bai toan dung hinh.

Trang 1
LỜI NÓI ĐẦU
Dựng hình là một dạng bài tập khó đối với hoc sinh THCS.Thông thường các
em chưa hiểu một cách đầy đủ về các kiến thức cơ bản, các suy luận để giải một
bài toán dựng hình. Còn đối với sinh viên sắp vào nghề cũng gặp khó khăn trong
việc hướng dẫn, gợi ý giúp học sinh tìm ra các yếu tố có liên quan để dựng được
hình thoả mãn yêu cầu bài toán. Vì vậy chúng tôi làm bài tiểu luận này với hy
vọng giúp cho các em hiểu rõ hơn cách giải một bài toán dựng hình qua một số
ví dụ cụ thể và mong góp một phần nhỏ cho các bạn sinh viên sư phạm toán sắp
ra trường có thêm tư liệu để làm tốt công việc giảng dạy. Chúng tôi thực hiện
tiểu này với cả sự cố gắng, tìm tòi, tham khảo ý kiến của một số thầy cô bậc
trung học cơ sở và các tư liệu có liên quan. Đồng thời có trình bày thêm những
quan điểm nhận xét riêng của mình.
Phần tiểu luận gồm hai chương:
Chương I : Kiến thức cơ bản về dựng hình.
- Thế nào là dựng một hình, thế nào là một hình được dựng.
- Các phép dựng hình cơ bản bằng thước và compa.
- Các bài toàn dựng hình cơ bản
- Các bước giải một bài toán dựng hình.
- Dựng hình bằng các dụng cụ khác.
Chương II: Các phương pháp dựng hình bằng thước và compa.
- Điều kiện giải được các bài toán dựng hình bằng thước và compa
- Giải các bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao.
- Giải các bài toán dựng hình bằng phương pháp biến hình.
- Các bài tập dựng hình bằng phương pháp tương giao, bằng phương pháp biến
hình và hướng dẫn giải.
Hệ thống bài tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ lớp 6 đến lớp 9, phần
hướng dẫn được trình bày rõ ràng, cụ thể có phần mở rộng, phát triển và một vài
đề nghị nhỏ đối với người dạy và học sinh
Lần đầu tiên làm bài tập tiểu luận chắc rằng chúng tôi khó tránh khỏi những
thiếu sót và hạn chế, mong các thầy cô cùng các bạn nghiên cứu đóng góp ý

kiến , để chúng tôi hoàn chỉnh , khắc phục những khuyết điểm và lấy nó làm
kinh nghiệm cho việc dạy học. Xin cảm ơn thầy cô giáo hướng dẫn giúp đỡ
chúng em hoàn thành phần tiểu luận này. Cảm ơn tất cả c ác bạn sinh viên trong
lớp đã đọc và nghiên cứu phần tiểu luận. Mong rằng, sẽ giúp các bạn nắm vững
được phần nào mấu chốt các bài tập.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 2
MỤC LỤC
Lời nói đầu. trang 1.
Nội dung chính của tiểu luận. trang 3.
Chương 1: Kiến thức cơ bản về dựng hình. trang 5.
Thế nào là dựng một hình , thế nào là một hình được dựng . trang 5.
Các phép dựng hình cơ bản bằng thước và compa. trang 5.
Các bài tập dựng hình cơ bản. trang 5.
Các bước giải bài toán dựng hình. trang 7.
Dựng hình bằng các dụng cụ khác. trang 9.
. Chương 2: Phương pháp dựng hình bằng thước và compa. trang 10.
Điều kiện giải được một bài toán dựng hình bằng thước và compa. trang 10.
Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao. trang 10.
Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp biến hình. trang 15.
Các bài tập áp dụng. trang 23.
Các bài tập dựng hình bằng phương pháp tương giao. trang 24.
Các bài tập dựng hình bằng phương pháp biến hình . trang 25.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 3
NỘI DUNG CHÍNH CỦA TIỂU LUẬN.
- Tiểu luận này hệ thống lại các kiến thức cơ bản về dựng hình, các bài tập
cơ bản về dựng hình bằng phương pháp tương giao, phương pháp biến hình. Ở
sau mỗi bài tập chúng tôi có nhận xét, đưa ra những đề nghị, bài tập mở rộng
giúp sinh viên sư phạm khi đi thực tập và bắt đầu bước vào nghề có thể lưu ý

hơn trong cách dạy, rèn luyện tư duy cho học sinh. Đồng thời giúp cho học sinh
tránh được những khó khăn, sai lầm trong quá trình làm bài tập dựng hình.
-Nội dung nghiên cứu :
Tiểu luận gồm hai chương:
Chương I: Các kiến thức cơ bản về dựng hình.
Chương II: Các phương pháp dựng hình bằng thước và compa
2.1 Dựng hình bằng phương pháp tương giao: Các ví dụ
từ đó nhận xét, khuyến cáo, mở rộng, rèn luyện tư duy
cho học sinh.
2.2 Dựng hình bằng phương pháp biến hình: Các ví dụ từ
đó nhận xét, khuyến cáo, mở rộng, rèn luyện tư duy cho
hoc sinh .
2.3 Các bài tập áp dụng và hướng dẫn giải có nhận xét
khuyến cáo.
- Kết quả nghiên cứu:
Kiến thức về dựng hình ở cấp trung học cơ sở không được sách giáo khoa
đi sâu về lý thuyết và bài tập. Đây là dạng bài tập khó. Sách giáo khoa đã đưa ra
một số bài tập cơ bản, đơn giản. Bước đầu cho các em làm quen với dựng hình.
Các bài tập về dựng hình có tác dụng tốt trong việc phát triển khả năng phân
tích, suy luận, dự đoán các khả năng xảy ra và rèn luyện tư duy sáng tạo của hoc
sinh. Vì vậy trong tiêủ luận này, chúng tôi xin trình bày rõ ràng, chi tiết các kiến
thức cơ bản về dựng hình:
1. Thế nào là dựng một hình, thế nào là một hình được dựng.
2. Các phép dựng hình cơ bản bằng thước và compa ( 5 tiên đề về dựng
hình ).
3. Các bài tâp dựng hình cơ bản (25 bài tập).
4. Các bước giải và dạy bài toán dựng hình ( thường 4 bước).
5. Dựng hình bằng các dụng cụ khác ( êke, thước chia độ ).
6. Lý do dựng hình bằng thước và compa.
7. Cơ sở lý thuyết của dựng hình bằng phương pháp tương giao và 5 ví dụ

