Đề tài: “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô” ppsx

Đề tài
“Về nhóm đồng luân của không gian tôpô”
1
MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU
1
CHƯƠNG 1
NHÓM CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ
2
1.1 Định nghĩa cơ bản……………………………………………… 2
1.2 Định lý Van - Kampen ………………………………………… 11
1.3 Nhóm cơ bản của nhóm tôpô……………………………………. 14
1.4 Nhóm cơ bản của tích các không gian tôpô……………………… 16
CHƯƠNG 2
NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ
17
2.1 Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian tôpô………………… 17
2.2 Nhóm đồng luân tương đối. Dãy khớp đồng luân của cặp không
gian tôpô…………………………………………………………
23
2.3 Liên hệ với nhóm đồng đều……………………………………… 29
KẾT LUẬN
35
TÀI LIỆU THAM KHẢO
36
2
MỞ ĐẦU
Tôpô đại số là một trong những ngành cơ bản của toán học hiện đại. Nó ra
đời vào những năm thế kỉ XX. Từ đó cho đến nay, tôpô đại số được nhiều nhà
toán học lỗi lạc trên thế giới như H.Poincaré, S.Lefschetz, P.S.Alexandrov,

E.Noether, S.Eilenberg, N.Esteerod, E.Cech, A.Kolmogorov, E.Cartan,
Ch.Ehresman, H.Cartan, R.Godement, quan tâm nghiên cứu và phát triển.
Ngày nay, tôpô đại số đã đạt được những thành tựu vô cùng rực rỡ và trở
thành một trong những lĩnh vực hàng đầu để mọi người làm toán quan tâm
học tập và nghiên cứu. Đây chính là lý do để tác giả chọn “Về nhóm đồng
luân của không gian tôpô” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp. Nội
3
dung chính của luận văn là tìm hiểu việc thiết lập một bất biến của các không
gian tôpô, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa các nhóm đồng luân và các
nhóm đồng điều của cùng một không gian tôpô.
Luận văn này gồm hai chương:
Chương I – Nhóm cơ bản của không gian tôpô.Trong chương này tác giả
trình bày các khái niệm, kết quả và một số kiến thức cơ sở nhóm cơ bản của
không gian tôpô, có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu của đề tài.
Chương II – Nhóm đồng luân của không gian tôpô.
Đây là nội dung chính của luận văn, và sẽ được trình bày từ các trường
hợp đơn giản đến phức tạp.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo của
PGS.TS. Nguyễn Thành Quang.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Thành Quang
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS.
Lê Quốc Hán, các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa Sau
Đại học đã tận tâm dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua, dưới
mái trường Đại học Vinh thân yêu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những
người bạn học viên cao học khóa 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã
tận tình giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự
chỉ bảo của thầy cô giáo cùng các bạn học viên.
Tác giả

4
CHƯƠNG 1
NHÓM CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ
1.1. Định nghĩa cơ bản
1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô,
[ ]
0,1I =
là không gian con
của đường thẳng thực
R
. Một ánh xạ liên tục
:I X
ω
→
được gọi là một con
đường trong không gian tôpô X. Điểm
(0)
ω
gọi là điểm gốc, điểm
(1)
ω
được
gọi là điểm cuối của con đường
ω
. Nếu
0
(0) (1) x X
ω ω
= = ∈
thì

ω
được gọi là
con đường đóng tại
0
x
.
5
1.1.2. Định nghĩa. Cho
, '
ω ω
là hai con đường trong không gian tôpô X mà
(1) '(0)
ω ω
=
.
Ánh xạ liên tục
ω
∗
': I X
ω
→
cho bởi
1
(2 )
2
'( )
1
'(2 1) 1
2
t

t
t t
ω
ω ω
ω

≤ ≤


∗ =


− ≤ ≤


nÕu 0 t
nÕu
được gọi là nối tiếp hai con đường
, '
ω ω
.
Chú ý rằng
'
ω ω
∗
là ánh xạ liên tục vì
1 1
2. ' 2. 1
2 2
ω ω

   
= −
 ÷  ÷
   
. Con đường
'
ω ω
∗
có điểm gốc
'(0) (0)
ω ω ω
∗ =
và điểm cuối
'(1) '(1)
ω ω ω
∗ =
.
(1)
ω
'(1)
ω
(0)
ω
'(0)
ω
1.1.3. Định nghĩa. Cho hai con đường
, '
ω ω
có cùng điểm gốc và điểm cuối
trong không gian tôpô X. Ta nói

ω
tương đương đồng luân mút cố định với
'
ω
và kí hiệu
'rel I
ω ω
&
;
nếu tồn tại một ánh xạ liên tục
:h I I X× →
sao cho:
( ,0) ( )h t t
ω
=
( ,1) '( )h t t
ω
=
(0, ) (0) '(0)h
τ ω ω
= =
(1, ) (1) '(1)h
τ ω ω
= =
với mọi
,t I I
τ
∈ ∈
.
Khi đó ta cũng nói

ω
đồng luân mút cố định với
'
ω
nhờ
h
.

