Lược đồ giải phương trình logarit ppt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (145.72 KB, 7 trang )

Lược đồ giải phương trình logarit
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình
Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện
Phương pháp 1:
Biến đổi tương đương
Phương pháp 2:
Logarit hoá và đưa về cùng cơ số
Phương pháp 3:
Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ
a. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ
b. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ
nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
c. Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụ

Phương pháp 4:
Hàm số bao gồm:
a. Sử dụng tính liên tục của hàm số
b. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Bài toán 1:
Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số)
Dạng 1:
Phương trình:
( )
log
a
f x b=

( )
0 1
b

a
f x a
< ≠


⇔

=


Dạng 2:

Phương trình:
( ) ( )
log f x log x
a a
g=

0 1
( ) ( ) 0
a
f x g x
< ≠

⇔

= >

Ví dụ 1: Giải phương trình: Log
x

(x
2
+ 4x – 4) = 3
Biến đổi tương đương pt về dạng:
Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số)
Vậy, pt có nghiệm…
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
2 3
0 1
4 4
x
x x x
< ≠

⇔

+ − =

3 2
0 1
4 4 0
x
x x x
< ≠

⇔

− − + =


( )
( )
2
0 1
1 4 0
x
x x
< ≠


⇔

− − =


0 1
1
2
x
x
x
< ≠


⇔
=





= ±


2x
⇔ =
( )
{ }
4 3 2 2
1
2 1 1 3
2
log log log log x+ + = 
 
( )
3 2 2
2 1 1 3 2log log log x⇔ + + = 
 
Vậy, pt có nghiệm…
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
Vậy, pt có nghiệm…
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
( )
3 2 2
1 1 3 1log log log x⇔ + + = 
 
( )
2 2

1 1 3 3log log x⇔ + + =
( )
2 2
1 3 2log log x⇔ + =
2
1 3 4log x⇔ + =
2
1 2log x x⇔ = ⇔ =
( )
( )
3 2
1 3
3
2 2 2 2 0log x x log x
 
+ − + + =
 
( )
( )
3 2
3 3
2 2 2 2log x x log x
 
+ − = +
 
( )
3 2
2 2 0
2 2 2 2
x

x x x
+ >


⇔

+ − = +


3 2
1
2 2 2 0
x
x x x
> −


⇔

+ − − =


( ) ( )
2
1
2 2 1 2 0
x
x x x
> −



⇔

 
− + + + =

 

( ) ( )
2
1
2 2 1 2 0
x
x x x
> −


⇔

 
− + + + =

 

( )
( )
2
1
2 0
2 1 2 0

x
x
x x

> −


⇔ − =



+ + + =

2x⇔ =
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
( 2) 3 (4 ) ( 6)
2
log x log x log x+ − = − + +
( )
( )
2
2 0
6 2
4 0
2 4
6 0
x

x
x
x
x

+ >

− < < −


− > ⇔ ∗


− < <


+ >


1 1 1
4 4 4
3 2 3 3 (4 ) 3 ( 6)log x log x log x+ − = − + +
1 1 1
4 4 4
2 1 (4 ) ( 6)log x log x log x⇔ + − = − + +
( )
1 1
4 4
4 2 (4 ) 6log x log x x⇔ + = − +
Vậy, pt có nghiệm…

Hãy nhớ rằng:
Ví dụ 5: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
Vậy, pt có nghiệm…
Ví dụ 6: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
( )
4 2 (4 ) 6x x x⇔ + = − +
( )
( )
4( 2) (4 ) 6
4( 2) (4 ) 6
x x x
x x x
+ = − +
⇔

+ = − − +


2
8
1 33
1 33
x
x
x
x

=


= −

⇔

= +


= −

2
1 33
x
x
=

⇔

= −

log
c
a
b• =
log
a
c b
2

a a• =
a
b
.a b• =
( )
( )
( )
3 2
1
lg 8 lg 58 lg 4 4
2
x x x x+ = + + + +
( )
3
2
8 0
58 0 2
4 4 0
x
x x
x x

+ >

+ > ⇔ > − ∗


+ + >

( )

( ) ( )
2
3
1
lg 8 lg 58 lg 2
2
x x x+ = + + +
( )
( )
3
lg 8 lg 58 lg 2x x x⇔ + = + + +
( )
( ) ( )
3
lg 8 lg 58 2x x x⇔ + = + + 
 
