Tai lieu on thi vao lop 10 DS

Là ngời thầy giáo
nên đa học sinh đi tìm chân lý hơn là đ a chân lý đến cho học sinh

Luyện Thi vào lớp 10
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Tài liệu lu hành nội bộ

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 2
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chuyên đề 1:
Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử
A. biến đổi đẳng thức
I. Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng
(a b)
2
= a
2
2ab + b
2
a
2
- b
2
= (a + b)(a - b)
(a b)

3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2
b
3
a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
)
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab +b
2
)
(a + b + c)
2
= a

2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a - b - c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
- 2ab - 2ac + 2bc
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
), mọi n là số tự nhiên
a
n

+ b
n
= (a + b)(a
n-1
- a
n-2
b + - ab
n-2
+ b
n-1
), mọi n lẻ
II. Bài tập
Bài 1
So sánh hai số A và B biết: A = 2004.2006 và B = 2005
2
Giải
Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 2005
2
- 1 < 2005
2
=B. Vậy A < B.
Bài 2
So sánh hai số A và B biết: A = (2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16

+ 1) và B = 2
32
Giải
Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1) = 2
32
-1 < 2
32
= B. Vậy A < B.
Bài 3
So sánh hai số A và B biết: A =(3 + 1)(3
2
+1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+1) và B =3
32
-1
Giải
Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(3

2
+1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+1) = 3
32
- 1 = B. Vậy A < B.
Bài 4
Chứng minh rằng: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m

= (m
2
+ m + 1)
2
, với mọi m.
Giải
VT: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m

2
+ 4m

= m
4
+ m
2
+ 1 + 2m
3
- 2m
2
- 2m + 4m
2
+ 4m = m
4
+ 2m
3
+ 3m
2
+ 4m + 1.
VP: (m
2
+ m + 1)
2
= m
4
+ m
2
+ 1 +2m
3

+ 2m
2
+ 2m = m
4
+ 2m
3
+ 3m
2
+ 2m +1.
Bài 5

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 3
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c

2
- ab -ac -bc).
Giải
Ta có a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) thay vào VT
VT = (a + b)
3
- 3ab(a + b) + c
3
-3abc = [(a + b)
3
+ c
3
] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b)
2
+ c
2
-
c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a

2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac -
bc) = VP.
Bài 6
Cho ab = 1. Chứng minh rằng: a
5
+ b
5
= (a
3
+ b
3
)(a
2
+ b
2
) - (a + b)
Giải
(a
3
+ b
3
)(a
2
+ b
2

) - (a + b) = a
5
+ a
3
b
2
+ a
2
b
3
+ b
5
- (a - b)= a
5
+ b
5
+a
2
b
2
(a + b) - (a - b) = a
5
+ b
5
Bài 7
Cho a
2
+ b
2
+ c

2
- ab - ac - bc = 0. Chứng minh rằng: a = b = c
Hỡng dẫn
Từ: a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc = 0 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2ab - 2ac - 2bc = 0 (a - b)
2
+(a - c)
2
+
(b - c)
2
= 0 a = b = c.(đpcm)
Bài 8
Cho a, b, c đôi một khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = 1. CMR
+ + +
=
+ + +
2 2 2
2 2 2

(a b) (b c) (c a)
1
(1 a )(1 b )(1 c )
Hỡng dẫn
Ta có: 1 + a
2
= ab + bc + ca +a
2
= b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b).
Tơng tự: 1 + b
2
= (b + a)(b + c).
1 + c
2
= (c +a)(c + b). Thay vào trên suy ra (đpcm).
Bài 9
Cho a > b > 0, thoả mãn: 3a
2
+ 3b
2
=10ab. Chứng minh rằng:

=
+
a b 1
a b 2
.
Giải
Đặt P =
ba

ba
+

thì P > 0 nên P =
2
P
.
Ta có P
2
=
+ +
= = =
+ + + +
2 2 2 2
2 2 2 2
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 1
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4
. Vậy P = 1/2.
Bài 10
Cho a + b + c = 1 và
+ + =
1 1 1
0
a b c
. Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2

=1.

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 4
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Giải
Từ: a + b + c = 1 a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + ac + bc) = 1 a
2
+ b
2
+ c
2
= 1- 2(ab + ac + bc) .
Mặt khác:
+ +
+ + = = + + =
1 1 1 ab ac bc
0 0 ab ac bc 0
a b c abc

. Vậy: a
2
+ b
2
+ c
2
=1.
Bài 11
Cho
+ + =
1 1 1
2
a b c
(1)
và a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
+ + =
2 2 2
1 1 1
2
a b c
Giải
(1)

+ +
+ + + + + = + + + =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c
2( ) 4 2( ) 4
a b c ab ac bc a b c abc
.

