Một số đề TS 10 Chuyên ban (09-10)-nhiều đề có đáp án

Đại học quốc gia hà nội
Tr ờng đại học ngoại ngữ
cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm
2009
Môn Thi : Toán
Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề)
Ngày thi 07-06-2009 Đề thi gồm 01 trang
( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm)
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức

3
3
2
3 2
3
3
3
3
3 2
3
2
4
.
2
2
2
2:
2

8
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
A
+










++

+
+
+

=
(
)0;8;8 xxx
Chứng minh A không phụ thuộc biến số
Câu 2 : ( 2 điểm)
Cho phơng trình bậc 2 : x
2
-2(m+1)x+4m-m
2
=0 ( tham số m)
1-Chứng minh PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2-Gọi x
1
;x
2
là 2 nghiệm của phơng trình .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

21
xxM =
Câu 3: ( 2 điểm)
Giải hệ phơng trình

=+++
=++++
0424
0)(2
22
22
yxyx
xyyxyx
Câu 4:(3 điểm)
Trên (O;R) lấy 2 điểm A;B tuỳ ý ;C thuộc đoạn AB (C khác A;B)
.Kẻ đờng kính AD Cát tuyến đi qua C vuông góc với AD tại H,cắt (O) tại M;N
.Đờng thẳng đi Qua Mvà D cắt AB tại E.Kẻ EG vuông góc với AD tại G
a- Chứng minh tứ giác BDHC,AMEG nội tiếp.
b- Chứng minh AM
2
=AC.AB
c- Chứng minh AE.AB+DE.DM=4R
2
Câu 5: ( 1 điểm)
Với x,y là số thực thoả mãn x+y+xy=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x
2
+y
2
Hết
SBD thí sinh: Chữ ký GT1:
Đề chính thức

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinhthi vào khối chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1: Cho biểu thức
64169220
24
++++= aaaA
B=a
4
+20a
3
+102a
2
+40a+200
a-Rút gọn A
b- Tìm a để A+B=0
Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu ngời thứ nhất làm 6h
và ngời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi ngời hoàn
thành công việc trên bao lâu?
Câu 3: Cho Parabol y= x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+1
a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
b- Gọi A(x
1

;y
1
) và B(x
2
;y
2
) .Tìm giá trị lớn nhất của
M=(y
1
-1)(y
2
-1)
Câu 4:Cho tam giác ABC với
10;53;5 === BCACAB
.Phân giác BK góc ABC cắt
đờng cao AH;trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (K

AC;H, M

BC)
a-Tính AH
b-Tính diện tích tam giác AOT
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
(
)
(
)
111
22
=++++

yyxx
Chứng minh x+y=0
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

2
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán và chuyên tin)
Thời gian làm bài :150 phút
Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn
2xy
và
2xy
. Chứng minh rằng biểu thức
sau không phụ thuộc vào x, y
333
3
3
22
3
22
2
.
222
2

4
22


+








+

+

=
xy
xy
xy
xy
xy
xy
yx
xy
P
Câu 2 1) Cho phơng trình
0
2

=++ cbxx
, trong đó cá tham số b và c thoả mãn
đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phơng trình có hai
nghiệm phân biệt
21
, xx
sao cho
2
2
21
xxx +=
1) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phơng trình:







=++
=+
1
3510
1
4123
zyx
zyx
Hãy tính giá trị của A = x + y + z
Câu 3 Ba số nguyên dơng a, p, q thỏa mãn các điều kiện:
i) ap + 1 chia hết cho q.

ii) aq + 1 chia hết cho p.
Chứng minh
)(2 qp
pq
a
+
>

Câu 4 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và điểm C thuộc đờng tròn (C không
trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên
AB. Đờng tròn (O
1
) đờng kính AH cắt CA tại E, đờng tròn (O
2
) đờng kính BH cắt
CB tại F.
1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi (O
3
) là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng
của C qua O. Chứng minh ba điểm H, O
3
, D thẳng hàng.
3) Gọi S là giao của các đờng thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC
với đờng tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF.
Câu 5 Một hình vuông có độ dài bằng 1 đợc chia thành 100 hình chữ nhật có chu
vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ không có điểm chung). Kí hiệu P là chu vi
của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này.
1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02.
2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.

Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
3
Đại học quốc gia hà nội Đề tuyển sinh lớp 10
Trờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2009
Môn : toán (vòng 1)
Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 1) Giải phơng trình

122
22
+=+
xxxx
2) Giải hệ phơng trình





+=+
=+
33
1
2
22
yyx
xyyx
Câu II. 1) Tìm chữ số tận cùng của chữ số
2009613
2009613 ++

2) Với a, b là những chữ số thực dơng, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
)54()54( abbbaa
ba
P
+++
+
=
Câu III. Cho hình thoi ABCD. Gọi H là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD.
Biết rằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABD bằng b.
1) Chứng minh rằng
b
a
BH
AH
=
2) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a, b
Câu IV. Với a, b, c là những số thực dơng, chứng minh rằng
5
148314831483
22
2
22
2
22
2
cba
caac
c

bccb
b
abba
a
++

++
+
++
+
++

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

4
Đại học quốc gia hà nội Đề tuyển sinh lớp 10
Trờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2009
Môn : toán (vòng 2)
Thời gian làm bài :150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 1) Giải phơng trình

353684163514
2
+++=+++
xxxx
2) Chứng minh rằng
14)12(4
12

34

3
14
1
2
2
444
+
=
+

++
+
+
+ n
n
n
n
Với mọi n nguyên dơng
Câu II. 1) Tìm chữ số nguyên dơng n sao cho tất cả các số
n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 Đều là nguyên tố
2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp

{ }
)8,78(),62,6(),32,4(),2,16(=M
bằng cặp số (a + c, b + d) trong đó cặp
số (c, d) cũng thuộc M.
Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận đợc tập hợp các
cặp
số
{ }

)912,2240(),2176,1056(),2104,844(),702,2018(
1
=M
hay không?
Câu III. Cho đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đờng thẳng
AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM
( )
AM
.
Từ điểm M kẻ tới đờng tròn (O) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là
các
tiếp điểm, C nằm ngoài (O)). Đờng thẳng AC cắt lần thứ hai đờng tròn
(O) tại điểm P và đờng thẳng AD cắt lần thứ hai đờng tròn (O) tại Q.
Đờng thẳng CD cắt PQ tại K.
2) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng
3) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác
KCP luôn đi qua điểm cố định.
Câu IV. Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện
2,,0 zyx
và x+ y + z = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :
( )
)1)(1(112
444
zyxzyxM
+++=

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
5
UBND TỈNH NINH BÌNH

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT
Chuyên Lương Văn Tụy
Năm học 2009- 2010
(Khóa ngày 30/9/2009)
Môn thi: TOÁN- VÒNG I
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1: (2 điểm)
Tính giá trị biểu thức:
( )
x 5 2 2 5 5 250= + −
3 3
y
3 1 3 1
= −
− +
( )
x x y y
A x y
x xy y
+
= −
− +
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho phương trình (m + 1)x
2
– 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x

1
; x
2
thỏa mãn:
1 2
1 1 7
x x 4
+ =
Câu 3: (1,0 điểm)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi dòng
từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A. Thời
gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca
nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng của ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước.
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường
tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm
ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R)
(N, P là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác
định tâm đường tròn đó.
b) Chứng minh MA.MB = MN
2
.
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Câu 5: (1 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
4 5
23
x y

+ ≥
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6 7
B 8x 18y
x y
= + + +
Hết
6
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
7
ĐÁP ÁN
(Tôi xin trình bày đáp án của bản thân, có gì sai sót
mong quý vị thông cảm và đóng góp ý kiến)
Câu 1: (2 điểm)
Tính giá trị biểu thức:
( )
( )
( )
x 5 2 2 5 5 250
5 2 2 5 5 5 5. 2
5 2 5 2 2 5 5 2
10
= + −
= + −
= + −
=

( ) ( )
( )
3 3

y
3 1 3 1
3 3 1 3 3 1
3 1 3 1
3 3 1
3
2
= −
− +
+ −
= −
− −
−
= =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3
x x y y
A x y
x xy y
x y x y x xy y
x y x y
x xy y x xy y
x y x y x y 10 3 7
+
= −

− +
+ + − +
= − = −
− + − +
= + − = − = − =
Câu 2: (2,5 điểm)
a) Xét phương trình (m + 1)x
2
– 2(m – 1)x + m – 2 = 0
Khi m=2 phương trình trở thành:
2
3x – 2x = 0
( )
0
3 2
2
3
x
x x
x
=


⇔ − ⇔

=

b) Để phương trình là phương trình bậc 2 thì trước tiên m ≠ -1
( ) ( ) ( )
2

' 1 1 2 3m m m m∆ = − − + − = −
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
' 0∆ >
hay m<3 (1)
Áp dụng định lý Viet cho phương trình ta có
1 2
1 2
2( 1)
1
2
.
1
m
S x x
m
m
P x x
m
−