cụ thể có nhận xét, mở rộng.
8.Cơ sở lý thuyết của dựng hình bằng phương pháp biến hình và 5 ví dụ cụ
thể có nhận xét, mở rộng.
9. Có 7 bài tập áp dụng 2 phương pháp dựng hình trên.
Những ví dụ và bài tập mà chúng tôi lựa chọn trình bày, đều mang tính chủ
quan, nó chưa đặc trưng hết những gì chúng tôi muốn nói. Chúng tôi nghĩ rằng
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 4
người đọc có thể tìm thêm những cách giải khác tốt hơn và hay hơn. Dù vậy, v
ới lòng mong mỏi được tập dượt nghiên cứu . Chúng tôi mạnh dạn thực hiện ti
ểu luận này. Do lần đầu thực hiện công việc nghiên cứu, chắc chắn sẽ không tr
ánh khỏi những nhận xét chủ quan. Kính mong quí thầy cô và các bạn góp ý.
Xin chân thành cảm ơn.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 5
CHƯƠNG I
KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DỰNG HÌNH
1.1 THẾ NÀO LÀ DỰNG MỘT HÌNH, THẾ NÀO LÀ MỘT HÌNH ĐƯỢC
DỰNG:
1.1.1 Thế nào là dựng một hình ;
Dựng một hình H là chỉ rõ một dãy thứ tự hữu hạn ,các phép cơ bản
dựng hình cơ bản để tạo ra hình ấy.
1.1.2 Thế nào là một hình được dựng;
Một hình H gọi là được dựng nếu ta đã chỉ rõ được một dãy thứ tự, hữu
hạn,các phép dựng hình cơ bản để tạo ra hình ấy.
Chú ý: Ta cần phân biệt được việc vẽ hình mà chúng ta thường làm
trước đây với dựng hình mới vừa nêu trên.
- Vẽ hình là ta có thể sử dụng bất kỳ dụng cụ nào ( thước kẻ, compa,
êke, thước đo góc ) để vẽ hình ấy trên giấy.
- Dựng hình là ta phải nêu được một dãy thứ tự, các phép dựng hình cơ

bản để tạo ra hình ấy chỉ với hai dụng cụ là thước kẻ và compa.
1.2 CÁC PHÉP DỰNG HÌNH CƠ BẢN BẰNG THƯỚCVÀ COMPA:
1) Các hình đã cho là dựng được.
2) Đường thẳng đi qua hai điểm dựng được là dựng được (tiên đề về
thước)
3) Đường tròn (hoặc cung tròn) có tâm dựng được và bán kính bằng đoạn
thẳng dựng được là dựng được (tiên đề về compa).
4) Giao điểm (nếu có) của hai hình dựng được (của hai đường thẳng, của
đường thẳng với đường tròn, của hai đường tròn ) là dựng được.
5) Những điểm tuỳ ý trên mặt phẳng thuộc hay không thuộc hình đã dựng
là dựng được.
1.3 CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH CƠ BẢN:
Có nhiều bài toán dựng hình cơ bản, song chúng ta có thể sắp xếp lại và
phân ra các loại sau:
1.3.1 Liên quan đường thẳng:
1) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng đã cho.
2) Dựng một góc bằng một góc đã cho.
3) Dựng một đoạn thẳng bằng tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng đã cho.
4) Dựng một góc bằng tổng (hiệu) của hai góc đã cho.
5) Tìm trung điểm của một đoạn thẳng đã cho.
6) Dựng đường phân giác của một góc đã cho.
7) Dựng trung trực của đoạn thẳng đã cho.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 6
8) Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và song song với một
đường thẳng khác đã cho.
9) Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và vuông góc với một
đường thẳng đã cho.
10) Dựng tam giác biết ba cạnh .
11) Dựng tam giác biết hai cạnh và góc nằm giữa.

12) Dựng tam giác một cạnh kề hai góc.
13) Dựng tam giác vuông biết cạnh huyền và cạnh góc vuông.
14) Dựng tam giác vuông biết cạnh góc vuông và góc nhọn
15) Dựng đoạn thẳng mà bình phương của nó bằng tổng (hiệu) các bình
phương của hai đoạn đẳng đã cho.
1.3.2 Liên quan đường tròn:
16) Dựng tiếp tuyến của hai đường tròn cho trước.
17) Dựng cung chứa góc α cho trước có hai điểm mút là A và B.
18) Chia đôi một cung đã cho.
19) Từ một điểm cho trước ở ngoài hoặc ở trên đường tròn, vẽ tiếp tuyến
của đường tròn đó.
20) Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.
21) Dựng đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
22) Lấy một đoạn thẳng làm đường kính, dựng một đường tròn.
1.3.3 Liên quan tỷ lệ:
23) Chia đoạn thẳng thành những phần tỷ lệ với những đoạn thẳng đã cho.
24) Dựng đoạn thẳng trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước.
25) Cho ba đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng thứ tư.
Ví dụ: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy dựng đường tròn nội
tiếp tam giác ABC.
Giải:
1) - Dựng điểm A( phép dựng hình cơ bản 1 và 5).
- Dựng điểm B (phép dựng hình cơ bản 1 và 5)
- Dựng điểm C ) phép dựng hình cơ bản 1 và 5).
2) - Dựng đoạn thẳng AB (phép dựng hình cơ bản 2).
- Dựng đoạn thẳng AC (phép dựng hình cơ bản 2).
- Dựng đoạn thẳng BC(phép dựng hình cơ bản 2).
3)- Dựng đường phân giác d của góc ABC (bài toàn dựng hình cơ
bản 6)
- Dựng đường phân giác d' của góc BAC (bài toán dựng hình cơ

bản 6)
4) - Dựng giao điểm O của d và d' (phép dựng hình cơ bản 4).
5) - Dựng đường tròn tâm O , bán kính OA (phép dựng hình cơ bản
3).
Đường tròn ( O,OA) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 7

