De cuong on tap DS 9 HK II

Gi¸o viªn biªn so¹n : L©m §¹i §ång
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2009 - 2010
P hÇn I: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn vµ hƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn.
1) Phương trình bậc nhất hai ẩn số .
a) Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng : ax + by = c (1) ; trong đó
a , b và c là các số đã biết ( a
≠
0 hoặc b
≠
0 )
b) Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn số : (x
0
, y
0
) là nghiệm của (1)
0 0
ax ay c⇔ + =
Nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn :
Dạng 1 : ax + by = c
⇔
by = -ax +c
⇔
a c
y x
b b
= − +
.
Vậy nghiệm tổng quát :
x R
a c
y x

b b
∈



= − +


Dạng 2 : ax +0y = c
⇔
ax=c
⇔
c
x
a
=
.Vậy nghiệm tổng quát :
c
x
a
y R

=



∈

Dạng 3 : 0x +by = c
⇔

by=c
⇔
c
y
b
=
. Vậy nghiệm tổng quát :
x R
c
y
b
∈



=


2) Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng :
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =


+ =

(I) ,trong đó a ,a’, b,b’
và c,c’ là các số đã biết.

b) Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập
nghệm .
c) Hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn (I) ( với a ,a’, b,b’ và c,c’ cùng khác 0 )
+ Có vô số nghiệm , nếu
' ' '
a b c
a b c
= =
+ Vô nghiệm , nếu
' ' '
a b c
a b c
= ≠
+ Có một nghòêm duy nhất , nếu
' '
a b
a b
≠
Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .
a/Phương pháp thế :
Bước 1 : Rút 1 ẩn chẳng hạn x từ 1 phương trình rồi thay vào phương trình kia
Bước 2 : Giải phương trình có 1 ẩn là y .
1
Gi¸o viªn biªn so¹n : L©m §¹i §ång
Bước 3 : Thay giá trò của y vào biểu thức của x để tìm x .
b/Phương pháp cộng :
Bước 1 : Biến đổi 2 phương trình của hệ sao cho hệ số của x hoặc y trong 2 phương
trình bằng nhau hoặc đối nhau
Bước 2 : + Nếu hệ số của x ( hoặc y) bằng nhau thì ta trừ vế theo vế .
+ Nếu hệ số của x ( hoặc y) đối nhau thì ta cộng vế theo vế .

Bước 3 : Giải phương trình một ẩn vừa tìm được
Bước 4 : Thay giá trò của ẩn vừa tìm được vào 1 trong hai phương trình của hệ đã
cho để tìm giá trò của ẩn thứ 2
B µi TËp:
Bµi 1: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng:



−=+
−=+
756
434
,
yx
yx
a




=++
=++
0243
011612
,
yx
yx
b





=−
=+
1537
2765
,
yx
yx
c
Bµi 2: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ:



=−
=+
335
112
,
yx
yx
a




=+
=−
2325
53

,
yx
yx
b






−=+−+
=
−
−
1)1(7)3(5
2
1
25
15
,
yx
y
x
c

Bµi 3: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÝch hỵp:



−=−

−=−
2331
)2(231
,
yx
xy
a




−=+−+
=+−+
6)3(2)2(3
6)3(5)2(7
,
yxyx
yxyx
b





=−
=+
1
32
5
23

,
yx
yx
c






−
=
−
+
=
−
+
3
1
2
1
6
2
2
4
3
,
yx
yyx
d




+−=+−
−+=−+
)4)(3()7)(4(
)1)(2()2)(5(
,
yxyx
yxyx
e
Bµi 4 : Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh:
a,







=
−
−
+
=
−
−
+
3
45

2
21
yxyx
yxyx
b,



−=−
=+
72
134
22
22
yx
yx
c,





=−
=+
4
2
5
322
x
y

xxy
d,





=−−−
=−+−
2213
52312
yx
yx
Bµi 5: Cho hƯ ph¬ng tr×nh:



=+
=+
ayax
yx
2
1
a. Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh víi a = 3.
b. T×m ®iỊu kiƯn cđa a ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm ? cã v« sè nghiƯm.
Bµi 6:Cho hƯ ph¬ngn tr×nh :



=−

=+
32
6
byax
bayx
a. Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh víi a = b = 1.
2
Gi¸o viªn biªn so¹n : L©m §¹i §ång
b. T×m a, b ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ (x=1; y= 0).
Bµi 7: Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