( ,0)h t
6
.
.
.
.
.
.
.
.
'(0)
ω
(1)
ω
(0)
ω
( ', )h t
τ
'(1)
ω

( ,1)h t

Nhận xét: Quan hệ đồng luân mút cố định giữa các con đường trong
không gian tôpô
X
là một quan hệ tương đương. Thật vậy
rel I
ω ω
&
;
vì có thể chọn ánh xạ
h
theo công thức
( , ) ( ), ,h t t t I
τ ω τ
= ∀ ∈
.
Nếu
'rel I
ω ω
&
;
nhờ ánh xạ
h
thì
' rel I
ω ω
&
;
nhờ ánh xạ
'h
với

'( , ) ( ,1 )h t h t
τ τ
= −
.
Nếu
'rel I
ω ω
&
;
nhờ ánh xạ
h
,
' ''rel I
ω ω
&
;
nhờ ánh xạ
'h
thì
''rel I
ω ω
&
;
nhờ ánh xạ
''h
xác định công thức
1
( ,2 )
2
''( , )

1
'( ,2 1) 1
2
h t
h t
h t
τ τ
τ
τ τ

≤ ≤


=


− ≤ ≤


nÕu 0
nÕu
Lớp tương đương của con đường
ω
được kí hiệu là
[ ]
ω
.
1.1.4. Mệnh đề. 1. Nếu
'
1 1

, 'rel I rel I
ω ω ω ω
=
& &
;
và
(1) '(0)
ω ω
=
thì
[ ]
'
1 1
'
ω ω ω ω
 
∗ = ∗
 
.
2. Giả sử
: , ( ) ,
x x
I X t x t I
ε ε
→ = ∀ ∈
(với
x
là phần thuộc
X
) và

ω
là một
con đường trong
X
nối
0
x
với
1
x
.
Khi đó
[ ] [ ]
0 1
,
x x
ε ω ω ω ε ω
 
 
∗ = ∗ =
  
.
3. Cho
0 1
: , (0) , (1)I X x x
ω ω ω
→ = =
Ta xác định con đường
ω
bởi công thức

µ
( ) (1 )t t
ω ω
= −
Khi đó
µ µ
0 1
,
x x
ω ω ε ω ω ε
   
 
 
∗ = ∗ =
 
 
   
.
7
4. Nếu
ω
nối
0
x
với
1
, 'x
ω
nối
1

x
với
2
, ''x
ω
nối với
2
x
với
3
x
thì
( ) ( )
' '' ' ''
ω ω ω ω ω ω
   
∗ ∗ = ∗ ∗
   
.
Chứng minh. 1. Giả sử
1
rel I
ω ω
&
;
nhờ
'
1
, 'h rel I
ω ω

&
;
, nhờ
'h
. Ta xác định ánh
xạ
'':h I I X× →
bởi công thức
1
(2 , )
2
''( , )
1
'(2 1, ) 1
2
h t t
h t
h t t
τ
τ
τ

≤ ≤


=


− ≤ ≤



nÕu 0
nÕu
Vì
(1, ) '(0, )h h
τ τ
=
nên
''h
là ánh xạ liên tục.
Ta có
1
(2 ,0)
2
''( ,0)
1
'(2 1,0) 1
2
h t t
h t
h t t

≤ ≤


=


− ≤ ≤



nÕu 0
nÕu

1
'
1
1
(2 )
2
1
(2 1) 1
2
t t
t t
ω
ω

≤ ≤


=


− ≤ ≤


nÕu 0
nÕu

'
1 1
( )t
ω ω
= ∗
Tương tự,
''( ,1) '( )h t t
ω ω
= ∗
Dễ thấy
'
1 1
''(0, ) (0), ''(1, ) (1)h h
τ ω τ ω
= =
.
Do đó
'
1 1
'rel I
ω ω ω ω
∗ ∗
&
;
, tức là
[ ]
'
1 1
'
ω ω ω ω

 
∗ = ∗
 
.
2. Xác định ánh xạ
: I I
ϕ
→
8
1
0
2
( )
1
2 1 1
2
t
t
t t
ϕ

≤ ≤


=


− ≤ ≤



nÕu 0
nÕu

Ánh xạ này có đoạn
1
0,
2
 
 
 
về
0
và dãn
1
,1
2
 
 
 
thành
I
Xét ánh xạ
:h I I X× →
( , ) ( ( ) (1 ) )h t t t
τ ω τ ϕ τ
= + −
Ta có
( ,0) ( )h t t
ω
=

1
(0)
2
( ,1) ( ( ))
1
(2 1) 1
2
t
h t t
t t
ω
ω ϕ
ω

≤ ≤


= =


− ≤ ≤


nÕu 0
nÕu

0
0
1
(2 )

2
( )
1
(2 1) 1
2
x
x
t t
t
t t
ε
ε ω
ω

≤ ≤


= = ∗


− ≤ ≤


nÕu 0
nÕu
Dễ thấy
(0, ) (0), (1, ) (1)h h
τ ω τ ω
= =
Vậy

0
x
rel I
ω ε ω
= ∗
&
hay
[ ]
0
x
ω ε ω
 
= ∗
 
Xét ánh xạ
: I I
ψ
→
9
1
2
1
2
1 1
00
1
2
2
( )
1

1 1
2
t t
t
t
ψ

≤ ≤


=


≤ ≤


nÕu 0
nÕu
và ánh xạ
':h I I X× →

'( , ) ((1 ) ( ) )h t t t
τ ω τ ϕ τ
= − +
Dễ kiểm tra rằng
1
x
rel I
ω ε ω
∗

&
;
, tức là
[ ]
1
x
ω ε ω
 
∗ =
 
3. Vì
¶
( )
ω ω
=
nên chỉ cần chứng minh
µ
0
x
ω ω ε
∗ ;
. Xét ánh xạ
:h I I X× →

0
0
( , )
2
1
(2 )