Thay a + b + c = abc vào ta có
+ + + = + + =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4 2
a b c a b c
.
Bài 12
Cho
+ + =
x y z
1
a b c
(1)
, và
+ + =
a b c
1
x y z
(2)
. CMR:
= + + =
2 2 2
2 2 2
x y z
A 1
a b c
Giải
+ +
+ + + + + = = + + =

2 2 2
2 2 2
x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz
2( ) 1 A 1 2( ) 1 2( )
a b c ab ac bc ab ac bc abc
(2)
:
+ +
=
cxy bxz ayz
0
xyz
. Vậy A = 1.
Bài 13
Cho
+ + =
1 1 1
0
a b c
.
(1)
Chứng minh rằng:
+ + =
3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Giải .
(1)

= + = + + + = + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( 3 ( ) [ 3 ( )]
a b c a b c bc b c a b c bc a
Vậy
+ + =
3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Bài 14
Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
=14. Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
+ c
4
= 98.
Giải
Từ: a + b + c = 0 a = -(b + c) a
2
= (b + c)
2

a
2
= b
2
+ c
2
+2bc

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 5
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
a
2
- b
2
- c
2
= 2bc (a
2
- b
2
- c
2
)
2

= 4b
2
c
2
a
4
+ b
4
+ c
4
- 2a
2
b
2
- 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
= 4b
2
c
2
a
4
+ b
4

+ c
4
= 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
2(a
4
+ b
4
+ c
4
) = a
4
+ b
4
+ c
4
+

2a
2

b
2
- 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
2(a
4
+
b
4
+ c
4
) = (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
= 14
2
=196.
Vậy a
4

+ b
4
+ c
4
= 98.
Bài 15
Cho xyz = 1, Chứng minh rằng:
+ + =
+ + + + + +
1 1 1
1.
1 x xy 1 y yz 1 z zx
Giải
Ta có:
+ + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
1 1 1 z x 1
1 x xy 1 y yz 1 z zx z xz xyz x yx xyz 1 z zx
=
+ +
+ + = + = +
+ + + + + + + + + + + + + +
z x 1 z 1 x z 1 xz
z xz 1 x yx 1 1 z zx 1 x xz x xy 1 1 x xz xz xyz z
+ + +
= + = =
+ + + + + +
z 1 xz z 1 xz
1.
1 x xz xz 1 z 1 x xz

B. Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1
Phân tích tam thức bậc hai x
2
- 6x + 8 thành nhân tử.
Giải
Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình ph-
ơng.
x
2
- 6x + 8 =(x - 3)
2
- 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).
Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và
đặt nhân tử chung.
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4).
Bài 2
Phân tích đa thức x
3
+ 3x
2
- 4 thành nhân tử.
Giải
Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm đa thức chứa nhân tử x - 1 ta tách các hạng tử của đa thức
làm xuất hiện nhân tử x - 1.
C

1
: x
3
+ 3x
2
- 4 =x
3
-x
2
+4x
2
- 4=x
2
(x - 1)+4(x
2
-1)=(x-1)(x
2
+ 4x + 4)=(x-1)(x+2)
2
.
C
2
: x
3
+3x
2
- 4 =x
3
-1+3x
2

- 3 = (x-1)(x
2
+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x
2
+ 4x + 4).
Bài 3

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 6
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử.
Giải
(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x
2
+8x+7)(x
2
+8x +15) +15
Đặt: t = x
2
+8x+7 x
2
+8x+15 = t + 8 ta có: t(t + 8) +15 = t
2
+ 8t +15 =(t + 4)
2

- 1 = (t + 4 +
1)(t + 4 - 1) = (t + 5)(t + 3).
Vậy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x
2
+ 8x + 12)(x
2
+ 8x + 10) = (x
2
+ 6x + 2x + 12)(x
2
+
8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x
2
+ 8x + 10).
BTVN.
Bài 1
Cho x > y > 0 và 2x
2
+ 2y
2
= 5xy, Tính:
x y
P
x y
+
=

. (tơng tự bài 9)
Bài 2
Cho x + y + z = 0, Chứng minh rằng: x

3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz. (tơng tự bài 13)
Bài 3
Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a
4
+ b
4
+ c
4
=
2
1
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
. (tơng tự bài 14)
Bài 4
Cho a, b, c khác không và a + b + c = 0.
Chứng minh rằng:
+ + =
+ + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0.
a b c b c a a c b
Từ: a + b + c = 0 a = - (b + c) a
2
= (b + c)
2
a
2
=b
2
+ c
2
+ 2bc b
2
+ c
2
- a
2
= - 2bc
Bài 5
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a/ 4x
2
- 3x - 1
b/ x
3
+ 6x
2

+ 11x +6
c/ (x-y)
3
+ (y-z)
3
+ (z-x)
3
Hỡng dẫn: x + y + z = 0 x
3
+ y
3

+ z
3
= 3xyz

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 7
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chuyên đề 2:
Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
A. Bất đẳng thức
I. Một số tính chất của bất đẳng thức
1/ a > b và b > c a > c (t/c bắc cầu)
2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế cùng một số)

3/ a > b
> >


< <

ac bc nếu c 0
ac bc nếu c 0
(t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng)
4/ a > b và c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều)
5/
> >

