BÀI TẬP CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP pps

Giải tích tổ hợp Xác suất
Các quy tắc đếm cơ bản
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
I Các quy tắc đếm cơ bản
1/ Quy tắc cộng
Một công việc A đợc chia ra k công việc A1 , A2 , , Ak để thực hiện ; mỗi công việc độc lập không
liên quan đến nhau . Trong đó :
+ Công việc A1 có n1 cách thực hiện
+ Công việc A2 có n2 cách thực hiện
+ Công việc A3 có n3 cách thực hiện

+ Công việc Ak có nk cách thực hiện .
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n1 + n2 + + nk) cách .
2/ Quy tắc nhân
Một công việc A đợc thực hiện lần lợt qua k giai đoạn A1 , A2 , … , Ak .
Trong ®ã :
+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện
+ Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện
+ Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện

+ Giai đoạn Ak có nk cách thực hiện .
Với mỗi cách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất cứ cách thực hiện nào ở giai đoạn còn
lại .
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n1. n2 nk) cách .
ã Chú ý : Với bài toán phải chia ra các trờng hợp thì sau khi xét các trờng hợp ta phải dùng quy tắc
cộng .
II Hoán vị
1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của X
gọi là một hoán vị của n phần tử .
2/ Công thức tính số các hoán vị của n phần tử
Pn = n! = 1.2.3n

III Chỉnh hợp
1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó một chỉnh hợp chập k của n phÇn tư
(0 ≤ k ≤ n , k ∈ N) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của X .
2/ Công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

Ak =
n

n!
(0k n)
(n k) !

ã Chú ý : Hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n phần tử khác nhau
Pn = A n =
n

n!
=n!
(n n) !

IV tổ hợp
1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó một tổ hợp chập k của n phÇn tư (0
≤ k ≤ n , k ∈ N) là một tập con gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của X .
2/ Công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử

Ck =
n
3/ Các tính chất của tổ hợp
k
n-k

ã Cn = Cn
k

k+1

n!
k!(n − k) !

(0≤k ≤n)

k+1

• Cn + Cn = Cn + 1
4/ Chú ý : Phân biệt hoán vị , chỉnh hợp , tổ hợp
ã Hoán vị là sắp thứ tự toàn bộ các phần tử của tập X .
Trường THPT Gị Cơng Đơng

1

GV: Trần Duy Thái


ã Chỉnh hợp là lấy ra một vài phần tử của X và sắp thứ tự .
ã Tổ hợp là chỉ lấy ra một vài phần tử của X không sắp thứ tự .

Giải tích tổ hợp Xác suất

Dạng 1 : Bài toán tập hợp số
A . Một số chú ý
1/ Số chẵn : Chữ số tận cùng là : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8

2/ Số lẻ : Chữ số tận cùng là : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9
3/ DÊu hiÖu chia hết cho 3 : Tổng các chữ số chia hÕt cho 3 .
4/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 9 : Tổng các chữ số chia hết cho 9 .
5/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 5 : Sè tËn cïng lµ 0 ; 5 .
6/ DÊu hiƯu chia hÕt cho 6 : Sè ®ã ®ång thêi chia hÕt cho 2 vµ 3 .
7/ DÊu hiƯu chia hÕt cho 4 : Hai sè tËn cïng chia hÕt cho 4 .
8/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 8 : Ba sè tËn cïng chia hÕt cho 8 .
9/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 10 : Số tận cùng là 0 .
ã Giả sử số phải lập có dạng : N = a1a 2a 3a 4 ...a n . Khi chọn các chữ số a1 , a2 , … , an ta chän nh÷ng
ch÷ số bị ràng buộc trớc .
Ví dụ
+ a1 phải khác 0
+ Nếu N lẻ thì an phải chọn các số lỴ 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 .
B . Bµi tËp
Bµi 1 : Cho tËp A cã các phần tử 1,2,3,4,5,6,7 . Có bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau đợc
lấy ra từ tập A .
Giải
Cách 1
ã Tập A không chứa số 0 .
ã Số các số có năm chữ số đợc lấy từ tập A là số chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử nên có
A5 = 2520 số .
7
Cách 2 : Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4a 5
ã Chọn a1 có 7 cách (chú ý a1 0 )
ã Chọn a2 có 6 cách

ã Chọn a5 có 3 cách
Theo quy tắc nhân có : 7.6.5.4.3 = 2520 số thoả mÃn .
Bài 2 : Cho tập A có các phần tử 0,1,2,3,4,5,6,7 . Có bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau đợc lấy ra từ tập A .
Giải

Cách 1
ã Tập A chứa số 0 .
ã Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4 a 5
• Chän a1 cã 7 cách vì a1 0
4
ã Bốn chữ số còn lại có A 7 cách chọn .
4
Theo quy tắc nhân co 7. A 7 = 5880 số thoả mÃn .

Cách 2 : Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4a 5
ã Chọn a1 có 7 cách vì a1 0
ã Chọn a2 có 7 cách
ã Chọn a3 có 6 cách
ã Chọn a4 có 5 cách
ã Chọn a5 có 4 cách
Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5.4 = 5880 sè tho¶ m·n .
2
Trường THPT Gị Cơng Đơng

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

Bài 3 : Cho tËp A = {1,2,3,4,5}
1/ Tõ tËp A cã thÓ lËp đợc bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Tính tổng các số này .
2/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau .
3/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số lẻ gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau .
4/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này chia hết
cho 9.