=+
=−
mymx
yx 1
a. Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh víi m = 1.
b. T×m m ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ (x = 2; y = 1).
c. T×m m ®Ĩ hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt.
PhÇn II: Đồ thò hàm số y = ax
2

vµ ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn
1) Đồ thò hàm số y = ax
2

a) Đồ thò hàm số y = ax
2
là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy

làm trục đối xứng ,đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
b)Tính biến thiên của y = ax
2

Hàm số y = ax
2
(a >0) Hàm số y = ax
2
( a < 0)
 Nghòch biến khi x < 0
 Đồng biến khi x > 0
 Giá trò nhỏ nhất y = 0 tại x = 0
 Đồ thò nằm phía trên trục hoành
 O là điểm thấp nhất của đồ thò
 Đồng biến khi x < 0
 Nghòch biến khi x < 0
 Giá trò lớn nhất y = 0 tại x = 0
 Đồ thò nằm phía dưới trục hoành
 O là điểm cao nhất của đồ thò
c) Cách vẽ đồ thò :
+ Lập bảng gía trò của hàm số y = ax
2
Cho x nhận các giá trò -2,-1,0,1,2 … ta lần lượt tính được các giá trò tương ứng của y
= ax
2
+ Vẽ các cặp điểm trong bảng giá trò trên cùng hệ trục toạ độ và nối các điểm
lại với nhau bởi đường trơn liến nét ta được đồ thò của hàm số y = ax
2
(chú ý :+a> 0 đồ thò quay lên trên
+a< 0 đồ thò quay xuống dưới )

Bµi tËp
Bµi 1:
a) BiÕt ®å thÞ hµm sè y = ax
2
®i qua ®iĨm (- 2 ; -1). H·y t×m a vµ vÏ ®å thÞ
(P) ®ã.
b) Gäi A vµ B lµ hai ®iĨm lÇn lỵt trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn lỵt lµ 2 vµ - 4.
T×m to¹ ®é A vµ B tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB.
Bµi 2: Cho hµm sè
2
x
2
1
y −=
a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) cđa hµm sè trªn.
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) qua A(- 2; - 2) vµ tiÕp xóc víi (P).
Bµi 3:
Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y −=
vµ ®êng th¼ng (D): y = mx
- 2m - 1.
a) VÏ ®é thÞ (P).
3
Gi¸o viªn biªn so¹n : L©m §¹i §ång
b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P).
c) Chøng tá r»ng (D) lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh A thc (P).

Bµi 4: Cho hµm sè
2
x
2
1
y −=
a) VÏ ®å thÞ (P) cđa hµm sè trªn.
b) Trªn (P) lÊy hai ®iĨm M vµ N lÇn lỵt cã hoµnh ®é lµ - 2; 1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng MN.
c) X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt r»ng ®å thÞ (D) cđa nã song song víi ®êng th¼ng
MN vµ chØ c¾t (P) t¹i mét ®iĨm.
2) Phương trình bậc hai một ẩn số:
a) Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng a x
2
+bx + c = 0 (a ≠ 0)
trong đó x là ẩn số ,a , b , c là các hệ số đã cho
b) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai:
Cho pt : a x
2
+bx + c = 0 (a ≠ 0) víi
∆
= b
2
– 4ac
•
∆
> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=

a
b
2
∆+−
; x
1
=
a
b
2
∆−−
•

∆
= 0 phương trình có nghiệm kép :x
1
= x
2

=
a
b
2
−
•

∆
< 0 phương trình vô nghiệm
c) Viết công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Cho pt: a x

2
+bx + c = 0 (a ≠ 0) ;b
,
=
2
b
;
∆
’
= b
’2
– ac
•
∆
’
> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
'
'b
a
− + ∆
; x
2
=
'
'b
a
− − ∆

