HE PHUONG TRÌNH DOI XUNG VÀ MOT SO BAI TOAN CO LIEN QUAN

Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009

Lê Trung Hiếu - Tổ toán
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Hệ phương trình đối xứng (đối xứng loại một và đối xứng loại hai) là một mảng thường hay được nhắc
đến trong lớp các bài toán về hệ phương trình nói chung. Việc nắm được cách giải của chúng là quan
trọng, nhưng nếu biết đưa một phương trình, một hệ phương trình vốn không phải là hệ đối xứng về hệ
phương trình đối xứng lại càng quan trọng hơn. Bài viết này sẽ đưa một số phương trình, hệ phương trình
không đối xứng về hệ phương trình đối xứng thông qua việc chọn các ẩn phụ thích hợp. Sau đây là một số
bài toán.
1. Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình không đối xứng về hệ phương trình đối xứng
1.1 Đưa hệ phương trình vô tỷ về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =


• Dùng ẩn phụ
u x=
và
v y=
đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của hệ phương trình là
(4;9),(9;4).

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
4
4
1 1
1 1
x y
y x

+ − =


+ − =


• Dùng ẩn phụ
4
1u x= −
và
4
1v y= −
đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của hệ phương trình là
(1;1).
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2
2
x y y
y x x

= −



= −


• Dùng ẩn phụ
u x=
và
v y=
đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của hệ phương trình là
(0;0),(2;2),(2; 2),( 2;2),( 2; 2).− − − −
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2 5
5
x y
x y x y x y

+ =


− + + + − =


• Dùng ẩn phụ
u x y= +
và
v x y= −

đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của hệ phương trình là
1 3 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3
( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
− − − − − − − −
1.2 Đưa hệ phương trình mũ, logarit về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình
2cot sin
sin cot
9 3
9 81 2
x y
y x
+

=


− =


1
Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009

Lê Trung Hiếu - Tổ toán
• Dùng ẩn phụ
2cot
9
x

u = −
và
sin
9
y
v =
đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của hệ phương trình là
,
2
x k
π
π
= +

2
6
y l
π
π
= +
và
,
2
x k
π
π
= +

5

2 .
6
y l
π
π
= +
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình
2
2
ln( ) ln 1
ln( ) ln 1
xy x
xy y

= +


= +


• Dùng ẩn phụ
lnu x
=
và
lnv y=
đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của hệ phương trình là
( , ).e e
1.3 Đưa một số hệ phương trình khác về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình

2 2
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y

+ + + =

+ + =

• Dùng ẩn phụ
( 1)u x x= +
và
( 1)v y y= +
đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của hệ phương trình là
(1;2),(1; 3),( 2;2),( 2; 3),(2;1),(2; 2),( 3;1),( 3; 2).− − − − − − − −
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y

+ + + =





+ + + =


• Dùng ẩn phụ
1
u x
x
= +
và
1
v y
y
= +
đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của hệ phương trình là
(1;1).
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình
2
2
sin tan 1
tan sin 1
x y
y x

+ =



+ =


• Dùng ẩn phụ
sinu x
=
và
tanv y=
đưa hệ phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của hệ phương trình là
,x m
π
=
;
4
y n
π
π
= +

2 ,
2
x m
π
π
= +

;y n
π

=

5 1
arcsin( ) 2 ,
2
x k
π
−
= +
5 1
arctan( )
2
y l
π
−
= +
và
5 1
arcsin( ) 2 ,
2
x k
π π
−
= − +
5 1
arctan( ) .
2
y l
π
−

= +

2. Dùng ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng
2.1 Đưa phương trình vô tỷ về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 10. Giải phương trình
4 4
6 2 2x x− + − =
• Dùng ẩn phụ
4
6u x= −
và
4
2v x= −
đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của phương trình là
2x =
và
6.x =
2
Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009

Lê Trung Hiếu - Tổ toán
Ví dụ 11. Giải phương trình
3 3
7 tan 2 tan 3x x+ + − =
• Dùng ẩn phụ
3
7 tanu x= +
và
3

2 tanv x= −
đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại
một.
• Nghiệm của phương trình là
4
x k
π
π
= +
và
arctan( 6) .x l
π
= − +
Ví dụ 12. Giải phương trình
3
3
1 2 2 1x x+ = −
• Dùng ẩn phụ
3
2 1u x= −
đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của phương trình là
1 5
2
x
− ±
=
và
1.x =
Ví dụ 13. Giải phương trình

9 9 x x+ + =
• Dùng ẩn phụ
9u x= +
đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của phương trình là
19 37
.
2
x
+
=
2.2 Đưa phương trình mũ, logarit về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 14. Giải phương trình
2 2
sin cos
81 81 30
x x
+ =
• Dùng ẩn phụ
2
sin
81
x
u =
và
2
cos
81
x
v =

đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của phương trình là
3
x k
π
π
= ± +
và
.
6
x l
π
π
= ± +
Ví dụ 15. Giải phương trình
3
7
7 2log (6 1) 1
x
x= + +
• Dùng ẩn phụ
7
log (6 1)u x= +
đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
• Nghiệm của phương trình là
0x =
và
1.x =
2.3 Đưa một số phương trình khác về hệ phương trình đối xứng
Ví dụ 16. Giải phương trình

4 4
cos (1 cos ) 1x x+ − =
• Dùng ẩn phụ
sinu x=
và
1 sinv x= −
đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của phương trình là
2x k
π
=
và
.
2
x l
π
π
= +
Ví dụ 17. Giải phương trình
6 6
( 2) (4 ) 64x x− + − =
• Dùng ẩn phụ
2u x= −
và
4v x= −
đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một.
• Nghiệm của phương trình là
2x
=
và

4.x
=
Ví dụ 18. Giải phương trình
2 2
1 2(1 2 )x x− − =

• Dùng ẩn phụ
2
1 2u x= −
đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai.
3
Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009

Lê Trung Hiếu - Tổ toán
• Nghiệm của phương trình là
1 5
,
4
x
±
=

1
2
x =
và
1.x = −
4