>

> >

a b 0
ac bd
c d 0
(t/c nhân hai bất đẳng thức dơng cùng chiều)
6/ a > b > 0

>


>


n n

n n
a b
a b
(n nguyên dơng)
7/
+
>
+ + +
a a
a,b,c R
a b a b c
8/
+
+
> > >
+
a c a a c c
a,b, c,d R
b d b b d d
9/ Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì ta có:
*/ a > 0, b > 0, c > 0.
*/ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b
*/ Nếu a > b > c thì A > B > C
II. Bài tập
Bài 1
Cho 5 số a, b, c, d, e bất kỳ. CMR: a
2
+ b
2
+ c

2
+ d
2
+ e
2
a( b + c + d + e)
(1)
.
Giải
(1)
4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2
- 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
(a - 2b)
2
+ (a - 2c)
2
+ (a - 2d)
2
+ (a - 2e)
2
0. (đpcm)

Bài 2
Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a
2
+ b
2
1/2, b/ a
3
+ b
3
1/4, c/ a
4
+ b
4
1/8
Giải
a/ Từ (a - b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab 2(a
2
+ b
2
) a
2
+ b
2
+ 2ab = (a + b)

2
= 1.
Vậy a
2
+ b
2
1/2.

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 8
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
b/ Ta có a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
) = a
2
- ab + b
2

2(a

3
+ b
3
) = 2a
2
- 2ab + 2b
2
= (a - b)
2
+ a
2
+ b
2
a
2
+ b
2

mà a
2
+ b
2
1/2 2(a
3
+ b
3
) 1/2 a
3
+ b
3

1/4. (đpcm)
c/ Từ (a
2
- b
2
)
2
0 a
4
+ b
4
2a
2
b
2
2(a
4
+ b
4
) a
4
+ b
4
+ 2a
2
b
2
= (a
2
+ b

2
)
2
a
4
+ b
4

1
2
(a
2
+ b
2
)
2 (1)
.
Mặt khác: (a - b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab 2(a
2
+ b
2
) a
2
+ b

2
+ 2ab = (a + b)
2
= 1
a
2
+ b
2
1/2 (a
2
+ b
2
)
2
1/4 thay vào
(1)
ta có a
4
+ b
4

1
8
.
Bài 3
Cho a,b > 0, và a + b = 1. Chứng minh rằng:
a/
+ +
1 1
(1 )(1 ) 9

a b
; b/
+
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
Giải
a/
+ + + + +
+ + +
1 1 a 1 b 1 ab a b 1 2
(1 )(1 ) 9 ( )( ) 9 9 1 9
a b a b ab ab

1 4ab (a + b)
2
4ab đúng (đpcm).
b/
+
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
3(a + 1 + b +1) 4(a + 1)(b + 1) 9 4(ab + a + b + 1)
9 4ab + 8 1 4ab (a + b)
2
4ab đúng (đpcm)
Bài 4
Cho a, b, c R
+
. Chứng minh rằng:

< + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Giải

>

+ + +


>

+ + +


>

+ + +

a a
a b a b c
b b
b c a b c
c c
c a a b c

+ + >
+ + +

a b c
1
a b b c c a
.
Mặt khác:

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 9
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
+

< <

+ + + +

+

< <

+ + + +

+

< <

+ + + +

a c a a c
a b c a b a b c
b a b b a
b c a b c a b c
c b c b c
c a b c a a b c

+ + <
+ + +
a b c
2
a b b c c a
.
Vậy:
< + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Bài 5
Cho a, b, c, d R
+
. CMR:
< + + + <
+ + + + + + + +
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b

Giải


< <

+ + + + + +


< <

+ + + + + +


< <

+ + + + + +


< <
+ + + + + +
a a a
a b c d a b c a c
c c c
1
a b c d c d a c a
b b b 2
a b c d b c d b d
d d d
a b c d d a b d b

< + + + <
+ + + + + + + +
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
Bài 6
Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Giải
*/ CM: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
, nhân cả hai vế với 2 ta có:
2ab + 2bc + 2ca 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
(a-b)
2
+ (a-c)

2
+ (b-c)
2
0, đúng (đpcm)
*/ CM: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca), Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên ta có:
a < b + c a
2
< ab + ac
b < a + c b
2
< ab + bc
c < a + b c
2
< ac + bc
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
Vậy: ab + bc + ca a
2
+ b

2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
Bài 7
Chứng minh rằng:

+
4
2 ab
ab
a b
với a > 0, b > 0.
Giải

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 10
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
( )
+
+ +
2
4 4 4 4
4
2 1 2 ab

a b 0 a b 2 ab ab
a b ab a b
.
III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân)
*/ Với 2 số thực a, b không âm ta có:
+

a b
ab
2
, dấu bằng xảy ra a = b.
*/ Với 3 số thực a, b, c không âm ta có:
+ +

3
a b c
abc
3
, dấu bằng xảy ra a = b = c.
*/ Với n số thực a
1
, a
2
, a
n
không âm ta có:
+ + +