A

O

B d' C
1.4 CÁC BƯỚC GIẢI VÀ DẠY BÀI TOÁN DỰNG HÌNH :
Nghiệm của bài toán dựng hình là hình thỏa mãn tất cả các điều kiện của
bài toán đó.
Giải một bài toán dựng hình là tìm tất cả các nghiệm của nó.
Sơ đồ giải một bài toán dựng hình thông thường gồm 4 bước:phân tích,
cách dựng, chứng minh, biện luận.
Bước 1: phân tích:
- Giả sử đã dựng được hình thoã mãn các yêu cầu bài toán.
- Tìm ra các bộ phận của hình đã dựng được ngay ( có thể vẽ thêm hình
phụ ).
- Đưa việc dựng các yếu tố còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các
bài toán dựng hình cơ bản đã biết.
Bước 2: cách dựng:
- Dựa vào kết quả của phần phân tích, ta trình bày trình tự các phép dựng
hình cơ bản để tạo ra hình cần dựng.
Bước 3: chứng minh:
- Chứng minh rằng với cách dựng như trên, hình đã dựng được thoã

mãn các yêu cầu bài toán.
Bước 4: biện luận:
- Kiểm tra lại xem với những điều kiện nào của các giả thiết thì bài toán
giải được và khi giải được thì có bao nhiêu hình dựng được gọi là số
nghiệm hình.
- Biện luận phải theo sát từng bước:
+ Nếu bài toán không qui định vị trí của hình phải tìm đối với hình
đã cho thì những hình bằng nhau ( chỉ khác nhau về vị trí ) thoã
mãn điều kiện đầu bài được xem là một nghiệm.
+ Nếu bài toán có qui định vị trí của hình phải tìm đối với hình đã
cho thì mỗi vị trí được tính là một nghiệm.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 8
+ Nếu có tất cả n nhóm hình thoã mãn điêù kiện bài toán, mỗi
nhóm hình gồm nhiều hình bằng nhau nhưng hình của nhóm này
không bằng hình của nhóm kia hoặc kiểu khác thì bài toán có n
nghiệm.
Lời giải đầy đủ của bài toán dựng hình bao gồm 4 bước trên, cốt yếu là bước
dựng,quan trọng là bước phân tích, nhưng trong khi dạy, người dạy nên sử dụng
linh hoạt các bước giải của một bài toán dựng hình.Tùy theo từng bài tập cụ
thể, người dạy có thể hướng dẫn học sinh rút gọn bớt bước hoặc thêm một số
bước khác như giả thiết, kết luận để giúp học sinh nắm rõ đề bài cần dựng cái gì
và cái gì đã cho để dựng được hình.
Ví dụ: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết AB = a, BC = b, AD = c,
AC = e.
- Phân tích:
Giả sử hình thang ABCD đã dựng được có đáy AB = a, cạnh bên
BC = b, AD = c và đường chéo AC = e.
Ta thấy
∆

ABC xác định được ngay, cần xác định điểm D. Đỉnh D
thoả mãn 2 điều kiện:
D thuộc Cx (Cx //AB).
D cách A một đoạn AD = c.
- Cách dựng:
+ Dựng tam giác ABC biêt AB = a, BC = b, AC = e.
+ Trên nữa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng Cx //AB.
+ Dựng đường tròn (A,c).
+ Dựng D là giao điểm của (A,c) với Cx.
A a B
C e b
D H C
- Chứng minh:
Theo các bước dựng ta có:
AB = a
BC = b
AC = e
AD = c
AB //CD
Suy ra ABCD là hình thang cần dựng.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 9
- Biện luận:
Với
ba −
< e < a+b thì tam giác ABC luôn dựng được.
Gọi AH là khoảng cách từ A tới Cx, để dựng được thì c >AH.
Vậy: c >AH thì bài toán có 2 nghiệm hình.
c = AH thì bài toán có 1 nghiệm hình.
c < AH thì bài toán vô nghiệm.

Mở rộng: Người dạy có thể đưa ra một số bài tập về dựng hình thang từ việc
thay đổi một vài dữ diệu của đề bài:
1) Dựng hình thang cân ABCD ( AB//CD). Biết AB = a, BC = b, AC = d.
2) Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD). Biết AB = a,BC = b, góc B = α.
3) Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD) . Biết AB = a, đường chéo AC = m,
góc giữa hai đường chéo là α.
Nhận xét:
Khi hướng dẫn học sinh giái bài tập này, phân tích rõ ràng giúp học sinh thấy
được tam giác ABC có đủ ba yêú tố về cạnh nên trước hết ta dựng được ngay
tam giác ABC. Vậy vấn đề đặt ra là chỉ cần xác định đỉnh D. Đỉnh D phải thoả
mãn những yêu cầu nào của bài toán, suy ra cách dựng điểm D .
1.5 DỰNG HÌNH BẰNG CÁC DỤNG CỤ KHÁC:
Ngoài hai dụng cụ thước và compa (ở đây là thước thẳng, một lề không chia
khoảng) ta còn có nhiều dụng cụ khác trong dựng hình như êke, thước đo góc,
thước thẳng một lề chia khoảng, thước thẳng hai lề chia khoảng và một số dụng
cụ vẽ kỹ thuật khác.
Với êke thì góc vuông xem như dựng được, góc của êke xem như dựng được.
Với thước đo góc thì góc có số đo cho trước xem như dựng được.
Với thước thẳng một lề có chia khoảng thì đoạn thẳng có độ dài cho trước coi
như dựng được.
Ví dụ: Dựng tam giác vuông có một cạnh góc vuông dài 4 cm và cạnh huyền
dài 7cm.
Giải:
- Dựng góc vuông đỉnh A (dùng êke).
- Trên một cạnh góc vuông dựng AB = 4cm (thước thẳng chia khoảng).
- Dựng đường tròn tâm B, bán kính 7 cm (dùng thước có chia khoảng và
phépdựng cơ bản 3).
- Dựng giao điểm C của đường tròn (B,7cm) và cạnh góc vuông kia.
- Dựng đoạn thẳng BC (phép dựng cơ bản 2 )
Tam giác ABC là tam giác vuông cần dựng.

Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 10
C
A B
Nhận xét: Tuy có nhiều dụng cụ dựng hình trong hình học nhưng để giảm đến
mức thấp nhất những sai sót và có được hình dựng tương đối hoàn thiện ta nên
hạn chế việc sử dụng nhiều công cụ dựng hình, chỉ nên dùng thước thẳng và
compa. Sau này khi nói đến dựng hình mà không nói đến dụng cụ thì ta hiểu là
phải dựng hình bằng thước và compa.
CHƯƠNG II:
PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA
2.1 Điều kiện giải được bài toán dựng hình bằng thước và compa:
Không phải mọi bài toán dựng hình đều có thể dựng được bằng thước và compa
(mặc dù có thể dựng bằng các dụng cụ khác).
Trước hết ta thấy rằng một bài toán dựng hình đều qui về việc dựng một số đoạn
thẳng mà độ dài biểu thị qua các đoạn thẳng đã cho. Định lý sau cho thấy phạm
vi giải được bài toán dựng hình bằng thước và compa.
Định lý: Điệu kiện cần và đủ để một đoạn thẳngdựng được bằng thước và
compa là độ dài của nó biểu thị được qua các độ dài đoạn thẳng đã cho nhờ một
số hữu hạn các phép tính: cộng, trừ, nhân, chia và căn bậc 2 ( khi phép toán có
nghĩa ).
(để hiểu rõ cách chứng minh định lý này, mời các bạn đọc thêm sách hình
học 3-giáo trình đào tạo giáo viên THCS hệ cao đẳng sư phạm ).
2.2 GiảI bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao:
2.2.1Cơ sở lý thuyết: Mọi hình hình học đơn giản đều được xác định bởi một
số hữu hạn điểm nên ta có thể đưa bài toán dựng hình về việc dựng một số điểm
nhất định. Thông thường bao giờ cũng có hai điều kiện đã cho, với mỗi điều
kiện chúng ta lần lượt dựng quỹ tích tương ứng. Vì những điểm nằm trên quỹ
tích thoã mãn điều kiện thứ nhất, những điểm nằm trên quỹ tích thứ hai thoả
mãn điệu kiện thứ hai, cho nên giao điểm của hai quỹ tích đồng thời thoã mãn

cả hai điều kiện, đó là điểm cần tìm. Phương pháp dựng hình dựa vào giao điểm
của hai quỹ tích như vậy gọi là phương pháp tương giao.
2.2.2 Các ví dụ cụ thể và từ đó mở rộng, nhận xét, đề nghị, rèn luyện tư duy
cho học sinh:
Ví dụ1: Dựng tam giác ABC biết AB = c, BC = a, AC = b
Phân tích: Giả sủ dựng được tam giác ABC thoả yêu cầu bài toán:
AB = c, BC = a, AC = b,.
Ta thấy: Điểm a thuộc (C,b).
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 11
Điểm a thuộc (B,c).
Từ đó suy ra cách dựng điểm A là giao điểm của (C,b) và (B,c).
Cách dựng: - Dựng đoạn BC = a.
-Dựng đường tròn (C,b).
-Dựng đường tròn (B, c).
-Dựng giao điểm A của (C,b) và (B,c).
-Nối A,B, C ta được tam giác ABC cần dựng.
Chứng minh: Theo cách dựng ta có: AB = c, BC = a, AC =b.
A
c b
B a C
Biện luận:
ba −
< c < a+b: bài toán luôn có một nghiệm hình.
Mở rộng và phát triển:
Ta thay đổi dữ kiện của bài toán:
- Dựng tam giác ABC có AB = c, BC = a, góc b = α.
- Dựng tam giác ABC có AB = c, góc b = α, góc a = β.
- Dựng tam giácABC vuông tại A , BC = 5cm, trung tuyến BM = 4cm.
Nhận xét:

Qua bài tập này người dạy nên nhấn mạnh với học sinh: vậy một tam giác dựng
được cần biết ba yếu tố (cạnh - cạnh - cạnh hay góc - cạnh - góc hay cạnh - góc -
cạnh). Sau này khi gặp bài toán dựng hình tam giác biết được ba yếu tố nêu trên
coi như là dựng được, không cần trình bày chi tiết.

Ví dụ 2: Dựng hình thang ABCD biết hai đáy; AB = 2cm, CD = 4 cm, góc C
=45
0
góc D= 75
0
.
Phân tích :
Giả sử dựng được hình thang ABCD thoả mản yêu cầu bài toán.
Qua A kẻ đường thẳng song với BC cắt CD tại E.
Hình thang ABCD có: AE // BC nên EC = AB = 2cm. Do đó DE =
2cm.
Từ đó ta dựng được
∆
ADE ( Vì biết một cạnh và hai góc kề ).
Cách dựng:
- Dựng
∆
ADE với DE = 2cm,
∠
D = 75
0
,
∠
E = 45
0

- Trên tia DE dựng điểm C : DC = 4cm.
- Dựng tia Ax // EC, Cy // EA,
- B = Ax
∩
Cy.
Chứng minh :
Theo cách dựng ta có: ,
∠
D = 75
0
, DC = 4cm ( 1)

∠
C =
∠
AED = 45
0
, AB// CD. ( 2)
Vì hình thang AECD có AE // BC nên : AB = EC = 4 -2 = 2cm ( 3)
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 12
Từ (1),(2) và (3) Suy ra ABCD là hình thang cần dựng thoả mãn
yêu cầu bài toán.
Biện luận:
Bài toán luôn có một nghiệm hình.
A 2 B

75
0

45
0
D 2 E 2 C
Mở rộng và phát triển bài toán:
Dựng hình thang ABCD ( AB // CD ) Biết AB = m; CD = 2m,
∠
C = α,
∠
D =
β.
( α, β
≤
90
0
).
Dựng hình thang ABCD ( AB // CD ) Biết AB = 2 cm; CD = 5 cm , AD = 6cm .
Đường cao AH = 4 cm.
Nhận xét và đề nghị:
Ta thấy đề bài yêu cầu dựng hình thang ABCD, nhưng để dựng được nó ta đã
tìm kiếm, tạo ra một tam giác ADE có đủ điệu kiện để có thể dựng ''đột phá",
rồi sau đó hoàn tất những yếu tố còn lại phải dựng. Đưa việc dựng hình thang về
việc dựng một tam giác từ đó mới suy ra cách dựng hình thang.

Ví dụ 3: Cho một góc nhọn xOy và một điểm A trên Oy. Tìm một điểm M trên
đoạn OA sao cho nếu kẻ MP vuông góc với Ox thì OP = MA.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được M thuộc OA thoả yêu cầu bài toán.
Ta thấy rằng nếu kẻ PN//AM và PN =AM thì AM// MP( hay AN
vuông góc Ox). (1)
Mặt khác: PN = AM = OP

⇒
tam giác OPN cân
⇒
∠
O1 =
∠
N1
mà
∠
O
2
=
∠
N
1
( PN//Oy) nên
∠
O
1
=
∠
O
2

Điều này có nghiã N thuộc Ot (Ot tia phân giác của góc xOy) (2)
Theo (1) thì N nằm trên đường thẳng
⊥
Ox hạ từ A.
Vậy N là giao điểm của đường thẳng đó với Ot.

