Đề thi học sinh giỏi lớp 8 lần III

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn : Toán
Thời gian: 90 phút
ĐỀ BÀI:
Bài 1 : Cho biểu thức:
P =
2
2 2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
− − + −
 
+ − +
 ÷
− + − − − + −
 
a) Rút gọn P
b) Tính giá trò của P khi
1
2
x
=
c) Tìm giá trò nguyên của x để P nhận giá trò nguyên.
d) Tìm x để P > 0.
Bài 2 : Giải phương trình:
a/ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = 0
b/
148 169 186 199

10
25 23 21 19
x x x x
− − − −
+ + + =
Bài 3 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
99
99
99
và 6
666
Bài 4 : Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là
điểm đối xứng của điểm C qua P.
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh
EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ
thuộc vào vò trí của điểm P.
d) Giả sử CP
⊥
BD và CP = 2,4 cm,
=
PD 9
PB 16
. Tính các cạnh của hình chữ
nhật ABCD.
Bài 5 : Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD tại
các điểm E và F tương ứng. Gọi G là giao điểm của d và AC. Chứng minh :
+ =
AB AD AC

AE AF AG
Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 2009
2008
+ 2011
2010
chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
HẾT
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài 1: Phân tích:
4x
2
– 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x
2
– 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x
2
= (3 + 2x)(7 – 4x)
4x
2
+ 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện:
1 5 3 7

; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x
−
≠ ≠ ≠ ≠ ≠
0,5đ
a) Rút gọn P =
2 3
2 5
x
x
−
−
2đ
b)
1
2
x
=

1
2
x
⇔ =
hoặc
1
2
x
−
=

+)
1
2
x
=

⇒
… P =
1
2
+)
1
2
x
−
=

⇒
…P =
2
3
1đ
c) P =
2 3
2 5
x
x
−
−

=
2
1
5x
+
−
Ta có:
1 Z
∈
Vậy P
Z
∈
khi
2
5
Z
x
∈
−
⇒
x – 5
∈
Ư
(2)
Mà Ư
(2)
= { -2; -1; 1; 2}
x – 5 = -2
⇒
x = 3 (TMĐK)

x – 5 = -1
⇒
x = 4 (KTMĐK)
x – 5 = 1
⇒
x = 6 (TMĐK)
x – 5 = 2
⇒
x = 7 (TMĐK)
KL: x
∈
{3; 6; 7} thì P nhận giá trò nguyên. 1đ
d) P =
2 3
2 5
x
x
−
−
=
2
1
5x
+
−
0,25đ
Ta có: 1 > 0
Để P > 0 thì
2
5x −

> 0
⇒
x – 5 > 0
⇔
x > 5 0,5đ
Với x > 5 thì P > 0. 0,25
Bài 2:
a)
2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
 
− = +
 ÷
+ − + −
 
( ) ( ) ( )
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x
x x x x
 
⇔ − = +
 ÷
 ÷
+ − + −

 
ĐK:
4; 1x x
≠ − ≠
⇔
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
…
⇔
3x.(x + 4) = 0
⇔
3x = 0 hoặc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)
S = { 0} 1đ
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
− − − −
+ + + =
⇔
148 169 186 199
1 2 3 4 0
25 23 21 19
x x x x− − − −
       
− + − + − + − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

⇔
(123 – x)
1 1 1 1
25 23 21 19
 
+ + +
 ÷
 
= 0
Do
1 1 1 1
25 23 21 19
 
+ + +
 ÷
 
> 0
Nên 123 – x = 0 => x = 123
S = {123} 1đ
c)
2 3 5x
− + =
Ta có:
2 0x x− ≥ ∀
=>
2 3x − +
> 0
nên
2 3 2 3x x
− + = − +

PT được viết dưới dạng:

2 3 5x
− + =
⇔
2x
−
= 5 – 3
⇔

2x
−
= 2
+) x - 2 = 2 => x = 4
+) x - 2 = -2 => x = 0
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0)
0,25đ
Vận tốc dự đònh của người đ xe gắn máy là:

3
( / )
1
10
3
3
x x
km h=
(3

h
20
’
=
( )
1
3
3
h
) 0,25đ
Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:

( )
3
5 /
10
x
km h
+
0,25đ
Theo đề bài ta có phương trình:

3
5 .3
10
x
x
 
+ =
 ÷

 
0,5đ
⇔
x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ
Vận tốc dự đònh là:
( )
3.150
45 /
10
km h
=
Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ
a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD.
 PO là đường trung bình của tsm giác CAM.
 AM//PO
⇒
tứ giác AMDB là hình thang. 1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vò)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE
cân ở I nên góc IAE = góc IEA.
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ
Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng.
1đ
A
B
C

D
O
M
P
I
E
F
c)
( )
MAF DBA g g
∆ ∆ −
:
nên
MF AD
FA AB
=
không đổi. (1đ)
d) Nếu
9
16
PD
PB
=
thì
9 , 16
9 16
PD PB
k PD k PB k= = ⇒ = =
Nếu
CP BD⊥

thì
( )
CP PB
CBD DCP g g
PD CP
∆ ∆ − ⇒ =
:
1đ
do đó CP
2
= PB.PD
hay (2,4)
2
= 9.16 k
2
=> k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC
2
= BP.BD = 16 0,5đ
do đó BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm) 0,5đ
Bài 5:
a) Ta có: 2009
2008
+ 2011
2010
= (2009

2008
+ 1) + ( 2011
2010
– 1)
Vì 2009
2008
+ 1 = (2009 + 1)(2009
2007
- …)
= 2010.(…) chia hết cho 2010 (1)
2011
2010
- 1 = ( 2011 – 1)(2011
2009
+ …)
= 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) 1đ
Từ (1) và (2) ta có đpcm.
b)
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
(1)

( )
( )
( )
( )
( )

( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
   
⇔ − + − ≥
 ÷  ÷
+ + + +
   
− −
⇔ + ≥
+ + + +

− −
⇔ ≥
+ + +
Vì
1; 1x y
≥ ≥
=>
1xy
≥
=>
1 0xy
− ≥
=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ

Chú ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.