2 2
1 2
(2 2 )
2 2
2
1
2
h t
x t
t t
t t
x t
τ
τ
τ
ω τ
τ
ω τ
τ

≤ ≤



− ≤ ≤

=

−


− − ≤ ≤


−

≤ ≤

nÕu 0
nÕu
nÕu
nÕu
Dễ thấy ánh xạ
h
là liên tục
Ta có
1
(2 )
2
( ,0)
1
(2 2 ) 1
2
t t
h t
t t
ω
ω

≤ ≤



=


− ≤ ≤


nÕu 0
nÕu

µ
1
(2 )
2
1
(2 1) 1
2
t t
t t
ω
ω

≤ ≤


=


− ≤ ≤



nÕu 0
nÕu

µ
( )t
ω ω
= ∗
0
0 0
( , 1) ( ), (0, ) (1, )
x
h t x t h h x
ε τ τ
= = = =
Vậy
µ
0
x
rel I
ω ω ε
∗
&
;
4. Ta xác định ánh xạ
:h I I X× →
10
4 1
1 4
1 2

( , )
'(4 1)
4 4
4 2 2
'' 1
2 4
t
t
h t
t t
t
t
τ
ω
τ
τ τ
τ
ω τ
τ τ
ω
τ

+
 
≤ ≤
 ÷

+
 



+ +
=
− − ≤ ≤



− − +
 
≤ ≤

 ÷
−
 

nÕu 0
nÕu
nÕu
Dễ thấy
h
là ánh xạ liên tục và
( , 0) (( ') '')( )h t t
ω ω ω
= ∗ ∗
( , 1) ( ( ' ''))( )h t t
ω ω ω
= ∗ ∗
(0, ) (0); (1, ) ''(1)h h
τ ω τ ω
= =

Vậy
( ') ( ' '') rel I
ω ω ω ω ω
∗ ∗ ∗ ∗
&
;
.
1.1.5. Định nghĩa Cho không gian tôpô
X
và
0
x X∈
. Kí hiệu
1 0
( , )X x
π
là tập
các lớp đồng luân mút cố định của các con đường đóng tại
[ ]
{ }
1 0 0
( , ) ; : , (0) (1)X x I X x
π ω ω ω ω
= → = =
Ta xác định một phép toán hai ngôi trên tập
1 0
( , ):X x
π
Với
[ ] [ ]

, '
ω ω
thuộc
1 0
( , )X x
π
ta định nghĩa
[ ] [ ] [ ]
' '
ω ω ω ω
∗ = ∗
Từ định lý trên ta suy ra
{ }
0 0
( , ) : ( , ) ( , )
n n
n
S X x f I I X x= →
&
cùng với phép
toán
∗
là một nhóm.
Nhóm
1 0
( , )X x
π
được gọi là nhóm cơ bản của không gian tôpô
X
với

điểm đánh dấu
0
x
(hay với điểm gốc
0
x
).
11
Chú ý. Ta xét các cặp
( , )X A
trong đó
X
là không gian tôpô và
A
là một tập
con của
X
. Khi
A
là một điểm
{ }
0
x
thì viết
0
( , )X x
và gọi là không gian tôpô X
với điểm đánh dấu
0
x

(hay điểm gốc
0
x
).
Ánh xạ
:( , ) ( , )f X A Y B→
được hiểu là ánh xạ liên tục
:f X Y→
sao cho
( )f A B⊂
. Cho
'X
là không gian con của
X
, hai ánh xạ
, : ( , ) ( , )f g X A Y B→

được gọi là tương thích trên
'X
nếu
'x x
f g=
. Hai ánh xạ
, : ( , ) ( , )f g X A Y B→

tương thích trên
'X
được gọi là tương đương đồng luân cố định trên
'X
nếu có

ánh xạ liên tục
[ ]
: , 0, 1H X I Y I× → =
thoả mãn các điều kiện:
( , 0) ( ), ( , 1) ( )H x f x H x g x= =
( , ) ( ) ( ), ',H x t f x g x x X t I= = ∀ ∈ ∈
Khi đó ta kí hiệu
'f g rel X;
và nói
H
là đồng luân cố định trên
'X
nối
f

với
g
cũng là một quan hệ tương đương và hợp thành các ánh xạ tương đương
đồng luân cố định.
Với thuật ngữ này, con đường
ω
trong
X
đóng tại
0
x
là ánh xạ
0
:( , ) ( , )I I X x
ω

→
&
, trong đó
{ }
0,1I =
&
là biên của
I
, còn
[ ]
ω
là lớp các ánh xạ liên
tục đồng luân cố định trên
I
&
với
ω
.
Cho
'f g rel X;
và nói
H
là đồng luân cố định trên
'X
nối
f
với
g
. Quan
hệ đồng luân cố định cũng là một quan hệ tương đương và hợp thành các ánh xạ

tương đương đồng luân cố định.
Với thuật ngữ này, con đường
ω
trong
X
đóng tại
0
x
là ánh xạ
0
: ( , ) ( , )I I X x
ω
→
&
trong đó
{ }
0,1I =
&
là biên của
I
, còn
[ ]
ω
là lớp các ánh xạ
liên tục đồng luân cố định trên
I
&
với
ω
.

