SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HAY ĐÂY 6

Phần một : đặt vấn đề
Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn
toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng. Thông qua môn toán, học sinh
nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng
dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao
động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học Để giúp
HS học tốt môn toán đòi hỏi ngời thày giáo phải có sự lao động sáng tạo nghiêm
túc.
Một vấn đề lớn trong chơng trình toán THCS là vấn đề chia hết. Vấn đề này
đợc đa vào từ lớp 5, phát triển ở lớp 6, lớp 7 và đợc đề cập trong những bài toán
nâng cao dành cho học sinh giỏi ở lớp 8, lớp 9. Trong các kì thi học sinh giỏi các
cấp, đặc biệt là ở lớp 6 thì vấn đề chia hết là một nội dung hay đề cập đến và thờng
là những bài khó. Các bài toán về chia hết nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập nh
SGK thì rất dễ nhng các bài toán nâng cao thì rất khó, đa dạng và không có một
quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phơng pháp khác nhau một cách linh
hoạt, sáng tạo. Trong khi năng lực t duy, khả năng phân tích tổng hợp của HS còn
hạn chế nên HS thờng bế tắc trong việc tìm ra cách giải cho loại toán này. Vấn đề
đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài toán và lựa chọn phơng pháp
thích hợp để giải. Hơn nữa để giải đợc các bài tập nâng cao về tính chia hết thì
ngoài việc nắm kiến thức cơ bản có trong chơng trình, HS còn phai nắm vững một
số kiến thức bổ sung mở rộng, những kiến thức này không đợc phân phối trong các
tiết học nên HS ít đợc vận dụng và rèn luyện trừ khi gặp những bài tập khó.Vì thế
kỹ năng vận dụng các kiến thức đó cha đợc thành thạo, nhạy bén, HS thờng mắc sai
lầm nh : Khi thấy một tổng chia hết cho m thì vội vã kết luận các số hạng chia hết
cho m ; hoặc khi thấy am và an thì kết luận ngay là amn mà không xem xét
xem m,n có nguyên tố cùng nhau hay không.
Để giúp HS gải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến
thức về tính chia hết, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dỡng HS giỏi, góp
phần vào việc đào tạo và bồi dỡng nhân tài. Tôi xin trình bày kinh nghiệm Hớng
dẫn HS lớp 6 giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong N. Đây là sự
đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho HS phơng pháp nhận dạng các bài toán về

tính chia hết và hớng dẫn phơng pháp phân tích để có lời giải hợp lý.
Phần hai : Giải quyết vấn đề
A. Vấn đề cần giải quyết :
Để làm đợc các bài tập nâng cao về tính chia hêt HS phải nắm đợc định
nghĩa, các tính chất cơ bản về số nguyên tố, hợp số, các em phải nắm đợc tính chất
chia hết có liên quan đến số nguyên tố nh thế nào. Các em còn cần đợc mở rộng
một ssó dấu hiệu chia hết, bổ sung một số kiến thức về ƯCLN, BCNN. Từ đó các
em phải nắm đợc phơng pháp cơ bản để giải bài toán về tính chất chia hết và các
bài tập có liên quan.
1
Ngoài ra HS cần nắm đợc một số dạng toán điển hình về chia hết và có ph-
ơng pháp giải quyết phù hợp đối với mỗi dạng. Có đợc kỹ năng này các em sẽ làm
đợc các bài tập một cách nhanh gọn, linh hoạt.
Để giải quyết đợc những vấn nêu trên HS cần phải phát huy tính tích cực, t
duy sáng tạo. Còn giáo viên là ngời thiết kế, hớng dấn các em, khơi dậy t duy, tạo
hứng thú học tập. Có nh vậy chơng trình dạy và học mới đạt hiệu quả cao.
B. Các biện pháp tiến hành :
I. Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ :
Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng cố cho
các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan, đó
là:
1/ Định nghĩa :
cho hai số tự nhiên a và b (b 0). Ta nói a chia hế cho b nếu tồn tại số tự
nhiên q sao cho a = b.q . Ta còn nói a là bội của b hoặc b là ớc của a, hoặc a chia
hết cho b.
2/ Các tính chất về chia hết :
* Tính chất chung :
a) Số 0 chia hết cho mọi số b 0.
b) Mọi số a 0 đều chia hết cho chính nó.
c) Tính chất bắc cầu : Nếu ab, bc thì ac.

+ Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu.
d) Nếu am, bm thì tổng a + bm, a - bm.
+ Hệ quả :
- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) và am thì bm.
- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) và bm thì am.
e) Nếu am, bm thì a + bm, a - bm ;
Nếu am, bm thì a + bm, a - bm.
f) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
+ Hệ quả: Nếu am thì a
n
m (n là số tự nhiên 0).
g) Nếu am, bn thì abmn
+ Hệ quả : nếu ab thì a
n
b
n
.
h) Nếu AB thì mA +nBB , mA nBB.
i) Nếu một tích chia hết cho một số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của
tích chia hết cho p.
+ Hệ quả: nếu a
n
p (p là số nguyên tố) thì ap.
j) Nếu abm, b và m, n guyên tố cùng nhau thì am.
k) Nếu am, an thì aBCNN(m,n) .
+ Hệ quả :
- Nếu am, an, (m,n) = 1 thì amn
- Nếu a chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì a
chia hết cho tích của chúng.
3/ Bổ sung một số dấu hiệu chia hết :

2
Ngoài các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 mà HS đã đợc học
trong chơng trình SGK, cần bổ sung thêm một số dấu hiệu sau:
a) Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 :
Một số chia hết cho 4 (hoặc cho25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ số tận
cùng chia hết cho 4 ( hoặc cho 25).
b) Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 :
Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận
cùng chia hết cho 8 ( hoặc cho 125).
c) Dấu hiệu chia hết cho 10:
Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0.
d) Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các số đứng ở vị trí lẻ
và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết chia 11.
4/ Bổ sung kiến thức về ƯCLN và BCNN :
a) Thuật toán Ơclit :
+ Nếu ab thì ƯCLN(a,b) = b.
+ Nếu ab thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r).
(r là số d trong phép chia a cho b)
b) ƯCLN(a,b). BCNN(a,b) = ab.
5/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau :
+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có hai ớc là 1 và chính nó.
Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ớc.
+ Hai hay nhiều số đợc gọi là hai số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của
chúng bằng 1.
II. Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải:
Bài tập về tính chia hết rất phong phú và đa dạng. Trong phần này tôi chỉ đề
cập đến một số dạng toán điển hình, có thể phân loại nh sau :
1/ Các bài toán áp dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết :

* Dạng 1:
Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số: Để chứng minh một biểu
thức chia hết cho một số nào đó, ngoài việc sử dụng các tính chất chia hết và các
dấu hiệu chia hết đã biết rồi còn phải tuỳ theo từng trờng hợp cụ thể để kết hợp với
một số kiến thức khác nh :Các tính chất của các phép toán, phép luỹ thừa, tìm chữ
số tận cùng của luỹ thừa, phép chia có d, cấu tạo số, số nguyên tố cùng nhau Cụ
thể là :
a) Kết hợp với các kiến thức về luỹ thừa và tìm chữ số tận cùng của luỹ
thừa :
Ví dụ 1:
Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ + 2
99
+ 2
100
. Chứng minh rằng A chia hết cho 31.
- Phơng pháp : Chia tổng A thành từng nhóm thích hợp để biến đổi về dạng
A = 31.Q rồi áp dụng tính chất :
3
Giải:

A = (2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4

+ 2
5
) + (2
6
+ 2
7
+ 2
8
+ 2
9
+ 2
10
) +
+ (2
96
+ 2
97
+ 2
98
+ 2
99
+ 2
100
)
= 2(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4

) + 2
6
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) +
+ 2
96
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
)
= 2.31 + 2
6
.31 + +2
96
.31 = 31(2 + 2
6
+ + 2
96
)
Vậy A31
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng 3

4n + 1
+ 2 5 với mọi n .
- Phơng pháp : Tìm chữ số tận cùng của 3
4n + 1
+ 2 rồi sử dụng dấu hiệu chia
hết cho 5.
Giải :
3
4n + 1
+ 2 = (3
4
)
n
. 3 + 2 = 81
n
.3 + 2
Những số có chữ số tận cùng là 1 thì khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào khác 0
cũng vẫn có tận cùng là 1, do đó 81
n
có tận cùng là 1.
81
n
.3 có tận cùng là 3 81
n
.3 + 2 có tận cùng là 5.
vậy 81
n
.3 + 2 5 hay 3
4n + 1
+ 2 5 .

Ví dụ 3:
Chứng minh rằng 10
33
+ 82 và 9
Giải :
10
33
+ 8 = 10 0 + 8 = 10 08
33 chữ số 0 32 chữ số 0
Số 10 08 có chữ số tận cùng là 8 nên 2, có tổng các chữ số
33 chữ số 0 là 9 nên9
b) Kết hợp với kiến thức về phép chia có d :
Ví dụ 4 :
Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự nhiên c có cùng số
d thì hiệu của chúng chia hết cho c .
- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức về phép chia có d để biểu diễn a, b rồi tìm
hiệu của chúng.
Giải :
Ta có a = cq
1
+ r (0 r < c)
b = cq
2
+ r (0 r < c)
Giả sử a > b, a b = (cq
1
+ r) - (cq
2
+ r) = cq
1

+ r cq
2
- r = cq
1
- cq
2
=
= c(q
1
- q
2
)
Vậy a bc
- Khai thác bài toán :
Ta biết rằng số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số d trong phép
chia cho 3, cho 9 (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho9). Từ đó rút
ra nhận xét :
Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, cho9.
4
(Yêu cầu HS ghi nhớ nhận xét này để vận dụng giải bài tập).
Ví dụ 5:
Cho nN. Chứng minh rằng : n(n + 1)(2n + 1) 6
Giải :
+ Trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có một số là bội của 2
Do đó n(n + 1)(2n + 1) 2.
+ Ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) 3 thì n(n + 1)(2n + 1) 6
(Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau)
Xét hai trờng hợp :
- Nếu n 3 n(n + 1)(2n + 1) 3 n(n + 1)(2n + 1) 6
- Nếu n 3 n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k N)

Khi n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 33
n(n + 1)(2n + 1)3 n(n + 1)(2n + 1)6
Khi n = 3k + 2 thì n + 1 = (k + 2) + 1 = 3k + 33
n(n + 1)(2n + 1)3 n(n + 1)(2n + 1)6
Vậy :Trong mọi trờng hợp ta luôn có n(n + 1)(2n + 1)6
c) Sử dụng cấu tạo số để biến đổi:
Ví dụ 6:
Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c chia hết cho 7.
- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích abc thành tổng
của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là 2a + 3b + c
Giải:
Ta có abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c
= (98a + 7b) + (2a + 3b + c)
= 7(14a + b) + (2a + 3b + c)
Mà 7(14a + b) chia hết cho 7
Do đó (2a + 3b +c) chia hết cho 7
Ví dụ 7:
Với a, b là những chữ số 0. Hãy chứng minh:
a) aaabbb chia hết cho 37
b) (abab baba) chia hết cho 9 và 101 (a > b)
- Phơng pháp: Dùng cấu tạo số để biến đổi về dạng A = BQ
Giải: a, aaabbb = 1000 aaa + bbb = 1000.111a + 111b
= 111(1000a + 6) = 337 (1000a +b)
Vậy aaabbb chia hết cho 37
d. Toán về chia hết có liên quan đến hai số nguyên tố cùng nhau:
Ví dụ 8:
Cho biết 3a + 2b chia hết cho 17 (a,b N), chứng minh rằng 10a + b chia
hết cho 17.
Giải: Đặt 3a + 2b = X, 10a + b = Y
Ta có: 2Y X = 2 (10a + b) (3a +2b)

