Phương trình vô tỷ-ôn thi Đ.H

Ôn thi Đ.H.C.Đ 2010 VB-Ra3105-Nghĩa Hưng C
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Phương pháp 1:Phương pháp giải dạng cơ bản:
1/
( ) ( )
f x g x
= ⇔
( )
( ) ( )
2
g x 0
f x g x
≥



=


2/
( ) ( ) ( )
f x g x h x+ =

Bình phương hai vế khử dần căn thức
1-(ĐHQGHN KD-1997)
16x 17 8x 23
+ = −
2-(ĐH Cảnh sát -1999)
2 2
x x 11 31
+ + =

3-(HVNHHCM-1999)
2
x 4x 2 2x− + + =
4- Giải và biện luận pt:
2
m x 3x 2 x
− − + =
5-) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt:
2
x mx 2 2x 1
+ + = +
6-(ĐGKTQD-2000)
5x 1 3x 2 x 1 0− − − − − =
7-(ĐHSP 2 HN)
( ) ( )
2
x x 1 x x 2 2 x− + + =
8-(HVHCQ-1999)
x 3 2x 1 3x 2
+ − − = −
9-(HVNH-1998)
3x 4 2x 1 x 3
+ − + = +
10-(ĐH-1999)
2 2
3 x x 2 x x 1
− + − + − =
Phương pháp 2: phương pháp đặt ẩn phụ:
I-Đặt ẩn phụ đưa pt về pt theo ần phụ:
Dạng 1: Pt dạng:

2 2
ax bx c px qx r
+ + = + +

trong đó
a b
p q
=
Cách giải: Đặt
2
t px qx r
= + +
ĐK
t 0
≥
1-
( ) ( )
2
x 5 2 x 3 x 3x+ − = +
2
( ) ( )
2
x 4 x 1 3 x 5x 2 6
+ + − + + =
3
2
(x 1)(2 x) 1 2x 2x
+ − = + −
4-
2 2

4x 10x 9 5 2x 5x 3
+ + = + +

5-
3
2 2
18x 18x 5 3 9x 9x 2
− + = − +
6
2 2
3x 21x 18 2 x 7x 7 2
+ + + + + =
Dạng 2: Pt Dạng:
P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0
α +β + γ =

Cách giải: * Nếu
( )
P x 0
=
( )
( )
P x 0
pt
Q x 0
=


⇒ ⇔


=


* Nếu
( )
P x 0
≠
chia hai vế cho
( )
P x

sau đó đặt
( )
( )
Q x
t
P x
=

t 0
≥
1-(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:

4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1
− + + = −
2-
( )
2 3

2 x 3x 2 3 x 8− + = +

3-
( )
2 3
2 x 2 5 x 1+ = +
Dạng 3: Pt Dạng :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
P x Q x P x Q x
2 P x .Q x 0 0
α + +β ±
± α + γ = α + β ≠
Cách giải: Đặt
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
t P x Q x
t P x Q x 2 P x .Q x
= ±
⇒ = + ±
1-
2
2
1 x x x 1 x

3
+ − = + −
2.
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
− + − = − + − +
3-
2
2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16
+ + + = + + + −
4.
2
4x 3 2x 1 6x 8x 10x 3 16
+ + + = + + + −
5-
2
x 2 x 2 2 x 4 2x 2− − + = − − +
******************************
Dạng 4: Pt Dạng:

( ) ( )
a cx b cx d a cx b cx n
+ + − + + − =
Trong đó
a,b,c,d,n
là các hằng số ,
c 0,d 0
> ≠
Cách giải:
Đặt

( )
t a cx b cx( a b t 2 a b
= + + − + ≤ ≤ +
1-
2 2
x 4 x 2 3x 4 x
+ − = + −
2-
( ) ( )
3 x 6 x 3 x 6 x 3
+ + − − + − =
3-(ĐHSP Vinh-2000) Cho pt:

( ) ( )
x 1 3 x x 1 3 x m+ + − − + − =
a/ Giải pt khi
m 2
=
b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm
4- Cho pt
1 x 8 x (1 x)(8 x) a
+ + − + + − =
a/Gpt khi
a 3
=
b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm
5- Tìm các gt của m để pt có nghiệm

x 1 3 x (x 1)(3 x) m
− + − + − − =

6-
x 1 4 x (x 1)(4 x) 5
+ + − + + − =
Dạng 5: Pdạng
2 2
x a b 2a x b x a b 2a x b cx m
+ − + − + + − − − = +
Trong đó
a,b,c,m
là hằng số
a 0≠
Cách giải : Đặt
t x b
= −
ĐK:
t 0
≥
đưa pt về dạng:

2
t a t a c(t b) m
+ + − = + +
1-
x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1
− + − − − − − =
2-
x 2 x 1 x 2 x 1 2
+ − − − − =
3.
2 x 2 2 x 1 x 1 4