= + =


+

−

= =

+


(2)
Xét biểu thức
1 2
1 2 1 2
1 1 7 x x 7
x x 4 x .x 4
+
+ = ⇔ =
(3)
Thế (2) vào (3)
8
2( 1) 2 7
:
1 1 4
2( 1) 7
8 8 7 14
2 4
m m
m m
m
m m
m
− −
⇒ =
+ +
−
⇔ = ⇔ − = −
−

6m⇔ = −
Kết hợp với điều kiện (1) kết luận m=-6
Câu 3: (1,0 điểm)
Gọi vận tốc của dòng nước là: x (km/giờ) (ĐK: x>0)
Vận tốc thực của ca nô là: 4x (km/ giờ)
Khi ca nô xuôi dòng từ A đến B vận tốc của ca nô so với đường là: 4x+x (km/giờ)
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là:
60 12
4x x x
=
+
(giờ).
Khi ca nô ngược dòng từ B về A vận tốc của ca nô so với đường là: 4x-x (km/giờ)
Thời gian ca ngược dòng từ B về A là:
60 20
4x x x
=
−
(giờ).
Thời gian ca nô nghỉ ở B là 1 giờ 20 phút hay
4
3
giờ.
Vì tổng thời gian hết 12 giờ nên ta co phương trình

12 20 4
12
3
8 1
20 3

3
x x
x
x
+ + =
⇔ + = ⇔ =
Kết luận: Vận tốc dòng nước là 3 km/giờ.
Vận tốc thực của ca nô là 3 x 4=12 km/giờ.
Câu 4: (3,5 điểm)
a) CM tứ giác MNOP nội tiếp:
Xét tứ giác MNOP có
MN ON⊥
(Tính chất tiếp tuyến
⊥
dây cung)

·
0
ONM 90⇒ =
MP OP⊥
(Tính chất tiếp tuyến
⊥
dây cung)

·
0
OPM 90⇒ =

⇒
·

·
0
ONM+OPM 180=
Vậy tứ giác MNOP nội tiếp trong đường
Tròn đường kính OM, tâm là trung điểm OM
(Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
).
b) CM: MA.MB = MN
2
:
Xét 2 tam giác
∆
AMN và
∆
NMB có
Góc
·
AMN
chung.

·
ANM
=
·
ABN
(Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cung chắn
cung
»
AN

của đường tròn tâm O).
⇒
∆
AMN đồng dạng với
∆
NMB
2
MA MN
= MA.MB = MN
MN MB
⇒ ⇔
(Điều phải chứng minh).
9
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
* Xét
∆
MNP có MN=MO (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Nên
∆
MNP cân tại M.
* Giả sử
∆
MNP đều thì góc
·
0
NMP 60=
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có OM là phân giác của góc
·
NMP
nên

⇒
·
0
ONM 30=
* Lại có tam giác
∆
OMN vuông tại N và
·
0
ONM 30=
nên
⇒
·
0
NOM 60=
Gọi I là trung điểm OM thì IN=IM=IO (NI là trung tuyến ứng cạnh huyền
của tam giác vuông OMN)

⇒
Tam giác
∆
ONI đều
Vậy IN=IM=IO=R hay OM =2R
* Kết luận: Vậy để tam giác MNP đều thì OM=2R.
d. Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác MNP là đường thằng d’ song
song với đường thẳng d (trừ các điểm
ở bên trong đường tròn).
Bài 5:
6 7 2 2 4 5

B 8x 18y 8x 18y
x y x y x y
   
 
= + + + = + + + + +
 ÷
 ÷  ÷
 
   
Áp dụng BĐT Côsi và BĐT của đầu bài đã cho ta có
B
8 12 23 43≥ + + =
Dấu bằng xảy ra khi
( )
1 1
x;y ;
2 3
 
=
 ÷
 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi
( )
1 1
x;y ;
2 3
 
=
 ÷

 
Đáp án của Phùng Văn Nhiên
GV: THPT Bán Công Tạ Uyên
10
UBND TNH NINH BèNH
S GIO DC & O TO
K THI TUYN SINH LP 10- THPT
Chuyờn Lng Vn Ty
Nm hc 2009- 2010
(Khúa ngy 30/9/2009)
Mụn thi: TON- VềNG II
Câu 1 (2 điểm)
Cho biểu thức:
2
1 1
( 1)
1
1
x x x
P x x
x
x


= +
ữ ữ
ữ ữ

a. Rút gọn P
b. Tìm
x N

sao cho
2
N
P

(N là tập hợp các số tự nhiên)
Câu 2 (2 điểm)
a. Giải phơng trình:
4 3 2 3 2 11x x x+ + + =
b. Giải hệ phơng trình:
2
2
2
2 1
2 1
2 1
x y
y z
z x