= 20a + 2b 3a 2b = 17a
5
Do đó 2Y X chia hết cho 17, mà X chia hết cho 17 nên 2Y chia hết
cho 17 (hệ quả của tính chất 4). Mặt khác 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên Y chia
hết cho 17 (tính chất 10) hay 10a + 6 chia hết cho 17.
Ví dụ 9:
Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số. Chứng minh rằng nếu chuyển chữ
số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn đợc số chia hết cho 7.
Giải: Gọi số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số là: X = abcdeg
Nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta đợc số: Y = gabcde
Đặt abcde = n thì X = 10n + g, Y = 100000g + n
Ta có: 10Y X = 10(100000g +n) (10n + g)
= 1000000g + 10n 10n g = 999999g 7
10 Y X chia hết cho 7, X chia hết cho 7 nên 10Y 7
Mà 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên Y 7 hay abcdeg 7
e/ Sử dụng một số tính chất khác:
Ví dụ 10:
Chứng minh rằng 10
n
+ 18n 1 chia hết cho 27
- Phơng pháp: biến đổi 10
n
+ 18n 1 thành tổng các số hạng đều chia hết
cho 27.
Giải: Ta có 10
n
+ 18n 1 = 10
n
1 9n + 27n
= 99 9 9n + 27n

n
= 9 (11 1 n) + 27n
n
Dựa vào nhận xét ở ví dụ 4 ta có :
Số 11 1 và tổng các chữ số của nó (bằng n) có cùng số d trong
n
phép chia cho 3 nên hiệu của chúng chia hết cho 3, nghĩa là :
11 1 n chia hết cho 3, do đó 9(11 1 n) chia hết cho 27 .
n n
Vậy 9(11 1 n) + 27n chia hết cho 27
n
Hay 10
n
+ 18n 1 chia hết cho 27.
Ví dụ 11:
Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
- Phơng pháp: biến đổi số đó thành tích của hai thừa số, một thừa số chia hết
cho 9, một thừa số chia hết cho 3 rồi áp dụng tính chất 7.
Giải: Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.
Tổng các chữ số của B là 9 nên B9 (1)
Lấy A chia B đợc thơng là: 100 0100 0 (d 0)
8 chữ số 0 8 chữ số 0
Ta viết đợc A = B.C
Tổng các chữ số của C bằng 3 nên C3 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra B.C27 hay A7
6
* Dạng 2 :
Tìm các chữ số theo điều kiện về chia hết.
Ví dụ 12:
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 36

- Phơng pháp : Xét điều kiện để A4 và cho 9 từ đó tìm ra các chữ số.
Giải :
Để A34 thì A4 và 9 hai chữ số tận cùng của A tạo thành số chia hết cho 4,
nghĩa là 2*4 2* {20 ; 24 ; 28}
- Trờng hợp 1 : A = 52*20. Để A9 thì 5 + 2 + * + 2 + 0 phải chia hết cho 9, tức là
9 + * phải chia hết cho 9, do đó * { 0 ; 9 }
- Trờng hợp 2 : A = 52*24. Lập luận tơng tự nh trên ta có * = 5.
- Trờng hợp 3 : A = 52*28, ta có * = 1
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp vừa tìm ở trên, ta tìm đợc các số :52020 ;
52920 ; 52524 ; 52128 đều chia hết cho 36.
Ví dụ 13 :
Tìm các chữ số a và b sao cho a b = 4 và 7a5b13.
Giải :
Vì 13 : 3 d 1 a + b : 3 d 2 (1)
Do a, b là chữ số và a b = 4 nên :
4 a 9 và 0 b 5 4 a + b 14 (2)
Do a b là số chẵn nên a + b cũng là số chẵn (3)
Từ (1),(2),(3) a + b {8 ; 14}
Với a + b = 8 , a b = 4 a = 6, b =2
Với a + b = 14, a b = 4 a = 9, b = 5
Ta đợc các số 76521 ; 79551 3
Ví dụ 14:
Tìm chữ số a để 1aaa111.
Giải :
Tổng chữ số hàng lẻ là 1 + a + 1 = a + 2
Tổng chữ số hàng chẵn là a + a = 2a
- Nếu 2a a + 2, ta có 2a (a + 2) = a - 2
để 1aaa111 thì a - 211, mà 2 a < 2 2 a = 0 a = 2
- Nếu 2a < a + 2, ta có a + 2 2a = 2 - a
để 1aaa1 11 thì 2 - a 11 mà 2 a < 2 2 a = 0 a = 2

Vậy với a = 2 thì ta đợc số 1222111
Ví dụ 15 :
Tìm chữ số a, biết rằng 20a20a20a7
Giải :
Ta có 20a20a20a = 20a.20a.1000 + 20a
= (20a.1000 + 20a).1000 + 20a
= 1001.20a.1000 + 20a
= 7.143.20a.1000 + 20a7
7
mà 7.143.20a.1000720a7
20a = 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a)7
mà 1967 4 + a7. Vì a là chữ số a = 3. Ta đợc số 2032032037
* Dạng 3 : Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trớc
Ví dụ 16:
Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:
(2x + 1)(y 3) = 10
- Phơng pháp : Xét các ớc của 10
Giải :
x và y là các số tự nhiên nên 2x + 1 và y 3 là các ớc của 10 (y>3). Các ớc của 10
là 1 ; 2 ; 5 ; 10. Vì 2x + 1 là số lẻ nên 2x + 1 {1 ; 5}
Ta có bảng sau :
2x + 1 y - 3 x y
1 10 0 13
5 2 2 5
Ví dụ 17 :
Tìm số tự nhiên n sao cho n + 6 2n 1
Giải :
n + 6 2n 1 [2(n+6) (2n 1)] 2n 1
(2n + 12 2n + 1) 2n 1
132n 1

2n 1 là ớc của 13 2n 1 {1; 13}
Ta có bảng sau:

2n 1 1 13
n 1 7
Ví dụ 18:
Tìm số tự nhiên n lớn nhất có hai chữ số sao cho n
2
n chia hết cho 5
Giải:
Ta có n
2
n = n(n -1)
n
2
n chia hết cho 5 n(n -1)5 do đó n5 hoặc n - 15
Nếu n5 n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
Nếu n - 15 n có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6. Do đó n có thể có chữ số tận
cùng là 0 ; 1 ; 5 ; 6. Để n là lớn nhất có hai chữ số sao cho n
2
n5 ta chọn n =
96.
Ví dụ 19 :
Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 7
Giải :
18n + 3 7 21n (18n + 3) 7 21n 18n - 37 3n - 37 3(n
1)7
Vì 3, 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên n 1 7
n = 7k + 1 (k N)
8