Cho
0 0
: ( , ) ( , )f X x Y y→
12
Khi đó nếu
ω
và
'
ω
là hai con đường trong
X
đóng tại
0
x
thì
f
ω
và
'f
ω

là hai con đường trong
Y
đóng tại
0
y
. Dễ thấy, nếu
'rel I
ω ω
&

;
thì
'f f rel I
ω ω
o o
&
;
Do đó ta có ánh xạ
1 0 1 0
: ( , ) ( , )f X x Y y
π π
→
[ ]
( )
[ ]
*
f f
ω ω
=
o
1.1.6. Mệnh đề. Ánh xạ
* 1 0 1 0
: ( , ) ( , )f X x Y y
π π
→
là đồng cấu nhóm.
Chứng minh. Ta cần chứng minh
[ ] [ ]
( )
[ ]

( )
[ ]
( )
* 1 2 * 1 * 2
f f f
ω ω ω ω
∗ = ∗
với
1
ω
và
2
ω
là hai đường trong
X
đóng tại
0
x
.
Điều này là hiển nhiên vì
( ) ( )
1 2 1 2
( ) .f f f
ω ω ω ω
∗ = ∗
o o o
Đồng cấu
f
∗
được gọi là đồng cấu cảm sinh bởi

f
.
Dễ thấy
( )
.f g f g
∗ ∗
=
o o
và
1 0
( , )
.
X x
× 1
π
∗
=(1 )
.
1.1.7. Mệnh đề. Cho
0 0
, :( , ) ( , )f g X x Y y→
. Nếu
{ }
0
f g rel x;
thì
f g
∗ ∗
=
.

Chứng minh. Giả sử
0
: ( , ) ( , )I I X x
ω
→
&
ta có
[ ]
( )
[ ] [ ]
( )
[ ]
,f f g g
ω ω ω ω
∗ ∗
= =
. Gọi
H
là đồng luân cố định nối
f
với
g
,
:H X I Y× →
.
Với mỗi
t I∈
, xét ánh xạ
: , ( ) ( , )
t t

H X Y H x H x t→ =
Xét ánh xạ
: , ( , ) . ( )h I I Y h t H t
τ
τ ω
× → =
Khi đó
( , 0) . ( )h t f t
ω
=
( , 1) . ( )h t g t
ω
=
0
(0, ) (1, )h h y
τ τ
= =
Do đó
. .f g rel I
ω ω
&
;
, tức là
[ ] [ ]
. .f g
ω ω
=
. 
13
Chú ý. Nếu

0 1
,x x
là hai điểm của không gian tôpô
X
và giả sử tồn tại con
đường
θ
trong
X
nối
0
x
với
1
x
,
0 1
(0) , (1)x x
θ θ
= =
. Khi đó ánh xạ
1 0 1 1
( , ) ( , )X x X x
π π
a
[ ]
$
ω θ ω θ
 
∗ ∗

 
a
ω
θ
x
0
x
1
Dễ thấy ánh xạ trên là một đẳng cấu nhóm. Như vậy, nếu
X
là liên thông
cung thì với
0 1
,x x
tuỳ ý của
X
, các nhóm
1 0
( , )X x
π
và
1 1
( , )X x
π
luôn đẳng cấu.
Các nhóm đẳng cấu đó được kí hiệu chung là
1
( )X
π
và gọi là nhóm cơ bản của

không gian liên thông cung
X
. Vậy nhóm cơ bản là một bất biến đồng luân của
các không gian tôpô liên thông cung.
1.1.8. Định nghĩa. Không gian tôpô liên thông cung có nhóm cơ bản tầm thường
được gọi là không gian tôpô đơn liên.
Ví dụ. Không gian thắt được gọi là không gian đơn liên.
Cho không gian thắt được
X
và
0 1
,x x
là hai điểm tuỳ ý của
X
. Vì
X
là
không gian thắt được nên tồn tại ánh xạ liên tục
:h X I X× →
mà
( , 0) ,h x x=

0
( , 1) ,h x x=
0 0
( , ) ,h x t x t I= ∀ ∈
.
Xét ánh xạ
: I X
θ

→
0
1
1
( , 2 )
2
( )
1
( , 2 2 ) 1
2
h x t t
t
h x t t
θ

≤ ≤


=


− ≤ ≤


nÕu 0
nÕu
Rõ ràng
θ
là ánh xạ liên tục suy ra
θ

là con đường trong
X
nối
0
x
với
1
x
.
14
.
.
Giả sử
[ ]
1 0
( , )X x
ω π
∈
là một phần tử tuỳ ý. Xác định ánh xạ
':h I I X× →
'( , ) ( ( ), )h t h t
τ ω τ
=
Khi đó
'( , 0) ( )h t t
ω
=
0
0
'( , 1) ( )

x
h t x t
ε
= =
0
'(0, ) '(1, )h h x
τ τ
= =
Vậy
0
x
rel I
ω ε
&
;
, hay
[ ]
0
x
ω ε
 