Giải
1/
a) Số các số có 5 chữ số đôi một khác nhau lµ : P5 = A 5 = 120 (sè)
5
b) TÝnh tổng
ã Nhận xét : Trong 120 số trên có 60 cặp số mà mỗi cặp số đều có tổng bằng 66666
VÝ dơ : (12345 vµ 54321 ; 13254 vµ 53412 ; 43512 và 23154 )
ã Do đó , tổng của 120 sè lµ : S = 60.66666 = 3999960
2/ Gäi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4 a 5 . Vì N là số chẵn nên
ã Chọn a5 có 3 cách (1 , 3 , 5)
ã Chọn a1 có 4 cách
ã Chọn a2 có 3 cách
ã Chọn a3 có 2 cách
ã Chọn a4 có 1 cách
Theo quy tắc nhân có : 3.4.3.2.1 = 72 (số lẻ)
3/ Tơng tự có 2.4.3.2.1 = 48 số chẵn
4/ Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3 . Vì N là số chia hết cho 9 nên ta có : (a1 + a2 + a3 ) chia hÕt cho 9 .
Nên ta chọn bộ ba chữ số (a1 ; a2 ; a3 ) là : {(1,3,5) ; (2,3,4)}
3
ã Trờng hợp 1 : Chän bé (1,3,5) cã P3 = A 3 = 6 số thoả mÃn .
3

ã Trờng hợp 2 : Chän bé (2,3,4) cã P3 = A 3 = 6 số thoả mÃn .
Theo quy tắc cộng có : 6 + 6 = 12 số thoả mÃn .
Bài 4 : Với các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau
trong đó luôn có mặt chữ số 5 .
Giải
Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4
Cách 1 :
Bớc 1 : Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau

ã Chọn a1 có 6 cách vì a1 0 .
ã Chọn a2 có 6 cách
ã Chọn a3 có 5 cách
ã Chọn a4 có 4 cách
Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.4 = 720 số .
Bớc 2 : Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau nhng không có chữ số 5 (bỏ ch÷ sè 5)
Cã 5.5.4.3 = 300 sè .
Bíc 3 : Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5 là :
720 – 300 = 420 sè .
C¸ch 2
- Chän a1 = 5
- Chän a2 = 5
….
- Chän a4 = 5
Bµi 5 : Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 mà các số đó nhỏ
hơn 345 .
Giải
Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3 . V× N < 345 nên a1 chỉ có thể là 1 , 2 , 3 .
ã Trờng hợp 1 : a1 = 1 N = 1a 2 a 3
Trường THPT Gị Cơng Đơng

3

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

+ Chọn a2 có 5 c¸ch chän .
+ Chän a3 cã 4 c¸ch chän .

Có 5.4 = 20 số dạng 1a 2a 3
ã Trêng hỵp 2 : a1 = 2 ⇒ N = 2a 2 a 3
+ Chän a2 cã 5 c¸ch chän .
+ Chän a3 cã 4 c¸ch chän .
⇒ Cã 5.4 = 20 số dạng 2a 2 a 3
ã Trờng hợp 3 : a1 = 3 ⇒ N = 3a 2a 3
* Chän a2 cã 3 c¸ch chän (1 , 2 , 4 ).

- NÕu a2 = 1 th× a3 cã 4 cách chọn (2,4,5,6) Có 4 số dạng 31a 3 thoả mÃn
- Nếu a2 = 2 thì a3 có 4 cách chọn (1,4,5,6) Có 4 số dạng 32a 3 thoả mÃn
- Nếu a2 = 4 thì a3 có 2 cách chọn (1,2) Có 2 số dạng 34a 3 tho¶ m·n
⇒ Cã 4 + 4 + 2 = 10 số dạng 3a 2a 3 thoả mÃn
Vậy theo quy t¾c céng cã : 20 + 20 + 10 = 50 số thoả mÃn bài toán .
Bài 6 : Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 . Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại
3 lần , các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần .
Giải
Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4 a 5a 6a 7 a 8 . Vì trong N chữ số 5 có mặt 3 lần nên ta ghi thêm :
0,1,2,3,4,5,5,5 .
ã Chọn a1 có 7 cách vì a1 0
ã Chọn a2 có 7 cách
ã Chọn a3 có 6 cách
ã Chọn a4 có 5 cách
ã Chọn a5 có 4 cách
ã Chọn a6 có 3 cách
ã Chọn a7 có 2 cách
ã Chọn a8 có 1 cách
Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5.4.3.2.1 = 35280 sè .
* Trong N ch÷ sè 5 cã mặt 3 lần nên khi ta hoán vị 3 chữ số 5 này thì N vẫn không thay đổi nên N bị
lặp lại 3! lần .
Vậy số các số thoả mÃn bài toán là :

35280
= 5880 số .
3!

Ví dụ : Số 10355564 thì khi ta hoán vị 3 chữ số 5 vẫn đợc số đó .
Bài 7 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6
không đứng cạnh nhau .
Giải
6
ã Số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau là : P6 = A 6 = 6! = 720 số
ã Bây giờ ta tìm số các số có 6 chữ số mà hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau .
- Hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau ta xem nh mét sè a thèng nhÊt . VËy b©y giờ còn các chữ số :
5
2,3,4,5,a Có A 5 = 5! = 120 số .
- Mỗi lần ta hoán vị hai chữ số 1 và 6 trong a ta đợc 2! Số mới .
có cả thảy : 2!.120 = 240 số mà có hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau .
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau là :
720 240 = 480 số
Bài 8 : Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao
cho trong các số đó luôn có mặt chữ số 0 và 1 .
Giải
4
Trng THPT Gũ Công Đông
GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất
Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4 a 5a 6
ã Trêng hỵp 1 : a1 = 1 ⇒ N = 1a 2a 3a 4 a 5a 6

- Cã 5 vÞ trí cho chữ số 0
4
- Còn 4 vị trí còn lại có A8 cách chọn .
4

Có 5. A8 = 8400 sè d¹ng 1a 2a 3a 4 a 5a 6 thoả mÃn bài toán .
ã Trờng hợp 2 : a2 = 1 ⇒ N = a11a 3a 4 a 5a 6
- Có 4 vị trí cho chữ số 0 vì a1 0
4
- Còn 4 vị trí còn lại có A8 cách chọn .
4

Có 4. A8 số dạng a11a 3a 4 a 5a 6 thoả mÃn bài toán .
ã NÕu a3 = 1 hc a4 = 1 hc a5 = 1 hoặc a6 = 1 thì cũng tơng tự nh a2 = 1 .
4
4
VËy theo quy t¾c céng cã : 5. A8 + 5.(4. A8 ) = 8400 + 33600 = 42000 số thoả mÃn bài toán .
Bài tập tự giải
Bài 9 : Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 70.000
Đáp số
ã Các chữ số lấy là : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .
ã Có 4386 số thoả mÃn .
Bài 10 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một sao cho
số vừa tìm đợc lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600 .
Đáp số
ã a1 chọn 3 , 4 , 5
ã Có 90 số thoả mÃn
Bài 11 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một thoả mÃn :
1/ Không bắt đầu bằng 123 .
2/ Không tận cùng bằng 4 .