Ví dụ 20 :
Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó
Giải :
Gọi số có hai chữ số phải tìm là ab, theo bài ra ta có ab ab
ab = 10a + bab (1)
10a + b a mà 10a a ba
b = ka (2) (kN; k<10)
Thay (2) vào (1) ta có: 10a + kaaka
10a + kaka 10a ka 10ka k {1; 2; 5} (vì k < 10)
+ Nếu k = 1 ta có b = a. Thay vào (1) đợc :
10a + aa
2
11a a = 1, do đó b = 1. Vậy ab = 11
+ Nếu k = 2 ta có b = 2a
Lần lợt xét các số có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục là:
12; 24; 36; 48 ta thấy các số 12; 24; 36 thoả mãn đầu bài.
+ Nếu k = 5 ta có b = 5a. Ta thấy số 15 thoả mãn đầu bài.
Vậy có 5 số thoả mãn là: 11; 12; 15; 24; 36
Ví dụ 21:
Tìm số có ba chữ số nh nhau biết rằng số đó có thể viết đợc dới dạng tổng các số tự
nhiên liên tiếp từ 1.
Giải:
Gọi số cần tìm là aaa. Theo bài ra ta có:

Vì n (n+1)37 nên tồn tại một trong hai thừa số 37. Mà:

là số có 3 chữ số nên (n + 1) và n đều nhỏ hơn 74.
n = 37 hoặc n + 1 = 37
Vậy số phải tìm là 666
2/ Các bài toán về số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau :

* Dạng 1 :
Chứng minh một số là số nguyên tố, hợp số.
Ví dụ 22 :
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n 0 thì số
9
2.3.37a1)n(n2.111.a1)n(n111a
2
1)n(n
2
1)n(n
n 321aaa
=+=+=
+

+
=++++=
2
1)n(n
+
mãn)(thoả666
2
36.37
aaacóta,36n371nNếu
703(loại)
2
37.38
2
1)n(n
aaa cóta 38, 1 n 37 nNếu
====+

==
+
==+=
11 1211 1 là hợp số
n n
- Phơng pháp : Phân tích số đã cho thành tích của hai thừa số lớn hơn 1.
Giải :
Ta có : 11 1211 1 = 11 100 0 + 11 1 = 11 1. (10
n
+1) là tích của
n n n + 1 n n + 1 n + 1
hai thừa số lớn hơn 1.
Vậy tích đã cho là hợp số.
Ví dụ 23:
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là số
nguyên tố hay hợp số.
- Phơng pháp: Xét các khả năng có thể xảy ra của p rồi thay vào 4p + 1
Giải:
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p3. Do đó p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2.
Với p = 3k + 1 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 3 nên là hợp số, trái với đề bài
cho 2p + 1 là số nguyên tố.
Do đó p = 3k + 2, khi đó 4p + 1 = 4(3p + 2) + 1 = 12k + 9 9 và 12k + 9 > 3.
Vậy 4p + 1 là số nguyên tố.
* Dạng 2:
Tìm số nguyên tố theo các điều kiện của nó.
Ví dụ 24 :
Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2, p + 4 cũng là số nguyên tố.
Giải :
Xét các trờng hợp :
Với p = 2 thì p + 2, p + 4 đều là hợp số, không thoả mãn.

Với p = 3 thì p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố, thoả mãn.
Với p > 3, do p là số nguyên tố nên p3 p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
Nếu p = 3k + 1 p + 2 = 3k + 3 là hợp số, không thoả mãn.
Nếu p = 3k + 2 p + 4 = 3k + 6 là hợp số, không thoả mãn.
Vậy p = 3 là giá trị duy nhất phải tìm.
* Dạng 3:
Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 25:
Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 (nN) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Giải:
Gọi d là ớc chung của 2n + 1 và 3n + 1
Ta có: 2n + 1 d; 3n + 1d
[3(2n+1) 2(3n + 1)]d
6n + 3 6n - 2d
1d d = 1
Vậy 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 26 :
10
Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, chứng minh rằng ab và a + b cũng là hai
số nguyên tố cùng nhau.
- Phơng pháp : Chứng minh bằng phản chứng.
Giải :
Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d tồn tại một thừa số a hoặc b
chia hết cho d.
Giả sử ad mà a + bd bd d là ớc chung của a và b nhng (a,b) = 1 nên
điều đó trái với đề bài. Vậy ab và a + b là hai sốnguyên tố cùng nhau.
* Dạng 4:
Tìm điều kiện để hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 27:
Tìm số tự nhiên n để 4n + 3 và 2n + 3 nguyên tố cùng nhau

- Phơng pháp: ta tìm ƯC (4n + 3; 2n + 3) rồi xét điều kiện để ƯCLN của chúng
bằng nhau.
Giải:
Giả sử d ƯC (4n + 3; 2n + 3), ta có 4n + 3d và 2n + 3d
[2(2n + 3) (4n + 3)] 3d d {1; 3}
Để ƯCLN(4n + 3; 2n + 3) = 1 thì 2n + 33 hay 2n3 n3
n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2.
Vậy với n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng
nhau.
3/ Các bài toán về ƯCLN, BCNN :
* Dạng 1 :
Tìm ƯCLN của hai số bằng thuật toán Ơclit : nếu = bq + r (0 < r < b) thì
ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r). Từ đó có cách tìm ƯCLN của hai số nh sau :
Lấy a chia cho b d r, Lấy b chia cho r d r
1
, Lấy r chia cho r
1
d r
2
Cứ tiếp tục nh
vậy cho đến khi đợc số d bằng 0 thì số d cuối cùng khác 0 là ƯCLN phải tìm.
Ví dụ 28 :
Tìm ƯCLN(A;B) biết rằng A gồm 1991 chữ số 2, B gồm 8 chữ số 2.
Giải :
A = 22 2, B = 22 2
1991 chữ số 2 8 chữ số 2
Ta có 1991 chia cho 8 d 7; 8 chia 7 d 1 nên khi chia A cho B ta đợc d là
22 2 . Tiếp tục phép chia B cho số d trên ta đợc số d là 2.
7 chữ số 2
Theo thuật toán Ơclit ta có ƯCLN(22 2 ; 22 2) =