= +

= +


= +

Câu 3 (2 điểm)
a. Cho hai phơng trình x
2
+ 2mx + mn 1 = 0 và x2 2nx + m + n = 0 (ẩn x,
tham số m, n). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n ít nhất một trong hai phơng trình
trên có nghiệm.
b. Ngời ta thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số để
tạo thành một số mới có ba chữ số. Xét tỉ số có tử số là số có ba chữ số (đợc tạo thành) và
mẫu số là số có hai chữ số ban đầu. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá
trị nguyên của các tỉ số trên.
Câu 4 (1 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng
AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ DA
2
= AC
2
+ BD
2
Câu 5 (2 điểm)
Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm bên ngoài đờng tròn. Từ A
kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O;R) (B, C là hai tiếp điểm). Qua B kẻ đờng
thẳng song song với AC, cắt đờng tròn (O; R) tại điểm thứ hai D. Đờng thẳng AD cắt đ-
ờng tròn (O; R) tại điểm thứ hai E.

a. Chứng minh rằng tia đối của tia EC là phân giác của góc AEB
b. Đờng thẳng BE cắt AC tại M. Chứng minh rằng MA = MC.
Câu 6 (1 điểm)
Cho các số 2009 số thực dơng a
1
, a
2
, , a
2009
thỏa mãn a
1
.a
2
a
2009
= 1. Tính tổng
1 1 2 1 2 3 2008 2 2 3 2 3 4 2009
3 3 4 3 4 5 2009 1 2009 2009 1 2009 1 2 3 2007
1 1
1 1
1 1

1 1
S
a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a
= +
+ + + + + + + +
+ + +
+ + + + + + + +

Sở GD&ĐT Nghệ An
Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10
11
Đề thi chính thức
trờng thpt chuyên phan bội châu
năm học 2009 - 2010
Môn thi: toán
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1: (3.5 điểm)
a. Giải phơng trình

3 3
2 7 3x x+ + =
b. Giải hệ phơng trình
3
3
8
2 3
6
2
x
y
x
y

+ =

=


Bài 2: (1.0 điểm)
Tìm số thực a để phơng trình sau có nghiệm nguyên
2
2 0x ax a + + =
.
Bài 3: (2.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đờng phân giác trong BE (E thuộc AC). Đ-
ờng tròn đờng kính AB cắt BE, BC lần lợt tại M, N (khác B). Đờng thẳng AM cắt
BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.
Bài 4: (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh
BC. Đờng tròn đờng kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N
khác C). Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC cắt đờng thẳng AO lần lợt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp đợc
một đờng tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
Bài 5: (2.0 điểm)
a. Bên trong đờng tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn
hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam
giác ABC.
b. Cho a, b, c là các số thực dơng thay đổi thỏa mãn:
3a b c+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca

a b c
a b b c c a
+ +
= + + +
+ +
Hết
Họ và tên thí sinh SBD
* Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
12
Sở GD&ĐT Nghệ An
Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt chuyên
phan bội châu năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn chấm gồm 03 trang
Nội dung đáp án Điểm
Bài 1 3,5 đ
a
2,0đ

3 3
2 7 3x x+ + =
( )
3 3 3 3
2 7 3 2. 7 2 7 27x x x x x x + + + + + + =
0.50đ
3
9 9. ( 2)(7 ) 27x x + + =
0.25đ

3
( 2)(7 ) 2x x + =
0.25đ
( 2)(7 ) 8x x + =
0.25đ
2
5 6 0x x =
0.25đ
1
6
x
x
=



=

( thỏa mãn ) 0.50đ
b
1,50đ
Đặt
2
z
y
=
0.25đ
Hệ đã cho trở thành
3
3

2 3
2 3
x z
z x

+ =


+ =


0.25đ
( )
3 3
3 x z z x =
0,25đ
( )
( )
2 2
3 0x z x xz z + + + =
0,25đ
x z =
(vì
2 2
3 0, ,x xz z x z+ + + >
). 0,25đ
Từ đó ta có phơng trình:
3
1
3 2 0

2
x
x x
x
=

=

=

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
( )
( , ) ( 1; 2), 2,1x y =
0,25đ
Bài 2:
1,0 đ
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:
2
0 4 8 0a a
(*). 0,25đ
Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm nguyên của phơng trình đã cho ( giả sử x
1
x
2
).
Theo định lý Viet:

1 2
1 2 1 2
1 2
. 2
. 2
x x a
x x x x
x x a
+ =

=

= +

0,25đ
1 2
( 1)( 1) 3x x =
13
Đề thi chính thức
1
2
1 3
1 1
x
x
=



=

hoặc
1
2
1 1
1 3
x
x
=


=

(do x
1
- 1 x
2
-1)
1
2
4
2
x
x
=



=

hoặc
1
2
0
2
x
x
=


=

Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )
0,25đ
Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ
Bài 3:
2,0 đ

Vì BE là phân giác góc
ã
ABC
nên
ã
ã
ẳ
ẳ
ABM MBC AM MN= =
0,25đ
ã

ã
MAE MAN =
(1) 0,50đ
Vì M, N thuộc đờng tròn đờng
kính AB nên
ã
ã
0
90AMB ANB= =

0,25đ


ã
ã
0
90ANK AME= =
, kết hợp
với (1) ta có tam giác AME đồng
dạng với tam giác ANK
0,50đ
AN AK
AM AE
=
0,25đ
AN.AE = AM.AK (đpcm)
0,25đ
Bài 4:
1,5 đ
Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên

ã
ã
ANM AIM=
Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên
ã
ã
ANM ABC=
ã
ã
AIM ABC =
.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp
0,25đ
Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI
đồng dạng với tam giác AOB
. .
AM AI
AI AO AM AB
AO AB
= =
(1)
0,25đ
Gọi E, F là giao điểm của đờng thẳng AO
với (O) (E nằm giữa A, O).
Chứng minh tơng tự (1) ta đợc:
AM.AB = AE.AF
= (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)
= AO
2
- R
2

= 3R
2
0,25đ
AI.AO = 3R
2

2 2
3 3 3
2 2 2
R R R R
AI OI
AO R
= = = =
(2)
0,25đ
Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên
OA.OK = OB.OC = R
2
2 2
2 2
R R R
OK
OA R
= = =
(3)
0,25đ
Từ (2), (3) suy ra OI = OK
Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC
Vì vậy BICK là hình bình hành
0,25đ

Bài 5:
2,0 đ
14
K
a,
1,0 đ
Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.
Không mất tính tổng quát, giả sử A và O
nằm về 2 phía của đờng thẳng BC
0,25đ
Suy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K.
Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
0,25đ
Suy ra AH AK < AO <1 suy ra AH < 1
0,25đ
Suy ra
. 2.1
1
2 2
ABC
AH BC
S

= < =
(mâu thuẫn
với giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh.
0,25đ
b, 1,0đ
Ta có: 3(a
2

+ b
2
+ c
2
) = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
)
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
b + b
2
c + c
2
a + ab
2
+ bc
2
+ ca
2

0,25đ
mà a
3
+ ab
2


2a
2
b (áp dụng BĐT Côsi )
b
3
+ bc
2


2b
2
c
c
3
+ ca
2


2c
2
a
Suy ra 3(a
2

+ b
2
+ c
2
)

3(a
2
b + b
2
c + c
2
a) > 0
0,25đ
Suy ra
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
a b c
a b c
+ +
+ + +
+ +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 ( )
P
2( )

a b c
a b c
a b c
+ +
+ + +
+ +
0,25đ
Đặt t = a
2
+ b
2
+ c
2
, ta chứng minh đợc t

3.
Suy ra
9 9 1 3 1
3 4
2 2 2 2 2 2 2
t t t
P t
t t

+ = + + + =
P 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4
0,25đ
Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của

câu đó
S GIO DC V O TO
TNH PH YấN
THI TUYN SINH TRUNG HC PH THễNG
NM HC 2009-2010
15
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
*****
Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x
4
+ ax
3
+ x
2
+ ax + 1 = 0, a là tham số .
a) Giải phương trình với a = 1.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a
2
> 2.
Câu 2.(4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3−
.
b) Giải hệ phương trình:
2
x + y + z = 1
2x + 2y - 2xy + z = 1




.

Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
3x
2
+ 6y
2
+2z
2
+ 3y
2
z
2
-18x = 6.
Câu 4.(3,0 điểm)
a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

3
3 3
abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z)≤
.
b) Từ đó suy ra :
3 3
3 3 3
3 3 3 3 2 3+ + − ≤
Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh
AB, BC, CD, DA của hình vuông.
a) Chứng minh rằng S
ABCD

AC
4
≤
(MN + NP + PQ + QM).
b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS. OA và OB là hai bán
kính thay đổi vuông góc với nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng
PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M
của Ax và By.
=HẾT=
Họ và tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:……………
Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2:….……………………
16
SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN
***
KỲ THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2010
MÔN : TOÁN (Hệ số 2)

ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì
cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm
phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện
trong Hội đồng chấm thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
II- Đáp án và thang điểm:

CÂU ĐÁP ÁN Điểm
Câu
1a.
(2,0đ)
Ta có phương trình :
4 3 2
x + ax +x +ax + 1 = 0 (1)
Khi a =1 , (1)
4 3 2
x +x +x +x+1= 0 (2)⇔
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm.
Chia 2 vế của (2) cho x
2
ta được:
2
2
1 1
x + +x + +1= 0
x x
(3).
Đặt
1 1 1
t = x+ t x+ x + 2
x x x
⇒ = = ≥
và
2 2
2
1
x + t -2

x
=
.
Phương trình (3) viết lại là :
2
t + t - 1 = 0
Giải (3) ta được hai nghiệm
1
1 5
t
2
− +
=
và
2
1 5
t
2
− −
=
đều không
thỏa điều kiện |t|≥ 2.Vậy với a = 1, phương trình đã cho vô
nghiệm.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu1
b.
(2,0đ)

Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên ta cũng chia 2 vế cho
x
2
ta có phương trình :
2
2
1 1
x + +a x + +1= 0
x x
 
 ÷
 
.
Đặt
1
t = x +
x
, phương trình sẽ là : t
2
+ at - 1 = 0 (4).
Do phương trình đã cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t| ≥ 2. Từ
(4) suy ra
2
1- t
a
t
=
.
0,50
0,50

17
Từ đó :
2 2
2
2
(1 - t )
a >2 2
t
⇔ >
2 2
t (t - 4) 1 0 (5)⇔ + >
Vì |t| ≥ 2 nên t
2
>0 và t
2
– 4 ≥ 0 , do vậy (5) đúng, suy ra a
2
> 2.
0,50
0,50
Câu
2a.
(2,0đ)
x + 3 + 6 - x - (x + 3)(6 - x) 3 (1)=
Điều kiện :
x+3 0
-3 x 6
6-x 0
≥


⇔ ≤ ≤

≥

.
Đặt :
2 2
x + 3
, , 0 9.
v = 6 - x
u
u v u v

=

≥ ⇒ + =



Phương trình đã có trở thành hệ :

2 2 2
u + v = 9 (u + v) - 2uv = 9
u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv
 
⇔
 
 

Suy ra : (3+uv)

2
-2uv = 9
uv = 0 u = 0
uv = -4 v = 0
 
⇔ ⇔
 
 

x+3 = 0 x = -3
x = 6
6-x = 0


⇔ ⇔





.
Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu
2b.
(2,0đ)
Ta có hệ phương trình :

2 2
x+y+z=1 x+y = 1-z
2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1
 
⇔
 
 

2 2
x + y = 1 - z
2xy = z - 2z + 1 = (1- z)

⇔



2
2xy = (x + y)⇔

⇔
2 2
x + y = 0 x = y = 0 z = 1⇔ ⇒
.
Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) =
(0 ;0; 1).
0,50
0,50
0,50
0,50

Câu 3.
(3,0đ) Ta có : 3x
2
+ 6y
2
+ 2z
2
+3y
2
z
2
-18x = 6 (1)

2 2 2 2 2
3(x-3) + 6y + 2z + 3y z 33 (2)⇔ =
Suy ra : z
2
M
3 và 2z
2
≤ 33
Hay |z| ≤ 3.
Vì z nguyên suy ra z = 0 hoặc |z| = 3.
a) z = 0 , (2) ⇔ (x-3)
2
+ 2y
2
= 11 (3)
Từ (3) suy ra 2y
2

≤ 11 ⇒ |y| ≤ 2.
Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn.
Với |y| = 1, từ (3) suy ra x
∈
{ 0 ; 6}.
b) |z| = 3, (2) ⇔ (x-3)
2
+ 11 y
2
= 5 (4)
Từ (4) ⇒ 11y
2
≤ 5 ⇒ y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
18
mãn.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-
1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0).
0,50
Câu
4a.
(2,0đ)
3
3 3
abc xyz (a+x)(b+y)(c+z) (1)+ ≤
Lập phương 2 vế của (1) ta được :

2 2
3 3
abc + xyz + 3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (a+x)(b+y)(c+z)≤
2 2
3 3
abc + xyz+ 3 (abc) xyz +3 abc(xyz)⇔ ≤

abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz
2 2
3 3
3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc)⇔ ≤
(2)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
2
3
(abz+ayc+ xbc) 3 (abc) xyz≥
(3)
2
3
(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz)≥
(4)
Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó
(1) được chứng minh.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu4
b.