Đáp số
1/ (Dùng phơng pháp loại trừ ) . Có 594 số thoả mÃn bài toán .
2/ a5 4 . Có 504 số thoả mÃn bài toán .
Bài 12 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một thoả mÃn
không chia hết cho 3 .
Đáp số
ã Dùng phơng pháp loại trừ (Tìm số các số chia hết cho 3 trớc )
ã Có 60 số thoả mÃn bài toán .
Bài 13 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau đôi một thoả mÃn :
1/ Luôn có mặt chữ số 6 và chữ số hàng trăm là 4 .
2/ Một trong hai số đầu tiên là 3 và số đó chia hết cho 5 .
Đáp số
1/ Có 52 số cần tìm .
2/ Có 76 số cần tìm .
Bài 14 :
1/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chữ số đứng đầu tiên là số
lẻ .
2/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3
chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)
Đáp số
Ta lấy các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
1/ Có 42000 số thoả mÃn
2/
3
ã Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số lẻ là một tổ hợp chập 3 của 5 : C5
3

ã Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số chẵn là một tổ hợp chập 3 của 5 : C5
Mỗi lần hoán vị 6 chữ số đà chọn ta sẽ cã 6! Sè míi .
Trường THPT Gị Cơng Đơng

5

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất
3
5.

Có C C

3
5 .6!

số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ .
3

2

ã Khi ta hoán vị nh trên thì có trờng hợp có số 0 nhảy lên đứng đầu .Xét trờng hợp này có C5 . C 4 .5! số
.
Vậy cã : C3 . C3 .6! - C3 . C 2 .5! = 64800 số thoả mÃn bài toán .
5
5
5
4
Bài 15 : Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 7 chữ số đồng thời thoả mÃn các tính chất sau :
1/ Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẵn .
2/ Chữ số ở vị trí cuối cùng không chia hết cho 5 .

3/ Các chữ số ở vị trí thứ 4 , thứ 5 và thứ 6 đôi một khác nhau .
3
Đáp số Có 10.10.5. A10 .8 = 2.880.000 số thoả mÃn bài toán .

Dạng 2 : Bài toán chọn ngời

Bài 1 : Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ . Hỏi
1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 12 ngời .
2/ Chọn ra một đội văn nghƯ gåm 13 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 10 nữ và phải có cả nam và nữ .
Giải
1/
ã Tổng sè häc sinh cđa líp lµ : 10 + 15 = 25 học sinh .
12
ã Chọn 12 ngời bất kì trong 25 ngêi cã C 25 c¸ch chän .
2/ Ta chia ra các trờng hợp sau
10
3
* Trờng hợp 1 : 10 nữ và 3 nam Có C15 . C10 cách chọn
11

2

12

1

* Trờng hợp 2 : 11 nữ và 2 nam Có C15 . C10 cách chọn
* Trờng hợp 3 : 12 nữ và 1 nam Có C15 . C10 cách chọn
3
2

Theo quy tắc cộng có : C10 . C10 + C11 . C10 + C12 . C1 = 426335 cách chọn
15
15
15
10
Bài 2 : Một lớp học có 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ . Hỏi
1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 6 ngời có cả nam và nữ .
2/ Chän ra mét nhãm gåm 10 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 nam .
Gi¶i
1/ Tỉng sè häc sinh cđa lớp là : 20 học sinh
ã Cách 1 : Chia ra các trờng hợp
+ Có 1 nam và 5 nữ
+ Có 2 nam và 4 nữ
+ Có 3 nam và 3 nữ
+ Có 4 nam và 2 nữ
+ Có 5 nam và 1 nữ
Dùng quy tắc cộng .
ã Cách 2 : Dùng phơng pháp loại trừ
- Chọn ra 6 ngời bất kì trong 20 ngời có C6 cách
20
6
- Chọn ra 6 ngêi toµn lµ nam trong 8 nam cã C8 cách
6
- Chọn ra 6 ngời toàn là nữ trong 12 nữ có C12 cách
6

6

6

Số cách chọn 6 ngời có cả nam và nữ là : C 20 - C8 - C12 = 37808 c¸ch .
2/ Chia ra c¸c trờng hợp có 183370 cách chọn .

Bài 3 : Mét líp häc cã 6 häc sinh nam vµ 9 học sinh nữ trong đó có Bình . Hỏi
1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một ban đại diện gồm 7 ngời trong đó luôn có mặt của B×nh .
Trường THPT Gị Cơng Đơng

6

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

2/ Chọn ra một nhãm gåm 8 ngêi trong ®ã cã mét tỉ trëng còn lại là thành viên biết rằng không
có Bình trong đó .
Giải
1/ Tổng số học sinh của lớp là : 6 + 9 = 15 học sinh
6
ã Vì ban đại diện luôn có mặt của Bình nên ta chỉ cần chọn 6 ngời trong 14 bạn còn lại . Vậy có C14
cách chọn ban đại diện .
2/ Vì không có Bình tham gia nên chỉ có 14 bạn .
1
ã Chọn một tổ trởng có C14 cách chọn . (còn 13 bạn )
7

ã Chọn 7 bạn còn lại trong 13 bạn có C13 cách chọn .
1

7

Theo quy tắc nhân có : C14 . C13 = 24024 cách chọn
Bài 4 : Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã Nam .
1/ Chän ra mét tỉ trùc nhËt cã 8 b¹n , trong đó có một tổ trởng và còn lại là thành viên . Hỏi có
bao nhiêu cách chọn nếu Nam luôn có mặt trong tổ .
2/ Chọn ra một đội văn nghệ 10 ngời trong đó có 1 tổ trởng , 1 th kí và các thành viên . Hỏi có
bao nhiêu cách chọn nếu Nam nhất thiết phải có mặt .
Giải
1/ Ta chia ra các trờng hợp sau :
7
ã Trờng hợp 1 : Nam là tổ trởng Chỉ cần chọn 7 bạn còn lại trong 19 ngời còn lại Có C19 cách
chọn .
ã Trờng hợp 2 : Nam không là tổ trởng
- Chọn một tổ trởng trong 19 ngời còn lại có C1 cách chọn .
19
6
- Chọn 6 thành viên trong 18 ngời còn lại có C18 c¸ch chän .
1

6

⇒ Cã C19 . C18 c¸ch chän .
7
6
VËy theo quy t¾c céng cã : C19 + C1 . C18 c¸ch chän .
19
2/ Ta chia ra c¸c trêng hợp sau :
ã Trờng hợp 1 : Nam là tổ trëng
- Chän mét th kÝ trong 19 ngêi cã C1 cách chọn .
19