=
 
, suy ra
1 0
( , )X x
π
là nhóm tầm thường.
1.2. Định lý Van - Kampen
Cho

X
là không gian liên thông cung,
1
X
và
2
X
là hai không gian con
mở liên thông cung của
1 2
,X X X X= ∪
và
0 1 2
X X X= ∩
liên thông cung khác
rỗng.
Với
0 0
x X∈
ta có các nhúng
1 0 0 1 0
: ( , ) ( , )j X x X x→
2 0 0 2 0
: ( , ) ( , )j X x X x→
15
1 1 0 0
: ( , ) ( , )k X x X x→
2 2 0 0
: ( , ) ( , )k X x X x→
0 0 0 0

: ( , ) ( , )k X x X x→
Ta có biểu đồ giao hoán của các nhóm và các đồng cấu
π
1
(X
1
,

x
0
)
(k
1
)
*

π
1
(X
1
, x
0
)
(j
1
)
*
(k
2
)

*
π
2
(X
0
, x
0
) π
2
(X
2
, x
0
)
vì
1 1 0 2 2 0
,k j k k j k= =o o
1.2.1. Mệnh đề. Nhóm cơ bản
1 0
( , )X x
π
được sinh ra bởi các ảnh của các
đồng cấu
1 *
( )k
và
2 *
( )k
.
Chứng minh. Giả sử

[ ]
1 0
( , )X x
ω π
∈
.
Xét một phân hoạch của đoạn
[ ]
0,1
:
0 1 1
0 1
n n
t t t t
+
= < < < < =
Và
1 1
: , ( ) (( ) )
i i i i
I X t t t t t
ω ω ω
+
→ = − +
Như vậy
i
ω
là con đường nối
( )
i

t
ω
với
1
( )
i
t
ω
+
, tức là thu hẹp của
ω
trên
đoạn
[ ]
1
,
i i
t t
+
. Theo giả thiết
{ }
1 2
,X X
là một phủ mở của
X
, theo định lý
Lebesgue về
ε
- phủ ta có thể chọn phân hoạch của
[ ]

0,1
sao cho
[ ]
( )
1
( ) ,
i i i
I t t
ω ω
+
=
được chứa hoàn toàn trong
1
X
hoặc
2
X
và
2 0
(0) ( )
i
t X
ω ω
= ∈
.
Với mỗi
1, 2, ,i n
=
tồn tại một con đường
i

θ
trong
0
X
nối
0
x
với
( )
i
t
ω

(vì
0
X
liên thông cung).
16
(j
2
)
*
(k
0
)
*
ω
x
2
θ

2
x
1
θ
1
x
0
o
Ta có:
[ ] [ ]
0 1

n
ω ω ω ω
= ∗ ∗ ∗

µ
µ
µ
0 1 1 1 2 2

n n n
ω θ θ ω θ θ θ θ ω
 
= ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
 

µ
µ
[ ]

0 1 1 1 2

n n
ω θ θ ω θ θ ω
   
= ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
   
Mỗi con đường
µ
µ
0 1 1 2
, ,
n n
ω θ ω θ θ ω
∗ ∗ ∗ ∗
đóng tại
0
x
và chứa
1
X
hoặc
2
X
nên mệnh đề được chứng minh. 
1.2.2. Hệ quả. Với các giả thiết như mệnh đề trên và nếu
1 2
,X X
đơn liên thì
X

đơn liên.
Ví dụ .Với
2n
≥
, mặt cầu
n
S
là không gian đơn liên.
Đặt:
{ } { }
1 2
,
n n
X S N X S S= − = −
trong đó
(0, 0, , 1), (0, 0, , 1)N S= = −
Khi đó
1
X
và
2
X
đồng phôi với
n
R
Vì
n
R
là không gian thắt được nên
1

X
và
2
X
đơn liên. Ngoài ra
0 1 2
X X X= ∩

đồng phôi với
n
R
\
{ }
0
là liên thông cung nếu
2n ≥
. Do đó
n
S
là không gian
tôpô đơn liên.
Chú ý . Mệnh đề 1.2.2. Là một trường hợp riêng của định lý Van - Kampen,
ta sẽ không chứng minh định lý này.
1.2.3. Định lý Van – Kampen. Cho
X
là một không gian tôpô liên thông
cung,
0
x X∈
,

{ }
A
U
α
α
∈
là một phủ mở của
X
đóng kín với giao hữu hạn (tức là
17
nếu
U U
α β
∩ ≠ ∅
thì có
A
γ
∈
để
U U U
α β γ
∩ =
) và mọi
U
α
liên thông chứa
0
x
.
Gọi

1 0 1 0
: ( , ) ( , )U x X x
α ω
ϕ π π
→
là đồng cấu gây bởi nhúng:
U X
α
→
.
Nếu
U U
α β
⊂
gọi
: 0 1 0
( , ) ( , )U x U x
βα ω β
ϕ π π
→

là đồng cấu gây bởi nhúng
U U
α β
→
Khi đó, với một nhóm
G
tuỳ ý và họ các đồng cấu nhóm
1 0
: ( , )g U x G

α ω
π
→
sao cho
, ,A U U
α β
α β
∀ ∈ ⊂
ta có
,
a
g g
β βα
ϕ
=
thì có một
và chỉ một đồng cấu nhóm
1 0
: ( , )g X x G
π
→
sao cho
.
a
g g
α
ϕ
=
với mọi
A

α
∈
.