1991 chữ số 2 8 chữ số 2
ƯCLN(22 2 ; 22 2) =
8 chữ số 2 7chữ số 2
ƯCLN(22 2 ; 2) = 2
7 chữ số 2
* Dạng 2:
11
Tìm ƯCLN, BCNN của các biểu thức.
Ví dụ 28:
Tìm ƯCLN của 2n + 1 và 9n + 4 (nN)
Giải :
Gọi d là ớc chung của 2n 1 và 9n + 4
2(9n + 4) 9(2n 1)d 17 d d {1; 17}
Ta có 2n - 117 2n - 1817 2(n 9)17 n 917
n = 17k + 9 (kN)
- Nếu n = 17k + 9 thì 2n - 117 và 9n + 4 = 9(17k + 9 + 4) = bội của 17 + 85 17.
Do đó ƯCLN (2n 1; 9n +4) = 17
- Nếu n 17k + 9 thì 2n 1 không chia hết cho 17
Do đó ƯCLN (2n 1; 9n + 4) = 1.
Ví dụ 29:
Tìm BCNN của ba số tự nhiên liên tiếp n, n + 1, n + 2 (n 0)

Giải:
Ta có [n, n + 1, n + 2] = [(n, n + 1), n + 2] = [n(n + 1), n + 2] vì [n, n + 1] = n(n +1)

Ta có : (n + 1, n + 2) = 1 nên [n(n + 1), n + 2] = (n, n + 2) = (n, 2)

- Nếu n chẵn thì (n,2) = 2. Do đó
- Nếu n lẻ thì (n,2) = 1. Do đó [n, n + 1, n + 2] = n(n + 1)(n + 2)
* Dạng 3:

Tìm hai số trong đó biết ƯCLN, BCNN
Khi giải các bài toán về tìm hai số trong đó biết ƯCLN, BCNN ta thờng sử dụng
các kiến thức sau:
a = da
,
(1) ƯCLN (a,b) = d b = db
,
(a
,
, b
,
) = 1
(2) ƯCLN (a, b) . BCNN (a, b) = ab
(3) Từ (1) và (2) BCNN (a, b) =

Ví dụ 30 :
Tìm hai số tự nhiên a và b (a b), biết rằng ƯCLN (a, b) = 12 ;BCNN (a, b) = 72
12
2]n1),[n(n
2)1)(nn(n
2]n1),[n(nnnê
b) (a,
ab
b] [a, :Mặt khác
++
++
=++=
2
2)1)(nn(n
2]n1,n[n,

++
=++
,,
,,
.bda
d
.dbda
d
ab
==
Giải :
a = 12a
,
ƯCLN (a,b) = 12 b = 12b
,
(a
,
, b
,
) = 1
a.b = ƯCLN (a, b).BCNN (a, b) = 12.72 12a
,
. 12b
,
= 12.72 a
,
.b
,
= 6
Do a b nên a

,
b
,
. Chọn hai số có tích bằng 6, nguyên tố cùng nhau và a
,
b
,
,
ta đợc
a
,
6 3
Do đó
a 72 36
b
,
1 2 b 12 24

Ví dụ 31 :
Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN và BCNN của chúng có tổng bằng 55.
Giải :
Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a b) và d là ƯCLN (a, b). Ta có :

a = da
,
=
Theo đề bài ƯCLN(a, b) + BCNN(a, b) = 55 nên da
,
b
,

+ d = 55 d(a
,
b
,
+ 1) = 55
Do đó a
,
b
,
+ 1 là ớc của 55 và a
,
b
,
+ 1 2. Vì a b a
,
b
,

Ta có bảng sau:
d a
,
b
,
+ 1 a
,
b
,
a
,
b

,
a b
1 55 54 1
2
54
27
1
2
54
27
5 11 10 1
2
10
5
5
10
50
25
11 5 4 1 4 11 44
Vậy có 5 cặp số thoả mãn là (1;54) ; (2;27) ; (5;50) ; (10;25) ; (11;44).
III. Giúp đỡ học sinh tìm tòi một số lời giải bài toán
ở phần II đã nêu một số dạng toán điển hình, cách giải các dạng toán đó. Song
các bài toán về chia hết rất phong phú, đa dạng và không có một quy tắc chung nào
để giải, có những bài cùng nằm trong những dạng đã nêu trên nhng khi giải tơng tự
thì lại gặp bế tắc. Vì vậy khi hớng dẫn học sinh cần phân tích kỹ đầu bài để lựa
chọn phơng pháp thích hợp, đi đến lời giải hợp lý. Sau đây là một số bài toán cụ
thể:
Bài 1:
Cho B = 3 + 3
3

+ 3
5
+ + 3
1991
Chứng minh rằng B chia hết cho 13, cho 41.
1, Phân tích đề bài:
Đề bài cho B là tổng các lũy thừa cùng cơ số nhng lu ý các số mũ là số lẻ liên
tiếp.
13
,,
,,
.bda
d
.dbda
b)CLN(a,Ư
ab
==
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Qua phân tích đề bài học sinh thấy ngay đợc bài này thuộc dạng chứng minh một
biểu thức chia hết cho một số. Từ đó, về phơng pháp giải cần hớng cho các em là
phải biến đổi B = 13P, B = 13Q bằng cách nhóm các số hạng thích hợp rồi sử dụng
các phép biến đổi để xuất hiện các số là bội của 13, bội của 41. Việc chia nhóm các
số hạng cũng không phải là đơn giản, giáo viên cần hớng dẫn học sinh xem xét
tổng B có m số hạng và chia B thành từng nhóm, mỗi nhóm có n số hạng sao cho n
Ư (m). Từ đó chọn cách chia nào xuất hiện bội của 13, bội của 41. Để tạo cho
học sinh phản xạ khi gặp dạng toán này, giáo viên có thể đặt ra một số câu hỏi
phân tích, dẫn dắt:
? Biến đổi B thành tổng các nhóm có bao nhiêu số hạng? (học sinh có thể dùng
phơng pháp thử tính tổng các số hạng tìm ra cách chia đúng, chẳng hạn chia B

thành tổng các nhóm, mỗi nhóm có n số hạng).
? Nếu các số hạng không chia hết cho n thì sao? (sẽ tìm ra một hoặc vài số hạng
mà tổng của chúng cha chắc là bội của 13, 41).
? Nh vậy để đảm bảo không bị rơi vào trờng hợp nêu trên, học sinh sẽ kiểm tra ở
tổng B có:
(1991 1) : 2 + 1 = 996 (số hạng)
996 chia hết cho 2, 3, 4, 6 nhng khi chia B thành các nhóm 3 số hạng, 4 số
hạng sẽ xuất hiện bội của 13, bội của 41.
3, Lời giải vắn tắt:
a, B = (3 + 3
3
+ 3
5
) + (3
7
+ 3
9
+ 3
11
) + +(3
1987
+ 3
1989
+ 3
1991
)
= 3(1 + 3
2
+ 3
4