Vị trí điểm N hoàn toàn xác định, do đó ta dựng được hình.
Cách dựng:
x
t
P N
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 13
O M A y
- Dựng tia phân Ot của góc xOy
- Qua A dựng đường thẳng vuông góc với Ox cắt Ot tại N.
- Qua N dựng đường thẳng song song với Oy cắt Ox tại P
- Từ P dựng đường vuông góc với Ox cắt Oy tại M cần dựng.
Chứng minh:
Ta có : MP // Oy

∠⇒
ONP =
∠
NOP ( So le )
Mà Ot là phân giác của góc xOy nên
∠
NOP =
∠
AON.
Từ đó suy ra
∠
ONP =
∠
AON.
⇒

∆
OPN cân : OP = ON (3).
Ta lại có : MP
⊥
Ox; AN
⊥
Ox . Suy ra MP // AN do đó PN = AM
(4)
Từ (3) và (4) suy ra OP = AM.
Biện luận:
Góc xOy nhọn nên tia phân giác Ot cắt đường thẳng kẻ từ A vuông
góc với Ox tại một điểm M duy nhất.
Bài toán luôn có một nghiệm hình.
Nhận xét:
Đối với bài toán trên, điểm N là giao điểm của hai quỹ tích giữa tia phân giác
Ot của góc xOy và đường thẳng qua A vuông góc với Ox việc tạo ra điểm N là
rất quan trọng, vì sau khi xácđịnh được điểm N thì bài toán coi như không có gì
khó khăn. Do đó ở bước phân tích của bài tập này, nếu người dạy giả sử rằng
bài toán đã giải xong, kẻ PN// MA, PN//MA thì các em có thể nhận ra quỹ tích
điểm N. Từ đó suy ra cách dựng điểm M.

Ví dụ 4: Dựng cung chứa góc α = 60
o
trên đoạn thẳng AB = 4cm.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được cung AmB chứa góc α = 60
o
trên đoạn AB =
4cm.

Ta thấy: Tâm O của đường tròn chứa cung AmB phải nằm trên
đường thẳng Ay
⊥
Ax. Mặt khác, O nằm trên đường trung trực d
của đoạn thẳng AB .
Cách dựng:
- Dựng AB = 4cm.
- Dựng góc BAx = 60
o

- Dựng Ay
⊥
Ax.
- Dựng trung trực d của AB.
- Dựng O là giao điểm của d và Ay.
- Dựng cung tròn AmB tâm O bán kính OA .
- Dựng cung tròn Am'B đối xứng với cung AmB qua đường thẳng
AB .
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 14
y
m
A B
O'Ô
Chứng minh:
Theo cách dựng ta có:
AB = 4 cm. x
∠
xAB =
∠

AMB = 60
O
(cùng chắn cung AB)
Vậy cung AmB là cung chứa góc α = 60
o
dựng trên đoạn AB =
4cm, tương tự cung Am'B là cung chứa góc α = 60
o
.
Biện luận :
Bài toán luôn có hai nghiệm hình.
Nhận xét:
Bài tập dựng cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng m cho trước là bài
dựng hình cơ bản của lớp 9. Mỗi học sinh phải nắm vững được kiến thức
này để làm cơ sở cho các bài tập dựng hình khác liên quan đến cung chứa
góc.

Ví dụ 5: Dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường tròn(O,R) tại một điểm
A cho trước thuộc đường tròn đó và tiếp xúc với mộtđường thẳng d cho trước
không đi qua A.
Phân tích:
Giả sử ta đã dựng được đường tròn(I,R
1
) thoã yêu cầu bài toán
Ta thấy:
Vì đường tròn (I,R
1
) tiếp xúcvới đường tròn (O,R) tại A,
nên tâm I phải nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm O,
A.

Mặt khác: đường tròn (I,R
1
) tiếp xúc với BC và d, nên tâm I
phải nằm trên đường phân giác của góc hợp bởi hai đường
thẳng BC và d.
Cách dựng:
Dựng đường tròn (O,R) .
Dựng điểm A thuộc (O).
Dựng đường thẳng d không đi qua A.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 15
Dựng tiếp tuyến AC của đường tròn (O,R).
Dựng giao điểm B của AC và d.
Dựng tia phân giác Bt của góc hợp bởi hai đườn
thẳngAC và d.
Dụng giao điểm I của đường thẳng OA và Bt.
Dựng đường tròn (I,IA), đây là đường tròn cần dựng.
Chứng minh:
Ta có: Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O,R) tại A.
Mặt khác:
Theo cách dựng ta có:
OI = OA + AI
I nằm trên tia phân giác Bt nên IA = IN
⇒
(I) tiếp xúc với d . B
Biện luận:
Nếu OA
⊥
d bài toán có một nghiệm hình.
Nếu OA không vuông góc với d , bài toán có hai nghiệm

hình.
Mở rộng:
Ta có thể thay đổi một dữ kiện của đề toán để có được một bài tập
khác:
Dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng d cho trước tại
một điểm A cho trước trên đường thangr đó và tiếp xúc với một
đường tròn khác cho trước.
Nhận xét:
Trong bài tập này, yêu cầu đặt ra là cần dựng một đường tròn tiếp xúc
với đường tròn (O,R) và tiếp xúc với đường thẳng d. Để dựng được đường
tròn cần biết tâm và bán kính. Bài tập này giúp học sinh nhớ lại và vận
dụng kiến thức đã học về tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn, vị trí
tương đối của hai đường tròn, từ đó suy ra được tâm I là giao điểm của hai
quỹ tích, bán kính là OI. Như vậy qua việc dựng hình , chúng ta có thể
kiểm tra được một số kiến thức cũ.
2.3 Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp biến hình:
2.3.1Cơ sở lý thuyết:
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 16
-Khi giải bài toán dựng hình trong quá trình phân tích nếu ta thấy có mối
quan hệ giữa hình đã cho và hình phải dựng với ảnh của chúng hay với ảnh
của một bộ phận của chúng qua một phép biến hình nào đó , thì ta có thể
dựng hình đó bằng phương pháp biến hình.
- Các phép biến hìnhthường được sử dụng là: phép tịnh tiến, phép đối xứng
trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự.
- Khó khăn của học sinh khi đứng trước một bài toán dựng hình là dấu hiệu
nào cho biết có thể sử dụng phương pháp biến hình và áp dụng phép biến
hình nào.Sau đây sẽ xét các ví dụ minh hoạ khi sử dụng các phép biến hình
để dựng hình.
2.3.2 Các ví dụ cụ thể và từ đó mở rộng, nhận xét , đề nghị , rèn luyện