π
1
(U
α
, x
0
)
g
α
ϕ
α
ϕ
βα


π
1
(X, x
0
)


ϕ
β

π

1
(U
β
, x
0
)
1.3. Nhóm cơ bản của nhóm tôpô
18
g
G
g
β
1.3.1. Định nghĩa. Cho
G
là một nhóm tôpô,
ω
và
'
ω
là hai đường trong
G
.
Tích của hai đường
ω
và
'
ω
là một đường trong
G
, kí hiệu là

. '
ω ω
, và được
xác định như sau:
. ' : , ( . ')( ) ( ) . '( )I G t t t
ω ω ω ω ω ω
→ =
Dễ thấy nếu
ω
và
'
ω
là hai đường đóng tại phần tử đơn vị
e G∈
thì
đường
. '
ω ω
cũng là đường đóng tại
e
.
1.3.2. Mệnh đề. Nếu
'
1 1
' ,rel I rel I
ω ω ω ω
& &
; ;
bởi
'h

. Ta xác định ánh xạ
'':h I I G× →
.
''( , ) ( , ) . '( , )h t h t h t
π τ τ
=
''( , 0) ( , 0) . '( , 0) ( ) . '( ) ( . ')( )h t h t h t t t t
ω ω ω ω
= = =
' '
1 1 1 1
''( , 1) ( , 1) . '( , 1) ( ) . ( ) ( . )( )h t h t h t t t t
ω ω ω ω
= = =
1
'
1
''(0, ) ( . )(0) ( '. )(0)h
τ ω ω ω ω
= =
1
'
1
''(1, ) ( . )(1) ( '. )(1)h
τ ω ω ω ω
= =
Vậy
'
1 1
. . rel I

ω ω ω ω
&
;
bởi
''h
. 
1.3.3. Mệnh đề. Nếu
, '
ω ω
là hai đường trong nhóm
G
đóng tại
e
thì các
đường
. ', '
ω ω ω
∗
đồng luân cố định trên
I
&
.
Chứng minh. Giả sử
1
:
e
h rel I
ω ω ε
∗
&

;


2
:
e
h rel I
ω ε ω
∗
&
;

2
: '
e
h rel I
ω ε ω
∗
&
;

3
: ' '
e
h rel I
ω ε ω
∗
&
;

4
: ' '
e
h rel I
ω ω ε
∗
&
;
Ta xét các ánh xạ
', '', '''h h h
từ
I I×
vào
G
cho bởi các công thức

1 3
'( , ) ( , ) . ( , )h t h t h t
τ τ τ
=

2 4
''( , ) ( , ) . ( , )h t h t h t
τ τ τ
=

4 2
'''( , ) ( , ) . ( , )h t h t h t
τ τ τ
=

19
Ta có

1 3
'( , 0) ( , 0) . ( , 0) ( ) . '( ) ( . ')( )h t h t h t t t t
ω ω ω ω
= = =

1 3
'( , 1) ( , 1) . ( , 1) ( )( ) . ( ')( )
e e
h t h t h t t t
ω ε ε ω
= = ∗ ∗

1
(2 )
2
1
'(2 1) 1
2
t
t t
ω
ω

≤ ≤


=



− ≤ ≤


nÕu 0 t
nÕu

( ')( )t
ω ω
= ∗
1 3
'(0, ) (0, ) . (0, )h h h e
τ τ τ
= =
1 3
'(1, ) (1, ) . (1, )h h h e
τ τ τ
= =
Vậy
. ' 'rel I
ω ω ω ω
∗
&
;
Tương tự
. ' ' rel I
ω ω ω ω
∗
&

;

' . ' rel I
ω ω ω ω
∗
&
;
. 
1.3.4. Mệnh đề. Nhóm cơ bản
1
( , )G e
π
của nhóm tôpô
G
là nhóm giao hoán.
Chứng minh. Theo mệnh đề trên
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
' ' . ' '. ' '
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
∗ = ∗ = = = ∗ = ∗
. 
1.4. Nhóm cơ bản của tích các không gian tôpô
20
1.4.1. Mệnh đề. Đối với hai không gian tôpô
1 0 0
( , ), ( , )X x Y y
các phép chiếu
1 1
: , ( , )p X Y X p x y x
× → =

2 2
: , ( , )p X Y X p x y x
× → =
cảm sinh đẳng cấu
1 2 1 0 0 1 0 1 0
( ) ( ) : ( , ( , )) ( , ) ( , )p p X Y x y X x y y
π π π
∗ ∗
× × → ×