1 2 n
n

1 2 n
a a a
a a a
n
, dấu bằng xảy ra a
1
= a
2
= = a
n
.
IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
*/ với 4 số thực a, b, c, d ta có:
(ab + cd)
2
(a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
), dấu bằng xảy ra
=
a c
b d
.
*/ Với 6 số thực a, b, c, d, e, f ta có:
(ab + cd + ef)

2
(a
2
+ c
2
+ e
2
)(b
2
+ d
2
+ f
2
), dấu bằng xảy ra
= =
a c e
b d f
.
*/ với n cặp số thực a
1
, a
2
, a
n
, b
1
, b
2
, b
n

ta có:
(a
1
b
1
+a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
n
)(b
1
2
+ b
2
2

+ + b
n
n
).
Dấu bằng xảy ra
= = =
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
.
Bài 8
Cho x, y, z là các số dơng, Chứng minh rằng:
a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/
+
+
1 1 4
x y x y
.
c/
+ +
+ +
1 1 1 9
x y z x y z
.
Giải

-

Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 11
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
a/

+


+


+


x y 2 xy
y z 2 yz
z x 2 xz
(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/
+ + +
+
1 1 4 1 1
(x y)( ) 4
x y x y x y
mà

+


+


x y 2 xy
1 1 2
x y
xy

+ +
1 1
(x y)( ) 4
x y
.
c/
+ + + + + +
+ +
1 1 1 9 1 1 1
(x y z)( ) 9
x y z x y z x y z
. (làm tơng tự)
B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1
Tìm giá trị lớn nhất của: P =
+
+
2
2

2x 4x 5
x 2x 2
Giải
Ta có:
P =
+ + +
= = + = +
+ + + +
2 2
2 2 2 2
2x 4x 5 2(x 2x 2) 1 1 1
2 2
x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1
P lớn nhất
+
+
2
1
2
(x 1) 1
lớn nhất, muốn vậy (x

- 1)
2
+ 1 phải nhỏ nhất
mà (x

- 1)
2
+ 1 1 (x

- 1)
2
+ 1 nhỏ nhất bằng 1 x = 1. Khi đó P = 3
Vậy P
max
= 3 x = 1.
Bài 2
Cho x
2
+ y
2
= 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = x + y
Giải
Từ (x - y)
2
0 x
2
+ y
2
2xy 2(x
2
+ y
2
) x
2
+ 2xy + y
2
= (x + y)
2

Vậy 2 (x

+ y)
2

+
2 x y 2

P
max
=
2
x = y =
2
2
; P
min
= -
2
x = y = -
2
2
Bài 3
Cho x, y > 0 và x + y = 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =

2 2
1 1
(1 )(1 )
x y
Giải

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 12
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
P =
+ + + +
= = =
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 (x 1)(y 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) xy(x 1)(y 1)
(1 )(1 )
x y x y x y x y
=
+ + + + + + +
= = = +
2 2
xy(x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x y xy 1 2
1
x y xy xy xy
. (thay x - 1 = - y, y - 1 = - x)
ta có P nhỏ nhất
xy
2
nhỏ nhất xy lớn nhất.
Mà xy = x(1 - x) = - x

2
+ x = -(x - 1/2)
2
+ 1/4 1/4 xy lớn nhất = 1/4 khi x = 1/2 y = 1/2
Vậy P
min
=
+ =
2
1 9
1 1
.
2 2
khi x = y = 1/2.
Bài 4
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P =
+
+
2 2
4
(x 1)
x 1
Giải
P =
+ + +
= = +
+ + +
2 2 4 2 2
4 4 4
(x 1) x 2x 1 2x

1
x 1 x 1 x 1
Do (x
2
- 1)
2
0 x
4
+ 1 2x
2


+
2
4
2x
1
x 1
P 2 P
max
= 2 x = 1.
Do 2x
2
0, x
4
+ 1 1

+
2
4

2x
0
x 1
P 1 P
min
= 1
=
+
2
4
2x
0
x 1
x = 0.
Bài 5
Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của; P =
+ +
(x a)(x b)
x
, với x > 0.
Giải
Ta có:
P =
+ + + + +
= = = + + + +
2
(x a)(x b) x ax bx ab ab
a b x P a b 2 ab
x x x
.

Vậy P
min
=
+ +
a b 2 ab
, dấu bằn xảy ra
= =
ab
x x ab
x
.
Bài 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =
+ + + +
2 2
1 4x 4x 4x 12x 9
Giải
Ta có:

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 13
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
P =
( ) ( )
+ + + + = + + = + +

2 2
2 2
1 4x 4x 4x 12x 9 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x
(1 + 2x) + (3 - 2x) = 4
áp dụng a + b = a + b ab 0. Vậy P
min
= 4 (1 + 2x)(3 - 2x) 0
-1/2 x 3/2.
BTVN
Bài 1
a/ Tìm giá trị lớn nhất của: P = 5 - 8x - x
2
.
b/ Tìm giá tị nhỏ nhất của: P = 4x
2
- 4x + 11.
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = x - 5 + x- 10.
Hỡng dẫn
Ta có: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x (x - 5) + (10 - x) = 5
áp dụng a + b = a + b ab 0. Vậy P
min
= 5 (x - 5)(10 - x) 0
5 x 10.
Bài 2
Cho x, y R, Chứng minh rằng: x
2
+ y
2
+ 1 xy + x + y.
Bài 3

Cho a, b, c, d R
+
.
Chững minh rằng :
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
a b b c c d d a
2 3
a b c b c d c d a d a b
.