8
- Chọn 8 thành viên trong 18 ngời còn lại có C18 cách
1

8

Có C19 . C18 cách chọn .
ã Trờng hợp 2 : Nam là th kí
- Chän mét tỉ trëng trong 19 ngêi cã C1 c¸ch chọn .
19
8
- Chọn 8 thành viên trong 18 ngời còn lại có C18 cách
1

8

Có C19 . C18 cách chọn
ã Trờng hợp 3 : Nam là thành viên .
- Chọn mét tỉ trëng trong 19 ngêi cã C1 c¸ch chän .
19
- Chän mét th kÝ trong 18 ngêi cã C1 cách chọn .
18
7
- Chọn 7 thành viên trong 17 ngời còn lại có C17 cách
1

1

7

Có C19 . C18 . C17 cách chọn .
Bài 5 : Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngời đi dự
đại héi sinh viªn cđa trêng sao cho trong 3 ngêi đó có ít nhất một cán bộ lớp .
Giải
Ta chia ra các trờng hợp sau :
ã Trờng hợp 1 : Cã 1 c¸n bé líp
7
Trường THPT Gị Cơng Đơng
GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất
- Chọn 1 cán bé líp trong 2 c¸n bé cã C1 c¸ch chän .
2
2
- Chọn 2 bạn còn lại trong 18 bạn có C18 c¸ch chän .
1

2

⇒ Cã C 2 . C18 c¸ch chọn .
Trờng hợp 2 : Có 2 cán bộ lớp
- Chän 2 c¸n bé líp trong 2 c¸n bé cã C 2 cách chọn .
2
2
- Chọn 2 bạn còn lại trong 18 bạn có C18 cách chọn .
2

2

Có C 2 . C18 cách chọn .
2
2
Vậy theo quy tắc cộng cã : C1 . C18 + C 2 . C18 = 324 cách chọn .
2
2
Bài tập tự giải
Bài 6 : Một đội văn nghệ có 20 ngời trong đó có 10 nam và 10 nữ .
Hỏi có bao nhiêu cách chän ra 5 ngêi sao cho :
1/ Cã ®óng 2 nam
2/ Cã Ýt nhÊt 2 nam vµ Ýt nhÊt 1 nữ trong đó .
Đáp số
2
3
1/ C10 . C10 = 5400 c¸ch
2
3
3
2
4
2/ C10 . C10 + C10 . C10 + C10 . C1 = 12900 cách
10
Bài 7 : Một tập thể gồm 14 ngời trong đó có 6 nam và 8 nữ trong đó có Thanh và Thơ , ngời ta
muốn chọn một tổ công tác gồm 6 ngời . Tìm số cách chọn trong mỗi trờng hợp sau :
1/ Trong tổ phải có cả nam và nữ .
2/ Trong tổ phải có 1 tổ trởng , 5 tổ viên hơn nữa Thanh và Thơ không đồng thời có mặt trong
tổ .
Đáp số
1/ Có thể dùng phơng pháp loại trừ Có 2974 cách thoả mÃn bài toán .
2/

Hớng dẫn (có thể dùng phơng pháp loại trừ)

- Bớc 1 : Tìm số cách chọn 1 tổ trởng và 5 tổ viên (A)
- Bớc 2 : Tìm số cách chọn 1 tổ trởng và 5 tổ viên trong đó cả Thanh và Thơ cùng có mặt (B)
Kết quả : A B = 15048 cách
Bài 8 : Một lớp học có 30 häc sinh gåm 3 lo¹i : Cã 5 häc sinh giỏi , 10 học sinh trung bình và 15
học sinh yếu .
1/ Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm 5 học sinh có đủ cả ba loại và không có quá 2 học sinh
yếu .
2/ Có bao nhiêu cách chän ra mét nhãm 7 häc sinh cã ®óng 2 häc sinh yÕu , cã Ýt nhÊt 1 häc sinh
giái và có ít nhất một học sinh trung bình .
Đáp sè
3
2
2
2
2
2
2
1/ C1 . C1 . C10 + C1 . C5 . C10 + C1 . C3 . C1 + C15 . C1 . C10 + C15 . C5 . C1
15
5
15
15
5
10
5
10
2
4

2
2
3
2
2
2
4
2/ C15 . C1 . C10 + C15 . C5 . C10 + C15 . C3 . C10 + C15 . C5 . C1
5
5
10

Dạng 3 : Bài toán đếm số điểm ,
số đa giác , số cạnh
Bài 1 : Tính số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh .
Giải
ã Nối hai đỉnh bất kì của đa giác ta đợc một đờng chéo hoặc một cạnh .
2
ã Vậy số đờng chéo và số cạnh của đa giác là : C n
ã Số cạnh của đa giác là n
Trng THPT Gũ Công Đông

8

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

n(n 3)

2
Số đờng chéo của đa giác là : C n - n =
.
2

Bài 2 : Trên một đờng tròn cho 10 điểm . Hỏi có bao nhiêu tam giác nhận các điểm đó làm đỉnh .
ã Nhận thấy 10 điểm trên một đờng tròn
thì không có 3 điểm nào thẳng hàng .
ã Cứ 3 điểm không thẳng hàng tạo thành một tam
giác .
3
Số tam giác phải tìm là : C10 = 120

Bài 3 : Cho hai đờng thẳng song song . Trên đờng thứ nhất có 10 điểm , trên ®êng thø hai cã 15
®iĨm . Hái cã bao nhiªu tam giác tạo bởi các điểm đà cho .
ã Để tạo một tam giác cần có 3 điểm không thẳng
hàng . Do đó 3 đỉnh của tam giác không thể nằm
trên một đờng thẳng .
ã Trờng hợp 1 : Tam giác tạo bởi một điểm trên đờng thẳng thứ nhất và hai điểm trên đờng thẳng
thứ hai . Ta có
2
10. C15 tam giác thoả mÃn .
ã Trờng hợp 2 : Tam giác tạo bởi một điểm trên đờng thẳng thứ hai và hai điểm trên đờng thẳng thứ
nhất . Ta có
2
15. C10 tam giác thoả mÃn .
2