tư duy cho học sinh:
2.3.2.1 Dựng hình bằngphương pháp biến hình với phép tịnh tiến:
Có nhiều bài toán dựng hình chúng ta không thể giải bàng các phép dựng
hình cơ bản và bằng phương pháp tương giao, thì khi phân tích chúng ta
thường di chuyển hình cần tìm hoặc hình cho trước đến một vị trí thích
hợp để tiện cho việc dựng hình. Mọi phương pháp di chuyển tịnh tiến gọi
là phương pháp tịnh tiến.
Phương pháp tịnh tiến thông thường là di chuyển song song hình cần dựng
đến một vị trí mới , sao cho các bộ phận của nó hợp với những bộ phận đã
biết, tạo thành một hình mới dễ dàng dựng hơn. Do đó theo phương pháp
này thì đầu tiên cần dựng hình phụ , sau đó từ dựng hình phụ này suy ra
hình cần dựng.
Ví dụ 1 : Dựng hình thang ABCD biet AB = 3 cm, BC = 7cm,CD = 4cm, AD =
5cm.
Phân tích:
Dựng tam giác ABE có BE = 2cm,AB = 3cm,AE = 4cm.
Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ m biến A
→
D.
Ta có : Tịnh tiến theo vectơ m : D
→
A và C
→
E suy
ra tịnh tiến theo vectơ m : DC
→
AE .
Ta đã dựng được tam giác ADE khi biết ba cạnh.
Từ đó ta dựng các điểm C va D.
Cách dựng:

Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 17
- Dựng tam giác ABE có BE = 2 cm, AB = 3cm, AE= 4cm.
-Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ m : A
→
D.
-Thực hiện phép tinh tiến theo vectơ m: E
→
C.
Vậy ABCD la hình thang cần dựng.
A D
B E C
Chứng minh:
Tịnh tiến theo véctơ m điểm A
→
D.
Tịnh tiến theo véc tơ m điểm E
→
C.
Suy ra : tịnh tiến theo vectơ m: AD//EC.
Hay AD//BC
⇒
ABCD là hình thang.
Mặt khác: tịnh tiến theo vectơ – m : A
→
D và E
→
C.
Suy ra AE = DC = 4cm và AD = EC = 5cm .
Suy ra BC = BE + EC = 7cm.

Theo cách dựng: AB = 3cm.
Vậy ABCD là hình thang cần dựng thoả yêu cầu.
Biện luận :
Trong ba đại lượng AB,DC, BC-AD nếu có hai đại lượng bất kỳ
lớn hơn đại lượng thứ ba thì bài toán có một nghiệm hình.
Ngược lại bài toán không có nghiệm hình.
Nhận xét:
Bài tập này có thể trình bày theo ngôn ngữ của phương pháp tương giao
nhưng chúng tôi đã trình bày nó theo phương pháp tịnh tiến. Từ yêu cầu về
dựng hình thang ABCD ta dịch gần hai đỉnh (D
→
A, C
→
E) và dẫn đến việc
dựng một tam giác có đủ các yếu tố để dựng.
2.3.2.2 Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép đối xứng trục,
đối xứng tâm :
Ta cố định một đường hay một điểm thích hợp trong hình, đối xứng hình qua
một điểm hay một đường đó, lợi dụng hình đối xứng có thể tìm được cách giải
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 18
bài toán dựng hình đó là phương pháp dựng hình dùng phép đối xứng trục và
đối xứng tâm.
Ví dụ2 : Dựng tam giác ABC, biết BC = a,
∠
B -
∠
C = α, đường cao AH=h.
Phân tích :
Giả sử đã dựng được tam giác ABC thoả yêu cầu bài toán.

Phép đối xứng trục với trục là đường trung trực d của BC biến điểm
A
→
E thì
∠
ABE=
∠
B-
∠
C= α.
Qua phép đối xứng trục d’ bi ến : B
→
D thìđiểm B,C, D xác định và
∠
ADE = α.
Ta có: ADEC là hình bình hành nên
∠
ADC=180
o
-
∠
ADE = 180
o
- α.
Từ đó ta dựng được đỉnh A là giao điểm của d’ và cung dựng trên đoạn
BC chứa góc 180- α.
Cách dựng:
-Dựng BC = a.
-Dựng đường thẳng d’ sao cho d’//BC và khoảng cách từ d’ đến BC=ha.
-Điểm D qua trục đối xứng biến B

→
D.
-Nối DC.
- Dựng cung chứa góc 180
o
- α tr ên đo ạn DC.
- Giao điểm d’ và cung vừa dựng là đỉnh A.
- Nối A ,B, C ta được tam giác ABC cần dựng.
D
A E d'
B d C
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 19
Chứng minh:
Xét tam giác ABC ta có: BC = a v à AH =ha (theo cách dựng) (1)
Xét tam giác ABC và tam giác BEC:
Ta có: Điểm A qua trục đối xứng d biến thành E.
Điểm D qua trục đối xứng d biến thành C.
Suy ra AE = BC v à AC = BE.
Mặt khác: BC là cạnh chung.
Vậy
∆
ABC =
∆
ECB (c-c-c)
⇒
∠
ACB =
∠
EBC nên

∠
ABC -
∠
ACB=
∠
ABC-
∠
EBC= α,
hay
∠
B -
∠
C = α. (3)
Từ (1), (2) suy ra
∆
ABC thỏa mãn: BC = a, AH = ha,
∠
B-
∠
C = α.
Biện luận:
Bài toán luôn có nghiệm hình.
Nhận xét:
Với bài tập này khi dựng tam giác ABC, ta dễ dàng xác định được đỉnh B, C.
Vấn đề đặt ra là cần xác định đỉnh A . Từ dữ kiện bài toán AH = 3cm, hoc sinh
biết được A
∈
d’, d’//BC, khoảng cách từ d’ đến BC = 3cm. Như vậy ta phải tìm
thêm quỹ tích của điểm A để giao điểm hai quỹ tích đó. Từ dữ kiện
∠