[ ] [ ] [ ]
1 2
(( ) ( ); ( ) ( ))p p
ω ω ω
∗ ∗
a
.
Chứng minh. Đồng cấu
1 2
( ) ( )p p
∗ ∗
×
là toàn cấu. Thật vậy, nếu
1
ω
là con
đường trong
X
đóng tại

0
x
và
2
ω
là con đường trong
Y
đóng tại
0
y
thì con
đường
1 2
: , ( ) ( ( ), ( ))I X Y t t t
ω ω ω ω
→ × =
là con đường trong
X Y×
đóng tại
0 0
( , )x y
. Kí hiệu
1 2
ω ω ω
= ×
. Nếu
'
1 1
rel I
ω ω

&
;
,
'
2 2
rel I
ω ω
&
;
thì dễ thấy
' '
1 2 1 2
rel I
ω ω ω ω
× ×
&
;
.
Vậy ta có
[ ]
( )
[ ] [ ]
( )
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ,p p
ω ω ω ω
∗ ∗
× × =
.
Đồng cấu

1 1
( ) ( )p p
∗ ∗
×
là đơn cấu. Thật vậy, nếu
ω
là con đường trong
X Y×
đóng tại
0 0
( , )x y
sao cho
0
1 1
:
x
h p rel I
ω ε
&
;

0
2 2
:
y
h p rel I
ω ε
&
;
thì

0 0
1 2 ( , )
:
x y
h h h
ω ε
= ×
;

Do đó
1 2
( ) ( )p p
∗ ∗
×
là đẳng cấu. 
1.4.2. Hệ quả. Nếu
Y
là không gian tôpô đơn liên thì phép chiếu
1
:p X Y X× →
cảm sinh đẳng cấu
1 1 0 0 1 0
( ) : ( , ( , )) ( , )p X Y x y X x
π π
∗
× →
.
Nếu
X
và

Y
là các không gian tôpô đơn liên thì
X Y×
là không gian tôpô đơn
liên.
21
CHƯƠNG 2
NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ
2.1. Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian tôpô
Kí hiệu
n
I
là lập phương đơn vị trong
n
R
{ }
1
( , , ) ; 0 1, 1, 2, ,
n n
n
I t t i n
= ∈ ≤ =
R
Kí hiệu
n
I
&
là biên của
n
I

.
{
1
( , )
n n
n
I t t I
= ∈
&
; có ít nhất một
i
t
bằng
1
hoặc bằng
}
0
. Với
không gian tôpô có điểm đánh dấu
0
( , )X x
ta kí hiệu
{ }
0 0
( , ) : ( , ) ( , )
n n
n
S X x f I I X x
= →
&

.
Như vậy,
0
( , )
n
S X x
là tập các ánh xạ liên tục
:
n
f I X
→
mà
0
( )
n
f I x
=
&
.
Kí hiệu
[ ]
f
là tập hợp các ánh xạ trong
0
( , )
n
S X x
tương đương đồng luân
cố định trên
n

I
&
với
f
. Nhắc lại rằng
n
f g rel I=
&
khi và chỉ khi có ánh xạ liên
tục
0
: ( , ) ( , )
n n
h I I I I X x× × →
&
sao cho
( , 0) ( )h x f x
=

( , 1) ( ),
n
h x g x x I
= ∀ ∈
0
( , ) ,
n
h z t x z I
= ∀ ∈
&
Cho không gian tôpô có điểm đánh dấu

( )
0
,X x
. Tập
( )
0
,
n
X x
π
là tập hợp
các lớp tương đương đồng luân cố định trên
n
I
&
của các ánh xạ
( )
0
,
n
f S X x∈
.
( )
[ ]
( )
{ }
0 0
, ; ,
n n
X x f f S X x

π
= ∈
.
Ta định nghĩa một phép toán trên tập
( )
0
,
n
X x
π
để nó trở thành một
nhóm.
2.1.1.Định nghĩa. Cho
( )
0
, ,
n
f g S X x
∈
. Ánh xạ
* :
n
f g I X
→
được xác
định như sau:
22
Với
n
x I∈

, ta viết
( )
1
, , ,
n
x t y t I y I
−
= ∈ ∈
. Với
:
n
f I X→
và ta xác định
ánh xạ
( ) ( )
: , ,
y y
f I X f t f t y
→ =
.
Như vậy với mỗi
1n
y I
−
∈
ta có con đường đóng tại
0
x
trong
X

. Ánh xạ
f g∗
được dịnh nghĩa như nối tiếp
*
y y
f g
của 2 con đường
y
f
và
y
g
như sau
( ) ( )
* * , *
y y
f g x f g t y f g
= =

( )
( )
1
2 0
2
1
2 1 1
2
y
y
f t t

g t t

≤ ≤


=


− ≤ ≤



nÕu
nÕu

Vậy
( )
( )
( )
1
2 0
2
1
2 1 1
2
f t t
f g x
g t t

≤ ≤



∗ =


− ≤ ≤


nÕu
nÕu
Trong đó
( , )x t y
=
. Chú ý rằng khi
1
2
t
=
( ) ( )
0
1, 0,f y g y x
= =
Ánh xạ
f
∗
g biến
n
I
&
thành

0
x
. Thật vậy:
Nếu
n
z I
∈
&
và
( )
0,z y
=
thì
( ) ( )
0
* 0,f g z f y x
= =
, nếu
(1, )z y
=

thì
( ) ( )
0
* 1,f g z g y x
= =
, còn nếu
( )
1 1 1
, , , , , 0, 1, 2, ,

n
z t t i n
ε ε
= = =

thì
( )
1 2
2 , , , , ,
i n
t t t
ε
và
( )
1 2
2 1, , , , ,
i n
t t t
ε
−
đều thuộc
n
I
&
nên
( )
0
*f g z x
=
.