2

Theo quy tắc cộng có : 10. C15 + 15. C10 tam
giác .
Bài 4 : Trong mặt phẳng cho đa giác đều n cạnh . Hỏi
1/ Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác đó .
2/ Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác .
3/ Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác .
4/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác .
Giải
1/ Ta biết n đỉnh của đa giác thì không có 3 đỉnh
nào thẳng hàng . Do đó cứ 3 đỉnh của đa giác tạo
thành một tam giác . Vậy số tam giác là : C3
n

2/ Tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa giác là tam
giác có chứa hai cạnh của đa giác . Các tam giác
bắt đầu là : A1A2A3 , A2A3A4 , , An-2An-1An , An1AnA1 , AnA1A2 .
⇒ Cã n tam gi¸c (để ý chỉ số in đậm chạy từ 1
đến n )
Trường THPT Gị Cơng Đơng

9

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

3/ Tam giác chứa đúng một cạnh của đa giác là
tam giác có hai đỉnh thuộc một cạnh của đa giác
và đỉnh thứ 3 ®èi diƯn víi c¹nh ®· chän . Nh vËy

øng víi một cạnh có n 4 đỉnh thoả mÃn ( trừ đi
2 đỉnh thuộc cạnh đó và hai đỉnh liền kề với hai
đỉnh đó ) . Đa giác có n cạnh
Có n.(n 4) tam giác thoả mÃn .

4/ Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa
giác là : C3 - n n(n 4)
n
Bài 5 : Trong mặt phẳng cho đa giác đều 20 cạnh . Xét các tam giác có 3 đỉnh đợc lấy từ 3 đỉnh
của đa giác . Hỏi
1/ Có tất cả bao nhiêu tam giác nh vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa
giác .
2/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ? Có bao nhiêu tam giác không có
cạnh nào là cạnh của đa giác .
Đáp số
1/
3
ã C 20 = 1140 tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác .
ã Có 20 tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác .
2/
ã Có 16.20 = 320 tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác .
ã Có 800 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác .
Bài 6 : Cho đa giác lồi n cạnh . Kẻ tất cả các đờng chéo của đa giác đó biết rằng không có 3 đờng chéo
nào đồng quy . Có bao nhiêu giao điểm của hai đờng chéo nằm trong đa giác .
Giải
ã Mỗi giao điểm của hai đờng chéo tơng ứng duy nhất với một tứ giác lồi có các đỉnh là đỉnh của đa
giác .
ã Do đó có bao nhiêu tứ giác lồi thì có bấy nhiêu giao điểm của hai đờng chéo nằm trong đa giác .
4
ã Vậy số giao điểm phải tìm là : C n

Bài 7 : Cho đa giác đều A1A2A2n ( n 3) nội tiếp trong đờng tròn (O) . Biết rằng số tam giác có đỉnh
là 3 trong 2n điểm A1 , A2 , … , A2n nhiÒu gÊp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n ®iĨm
A1 , A2 , … , A2n . T×m n .

Trường THPT Gị Cơng Đơng

10

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất
3
2n

ã Số tam giác là : C
ã Số đờng chéo của đa giác đi qua tâm O là n đờng chéo .
ã Ta thấy cứ hai đờng chéo đi qua O thì tạo thành
một hình chữ nhật .
Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh của
đa giác là C 2 .
n
Theo gi¶ thiÕt ta cã : C3 = 20 C 2 n = 8
2n
n

Phần 4 : Xác suất
A . Lý thuyết
I / Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
1/ Phép thử ngẫu nhiên

1.1. Khái niệm : Phép thử ngẫu nhiên (phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà :
- Kết quả của nó không đoán trớc đợc .
- Có thể xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra của phép thử đó .
1.2. Kí hiệu
Phép thử ngẫu nhiên hay kí hiệu là : T
1.3. VÝ dơ
• VÝ dơ 1 : “ Gieo một con súc sắc . Khi đó :
- Không đoán đợc số chấm trên mặt xuất hiện .
- Xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra là : Xuất hiện mặt 1 chấm , 2 chÊm , 3 chÊm , 4 chÊm ,
5 chÊm , 6 chấm .
Vậy hành động gieo một con súc sắc trên là một phép thử ngẫu nhiên .
ã Ví dụ 2 : “ Gieo mét ®ång xu ” . Khi đó :
- Không đoán đợc mặt xuất hiện .
- Xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra là : Đồng xu lật ngửa hoặc lật sấp .
Vậy hành động gieo một đồng xu trên là một phép thử ngẫu nhiên .
2/ Không gian mẫu của phép thử
2.1. Khái niệm : Tập hợp tất cả các kết qu¶ cã thĨ x¶y ra cđa phÐp phÐp thư gäi là không gian mẫu của
phép thử đó .
2.2. Kí hiệu
Không gian mẫu đợc kí hiệu là : ( Đọc là ômêga)
2.3. Ví dụ : Xác định không gian mẫu của phép thử ở hai ví dụ trên
ã Ví dụ 1 : “ Gieo mét con sóc s¾c ” . Khi ®ã : Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
• VÝ dơ 2 : “ Gieo mét ®ång xu ” . Khi ®ã : Ω = {S , N} ( N : lËt ngöa , S : lËt sÊp )
3/ BiÕn cè cña phÐp thử
3.1. Khái niệm
Cho phép thử T
a/ Biến cố A liên quan đến phép thử T là một sự kiện mà việc xảy ra hay không xảy ra của A phụ thuộc
vào kết quả của phép thử T .
b/ Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra gọi là một kết quả thuận lợi cho A . Tập hợp các kết
quả thuận lợi cho A kí hiệu là : A . Khi đó ta nói biến cố A đợc mô tả bởi tập A .