) + 3
7
(1 + 3
2
+ 3
4
) + + 3
1987
(1 + 3
2
+ 3
4
)
= 91(3 + 3
7
+ + 3
1987
) = 13.7. (3 + 3
7
+ + 3
1987
)
Vậy B13
b, Tơng tự biến đổi :
B = (3 + 3
3
+ 3
5
+3
7

)+(3
9
+ 3
11
+ 3
15
) + +(3
1985
+ 3
1987
+ 3
1989
+ 3
1991
)
= 820.(3 + 3
9
+ +3
1985
) = 41.20.(3 + 3
9
+ +3
1985
)
Vậy B41
Bài 2 :
Chứng minh rằng : 10
n
36n - 127
1) Phân tích:

Đề bài cho biểu thức ở dạng tổng quát và trong biểu thức có 10
n
1 để có thể đa
về áp dụng nhận xét ở ví dụ 4 (hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia
hết cho 3 và cho 9).
2) Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Để chứng minh 10
n
36n 1 ta không thể dùng cách tính kết quả cụ thể, biến
đổi 10
n
36n 1 về dạng 27Q cũng rất khó khăn. Giáo viên nên gợi ý cho học
sinh phơng hớng biến đổi biểu thức đã cho về dạng hiệu của hai số là bội của 27.
Nhận thấy 36n có thể tách thành 27n + 9n, nên dẫn dắt học sinh biến đổi
10
n
1 9n thành bội của 27 bằng cách khai thác 10
n
1 và vận dụng nhận xét
đã nêu trên.
14
3, Lời giải vắn tắt:
Ta có 10
n
36n 1 = [(10
n
1 9n] 27n = (99 9 9n ) - 27
n
= 9(11 1 n) - 27
n

Theo nhận xét nêu trên :
(11 1 n) 3 9(11 1 n) 27 9(11 1 n) 27n 27
n n n
4, Khai thác bài toán :
Có thể thay đổi biểu thức hoặc thay đổi 27 bằng các số khác nhau nh: 9; 36; 72
ta sẽ đợc các bài toán cùng dạng để học sinh luyện tập.
Bài 3:
Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b N). Chứng minh rằng 10a + b 13.
1, Phân tích đề bài:
Đề bài cho biết a + 4b 13 và phải chứng minh 10a + b13. Do đó cần nghĩ ngay
đến việc sử dụng giả thiết này bằng cách làm xuất hiện tổng hoặc hiệu của hai số,
một số chứa a + 4b, một số chứa 10a + b rồi xét tổng hoặc hiệu của chúng.
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Để cho gọn ta đặt a + 4b = X, 10a + b = Y. Học sinh dễ dàng thấy đợc khi xét
tổng hoặc hiệu của X và Y thì không thấy xuất hiện bội của 13. Vì vậy có thể nhân
X hoặc Y lên một số lần để sao cho khi cộng hay trừ hai biểu thức thì xuất hiện bội
của 13.
Vậy cần nhân X và Y với bao nhiêu để khử đi số hạng a (hoặc b)? làm thế nào để
xuất hiện hệ số của a (hoặc b) là 13?
Giáo viên gợi ý cho học sinh thấy hệ số của a ở X là 1, ở Y là 10 nên có thể nhân
X với 10 rồi xét hiệu 10X Y nhằm khử a hoặc nhân X với 3 rồi xét tổng 3X + Y,
nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13. Nếu xét hệ số của b ta cũng làm tơng tự nh vậy, từ
đó hớng dẫn học sinh tìm đợc nhiều cách giải bài toán.
3, Lời giải vắn tắt:
Đặt a + 4b = X, 10a + b = Y
Cách 1 :
X13 nên 10X 13
10X Y = 10(a + 4b) (10a + b) = 39b 13
Nh vậy 10X Y 13, mà 10X 13 Y13 hay 10a + b13
Cách 2 :

X13 nên 3X13
Xét 3X + Y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b
Nh vậy 3X + Y 13 mà X13 Y13 hay 10a + b 13
Cách 3 :
Xét X + 9Y = a + 4b + 9(10a + b) = 91a + 13b
Nh vậy X + 9Y13 mà X13 9Y13
Do (9 ; 13) = 1 nên Y13 hay 10a + b 13
Cách 4:
15
Xét 4Y X = 4(10a + b) (a + 4b) = 39a
Nh vậy 4Y X 13 mà X13 4Y13
Do (4 ; 13) = 1 nên Y13 hay 10a + b13
Bài 4:
Tìm số tự nhiên n sao cho 4n 5 chia hết cho 13.
1, Phân tích đề bài:
Khác với 3 bài trên, bài này yêu cầu tìm số tự nhiên n sao cho 4n 5 chia hết
cho 13 chứ không yêu cầu chứng minh 4n - 513. Mặt khác, tập hợp các bội là vô
hạn nên không thể tìm đợc các giá trị cụ thể của n mà chỉ tìm đợc dạng tổng quát
của n.
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Giáo viên gợi ý cho học sinh: để tìm dạng tổng quát của n thì phải làm cho hệ số
của n bằng 1, ta thấy hệ số n của biểu thức đã cho là 4 nên phải tìm cách đa 4 ra
ngoài ngoặc. Do đó đặt ra câu hỏi cho học sinh phải thêm bớt hoặc tách các số
hạng nh thế nào để xuất hiện thừa số chung là 4. Từ đó học sinh sẽ tìm đợc các
cách giải nh sau:
3, Lời giải vắn tắt:
- Cách 1 :
4n 5 13 4n + 8 13 13 4n + 8 13 4(n + 2)13
Do (4 ; 13) = 1 n + 2 13 n = 13k 2 (kN
*