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 14
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chuyên đề 3:
Biến đổi căn thức
A/ Biến đổi căn thức
I/ Kiến thức cơ bản
*/


= =

<

2
A nếu A 0
A A
A nếu A 0
*/
= =
1 2 n 1 2 n
ab a. b (a 0,b 0) / a a a a a a
*/
= >
a a
(a 0,b 0)
b
b
*/
=
2
a b a b (b 0)
Trục căn thức ở mẫu
*/
=
a a b
b
b
, (b > 0).
*/
+
= =

+
m m( a b) m m( a b)
,
a b a b
a b a b
II/ Bài tập
Bài 1
Tính giá trị các biểu thức sau:
a/ A =

6 48 2 27 4 75
b/ B =
+
1
48 2 75 108 147
7
Giải
a/ Ta có: A =
= = =
6 48 2 27 4 75 6 16.3 2 9.3 4 25.3 24 3 6 3 20 3 2 3
b/ Ta có: B =
+ = + =
1 1
48 2 75 108 147 4 3 2.5 3 6 3 .7 3 3
7 7
Bài 2
Trục căn thức ở mẫu:
a/ A =
+
+

1 1
5 2 5 2
b/ B =
+ + +
4
3 5 2 2 5
c/ C =
+ +
3 3
2
2 2 2 4
Giải
a/ A =
+
+ = + =
+
1 1 5 2 5 2 2 5
3 3 3
5 2 5 2

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 15
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
b/ B =
+ + + +

= = =
+ + +
+ + +
2
4 4(3 5 2 2 5) 3 5 2 2 5
(3 5) (2 2 5) 3 5
3 5 2 2 5

+ + +
= =
2
(3 5)(3 5 2 2 5) 4 (3 5) (2 2 5)
4 4
c/ Đặt
=
3
2 a
C =

= = = = =
+ + + +
+ +
3 2
3 3
4 3 2 2 3
3 3
2 a a a(a 1) a a
4 2
a a a a a 1 a 1 2 1
2 2 2 4

Bài 3
Rút gọn biểu thức chứa căn:
a/ A =
+
15 6 6 33 12 6
b/ B =
+
8 2 15 8 2 15
c/ C =
+
4 7 4 7
d/ D =
+ + + +
4 10 2 5 4 10 2 5
e/ E =
+ +
4 4
49 20 6 49 20 6
f/ F =
+ + + +
+ + + +
1 1 1 1

1 5 5 9 9 13 2001 2005
Giải
a/ A =
+ = + + + =
15 6 6 33 12 6 9 6 6 6 9 12 6 24
= + + = + + =
2 2

(3 6) (3 2 6) 3 6 2 6 3 3 6.
b/ B =
+ = + + + =
8 2 15 8 2 15 5 2 15 3 5 2 15 3
+ = + =
2 2
( 5 3) ( 5 3) 5 3 ( 5 3) 2 3.
c/ C =
+ + + +
+ = =
8 2 7 8 2 7 7 2 7 1 7 2 7 1
4 7 4 7
2 2 2 2
+ +
= = =
2 2
( 7 1) ( 7 1) 7 1 7 1
2.
2 2
2 2
d/ Do D > 0 nên D =
2
D
D
2
=

+ + + + = + + + +
ữ

2
4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 (4 10 2 5 )(4 10 2 5 )
= + = + + = + = + = +
2
8 2 6 2 5 8 2 5 2 5 1 8 2 ( 5 1) 8 2 5 2 6 2 5

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 16
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Vậy: D =
+ = + = +
2
6 2 5 ( 5 1) 5 1
e/ Ta có:
+ = + + = + = + = +
2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)

= + = = =
2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)
Vậy E =
+ + =
3 2 3 2 2 3.
f/ F =

+ + + + =
5 1 9 5 13 9 2005 2001 2005 1

4 4 4 4 4
.
Bài 4
Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A =
+ +
x 4 x 4 x 4 x 4
b/ B =
+
2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1
c/ C =
+ +
2 2
2x 1 2 x x 2x 1 2 x x
Giải
a/ A =
+ + = + + + +
x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4
= + + = + +
2 2
( x 4 2) ( x 4 2) x 4 2 x 4 2
Nếu
x 4 2 x 4 4 x 8
thì A =
+x 4 2

+
= x 4 2 2. x 4
.
Nếu
< < < < < <
0 x 4 2 0 x 4 4 0 x 8
thì A =
+
x 4 2
-
+ =
x 4 2 4
.
Vậy: A =




< <


2. x 4 nếu x 8
4 nếu 0 x 8
.
b/ B =
+ = + +
2 2 2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 1
-
+

2 2
x 1 2 x 1 1
-
+ = +
2 2 2 2 2 2
( x 1 1) ( x 1 1) x 1 1 x 1 1
Nếu

2 2
x 1 1 0 x 2 x 2 x 2
thì B = 2.
Nếu
< < < <
2 2
x 1 1 0 x 2 2 x 2
thì B = 2.