3.2. Chó ý
- BiÕn cè cđa mét phÐp thư ta hay kÝ hiƯu lµ : A , B , C , D hoặc A1 , A2 ,
- Ta luôn cã : Ω A ⊂ Ω
Trường THPT Gị Cơng Đơng

11

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

- Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T . Biến cố chắc chắn đợc mô tả bởi
tập là không gian mẫu của phép thử T .
- Biến cố không thể là biến cố không bao giê x¶y ra khi thùc hiƯn phÐp thư T . Biến cố không thể đợc
mô tả bởi tập rỗng ∅ .
3.2. VÝ dơ
XÐt phÐp thư T : “ Gieo một con súc sắc
ã Không gian mẫu của T lµ : Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
• XÐt biÕn cè A : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ . Khi đó :
- Nếu kết quả của phép thử T là xuất hiện mặt 2 chấm (hoặc 4 , 6 chấm ) thì rõ ràng biến cố A không
xảy ra .
- Nếu kết quả của phép thử T là xuất hiện mặt 1 chấm (hoặc 3 , 5 chấm ) thì rõ ràng biến cố A xảy ra .
Vậy có 3 kết quả thuận lợi cho A là : mặt 1 , 3 , 5 chấm xuất hiƯn .
⇒ Ω A = {1 ; 3 ; 5}.
• Xét biến cố B : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên dơng 6
Thì rõ ràng biến cố B luôn xảy ra . Khi đó B là biến cố chắc chắn và B đợc mô tả bởi không gian
mẫu .
ã Xét biến cố C : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên dơng > 7
Thì rõ ràng biến cố C không bao giờ xảy ra vì số chấm của một con súc sắc nhiều nhất là 6 chấm .

Khi đó biến cố C là biến cố không thể và đợc mô tả bởi tập rỗng .
II . Xác suất của biến cố
1/ Định nghĩa
- Cho phép thử T với không gian mẫu là một tập hữu hạn phần tử và các kết quả của phép thử T là
đồng khả năng .
- Gọi A là một biến cố liên quan đến phép thử T và A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A .
- Khi đó xác suất của A là một số , kí hiệu P(A) , đợc xác định bởi công thức :

P(A) =

A


(1)

Trong đó
+ A là số phần tử của A .
+ là số phần tử của .
Vậy để tính xác suất của biến cố A của phép thử T ta làm theo các bớc sau :
- Xác định không gian mẫu và đếm số phần tử của nó ( số kết quả có thể xảy ra của phép thử T ) .
- Xác định số kết quả thuận lợi cho A ( là số phần tử của A) .
- áp dụng công thức (1) .
2/ Chó ý
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ω) = 1 , P() = 0
ã Xác suất là một số dơng nhỏ hơn 1 , xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1 , xác
suất của biến cố kh«ng thĨ b»ng 0 .
3/ VÝ dơ
VÝ dơ 1 :
“ Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất

a/ Mô tả không gian mẫu .
b/ Tính xác suất để số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn .
b/ Tính xác suất để số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố .
( Chú ý : Số nguyên tố là số nguyên dơng chỉ có hai íc lµ 1 vµ chÝnh nã vµ sè 2 lµ số nguyên tố nhỏ
nhất )
Giải
a/ Không gian mẫu : = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} .
Số phần tử của không gian mẫu : = 6
b/
ã Gọi A là biến cố : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn .
ã Tập mô tả A là : A = {2 , 4 , 6} ⇒ Sè kÕt quả thuận lợi cho A là : A = 3
12
Trường THPT Gị Cơng Đơng
GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất
3 1
Xác suất của A là : P(A) =
=
= 0,5 .
6 2
c/
ã Gọi B là biến cố : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố .
ã Tập mô tả B là : B = {2 , 3 , 5} Số kết quả thuận lợi cho B là : B = 3
Xác suất của A lµ : P(B) =

3 1
=
= 0,5 .

6 2

VÝ dơ 2 :
Gieo đồng thời hai con súc sắc cân ®èi ®ång chÊt ” . TÝnh x¸c st ®Ĩ :
a/ Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn .
b/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là mét sè 7 .
Gi¶i
Sè kÕt qu¶ cã thĨ x¶y ra cđa phÐp thư lµ :  Ω = 62 = 36 .
a/
ã Gọi A là biến cố : Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn .
ã Tập mô tả A lµ : Ω A = {(2,2) ; (2,4) ; (4,2) ; (2,6) ; (6,2) ; (4,6) ; (6,4) ; (6,6) }
Số kết quả thuận lợi cho A là :  Ω A = 8 .
⇒ X¸c st cđa A là : P(A) =

8
2
=
36 9

b/
ã Gọi B là biến cố : Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là một số 7 .
ã Tập mô tả A là : A = {(1,6) ; (6,1) ; (2,5) ; (5,2) ; (3,4) ; (4,3) }
⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 6 .
Xác suất của A là : P(A) =

6
1
=
36 6

Bài tập áp dụng
Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dơng nhỏ hơn 9 . Tính xác suất để :
1/ Số đợc chọn là số nguyên tố .
2/ Số đợc chọn chia hết cho 3 .
Giải
ã Không gian mẫu : = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : = 8 .
1/
ã Gọi A là biến cố : số đợc chọn là số nguyên tố
ã Tập mô tả A là : A = {2,3,5,7}
Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 4 .
Xác suất của A là : P(A) =

4 1
=
= 0,5
8 2

2/
ã Gọi B là biến cố : số đợc chọn chia hết cho 3
ã Tập mô tả A là : B = {3,6}
Số kết quả thuận lợi cho B là : B = 2 .
Xác suất của B là : P(B) =

2 1
=
= 0,25 .
8 4

Bài 2 : Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất . Tính xác suất để :

Trng THPT Gũ Cụng ụng

13

GV: Trần Duy Thái


a/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc 7 .
b/ Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
c/ Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .

Giải tích tổ hợp Xác suất

Giải
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : = 62 = 36 .
a/
ã Gọi A là biến cố : Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn .
ã Tập mô tả A là : A = {(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ;
(3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (5,1) ; (5,2)}
⇒ Sè kết quả thuận lợi cho A là : A = 21 .
Xác suất của A là : P(A) =

21 7
=
36 12

b/
ã Gọi B là biến cố : Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
ã Tập mô tả B là :
B = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) }

⇒ Số kết quả thuận lợi cho B là : B = 10 .
Xác suất của B là : P(B) =

10
5
=
.
36 18

c/
ã Gọi C là biến cố : Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
Có hai khả nẳng xảy ra :
+ Có một con xuất hiện mặt 6 chấm .
+ Cả hai con xuất hiện mặt 6 chấm .
ã Tập mô tả C lµ :
Ω C = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) ; (6;6) }
⇒ Sè kÕt qu¶ thuận lợi cho C là : C = 11 .
Xác suất của C là : P(C) =

11
.
36

Bài 3 : Chän ngÉu nhiªn 5 ngêi cã tªn trong danh sách 20 ngời đợc đánh số từ 1 đến 20 . Tính xác
xuất để năm ngời đợc chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 .
Giải
ã Số kết quả có thể sảy ra là số cách chọn 5 ngêi bÊt k× trong 20 ngêi .
5
VËy  Ω = C 20 .
ã Gọi A là biến cố : 5 ngời đợc chọn có số thứ tự không lớn hơn 10