B -
∠
C =
α, người dạy cần hướng dẫn cho học sinh tìm được
∠
DAC=180
o
- α
⇒
quỹ tích
điểm A
⇒
cách dựng điểm A. Bài tập này tương đối khó đòi hỏi ở các em tính
nhanh nhạy, tư duy tốt.
Ví dụ 3: Dựng tam giác nhọn ABC ,dựng điểm M nằn trong tam giác sao cho
nếu lấy điểm đối xứng với M qua trung điểm mỗi cạnh của tam giác ABC thì
được ba điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được
∆
ABC nhọn và dựng được điểm M thoả mãn yêu
cầu bài toán.
Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB.
Điểm M phải thuộc các cung đối xứng với cung BC qua D, đối xứng
với cung AC qua E, đối xứng với cung AB qua F. Điểm M là trực tâm
của
∆
ABC.
Cách dựng :
- Dựng

∆
ABC nhọn.
- Dựng đường tròn ( O; R ) ngoại tiếp
∆
ABC.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 20
- Lấy đối xứng O qua tâm đối xứng D là O
1
.
- Dựng cung ( O
1
; O
1
C) đối xứng với cung BC qua điểm D.
- Điểm O lấy đối xứng qua tâm đối E là O
2
.
- Dựng cung ( O
2
; O
2
C) đối xứng với cung AC qua E.
- Điểm O lấy đối xứng qua tâm đối xứng F là O
3
.
- Dựng cung ( O
3
; O
3

A) đối xứng cung AB qua điểm F.
Giao điểm của 3 cung mới dựng là điểm M cần dựng.
A
M
B
C
Chứng minh:
Hiển nhiên
∆
ABC là tam giác nhọn.
Kéo dài MF, MD, ME lần lượt cắt đường tròn tại K, G, I.
Ta có : MF = FK ( Do M nằm trên các cung đối
xứng với cung AB)MD = DG ( do M nằm trên các cung đối xứng
với cung BC ) ME = EI ( Do M nằm trên các cung đối xứng với
cung AC ).Vậy ta đã dựng được
∆
ABC nhọn, dựng được điểm M
nằm trong
∆
ABC thoả yêu cầu bài toán.
Nhận xét:
Để dựng được điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán, học sinh phải nắm
được tính chất về tâm đối xứng: Ảnh của một điểm qua phép đối xứng
tâm thuộc một cung nào đó thì điểm đó phải thuộc cung đối xứng với
cung đó qua tâm đối xứng. Nắm được tính chất này học sinh dễ dàng suy
ra cách dựng điểm M.
Với học sinh cần chú ý khi làm dạng bài tập mà xác định một điểm nào
đó nằm trong một tam giác cho trước thì nên kiểm tra xem điểm đó có là
các điểm đặc biệt trong tam giác hay không ( trọng tâm, trực tâm,…)
2.3.2.3 . Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép quay.

Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 21
Trong phương pháp biến hình, để dựng hình ngoài các cách trên có lúc ta
phải quay một đường thẳng hoạt một đường tròn chung quanh một điểm cố
định, sau khi quay đến một vị trí thích hợp thì có thể tìm thấy quan hệ giữa
đường cần dựng và đường đã cho, do đó có thể tìm được cách dựng. Phương
pháp biến hình gọi là phương pháp quay.
Vì dụ 5: Dựng một tam giác đều sao cho 3 đỉnh của nó lần lượt nằm trên 3
đường thẳng song song cho trước .
GT: Cho 3 đường thẳng xy, pq, rs.
KL: Dựng tam giác đều ABC sao cho A
∈
xy, B
∈
pq, C
∈
rs.
Phân tích:
- Giả sử đã dựng được tam giác đều ABC.
- Có thể xác định tuỳ ý đỉnh A nằm trên xy
- Dựng AD
⊥
pq, quay
∆
DAB chung quanh A một góc 60
0
sao
cho B trùng C, như vậy AD cũng quay được một góc 60
0
đến AD’,

pq cũng quay đến vị trí p’q’.
- Vì B nằm trên pq, C nằm trên rs, B trùng với C. Như vậy C’ là
giao điểm của p’q’ và rs.
Cách dựng:
1. Trên xy lấy A tuỳ ý , dựng AD
⊥
pq.
2. Dựng AD’ sao cho
∠
D’AD = 60
o
, AD = AD.
3. Qua D’ dựng p’q’
⊥
AD’, cắt ps tại C , nối AC.
4. Dựng AB sao cho
∠
BAC = 60
o
, cắt pq tại B.
5. Nối B, C như vậy tam giác ABC là tam giác đều cần dựng.
q'
x A y
p B D D’ q
r C s
p’
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 22
Chứng minh:
Ta có:

∠
D’AD =
∠
BAC = 60
o
( phép dựng 2 và 4 ).
Nên
∠
BAC =
∠
DAB và vì đoạn AD’ = AD và
∠
AD’C =
∠
AD”B.
Suy ra
∆
AD’C =
∆
ADB (g –c-g ).
⇒
AC = AD
⇒
∠
ABC =
∠
ACB.
Mặt khác :
∠
ABC +

∠
ACB = 180
o
-60
o
= 120
o
nên
∠
ABC =
∠
ACB
=60
o.
Vậy tam giác ABC là tam giác đều cần dựng.
Biện luận:
Vì đây là bài toán không tính đến vị trí của hình nên luôn có một nghiệm
hình.
Nhận xét:
Khi cần dựng một hình, ta có thể dựng lần lượt các điểm của hình đó bằng cách:
xem mỗi đỉnh của hình là giao điểm của một đường L
1
nào đó đã cho và một
đường L
2
’ thu được từ một đường L
2
đã cho nhờ một phép biến hình (ở bài trên
ta dùng phép quay với góc quay
α

).
2.3.2.4 Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép vị tự:
Cơ sở lý thuyết: có một số bài toán dựng hình không cần chú ý tới độ lớn mà chỉ
yêu cầu xác định được vị trí và hình dạng của hình cần dựng, trong những
trường hợp này chúng ta có thể dựng một hình tương tự với hình cần dựng ở
một vị trí thích hợp,sau đó ta phóng đại hoặc thu nhỏ hình cần dựng lại. Phương
pháp đó được gọi là phương pháp biến hình dùng phép vị tự.
Ví dụ5: Hãy dựng một hình vuông nội tiếp trong một hình tam giác cho trước.
Phântích:
Giả sử hình vuông cần dựng là DEFG, hai đỉnh D,E, nằm trên cạnh
BC, đỉnh F nằm trên cạnh AC, đỉnh G nằm trên cạnh AB.
Nối B, F , trên BF lấy một điểm bất kỳ F’, dựng F’G’//FG,
F’E’//FE, G’D’//GD suy ra
∆
BFG ~
∆
BF’G’ suy ra:
''' BF
BF
GF
FG
=
.
Lý luận tương tự ta có :
''' BF
BF
FE
EF
=
Vì FG = FE nên F’G’= F’E’