( )
( ) ( )
3
8 58 2x x x⇔ + = + +
2
3 54 0x x⇔ − − =
9
6
x
x
=

⇔


= −

9x
⇔ =
( )
( )
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x= + −
0
2 1 0
2 1 1 0
x
x
x

>

+ ≥


+ − >

0x
⇔ >
( )
2
3 3 3
1
log log .log 2 1 1

2
x x x⇔ = + −
( )
2
3 3 3
1
2 log log .log 2 1 1
2
x x x
 
= + −
 ÷
 
Vậy, pt có nghiệm…
Ví dụ 7: Giải phương trình
( )
2
2 3 2 3 7 4 3
log 3 2 log 1 log 2x x x x
+ − −
− + + − = +
Điều kiện:
( )
2
3 2 0
1 0 2
2
x x
x x
x


− + >

− > ⇔ > ∗


+ >

Nhận xét rằng:
( ) ( ) ( )
1
2 3 2 3 1 2 3 2 3
−
+ − = ⇒ + = −
và
( )
2
7 4 3 2 3− = −
Khi đó phương trình có dạng:
( )
2
2 3 2 3 2 3
1
log 3 2 log 1 log 2
2
x x x x
− − −
− − + + − = +
( )
2

2 3 2 3 2 3
2log 3 2 2log 1 log 2x x x x
− − −
⇔ − − + + − = +
( )
( ) ( )
2
2 3 2 3 2 3
log 3 2 log 1 log 2x x x x
− − −
⇔ − − + + − = +
( )
2
2 3 2 3
1
log log 2
3 2
x
x
x x
− −
−
⇔ = +
− +
2
1
2
3 2
x
x

x x
−
⇔ = +
− +

1
2
2
x
x
⇔ = +
−

( )
2
4 1 5 5x x x
∗
⇔ − = ⇔ = ± ⇔ =
Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 8: Giải phương trình:
3 4 5
log log logx x x+ =
Điều kiện: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 3:
4 4 3
5 5 3
log log 3.log
log log 3.log
x x
x x

=
=
Khi đó phương trình có dạng:
3 4 3 5 3
log log 3.log log 3.logx x x+ =
( )
3 4 5
log 1 log 3 log 3 0x⇔ + − =

3
log 0 1x x⇔ = ⇔ =
( )
2
3 3 3
log 2log .log 2 1 1x x x⇔ = + −
( )
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0x x x
 
⇔ − + − =
 
( )
3
2
3 3
log 0
log log 2 1 1 0
x
x x
=



⇔

− + − =

( )
2
1
2 1 1 2 1 2 2 1 1
x
x x x x
=


⇔

= + − = + − + +

1
2 2 1 2
x
x x
=

⇔

+ = +

1

2 2 1 2
x
x x
=

⇔

+ = +

( ) ( )
0
2
1
4 2 1 2
x
x
x x
>
=

¬ →

+ = +


0 0
2
1
1
4

4 0
x x
x
x
x
x x
> >
=
=


¬ → ¬ →


=
− =


Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 9: Giải phương trình:
2
log 4.log 2 1
cosx
cos x
=
Biến đổi phương trình về dạng:
0 1
0 1
0 1
2

log 2 1
log 2.log 2 1
1
log 2 1
2
cosx
cosx cosx
cosx
cosx
cosx
cosx
cosx
cosx
< <

< <


< ≠

  =

=
⇔ ⇔

  

=
 
 


= −
=





1
1 2 , .
2 3
co sx x k k Z
π
π
⇔ = ⇔ = ± + ∈
Ví dụ 10: Giải phương trình:
3
2 3
log
2 1
x
x
−
 
 ÷
 
=
Điều kiện:
2 3
0

x
x
−
> ⇔
Biến đổi phương trình về dạng:
3
2 3
log
0
3
2 3 2 3
2 2 log 0 1 2 3 3
x
x
x x
x x x
x x
−
 
 ÷
 
− −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 11: Giải phương trình:
( )
( )
2
3
2 2

log 1 2log 1x x x− = + +
Biến đổi phương trình về dạng:
( )
3
2 2
2log 1 2log 1x x x− = + +
3
1 1x x x⇔ − = + +
3 3
3 3
1 0 1
1 1 2 0
0
1 0 1
1 1 2 0
x x
x x x x
x
x x
x x x x x
 − > >
 
