
SCBC
BCABCDSBC
,)(),(
)()(
(1)
T¬ng tù
( ) ( )
α
==⇒ ACSAABCDSAD ,)(),(
(2)
Tõ (1), (2)
α
==⇒ SCASAC

SAC∆
c©n t¹i S
)(ABCDSOACSO
SOBC
⊥ →⊥⇒
⊥

ABC∆
vu«ng t¹i C : AC = AB.sin30
0
=
2

a


20
4
3
60sin
2
1
.22 aACAB
SS
ABCABCD
===


SOA∆
vu«ng t¹i O: AO =
42
1 a
AC =
SO = AO.tan
αα
tan
4
1
4
a=

α
tan

48
3
.
3
1
3
.
aSO
SV
ABCDABCDS
==
(®vtt).
0,25
0,25
0,25
0,25
TMT – 091 3366 543
Page - 7/6