)
- Cách 2 :
4n 5 13 4n 5 + 1313 4n + 8 13
Từ đó giải tơng tự cách 1 sẽ có n = 13k 2 (kN
*
)
Bài 5 :
Tìm số tự nhiên n sao cho n
2
4 chia hết cho n
2
+ 2
1, Phân tích đề bài :
Khác với mọi bài cùng dạng toán, bài này cho số mũ của n là 2 nên yêu cầu phải
suy nghĩ sáng tạo hơn.
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải :
Giáo viên có thể gợi ý học sinh suy nghĩ theo hớng sau:
? Số mũ của n là 2 nên muốn khử n
2
ta làm nh thế nào?
(nhân (n + 2) với n rồi trừ hai biểu thức cho nhau)
? Sau khi khử n
2
vẫn còn lại thì làm nh thế nào?
(khử tiếp n nh cách vẫn thờng làm (ví dụ 17)
Hoặc:
? Hãy viết n
2
+ 4 thành tổng (hoặc hiệu) các bội của n + 2 và một số cụ thể.
Với hớng này, giáo viên cần hớng dẫn cho học sinh cách biến đổi: thêm,

bớt, nhóm các số hạng một cách linh hoạt sao cho xuất hiện các số cần thiết. Chẳng
hạn: Muốn có thừa số n + 2 từ n
2
thì phải thêm, bớt 2n, từ số 2n bớt ra muốn có n +
2 thì phải bớt, thêm 4
Từ đó có các cách giải:
3, Lời giải vắn tắt:
16
- Cách 1 :
n
2
+ 4 n + 2 [(n
2
+ 4) n(n + 2)] n + 2
4 2n n + 2 [4 2n + 2(n + 2)] n + 2
8 n + 2 hay n + 2 {2 ; 4 ; 8} (vì n + 2 2)
Ta có bảng sau :
n + 2 2 4 8
n 0 2 6
- Cách 2 :
n
2
+ 4 = n
2
2n 2n 4 + 8 = n(n + 2) 2(n + 2) 8
n
2
+ 4n + 2 8 n + 2
(phần còn lại giải nh cách 1)
* Yêu cầu học sinh ghi nhớ dạng này để sang phần phân số vận dụng vào dạng bài

tập tìm điều kiện để phân số là số tự nhiên, số nguyên.
Bài 6:
Giả sử p
1
> p
2
là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp, chứng minh rằng
1, Phân tích đề bài:
Đề bài cho p
1
và p
2
đều là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên ta thấy ngay đợc

p
1
+ p
2
là số chẵn nên 2 và
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải :
Giáo viên cần nhắc lại cho HS : Giữa hai số lẻ bao giờ cũng có ít nhất một số
chẵn. Mà p
1
, p
2
là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên giữa p
1
và p
2
phải có ít nhất một

hợp số. Từ đó HS thấy đợc muốn chứng minh
nằm giữa hai số p
1
và p
2
trên tia số. Nghĩa là chứng tỏ
Với bài này vì HS cha đợc học các kiến thức về bất đẳng thức nên giáo viên cần
hớng dẫn cụ thể. Muốn chứng minh
Muốn chứng tỏ
điều này đều phải xuất phát điều kiện bài toán là p
1
> p
2
.
3) Lời giải vắn tắt:

Vì p
1
, p
2
là hai số nguyên tố lẻ nên (p
1
+ p
2
)2, do đó
17
số hợplà
2
pp
2 1

+
2ppN;
2
pp
21
2 1

+
2
pp
tỏ chứngta số hợplà
2
pp
2 12 1
++
2
2 1
1
p
2
pp
p

+

211
2 1
1
pp2p minh chứng cần
2

pp
p
+
+

haicó Muốnppp minh chứng cần p
2
pp
212
2 1
.2
2
+
+
n nhiêtự sốlà
2
pp
2 1
+
Mặt khác, vì p
1
> p
2
nên p
1
+ p
2
> 2p
2
, do đó

Vì p
1
> p
2
nên 2p
1
> p
1
+ p
2
, do đó

Nh vậy :

Bài 7 :
Cho a = 123456789; b = 987654321. Tìm ƯCLN (a, b)
1, Phân tích đề bài:
Đề bài yêu cầu tìm ƯCLN của hai số rất lớn nên không thể làm theo quy tắc
thông thờng. Ta để ý rằng tuy a, b là hai số khác nhau nhng tổng các chữ số của
chúng lại nh nhau.
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:
Khi đọc đề bài học sinh cũng dễ dàng nhận thấy không thể tìm ƯCLN (a, b) theo
quy tắc thông thờng mà có thể tìm ƯCLN (a,b) theo thuật toán Ơclit, đòi hỏi các
em thật cẩn thận, chính xác trong các phép toán thì mới tìm đợc kết quả. Do vậy
giáo viên nên khai thác đề bài để hớng dẫn học sinh ngoài cách dùng thuật toán
Ơclit còn có thể tìm ra cách giải khác.
Trớc hết, yêu cầu các em nhận xét về hai số a, b, học sinh thấy ngay a và b đều
chia hết cho 9. Vậy chỉ cần chứng minh mọi ƯC của a, b đều là ớc của 9. Bằng
cách xét hiệu b 8a, từ đó suy ra đợc ƯCLN (a, b).
3, Lời giải vắn tắt:

Vì a và b gồm các chữ số giống nhau nên tổng các chữ số nh nhau và bằng
1 + 2 + 3 + 9 = 45 chia hết cho 9 nên a và b cùng chia hết cho 9.
Ta lại có b 8a = 9 9 nên nếu ƯC (a, b) = d thì 9d
Nh vậy mọi ớc chung của a và b đều là ớc của 9 hay ƯCLN (a, b) = 9
Bài 8:
Trong các số gồm toàn chữ số 1, hãy tìm số nhỏ nhất chia hết cho 33 3
100
1, Phân tích đề bài:
Đề bài yêu cầu tìm số nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 33 3
100
chứ không đơn thuần là tìm số gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 33 3
100
2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:
- Trớc hết cần viết đợc dạng của số phải tìm là 11 1 rồi đi xét các điều kiện để
n
tìm ra n.
- Muốn tìm n để 11 1 chia hết cho 33 3 thì cần đa 33 3 về dạng tích hai
n 100 100
thừa số nguyên tố cùng nhau, mà có thể tìm điều kiện của n để 11 1 chia hết cho
n
hai thừa số đó.
18
2
2 1
p
2
pp