(1,0đ)
Áp dụng BĐT (1) với
3 3
a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 1
Ta có : abc = 3 +
3
3
, xyz = 3-
3
3
, a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2
Từ đó :
3 3
3 3 3 3
3+ 3 3- 3 6.2.2 2 3+ ≤ =
(đpcm).
0,50
0,50
Câu
5a.
(2,0)
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của
QN, MN, PQ. Khi đó :
BJ =
MN
2
(trung tuyến ∆ vuông MBN)
Tương tự DK =
PQ
2

.
IJ =
QM
2
(IJ là đtb ∆ MNQ).
Tương tự IK =
PN
2
.
Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD. Dođó:
ABCD
AC AC
S .BD (BJ+JI + IK+KD)
2 2
= ≤
AC
= (MN+NP+PQ+QM)
4
- đpcm.
0,50
0,50
0,50
0,50
Câu5
b.
(1,0)
Chu vi tứ giác MNPQ là :
MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ
= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)
Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ

//NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông
cân bằng nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật.
0,50
0,50
Câu 6. Kí hiệu như hình vẽ.
19
A B
D C
M
N
P
Q
I
J
K
x
y
O
K
H
P
Q
RS
A
B
M
M'
B'
(3,0đ) Phần thuận :
·

·
0
AOB =AMB 90=
(giả thiết)
⇒ tứ giác AOBM luôn nội tiếp
⇒
·
·
0
AMO ABO 45= =
(vì ∆AOB
vuông cân tại O)
Suy ra M luôn nằm trên đường
thẳng đi qua O và tạo với đường
PQ một góc 45
0
.
Trường hợp B ở vị trí B’ thì M’
nằm trên đường thẳng đi qua O
và tạo với PS một góc 45
0
.
Giới hạn :
*) Khi A ≡ H thì M ≡ Q, khi A ≡ K thì M ≡ S
*) Trường hợp B ở vị trí B’: khi A ≡ H thì M’ ≡ P, khi A ≡ K thì
M’ ≡ R
Phần đảo: Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M’ trên PR),
qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) tại
A. Kẻ bán kính OB ⊥ OA.
Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì

·
·
0
AMO ABO 45= =
)
Suy ra :
·
·
0
AMB AOB 90= =
.
Mà AM//PQ , PQ ⊥PS ⇒ MB//PS.
Kết luận:Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông
PQRS.
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
=Hết=
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
Môn thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm : 01 trang
20
®Ò chÝnh thøc

Bài 1. (2,0 điểm) :
a. Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1
2( )
( 1) 1k k k k
< −
+ +
b. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 88
2 45
3 2 4 3 2010 2009
+ + + + <L
Bài 2. (2.5 điểm): Cho phương trình ẩn x:
2
( 1) 6 0x m x+ − − =
(1) (m là tham
số)
a. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
x 1 2= +
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm
1 2
, x x
sao cho biểu thức:
2 2
1 2
( 9)( 4)A x x
= − −
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3. (2,0 điểm):

a. Giải hệ phương trình sau :
2 2
3 3
3
9
x y xy
x y

+ − =


+ =


b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
Bài 4. (3,0 điểm): Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB
(M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ
đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau
tại điểm thứ hai là N.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3
điểm
C, M, N thẳng hàng.
b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
Bài 5. (0.5 điểm): Cho góc xOy bằng
o
120
, trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao
cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít

nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho
độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương.
========= Hết =========
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……………………………….………………… Số báo danh:…………….
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN
CÂU
Ý
NỘI DUNG
Bài 1.
a. Cho k là số nguyên dương bất kì. CMR:
1 1 1
2( )
( 1) 1k k k k
< −
+ +
21
(2điểm)
b. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 88
2 45
3 2 4 3 2010 2009
+ + + + <L
a.
(1.0đ)
Bđt
1 2 k 1 2 k

(k 1) k k. k 1
+ −
⇔ <
+ +
⇔
2k 1 2 k(k 1) 0+ − + >

2
( k 1 k) 0⇔ + − >
Luôn đúng với mọi k nguyên dương.

1 1 1
2( )
( 1) 1
⇒ < −
+ +
k k k k
b.
(1.0đ)
Áp dụng kết quả câu a ta có:
1 1 1 1
VT
2 1 3 2 4 3 2010 2009
= + + + +L
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1 2 2 3 2009 2010
   
 
< − + − + + −

 ÷  ÷ ÷
 
   
L
1
2 1
2010
 
= −
 ÷
 
1 88
2 1 VP
45 45
 
< − = =
 ÷
 
(đpcm)
Bài 2
(2.5
điểm)
Cho phương trình ẩn x:
2
( 1) 6 0x m x+ − − =
(1) (m là tham số)
c. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
x 1 2= +
d. Tìm m để (1) có 2 nghiệm
1 2

,x x
sao cho biểu thức:
2 2
1 2
( 9)( 4)A x x
= − −
max
a.
(1,5đ)
Pt (1) có nghiệm
x 1 2= +

( )
( )
( )
2
1 2 1 1 2 6 0⇔ + + − + − =m
Tìm được
5 2 6m = −
và KL.
b.
(1,0đ)
Tính
( )
2
1 24 0 m m∆ = − + > ∀
suy ra pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.