 
 
− = + + + =
 
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
− < <

 
 
 
 
− + = + + + =
 
 
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 12: Giải phương trình:
( )
( )
2
2 1
2
log 1 log 1x x− = −
Điều kiện:
2
1 0
1
1 0
x
x
x

− >
⇔ >

− >

Biến đổi phương trình về dạng:

( )
( )
2
2 2
log 1 log 1x x− = − −
( )
( )
2
2
log 1 1 0x x
 
⇔ − − =
 
( )
( )
2
1 1 1x x⇔ − − =
( ) ( )
3 2 2
1 3
0 1 0
2
x x x x x x
∗ ∗
+
⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ =
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 13: Giải phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4 2 4 2

2 2 2 2
log 1 log 1 log 1 log 1x x x x x x x x+ + + − + = + + + − +
Biến đổi phương trình về dạng:
( ) ( ) ( )
4 2 4 2 4 2
2 2 2
log 1 log 1 log 1x x x x x x+ + = + + + − +
( )
4 2 4 2
2
0
log 1 0 1 1
1
x
x x x x
x
=

⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

= ±

Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 14: Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
2 2 2
log 3 2 log 7 12 3 log 3x x x x+ + + + + = +
Điều kiện:
( )

2
2
4
3 2
3 2
7 12 0
1
x
x x
x
x x
x
< −


+ + >


⇔ − < < − ∗


+ + >



> −

Viết lại phương trình dưới dạng:
( ) ( )
2 2

2 2
log 3 2 . 7 12 log 24x x x x+ + + + =
( ) ( )
2 2
3 2 7 12 24x x x x⇔ + + + + =
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 24x x x x⇔ + + + + =
( ) ( )
( )
2 2
5 4 5 6 24 2x x x x⇔ + + + + =
Đặt t = x
2
+ 5x + 4, điều kiện
( )
9
4
t ≥ − ∗∗
Khi đó (2) có dạng:
( )
( )
2
2 24 2 24 0 4t t t t t
∗∗
+ = ⇔ + − = ⇔ =
Với t = 4:
2
0
5 4 4
5

x
x x
x
=

⇔ + + = ⇔

= −

thỏa điều kiện (*)
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 15: Giải phương trình
2 3 4
log log log lgx x x x+ + =
Điều kiện: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 10:
2 2
3 3
4 4
log log 10.lg
log log 10.lg
log log 10.lg
x x
x x
x x
=
=
=
Khi đó phương trình có dạng:
2 3 4

log 10.lg log 10.lg log 10.lg lgx x x x+ + =
( )
2 3 4
lg log 10 log 10 log 10 1 0x⇔ + + − =

lg 0 1x x⇔ = ⇔ =
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 16: Giải phương trình:
( )
lg 1 2 lg5 lg 6
x
x x+ + = +
Viết lại phương trình dưới dạng:
( )
( )
lg 1 2 lg 6 lg5 1
x
x+ − = −
1 2 1
lg lg
6 2
x
x
+
 
⇔ =
 ÷
 
1 2 1
6 2

x
x
+
⇔ =
Đặt t = 2
x
, điều kiện t > 0, khi đó phương trình có dạng:
( )
2
3
1 1
6 0
6
2
t loai
t
t t
t
t
= −
+
= ⇔ + − = ⇔

=

2 2 1
x
x⇔ = ⇔ =
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 17: Giải phương trình:

( )
( ) ( )
( )
1
5 5 5
1 log 3 log 3 3 log 11.3 9 1
x x
x
+
− + + = −
( )
( )
( ) ( )
1
1
1
5 5 5
log 3 log 3 3 log 11.3 9
x
x x
−
+
⇔ + + = −
( )
( )
1
1
3 . 3 3 11.3 9
x
x x

−
+
⇔ + = −
( )
( )
1
1
2
3 . 3 3 11.3 9
3 10.3 9 0
x
x x
x x
−
+
⇔ + = −
⇔ − + =
3 9 2
0
3 1
x
x
x
x

= =

⇔ ⇔



=
=


Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 18:
( ) ( ) ( )
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4 1x x x+ + = − + +
Điều kiện:
( )
( )
2
1 0
4 0 4 1 1 4
4 0
x
x x x
x

+ >


− > ⇔ − < < ∨ < < ∗


+ >