2
x 1
.
Vậy: B =




< <


2
2 nếu x 2 x 2

2. x 1 nếu 2 x 2
.
c/ C =
+ +
2 2
2x 1 2 x x 2x 1 2 x x
=
+ + + +
2 2
x 1 2 x x x x 1 2 x x x
=
+ + = + + =
2 2
( x 1 x) ( x 1 x) x 1 x x x 1 2 x.

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 17
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Bài 5
Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa và rút gọn:
a/
+ +

2
x 2 x 1 x 2 x 1 1
(1 )
x 1
x 4(x 1)
b/


+
3
1 1 x x
x x 1 x x 1 1 x
c/
+
+ +
2
1 x 1
:
x x x x x x
d/
+ +

+ +
2 x x 1 x 2
( ) :
x x 1 x 1 x x 1
e/
+
+ +
+ +

x 2 x 1 x 1
( ) :
2
x x 1 x x 1 1 x
Giải
a/ ĐK:
> >
>




+ > >


2 2
x 1 x 1
x 1
x 2
x 4x 4 0 (x 2) 0
.
A =
+ + + +
=


2 2
2 2
x 2 x 1 x 2 x 1 1 ( x 1 1) ( x 1 1) x 2
(1 ) .

x 1 x 1
x 4(x 1) (x 2)

=


2
2 x 2
.
x 1
(x 2)
.
Nếu x > 2 A =
=

2
x 1
Nếu 1< x < 2 A =
=

2
1 x
Vậy: A =

>

< <


2
nếu x 2
x 1
2
nếu 1 x 2
1 x
b/ ĐK:


>



x 1
x 1
x 1 0
.
B =
+
=
+
3
1 1 x x x x 1 x x 1 x( x 1)
1 1
x x 1 x x 1 1 x 1 x
=
+ =

2 x 1 x x 2 x 1
.

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 18
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
c/




>





+ +



+

2
x 0

x x 0
x 0
x 1
x x x x 0
x 1 0
.
Đặt
= =
2
x a x a
C =
+ + + + +
= =
+ +
+ +
3 2 2
4 3
2
1 x 1 1 a a a a(a a 1)
:
a a a 1 a(a 1)(a 1)
x x x x x x
=
+ +
= =
+ + +
2
2 2
a a 1 1 1
(a 1)(a a 1)(a 1) a 1 x 1

.
d/ ĐK:












x 0
x 0
x 1 0
x 1
x x 1 0
.
Đặt
= =
2
x a x a
D =
+ + + + +
=
+
+ +
2 2

3
2 x x 1 x 2 2a a 1 a a 1
( ) : ( )( )
a 1 a 1 a 2
x x 1 x 1 x x 1
=
+ + + + + +
= = =
+ + + + +
+
2 2
2
a(a 2) (a a 1) a a 1 a 1 1 1
.
(a 1)(a a 1) a 2 (a 1)(a 2) a 2
x 2
.
e/ ĐK:

x 0
x 0
x x 1 0
x 1
1 x 0
Đặt
= =
2
x a x a

E =
+ +
+ + = +
+ +
+ +
2
3 2
x 2 x 1 x 1 a 2 a 1 2
( ) : ( )
2 a 1 a a 1 a 1 a 1
x x 1 x x 1 1 x
=
+ + + + +
= = =
+ + + + + +
+ +
2 2 2
2 2 2
a 2 a(a 1) (a a 1) 2 a 2a 1 2 2 2
(a 1)(a a 1) a 1 (a 1)(a a 1) a 1 a a 1

x x 1
.
Bài 6
Chứng minh rằng các biểu thức sau là một số nguyên.
a/ A =
+ + +
4 5 3 5 48 10 7 4 3
b/ B =
+ + +
( 3 1) 6 2 2 3 2 12 18 128

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 19
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
c/ C =
+ +

2 3 5 13 48
6 2
Giải
a/ Ta có:
+ = + + = + =
2
7 4 3 (2 3) 10 7 4 3 10(2 3) 20 10 3
+ = = =

+ = =
2
48 10 7 4 3 48 20 10 3 28 10 3 (5 3)
5 48 10 7 4 3 5(5 3) 25 5 3
Vậy A =
+ =
4 5 3
.
b/ Ta có:
= =
2
18 128 18 8 2 (4 2)
+ + = + + = + = +
2
2 12 18 128 2 12 4 2 4 2 3 ( 3 1)
+ + = + = + = + = +6 2 2 3 ( 3 1) 6 2 4 2 3 6 2( 3 1) 4 2 3 3 1
Vậy: B =
+ = =
( 3 1)( 3 1) 3 1 2
.
c/ Ta có:
+ = + = + + = + + = +
2
13 48 13 4 3 12 4 3 1 (2 3 1) 13 4 3 2 3 1
+ = = = + =
2
5 13 48 5 2 3 1 4 2 3 ( 3 1) 5 13 48 3 1
+ + = + + = + + + =3 5 13 48 3 3 1 2 3 2 3 5 13 48
+ = + = + =
2