Số kết quả thuận lợi cho A là số cách chọn 5 trong 10 ngời có số thø tù tõ 1 ®Õn 10 .
5
VËy  Ω A = C10 .
Khi đó xác suất của A là : P(A) =

5
C10
.
C5
20

Bài 4 : Một hộp đựng 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh . Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu . Tính xác
xuất để trong 4 quả đó có cả đỏ và xanh .
Giải
ã Tổng số quả cầu trong hộp là : 10 quả
ã Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là số cách chọn ngẫu nhiên 4 quả trong 10 quả .
4
Vậy : = C10
ã Gọi A là biến cố : Bốn quả đợc chọn ra có cả đỏ và xanh ” .
Trường THPT Gị Cơng Đơng

14

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

Ta tìm số kết quả thuận lợi cho A tức là số cách chọn ra 4 quả có cả đỏ và xanh .
1

3
+ Trờng hợp 1 : Chọn 1 đỏ và 3 xanh Có C 4 . C6 cách chọn .
2

2

3

1

+ Trờng hợp 2 : Chọn 2 đỏ và 2 xanh Có C 4 . C6 cách chọn .
+ Trờng hợp 3 : Chọn 3 đỏ và 1 xanh Có C 4 . C6 cách chọn .
1

3

2

2

3

1

Số kết quả thuận lợi cho A là : A = C 4 . C6 + C 4 . C6 + C 4 . C6
2
C14C3 + C 2C6 + C3 C1
97
6
4

4 6
VËy P(A) =
=
.
4
C10
105

Bài 5 : Gieo đồng thời ba con súc sắc cân đối đồng chất . Tính xác suất để tổng số nút xuất
hiện trên mặt ba con là 8 .
Đáp số P(A) =

21 7
=
63 72

Bài 6 : Ba cửa hàng bán xe máy nh nhau . Có 3 ngời khách A1 , A2 , A3 độc lập nhau chọn ngẫu
nhiên một cửa hàng để mua xe . Tính xác suất để :
1/ Ba ngời vào cùng một cửa hàng .
2/ Hai ngời khách cùng vào một cửa hàng , ngời kia vào cửa hàng kia .
Giải
Ta đánh sè ba cưa hµng lµ : 1 , 2 , 3 .
ã Ba ngời khách A , B , C độc lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe nên số khả năng có
thể xảy ra là : 33 = 27
Cã thĨ liƯt kª nh sau : Ω = {(1,1,1) ; (1,1,2) ; (1,1,3) ; (1,2,1) , (1,2,2) , (1,2,3) , (1,3,1) , (1,3,2) ,
(1,3,3) , … , (3,3,3)} .
1/ Gäi A lµ biÕn cè : “ Ba ngêi vµo cïng mét cưa hµng ” ⇒ Sè kết quả thuận lợi cho A là : A = 3
( Có 3 khả năng là (1,1,1) ; (2,2,2) ; (3,3,3) ) .
⇒ P(A) =

3
1
= .
27 9

2/ Gäi B là biến cố : Hai ngời khách cùng vào mét cưa hµng , ngêi kia vµo cưa hµng kia” . Số kết quả
thuận lợi cho B chính là số cách chọn hai ngời vào cùng một cửa hàng và ngời còn lại vào cửa hàng
kia .
Ta chia các trờng hợp sau :
ã Trờng hợp 1 : (1,1,2) tức là 2 ngêi vµo cưa hµng 1 , mét ngêi vµo cửa hàng 2 .
Có 3 cách chọn trờng hợp này .
+ A1 , A2 vµo cđa hµng 1 vµ A3 vµo cưa hµng 2 .
+ A1 , A3 vµo cđa hµng 1 vµ A2 vµo cưa hµng 2 .
+ A2 , A3 vµo cđa hµng 1 vµ A1 vµo cưa hàng 2 .
Hoàn toàn tơng tự :
ã Trờng hợp 2 : (1,1,3) có 3 cách
ã Trờng hợp 3 : (2,2,1) có 3 cách
ã Trờng hợp 4 : (2,2,3) có 3 cách
ã Trờng hợp 5 : (3,3,1) có 3 cách
ã Trờng hợp 6 : (3,3,2) có 3 cách
Vậy có cả thảy : 6.3 = 18 cách
P(B) =

18 2
=
.
27 3

Bài 7 : Công ty FPT cần tuyển 2 nhân viên . Có 6 ngời nộp đơn , trong đó có 4 nam và 2 nữ . Giả sử
khả năng ứng cử là nh nhau . Tính xác suất để :

1/ Hai ngêi tróng tun lµ nam .
2/ Hai ngêi tróng tun đều là nữ .
3/ Hai ngời trúng tuyển có ít nhất 1 nữ .
Đáp số : 1/ P(A) =

2
1
1
; 2/ P(B) =
; 3/ P(C) =
5
15
5

Trường THPT Gị Cơng Đơng

15

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

III.Biến cố đối
1/ Định nghĩa
Cho A là một biến cố . Khi đó biến cố không xảy ra A , kí hiệu là A , đợc gọi là biến cố đối của
A.
Ví dụ : “ Gieo mét ®ång xu”
- XÐt biÕn cè A : Mặt ngửa xuất hiện
Biến cố đối của A là : Mặt ngửa không xuất hiện

2/ Nhận xét
ã Gọi là không gian mẫu
A
ã Gọi A là tập kết quả thuận lợi cho A
A
Khi đó tập kết quả thuận lợi cho A là :


A = \ A

IV. Quy tắc nhân xác suất
1/ BiÕn cè giao
a/ Kh¸i niƯm : Cho hai biÕn cè A và B . Biến cố Cả A và B cùng xảy ra gọi là biến cố giao cđa hai
biÕn cè A vµ B vµ kÝ hiƯu lµ : AB .
Vậy AB là biến cố : Cả A và B cùng xảy ra .
b/ Nhận xét : Gọi A và B lần lợt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả
thuận lợi cho biến cè giao AB lµ : Ω AB = Ω A ∩ Ω B .
c/ VÝ dơ
Chän ngÉu nhiªn mét em häc sinh trong líp .
- Gäi A lµ biÕn cè : Bạn đó là học sinh giỏi Toán .
- Gọi B là biến cố : Bạn đó là học sinh giỏi Văn .
Biến cố giao của A và B là Bạn đó học giỏi cả Văn và Toán .
Tổng quát
Cho k biến cố A1 , A2 , … , Ak . Khi ®ã biÕn cè giao cđa k biÕn cè lµ : “ TÊt c¶ k biÕn cè A1 , A2 , … ,
Ak ®Ịu x¶y ra ” , kÝ hiƯu : A1A2…Ak .
2/ Hai biến cố độc lập
a/ Khái niệm : Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến
cố này không làm ảnh hởng tới xác suất xảy ra cđa biÕn cè kia .
b/ VÝ dơ
XÐt phÐp thư T là : Gieo hai đồng xu cùng một lúc .