⇒
D’E’F’G’ là hình vuông cần dựng. Vì hình vuông D’E’F’G’ dễ dàng
dựng được cho nên có thể dùng tính chất ba điển B, F', F thẳng hàng để
tìm điểm F.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 23
Cách dựng:
-Trên AB lấy một điểm G’bất kỳ, dựng G’D’
⊥
BC.
-Lấy G’D’ làm cạnh, dựng hình vuông D’E’F’G’ trong
∆
ABC.
-Nối BF’, kéo dài gặp AC tại F.
-Dựng FG//CB, cắt AB tại G, Từ F, G dựng các đường FE, GD

⊥
BC, DEFG chính là hình vuông nội tiếp tam giác mà ta cần dựng.
A
G F
G' F'
B D' E' D E C
Biện luận : Bài toàn luôn có một nghiệm hình.
Mở rộng: thay đổi dữ kiện bài toán, nhưng vẫn giữ nguyên bản chất của
nó ta được một bài toán mới:
Cho dây cung AB của đường tròn tâm O. Dựng hình vuông MNPQ có M,
N nằm trên dây cung AB, còn P, Q nằm trên cung AB.
Nhận xét:
Qua bài tập này ta thấy khi cần dựng hình H, ta xem H là ảnh của một hình
H’ qua một phép biến hình nào đó ,sao cho hình H’ dễ dựng và thoã mãn

các điều kiện như của hình H trừ ra một điều kiện nào đó, rồi từ hình H’
ta dựng hình H qua phép biến hình trên. đối với bài này ta đã dùng phép
vị tự tâm I tỉ số k = IM/IA để biến hình vuông ABP’Q’
→
hình vuông
MNPQ. Bài tập này rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy thu hẹp
hoặc phóng to một hình nào đó.
Ngoài các bài tập dựng hình sủ dụng một phương pháp biến hình, còn
có những bài cần phải phối hợp nhiều phép biến hình mới có thể giải
được, cho nên mời các bạn đọc tự tìm hiểu, nghiên cứu thêm
2.4 CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG :
2.4.1 Các bài tập dựng hình bằng phương pháp tương giao:
Bài tập 1: Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 4cm, AB+AC = 5cm.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 24
Phân tích:
Giả sứ đã dựng được tam giác ABC vuông tại A có BC=4cm, AB+AC =
5 cm.
Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho: AD=AB.
Ta có:
∠
ADB = 45
o
và DC = DA+AC=AB + AC = 5cm.
Mặt khác : điểm B thoả hai điều kiện: B
∈
Ox sao cho
∠
CDx = 45
o

và B
thuộc (C,4cm).
Từ đó ta dựng được điểm B rồi suy ra cách dựng điểm A (BA
⊥
CD).
Cách dựng:
Dựng đoạn thẳng DC = 5 cm.
Dựng tia Dx sao cho
∠
CDx = 45
o
.
Dựng (C, 4) cắt Dx ở B.
Dựng BA
⊥
DC.
A
B
D A A' C
Chứng minh:
Ta có tam giác ABC vuông tại A, có góc D = 45
o
, suy ra AB = AD.
Suy ra: AB + AC = AD + AC = DC = 5cm.
Vậy tam giác ABC vuông tại A có: BC = 4cm, AB+AC = 5cm.
Biện luận :
Bài toán luôn có một nghiệm hình.
Mở rộng : ta thay đổi đề bài như sau: Dựng
∆
ABC vuông tại A biết BC =

4cm, AB - AC = 2cm.
Nhận xét:
Ở bài tập trên đường tròn (C,4cm), cắt tia Ox tại hai điểm B và B’. Kẻ BA
⊥
DC, B’A’
⊥
DC ta có:
∆
ABC và
∆
A’B’C’ cùng thoả mãn bài toán. Nhưng vì đây là bài toán dựng
hình về kích thước nên hai tam giác nói trên chỉ tính là một hình.
Bích Diễm - Khánh Vân.
Trang 25
Khi hướng dẫn học sinh dựng tam giác ABC vuông ở A, cái khó của bài tập
này là phải giúp học sinh biết được từ việc dựng hai cạnh của tam giác
vuông:AB+AC=5 cm thành dựng một đoạn thẳng CD = 5 cm, với CD =
AC+AD. Từ đó suy ra
∆
ABD vuông cân. Nên ta dẫn đến cách dựng
∠
xDC
= 45
o
và dẫn đến cách dựng đỉnh B, A.
Bài tập 2: Dựng
∆
ABC , biết
∠
A = 60

o
, AH = 3 cm, BC = 7 cm.
Phân tích:
Giả sử đã dựng được
∆
ABC thoã điều kiện bài toán.
Ta thấy A cách đường thẳng BC đã dựng một đoạn AH = 3cm nên A
thuộc đường thẳng d, d // BC.
Đỉnh A thuộc cung chứa α = 60
o
, dựng trên đoạn BC. Do đó A là giao
điểm của d và cung chứa góc α = 60
o
vừa dựng.
Cách dựng :
Dựng BC = 7cm.
Dựng đường thẳng d// BC, d cách BC một khoả ng 3 cm.
Dựng cung chứa góc α = 60
o
dựng trên đoạn BC, cắt d ở A.
Nối AB, AC ta được
∆
ABC cần dựng.


A d
H
Chứng minh:
Theo cách dựng ta có : AD = FC = AH = 3 cm, BC = 7cm và
∠

A = 60
o
.
Vậy tam giác ABC đã dựng thỏa yêu cầu bài toán.
Biện luận : Bài toán luôn có một nghiệm hình.
Nhận xét: Để dựng được
∆
ABC thoả yêu cầu bài toán, ngừơi dạy cần giúp
học sinh phát hiện ra yếu tố dựng được ngay là cạnh BC của tam giác. Vậy
Bích Diễm - Khánh Vân.