•
∆
’
=0 phương trình có nghiệm kép :x
1
= x
2
=
b
a
'
−
•
∆
’
< 0 phương trình vô nghiệm
d) Các trường hợp nhẩm nghiệm đặc biệt
- Nếu phương trình ax
2
+bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phương trình có hai
nghiệm x
1
= 1 ;x
2
=
a
c
- Nếu phương trình ax
2
+bx + c = 0 a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm

x
1
= -1 ;x
2
= -
a
c
- Nếu a và c trái dấu thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt .
4
Gi¸o viªn biªn so¹n : L©m §¹i §ång
e) Phát biểu đònh lý VIET :
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+bx + c = 0 (a ≠ 0) thì x
1
+x
2
=
a
b−
;
x
1
.x
2
=

a
c

f) Cách tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P

thì u và v là hai nghiệm
của phương trình bậc hai: x
2
–Sx +P =0
ĐK để có 2 số:S
2
–4P ≥ 0
B µi tËp
Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a. x
2
– x – 20 = 0 e. 2x
2
+ 7x + 3 = 0
b. 2x
2
– 3x – 2 = 0 g. x
2
– 4x + 3 = 0
c. x
2
+ 3x – 10 = 0 h. x
2
– 2x – 8 = 0

d. 2x
2
– 7x + 12 = 0 k. 2x
2
– 3x + 5 = 0
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a. 3x
2
+ 8x + 4= 0 e. x
2
-3x – 10 = 0
b. 5x
2
– 6x – 8 = 0 g.
02)12(
2
=+++ xx
c. 3x
2
– 14x + 8= 0 h.
03344
2
=+− xx
d. x
2
– 14x + 59 = 0 k.
02256
2
=+− xx
Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiƯm:

a. 2x
2
– 3x + 1 = 0
b. -2x
2
+ 3 x + 5 = 0
c. 5x
2
+ 9x + 4 = 0
d.
0223)21(32
2
=+++− xx
Bµi 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiƯm nhanh nhÊt:
a. x
2
– 11x + 28 = 0
b. 4x
2
– 8x - 140 = 0
c. x
2
+ 10x + 21 = 0
d. 0.65x
2
– 2.35x – 3 = 0
e.
0)33(33
2
=+−− xx

g.
023)21(2
2
=−−++ xx
Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a. (2x -1)(x – 2) = 5 d. (x + 5)
2
= 4(x + 13)
b. (3x – 2)(2x – 3) = 4 e. (x + 3)(x – 3) = 7x - 19
c. (x – 3)
2
= 2(x + 9) g. (2x + 7)(2x – 7) + 2(6x + 21) = 0
Bµi 6: T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh:
a. 2x
2
– 4x + m =0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt.
b. 3x
2
– 2mx + 1 = 0 cã nghiƯm kÐp.
c. x
2
– (2m + 3)x + m
2
= 0 v« nghiƯm.
d. x
2
– 2mx + (m – 1)
2
= 0 cã hai nghiƯm d¬ng.
e. x

2
– 2(m – 1)x + m
2
= 0 cã hai nghiƯm ©m.
Bµi 7: T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh :
a. 2x
2
– 4x + m = 0 cã hai nghiƯm tr¸i dÊu.
b. 3x
2
– 2mx + 1 = 0 cã nghiƯm kÐp.
c. x
2
– (2m + 3)x + m
2
= 0 v« nghiƯm.
d. x
2
– 2mx + (m – 1)
2
= 0 cã hai nghiƯm d¬ng.
5
Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
e. x
2
2(m 1)x + m
2
= 0 có hai nghiệm cùng âm.
Bài 8: Xác định giá trị của m và tìm nghiệm của phơng trình biết rằng:
a. Phơng trình: 2x

2
(m + 3)x 5m = 0 có một nghiệm bằng 2.
b. Phơng trình: 4x
2
+ (2m + 1)x m
2
= 0 có một nghiệm bằng 1.
Bài 9: Cho phơng trình: 2x
2
4x + m = 0 (1)
a. Giải phơng trình với m = - 30.
b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm y
1
, y
2
là nghịch đảo hai nghiệm
của phơng trình (1).
Bài 10: Cho phơng trình: (m 2)x
2
2mx + m 4 = 0 (2)
a. Với giá trị nào của m thì (2) là phơng trình bậc hai.
b. Giải phơng trình khi m =
2
3
c. Tìm m để phơngn trình có hai nghiệm phân biệt.
Giải một số phơng trình băng cách quy về pt bậc hai
Dạng 1: Phơng trình trùng phơng.
Giải các phơng trình sau:
a) 4x