2 2 3 8 4 3 ( 6 2) C 1.
BTVN
Bài 1
Rút gọn biểu thức chứa căn.
a/ A =
+
4 15 4 15 2 3 5
b/ B =

5 3 29 12 5
c/ C =
+

(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
9 3 11 2
d/ D =
+ + +
+ + +
1 1 1

2 3 3 4 1998 1999
Bài 2
Trục căn thức ở mẫu.
a/ A =
+
3 3
6
2 2 2 4
b/ B =
+ +

3 3
2
4 2 2

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 20
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chuyên đề 4
Phơng trình bậc nhất - Đồ thị hàm số bậc nhất - Hệ phơng trình
bậc nhất
I/ Phơng trình bậc nhất
ĐN: Là phơng trình có dạng: ax + b = 0, trong đó a, b là các số thực, x là ẩn.
Cách giải:
Phơng trình ax = -b.
Nếu a 0 x = -b/a
Nếu a = 0 0x = -b
Nếu b = 0 PT vô số nghiệm
Nếu b 0 PT vô nghiệm
II/ Bài tập
Bài 1
Giải và biện luận các phơng trình sau:
a/ mx + 2(x - m) = (m + 1)
2
+ 3 (1) b/ 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1) (2)
c/ m

2
(x + 1) = x + m (3) d/

+ =

x m x 3
2
x 2 x
(4)
Giải
a/ (1) (m + 2)x = m
2
+ 4m + 4 (m + 2)x = (m + 2)
2
Nếu m + 2 0 m -2 phơng trình có nghiệm: x = m + 2.
Nếu m + 2 = 0 m = -2 0x = 0 0 phơng trình có vô số nghiệm x R.
b/ (2) (3m + 1)x = 5m + 1
Nếu 3m + 1 0 m -1/3 phơng trình có nghiệm:
+
=
+
5m 1
x
3m 1
Nếu 3m + 1 = 0 m = -1/3 phơng trình có dạng: 0x = -2/3 PTVN.
c/ (3) (m
2
- 1)x = m - m
2
(m

2
- 1)x = m(1 - m).
Nếu m
2
- 1 0 phơng trình có nghiệm:
=
+
m
x
m 1
Nếu m
2
- 1 = 0 m = 1.
Nếu m = 1 PT có dạng: 0x = 0 PT có VSN
Nếu m = -1 PT có dạng: 0x = -2 PTVN
d/ ĐK: x 0 và x 2.

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 21
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
(4) x(x - m) + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 2) (m + 1)x = 6
Nếu m + 1 = 0 m = -1 (4) có dạng: 0x = 6 PTVN
Nếu m + 1 0 m -1 (4)
=
+

6
x 0
m 1
(Do ĐK m 2

+
6
2 m 2
m 1
)
Kết luận: Nếu m -1 m 2 phơng trình có nghiệm:
=
+
6
x
m 1
Nếu m = -1 m = 2 phơng trình vô nghiệm.
Bài 2
Cho phơng trình: (m + 1)
2
x + 1 - m = (7m - 5)x. (1)
a/ Tìm m để phơng trình vô nghiệm b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
Giải
(1) ( m
2
- 5m + 6)x = m - 1 (m - 2)(m + 3)x = m - 1.
a/ Phơng trình vô nghiệm
+ =

= =

(m 2)(m 3) 0
m 2 m 3.
m 1 0
b/ phơng trình có nghiệm (m - 2)(m + 3) 0 m 2 m -3.
III/ Hệ phơng trình bậc nhất
Bài 3
Cho hệ phơng rình:
+ =


+ =

2x my 1 (1)
mx 2y 1 (2)
.
a/ Giải hệ khi m = 1
b/ Giải và biện luận hệ phơng trình
c/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên
d/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng
Giải
a/ khi m = 1 ta có hệ
+ = + = = =



+ = + = + = =

2x y 1 4x 2y 2 3x 1 x 1 3
x 2y 1 x 2y 1 x 2y 1 y 1 3
b/ Từ (1) và (2) 2x + my = mx + 2y (m - 2)(x - y) = 0.
Nếu m = 2 hệ vô số nghiệm
Nếu m 2 x = y thay vào phơng trình (1) ta có: (m + 2)x = 1.
Nếu m = -2 hệ vô nghiệm
Nếu m -2 hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2)

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 22
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
c/ khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2). Nghiệm này là số nguyên
1/(m + 2) là số nguyên
+ = =



+ = =

m 2 1 m 1
m 2 1 m 3
.
d/ / khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2). Nghiệm này là số
nguyên dơng 1/(m + 2) là số nguyên dơng m + 2 là ớc số nguyên dơng của 1 m + 2 =
1 m = -1.