- Gọi A là biến cố : Đồng xu thø nhÊt xt hiƯn mỈt sÊp ”.
- Gäi B là biến cố : Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa .
Khi đó rõ ràng A và B chẳng liên quan gì đến nhau . A và B là hai biến cố độc lập .
c/ Nhận xét
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A vµ B ; A vµ B ; A vµ B cũng độc lập với nhau .
Tổng quát
Cho k biến cè A1 , A2 , … , Ak ; k biến cố này đợc gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không
của mỗi biến cố không làm ảnh hởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại .
3/ Quy tắc nhân xác suất
ã Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì :

P(AB) = P(A).P(B)
ã Nếu A1 ; A2 ; A3 là ba biến cố đôi một độc lập với nhau thì :

P(A1 A2 A3) = P(A1).P(A2).P(A3)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Xác suất bắn trúng hồng tâm của một ngời bắn cung là 0,2 . Tính xác suất để trong ba lần
bắn độc lập :
1/ Ngời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần .
2/ Ngời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần .
Giải
ã Gọi A1 ; A2 ; A3 là biến cố ngời đó bắn trúng hồng tâm ở lần bắn thứ nhất , thứ hai vµ thø ba
Trường THPT Gị Cơng Đơng

16

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

ã Khi đó A1 ; A 2 ; A 3 lµ biÕn cè ngêi đó bắn không bắn trúng hồng tâm ở lần bắn thứ nhất , thứ hai
và thứ ba .
ã Theo giả thiÕt ta cã : P(A1) = P(A2) = P(A3) = 0,2
vµ P( A1 ) = P( A 2 ) = P( A 3 ) = 1 – 0,2 = 0,8
1/ Gọi B là biến cố : Ngời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần .
Khi đó : B = A1 A 2 A 3 ∪ A1 A2 A 3 ∪ A1 A 2 A3
VËy P(B) = 0,2.0,8.0,8 + 0,8.0,2.0,8 + 0,8.0,8.0,2 = 0,384
2/ Gäi C lµ biÕn cố : Ngời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần .
Nhận xét : Biến cố đối của C là C : Ngời đó không bắn trúng hồng tâm lần nào
Khi đó : P( C ) = A1 A 2 A 3 = 0,8.0,8.0,8 = 0,512
⇒ P(C) = 1 - P( C ) = 1 0,512 = 0,488 .
Bài 2 : Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập . Tính xác suất để :
1/ Cả ba đồng xu đều sấp .
2/ Có ít nhất một đồng xu sấp .
Giải
Do đồng xu cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp (S) và mặt ngửa (N) là bằng nhau
P(S) = P(N) = 0,5 .
1/ Gọi A là biến cố : Cả ba ®ång xu ®Ịu sÊp ” . Khi ®ã : A = SSS
VËy P(A) = P(SSS) = P(S).P(S).P(S) = 0,53 = 0,125
2/ Gäi B lµ biÕn cè : “ Cã Ýt nhÊt mét ®ång xu sÊp ” .
Nh vËy biÕn cố đối của B là B : Cả ba ®ång xu ®Ịu ngưa ”
⇒ P( B ) = P(NNN) = P(N).P(N).P(N) = 0,53 = 0,125 .
VËy P(B) = 1 - P( B ) = 1 – 0,125 = 0,875
Bµi tập tự giải
Bài 1 : Một hộp chứa 16 viên bi với 7 bi trắng , 6 bi đen và 3 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp
. Tính xác suất để :
1/ Lấy đợc cả 3 viên bi đỏ .
2/ Lấy đợc cả 3 viên bi không phải bi đỏ .
3/ Lấy đợc một viên bi trắng , một đen và một đỏ .
Đáp số

1/ P(A) =

1
560

2/ P(B) =

143
280

3/ P(C) =

9
40

Bµi 2 : Mét hép chứa 16 viên bi với 7 bi trắng , 6 bi đen và 3 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp
. Tính xác suất để :
1/ Lấy đợc đúng một viên bi trắng .
2/ Lấy đợc đúng 2 viên bi trắng .
Đáp số
1/ P(A) =

21
65

2/ P(B) =

7
165

2/ P(B) =

27
65

Bài 3 : Chọn ngẫu nhiên 3 số tõ tËp {1 , 2 , … , 11} . Tính xác suất để :
1/ Tổng ba số đợc chọn là 12 .
2/ Tổng ba số đợc chọn là số lẻ .
Đáp số
1/ P(A) =

16
33

Bài 4 : Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất . Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm . Xét phơng
trình : x2 + bx + 2 = 0 (1) . TÝnh x¸c st sao cho :
1/ Pt (1) cã nghiƯm .
2/ Pt (1) v« nghiƯm .
3/ Pt (1) cã nghiƯm nguyên .
Gợi ý
Trng THPT Gũ Cụng ụng

17

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất

+ b {1,2,3,4,5,6}

+ TÝnh ∆ = b2 – 8 . XÐt dÊu cña
Đáp số
1/ P(A) =

2
3

2/ P(B) =

1
3

3/ P(C) =

1
6

Bài 5 : Có hai hộp chứa quả cầu . Hộp thứ nhất có 6 cầu trắng , 4 đen . Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng , 6
quả đen . Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả . Tính xác suất để :
1/ Hai quả lấy ra là cùng màu .
2/ Hai quả lấy ra là khác màu .
Đáp số
1/ P(A) =

12
25

Trường THPT Gị Cơng Đơng

2/ P(B) =

18

13
25

GV: Trần Duy Thái