+
2

pp
p
2 1
1
+

số. là hợp
2
pp
nnêp
2
pp
p
2 1
1
2 1
2
+

+

,
Từ gợi ý này học sinh sẽ biến đổi 33 3 thành tích của 3.11 1 và tìm đợc n.
100 100
3, Lời giải :
Gọi số phải tìm là 11 1
n
Ta có : 11 133 3 tức là 11 13.11 1 11 13 n3 (1)
n 100 n 100 n
11 111 1 n100 (2)

n 100
Mà n là số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện (1)và(2). Do đó n = BCNN(3 ;100) = 300
Vậy số phải tìm là số gồm 300 chữ số 1 : ( 11 1)
300
C. Kết quả :
Trên đây là một bài toán nâng cao điển hình vể tính chất chia hết trong N đợc
phân ra từng dạng, giúp HS dễ dàng trong việc tìm lời giải bài toán và giúp giáo
viên làm tài liệu bồi dỡng HS khá, giỏi. Qua thực tế bồi dỡng HS tôi thấy rằng khi
cha áp dụng chuyên đề này thì HS tiếp thu bài còn khó khăn, sau một thời gian gặp
lại bài đã làm lại quên cách giải. Khi áp dụng kinh nghiệm này dới hình thức giảng
dạy theo chuyên đề cho HS khá giỏi tôi thấy kết quả là có tới 80% HS hiểu sâu sắc
bản chất từng vấn đề nên khi gặp các bài toán khác nhau các em đã nhận dạng và
vận dụng cách giải linh hoạt với mỗi dạng. Số còn lại cũng làm tốt các dạng cơ bản
hay gặp.
Sau đây là một vài số liệu so sánh cụ thể :
Kỹ năng Trớc khi
áp dụng
Sau khi
áp dụng
Nhận dạng và giải quyết đợc các bài toán áp dụng tính
chất chia hết.
40% 80%
Nhận dạng và giải quyết đợc các bài toán về số nguyên
tố, hợp số.
30% 75%
Nhận dạng và giải quyết đợc các bài toán về ƯCLN,
BCNN.
30% 75%
Nhận dạng bài toán và vận dụng cách giải linh hoạt với
mỗi bài.

32% 80%
Tìm đợc lời giải các bài toán đặc biệt, có nội dung phức
hợp.
10% 50%
D. Bài học kinh nghiệm :
Qua những năm bồi dỡng HS giỏi, nhất là với HS giỏi lớp 6, tôi thấy rằng để giúp
HS hiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngoài việc nghiên cứu kỹ các dạng bài tập, chuẩn bị
bài một cách chu đáo, giáo viên còn cần có nghệ thuật giảng dạy Phơng pháp
giảng dạy hợp lý. Kinh nghiệm cho thấy, với bài tập nâng cao về tính chia hết cho
HS lớp 6 cần phải hớng dẫn các em một cách dần dần, đi từ những vấn đề đơn giản,
cơ bản, sau đó thay đổi một vài chi tiết để nâng dần đến bài tập phức tạp hơn. Sau
19
mỗi bài giáo viên cần củng cố phơng pháp giải quyết và có thể khai thác thành bài
toán mới bằng cách thay đổi dữ kiện để HS tự mình vân dụng.
Việc bồi dỡng chuyên đề này sẽ giúp HS có thêm kiến thức cơ bản và kỹ năng
giải quyết bài tập trong các kỳ thi HS giỏi, góp phần nâng cao chất lợng mũi nhọn
trong nhà trờng.
E. Điều kiện áp dụng:
Để hớng dẫn HS lớp 6 giải một số dạng bài tập nâng cao về tính chia hết trong N
có hiệu quả, thì nên thực hiện một số điều kiện sau đây :
1/ Đối với học sinh: Các em cần phải nắm đợc các kiến thức về tình chia hết, các
kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại toán chia hết và
có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.
2/ Đối với giáo viên : Ngời thầy giáo phải có trách nhiệm đem lại niềm say mê
hứng thú với môn học, hớng dẫn các em cách khai thác, vận dụng từng vấn đề trong
mảng kiến thức mà các em đã có. Để đạt hiệu quả cao khi áp dụng chuyên đề này
giáo viên nên dành thời gian bồi dỡng từ 3 4 buổi /tuần cho HS khá giỏi. Còn
đối với HS đại trà thì tuỳ theo từng đối tợng (có thể chỉ giới thiệu các dạng cơ bản,
lấy ví dụ minh hoạ đơn giản ).
F. Vấn đề còn hạn chế, bỏ ngỏ, hớng tiếp tục nghiên cứu :

Trên đây chỉ là một vấn đề về toán nâng cao đối với tính chất chia hết trong N, là
một trong những mảng kiến thức mà HS khá giỏi lớp 6 cần nắm chắc. Kinh nghiệm
đa ra mới chỉ đề cập đến đối tợng HS khá giỏi, chứ cha đề cập nhiều đến các đối t-
ợng khác, nội dung của chuyên đề cũng cha đề cập đến mảng kiến thức về tính chất
chia hết trong Z, các bài tập có liên quan đến dãy, phân số Đó là định hớng cho
việc tiếp tục nghiên cứu sau này.

Phần ba : Kết luận
Sau một thời gian tự nghiên cứu với phơng pháp tìm đọc tài liệu tham khảo su tầm
các bài tập, ví dụ, kết hợp với thực tế giảng dạy, với kiến thức, lý luận đã tích luỹ.
Tôi cố gắng hệ thống một số vấn đề xung quanh tính chất chia hết trong N từ đơn
giản đến phức tạp, đặc biệt là các kiến thức, bài tập nâng cao dành cho HS giỏi.
Tuy nhiên với năng lực và thời gian có hạn, trong tài liệu này cách nhìn nhận về
các vấn đề và phơng pháp giảng dạy cũng nh cách trình bày chắc chắn không tránh
khỏi thiếu sót.
Rất mong đợc sự góp ý, bổ sung trân thành từ các đồng nghiệp.
20