( ) ( )
2 2
1 2 1 2
6 2 3A x x x x= + − +
Theo ĐL Vi-et ta có
1 2
6x x = −
⇒
( )
2
1 2
2 3 0A x x= − + ≤
22
Max A = 0 khi và chỉ khi
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2
2 3 0 3 3
6 2 2
1 0 2
x x x x
x x x x
x x m m m
+ = = = −
  
  
= − ⇔ = − ∨ =
  
  
+ = − = =

  
KL : Vậy m = 0 ; m = 2 là các giá trị cần tìm.
Bài 3
(2 điểm)
a. Giải hệ phương trình sau :
2 2
3 3
3
9
x y xy
x y

+ − =


+ =


b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
a
(1.0đ)
Hệ phương trình đã cho
2 2
2
2 2
3
3
( ) 3 3

( )( ) 9
x y
x y xy
x y xy
x y x y xy
+ =

+ − =


⇔ ⇔
 
+ − =
+ + − =



3 1

2 2
x y x
xy y
+ = =
 
⇔ ⇔
 
= =
 
hoặc
2

1
x
y
=


=

b
(1.0đ)
Ta có
2
3 3 2
3 7
2 3 2 2 0
4 8
y x x x x x y
 
− = + + = + + > ⇒ <
 ÷
 
(1)

2
3 3 2
9 15
( 2) 4 9 6 2 0 2
4 16
x y x x x y x
 

+ − = + + = + + > ⇒ < +
 ÷
 
(2)
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x = 1 từ đó tìm
được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là (1 ; 2), (-1 ; 0)
23
Bài 4.
(3 điểm)
Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB
(M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại
B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và
đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
c. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Từ đó suy ra 3 điểm C, M, N thẳng hàng.
d. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
K
H
N
O
I
J
B
A
D
C
M
a.
2.0đ

MNB MBC
∠ = ∠
( Cùng chắn cung BM)
MND MDC∠ = ∠
( Cùng chắn cung DM)
90BND MNB MND MBC MDC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ =
o
Do đó 5 điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường tròn
Suy ra NC là phân giác của góc BND ( do cung BC = cung BD)
Mặt khác, theo CM trên ta có NM là phân giác của góc BND
Nên M, N, C thẳng hàng.
b.
1.0đ
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của N trên AC và BD

⇒
NHOK là hình chữ nhật
Ta có :
. . . 2NA NC NH AC NH a= =


. . . 2NB ND NK BD NK a= =
Suy ra
2 2 4
2 2 2 2
. . . 2 . . 2 . .
2 2
NH NK a
NA NB NC ND a NH NK a a NO
+

= ≤ = =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
a
NH NK= =

(2 2)
2
a
OM
−
⇔ =
24
Bài 5.
(0.5
điểm)
Cho góc xOy bằng
o
120
, trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho
độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn
tại ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại
B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương.
y
z
x
A
O
B
C

• Chỉ ra đường thẳng
1
d
đi qua A và vuông góc với OA thỏa mãn bài toán
• Đặt OA = a > 1 (a nguyên). Trên tia Ox lấy điểm B sao cho OB = a + 1
nguyên dương. Đường thẳng
2
d
đi qua A, B cắt tia Oy tại C.
Chứng minh được
1 1 1
OB OC OA
+ =


1 1 1
( 1)
1
OC a a
a OC a
⇒ + = ⇒ = +
+
là số nguyên dương
Suy ra
2
d
là một đường thẳng cần tìm.
• Tương tự lấy B trên Ox sao cho OB = a(a + 1), Ta tìm được đường thẳng
3
d

• Chứng minh
1 2 3
, ,d d d
phân biệt. ĐPCM
Hướng dẫn chung
1. Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm cho từng câu. Yêu cầu học sinh phải trình
bầy, lập luận và biến đổi hợp lý, chặt chẽ mới cho điểm tối đa.
2. Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải bài toán mới cho điểm.( không cho
điểm hình vẽ )
3. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
4. Chấm điểm từng phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần( không làm tròn).
===========================
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao
25
ĐỀ CHÍNH THỨC