Bài 4
Cho hệ phơng rình:
=


= +

(m 1)x my 3m 1 (1)
2x y m 5 (2)
a/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = xy đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Từ (2) y = 2x - m - 5 thay vào (1) (m - 1)x - 2mx + m
2
+ 5m = 3m -1
(m + 1)x = m
2
+ 2m + 1 (m + 1)x = (m + 1)
2
.
Hệ có nghiệm duy nhất m -1, khi đó: x = m + 1, y = m - 3.
a/ S = x
2
+ y
2
= (m+1)

2
+ (m-3)
2
= 2m
2
- 4m + 10 = 2(m - 1)
2
+ 8. S
min
= 8 m = 1.
b/ P = xy = (m + 1)(m - 3) = m
2
-2m -3 = (m - 1)
2
- 4. P
min
= -4 m = 1.
Bài 5
Giải hệ phơng trình:
+

+ =



+

+ =

x y 2x y
7 (1)
7 17
4x y y 7
15 (2)
5 19
Giải
(1) 17(x - y) + 7(2x + y) = 7.7.17 31x - 10y =833.
(2) 19(4x + y) + 5(y - 7) = 19.5.15 19x + 6y = 365.
Vậy hệ phơng trình
= = =



+ = + = =

31x 10y 833 93x 30y 2499 x 23
19x 6y 365 95x 30y 1825 y 12
.
Bài 6
Giải hệ phơng trình:
+ + =


+ + =


+ + =

x y z 1 (1)

x 2y 4z 8 (2)
x 3y 9z 27 (3)
Giải

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 23
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Hệ:
+ + = + + = + + = =


+ + = + = + = =


+ + = + = = =

x y z 1 x y z 1 x y z 1 x 6
x 2y 4z 8 y 3z 7 y 3z 7 y 11
x 3y 9z 27 y 5z 19 2z 12 z 6
IV/ Đồ thị hàm số bậc nhất
Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là đờng thẳng đi qua hai điểm A(0;b) và B(-b/a; 0).
Bài 7
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = 2x - 1 b/ y =
x 1

c/ y =
+
2
2 x 2x 1
d/ y =
+ + x 1 x 2
e/
+ =x y 1
BTVN
Bài 1 Giải và biện luận các phơng trình sau:
a/ m
2
x = 9x + m
2
- 4m + 3 b/
+
+ =
+
x m x 2
2
x 1 x
Bài 2 Cho hệ phơng trình:
+ =


=

x my 2
mx 2y 1
.

a/ Giải hệ khi m = 2
b/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên
c/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0
Bài 3 Vẽ đồ thị các hàm số: a/ y = 2x - x + 3 b/ y = x - 1 - x + 2
Bài 4 Giải hệ phơng trình:
+ + =


+ + =


+ + =

x 2y 3z 11
2x 3y z 2
3x y 2z 3
Hỡng dẫn Cộng 3 phơng trình ta có: x + y + z = 2. x = -2, y = -1, z = 5.
Bài 5 Giải hệ phơng trình:

+ =

+


=



=
+

3
z 2 (1)
2x y
2y 3z 4 (2)
2 3
y (3)
2x y 2
Hỡng dẫn Đặt t =
+
1
2x y
thay vào (1) và (3) ta có:
+ =



=


3t z 2
3
2t y
2
2z + 3y = -1/2 (4).
Từ (2) và (4) ta đực: x = 1/4, y = 1/2, z = -1.

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1

0

-: 0972946242

Trang 24
Không có học sinh học kém mà chỉ có học sinh học cha đúng phơng pháp
Chuyên đề 5
Phơng trình bậc 2, định lý viét - Phơng trình bậc cao
I/ Phơng trình bậc 2
ĐN: Phơng trình bậc 2 là phơng rình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0. (a 0)
Trong đó: a, b, c là các số thực, x là ẩn.
Cách giải:
Tính biệt thức = b
2
- 4ac
Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm.
Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép: x = -b/2a.
Nếu > 0 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
+
= =
1 2
b b
x ; x
4a 4a
Chú ý: Nếu b = 2b
'
thì có thể tính

'
= b
'2
- ac
Nếu

'
< 0

phơng trình vô nghiệm.
Nếu

'
= 0

phơng trình có nghiệm kép: x = -b
'
/a.
Nếu

'
> 0

phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
+
= =
' ' ' '
1 2
b b
x ; x

2a 2a
II/ Định lý Viét
Nếu phơng trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt hoặc không thì ta có:
S = x
1
+ x
2
= -b/a; P = x
1
x
2
= c/a.
Chú ý:
Nếu phơng trình bậc 2 có a + b + c = 0 thì x
1
= 1; x
2
= c/a.
Nếu phơng trình bậc 2 có a - b + c = 0 thì x
1
=-1; x
2
= -c/a.
III/ Bài tập
Bài 1
Cho phơng trình: x
2
- 4x + m + 1 = 0.
a/ Giải phng trình khi m = 2
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm

c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
3
+ x
2
3
= 34
Giải
a/ Khi m = 2 PT x
2
- 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 x
1
= 1, x
2
= 3.

b/
'
= 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm 3 - m 0 m 3.

-
Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 1
0

-: 0972946242

Trang 25