+ + + − + =
4-
x 5
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1
2
+
+ + + + + − + =
5-
x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
+
+ − + − − =
6- Xét pt:
x m
x 6 x 9 x 6 x 9
6
+
+ − + − − =
a/ Giải pt khi
m 23=
. b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm
II-Sử dụng ẩn phụ đưa pt về ẩn phụ đó ,
Ôn thi Đ.H.C.Đ 2010 VB-Ra3105-Nghĩa Hưng C
còn ẩn ban đầu coi là tham số:
1-
( )
2 2
6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0
− + − − − + =

2-(ĐH Dược-1999)
( )
2 2
x 3 10 x x x 12
+ − = − −
3-(ĐH Dược-1997)
( )
2 2
2 1 x x 2x 1 x 2x 1
− + − = − −
4-
( )
2 2
4x 1 x 1 2x 2x 1
− + = + +

5-
( )
2 2
2 1 x x x 1 x 3x 1
− + + = − −
6-
2 2
x 3x 1 (x 3) x 1+ + = + +
III-Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ pt:
Dạng 1: Pt Dạng:
n
n
x a b bx a
+ = −

Cách giải: Đặt
n
y bx a
= −

khi đó ta có hệ:
n
n
x by a 0
y bx a 0

− + =


− + =


1-
2
x 1 x 1
− = +
2-
2
x x 5 5+ + =

3-
2
x 2002 2002x 2001 2001 0
− − + =
4-

3 3
x 1 2 2x 1
+ = −
Dạng 2: Pt Dạ
( )
2
ax b r ux v dx e
+ = + + +
trong đó
a,u,r 0
≠
Và
u ar d, v br e
= + = +
Cách giải: Đặt
uy v ax b
+ = +
khi đó ta có hệ:
( )
( )
2
2
uy v r ux v dx e
ax b uy v

+ = + + +


+ = +



1-(ĐHCĐ KD-2006)
2
2x 1 x 3x 1 0
− + − + =
2-
2
2x 15 32x 32x 20
+ = + −

3-
2
3x 1 4x 13x 5+ = − + −
4-
2
x 5 x 4x 3+ = − −

5-
2
x 2 x 2
= − +
6-
2
x 1 3 x x
− = + −
Dạng 3: PT Dạng:
( ) ( )
n m
a f x b f x c
− + + =

Cách giải: Đặt
( ) ( )
n m
u a f x ,v b f x
= − = +

khi đó ta có hệ:
n m
u v c
u v a b
+ =


+ = +

1-(ĐHTCKT-2000)
3
2 x 1 x 1
− = − −
2-
3 3
x 34 x 3 1
+ − − =
3-
3
x 2 x 1 3
− + + =
4-
4
4

97 x x 5
− + =
5-
4
4
18 x x 1 3− + − =

Phương pháp 3: Nhân lượng liên hợp:
Dạng 1: Pt Dạng:
( ) ( )
f x a f x b+ ± =
Cách giải: Nhân lượng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
f x a f x b
f x a f x a b

+ ± =


+ =


m
1-
2 2
4x 5x 1 4x 5x 7 3
+ + + + + =

2-

2 2
3x 5x 1 3x 5x 7 2
+ + − + − =

3-
2 2
3 x x 2 x x 1
− + − + − =
4-
2 2
x 3x 3 x 3x 6 3
− + + − + =
5.
1 1
1
x 4 x 2 x 2 x
+ =
+ + + + +
Dạng 2: Pt Dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
f x g x m f x g x± = −
1.
x 3
4x 1 3x 2
5
+
+ − − =

2-

3(2 x 2) 2x x 6+ − = + +
Phương pháp 4:Phương pháp đánh giá:
1-
2
x 2 4 x x 6x 11
− + − = − +

2-
2 2 2
x x 1 x x 1 x x 2+ − + − + = − +
3
2
4x 1 4x 1 1
− + − =
4-
2
x 2x 5 x 1 2− + + − =
Phương pháp 5:Phương pháp đk cần và đủ:
1-Tìm m để mổi pt sau có nghiệm duy nhất:

x 2 x m
+ − =
2-
x 5 9 x m− + − =
3-
4 4
x 1 x x 1 x m
+ − + + − =

Phương pháp 6: Phương pháp hàm số :

1-(ĐHCĐ KB-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm:
(
)
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x
+ − − + = − + + − −
2- - Tìm m để các pt sau có nghiệm :
1*/
2
4 x mx m 2
− = − +
2*/
x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1
+ + − − − − − = +
3 (ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:

4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = −

4-CMR
m 0
∀ >
pt sau có 2nghiệm pb:
2
x 2x 8 m(x 2)
+ − = −

5- 1*/
x x 5 x 7 x 16 14

+ − + + + + =

2*/
3
x 1 x 4x 5
− = − − +

3*/
2
2x 1 x 3 4 x− + + = −

6-Tìm m để pt sau có nghiệm:
2 2
x 2x 4 x 2x 4 m
+ + − − + =
VũBình 2010