Vậy
( )
0
* ,
n
f g S X x
∈
.
2.1.2. Mệnh đề. Nếu
'
:
n
h f f relI
&
;
và
' '
"
n
h g g relI
&
;
thì
' '
* *
n
f g f g relI
&
;
.

Chứng minh. Xét ánh xạ
( )
( )
''
0
: , ,
n n
h I I I I X x× × →
&
23
Cho bởi công thức
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
'' ''
'
1
2 , , 0
2
, , ,
1
2 1, , 1
2
h t y
h x h t y
h t y
τ τ

τ τ
τ τ

≤ ≤


= =


− ≤ ≤


nÕu
nÕu

Dễ thử rằng
'' '
: * ' * .
n
h f g f g relI
&
;

2.1.3. Định nghĩa. Cho
[ ] [ ]
( )
0
, ,
n
f g X x

π
∈
, đặt
[ ] [ ] [ ]
* *f g f g
=
Theo mệnh đề trên, ta có một phép toán trên tập
( )
0
,
n
X x
π
.
2.1.4. Mệnh đề. Tập hợp
( )
0
,
n
X x
π
cùng với phép toán * là một nhóm.
Chứng minh. Phép toán có tính chất kết hợp vì
( ) ( )
' '
* * ' * * '
n
f f f f f f relI
&
;

bởi đồng luân
( )
( )
( )
4
,
1
, , 4 1,
4 2
,
2
t
f y
h t y f t y
t
f y
τ
τ τ
τ
τ

 
 ÷

+
 


= − −



− −
 

 ÷
−

 

1
0
4
1 2
4 4
2
1
4
t
t
t
τ
τ τ
τ
+
≤ ≤
+ +
≤ ≤
+
≤ ≤
nÕu

nÕu
nÕu
Phần tử trung hòa của phép toán là
0
x
ε
 
 
, trong đó
( )
( ) ( )
0 0
0 0
: , , , ,
n n n
x x
I I X x x x x I
ε ε
→ = ∀ ∈
&
Xét ánh xạ
( )
( )
0
: , ,
n n
h I I X x
→
&
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
, , , 1 ,h x h t y f t t y
τ τ τϕ τ
= = + −
Trong đó
( )
1
0 0
2
1
2 1 1
2
t
t
t t
ϕ

≤ ≤


=


− ≤ ≤


nÕu
nÕu

Dễ thấy
( ) ( ) ( )
0
, 0 * , , 1
x
h x f h x f x
ε
= =
Nếu
( )
, 0,
n
z I z z
∈ =
&
thì
( ) ( )
0
, 0,h z f y x
τ
= =
24
Nếu
( )
1,z y
=
thì
( ) ( )
0
, 1,h z f y x

τ
= =
Nếu
( )
2
, , , , ,
i n
t t t
ε
với
0, 1
i
ε
=
và
2, 3, ,i n
=
thì
( )
0
,h z x
τ
=
.
Như vậy
0
: *
n
x
h f frelI

ε
&
;
. Suy ra
[ ] [ ]
0
*
x
f f
ε
 
=
 
Tương tự, nét ánh xạ
( )
( )
'
0
: , ,
n n
h I I X x
→
&
bởi
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
' '
, , 1 ,h x h t y f t t t y

τ τ τ ψ τ
= = − = +
trong đó
( )
1
0
2
1
1
2
t
t
t
ϕ

≤ ≤


=


≤ ≤


2t nÕu
0 nÕu

Thì
0
'

: *
n
x
h f frelI
ε
&
;
, do đó
( ) ( )
( )
( )
ˆ ˆ
, 1 , ,
n
f x f t y f t y x I
= = − ∀ ∈
Khi đó ánh xạ
( )
( )
0
: , ,
n n
h I I I I X x
× × →
&

cho bởi

( ) ( )
( )

( )
( )
0
0
0
2
1
2 ,
2 2
, , ,
1 2
2 2 ,
2 2
2
1
2
t
f t y t
h x h t y
f t y t
t
τ
τ
τ
τ τ
τ
τ
τ

≤ ≤




− ≤ ≤

= =

−

− − ≤ ≤


−

≤ ≤

x nÕu
nÕu

nÕu
x nÕu
Là đồng luân nối
0
ˆ
*
n
x
f f relI
ε
&

;
.
Tương tự,
0
ˆ
*
n
x
f f relI
ε
&
;
Do đó
ˆ
f
 
 
là phần tử đối xứng của
[ ]
f
. 
2.1.5.Định nghĩa. Nhóm
( )
0
,
n
X x
π
được gọi là nhóm đồng luân thứ n của
không gian tôpô với điểm đánh dấu

( )
0
,X x
25