4
+ 7x
2
2 = 0 ; b) x
4
13x
2
+ 36 = 0;
c) 2x
4
+ 5x
2
+ 2 = 0 ; d) (2x + 1)
4
8(2x + 1)
2
9 =0
Dạng 2: Phơng trình có ẩn số ở mẫu.
Giải các phơng trình sau:
1t
5t2t
t
1t
t
c)
12x
3x
3
x
12x

b)
6
1x
3x
2x
x
a)
22
+
+
=+


+
=+

=

+
+

Dạng 3: Phơng trình tích.
Giải các phơng trình sau bằng cách đa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đa về phơng trình
bậc hai:
Bài 1:
a) 2x
3
7x
2
+ 5x = 0 ; b) 2x

3
x
2
6x + 3 = 0 ;
c) x
4
+ x
3
2x
2
x + 1 = 0 ; d) x
4
= (2x
2
4x + 1)
2
.
Phần III: Giải bài toán bằng cách lập hệ PT và lập phơng trình
A/ Kiến thức cần nhớ:
Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình- Hệ phơng trình
1. Lập phơng trình (Hệ phơng trình)
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
- Biểu diễn các đại lợng cha biết, đã biết qua ẩn để thiết lập phơng trình (Hệ phơng
trình)
2. Giải phơng trình (Hệ phơng trình) thu đợc.
3. Kết luận.
B/ Bài tập:
I/ Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình:
6
Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng

1/ Ví dụ 1:
Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h. Khi đi từ B về A ngời ấy chọn con
đờng khác dễ đi hơn và dài hơn con đờng cũ 6km, đi với vận tốc 12km/h nên thời gian về ít
hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đờng AB?
Giải
Gọi độ dài quãng đờng AB là x(km); ĐK: x>0. Khi đó:
Thời gian đi từ A đến B là
9
x
(giờ)
Thời gian đi từ B về A là
6
12
x +
(giờ)
Theo bài ra ta có phơng trình:
9
x
+
6
12
x +
=
1
3
(20 phút =
1
3
giờ )
Giải ra ta đợc x = 30(t/m)

Vậy độ dài quãng đờng AB là 30 km
2/ Ví dụ 2:
Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngợc dòng 18km. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời
gian ngợc là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn tốc ngợc là 6km/h. Tính vận tốc ca nô lúc ngợc
dòng.
Giải
Gọi vận tốc ca nô lúc ngợc dòng là x(km/h); ĐK: x>0. Khi đó:
Vận tốc xuôi dòng là: x+6 (km/h)
Thời gian xuôi dòng 45km là:
45
6x +
(giờ)
Thời gian ngợc dòng 18km là:
18
x
(giờ)
Theo bài ra ta có phơng trình:
45
6x +
-
18
x
= 1
2
1
2
21 108 0
12( / )
9( / )
x x

x t m
x t m
+ =
=



=

Vậy vận tốc ca nô lúc ngợc dòng là 12km/h hoặc 9 kh/h
3/ Ví dụ 3:
Theo kế hoạch một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Đến ngày làm việc có 2 xe
bị hỏng nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn mới hết số hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?
Giải:
Gọi số xe lúc đầu của đội là x (xe); ĐK: x>2; x nguyên
Theo dự định mỗi xe phải chở:
120
x
(tấn)
Thực tế mỗi xe đã chở:
120
2x
(tấn)
Theo bài ra ta có phơng trình:
120
2x
-
120
x
= 16

x
2
-2x-15 = 0
x
1
= 5 (t/m); x
2
= -3(loại)
Vậy số xe lúc đầu của đội là: 5 xe
4/ Ví dụ 4:
7
Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1m. Nếu tăng thêm cho chiều
dài
1
4
của nó, thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3 m
2
. Tính diện tích của hình chữ
nhật lúc đầu.
Giải
Gọi chiều rộng của HCN là x (m); ĐK: x>0. Khi đó:
Chiều dài của HCN là x+1(m)
Diện tích của HCN là: x(x+1)
Nếu tăng thêm cho chiều dài
1
4
của nó thì chiều dài mới là
5( 1)
4

x +
Diện tích mới là: x.
5( 1)
4
x +
Theo bài ra ta có phơng trình: x.
5( 1)
4
x +
- x(x+1) = 3
x
2
+x-12 = 0
x
1
= 3(t/m); x
2
= -4(loại)
Vậy : chiều rộng của HCN là 3 m; chiều dài của HCN là 4 m
Diện tích của HCN là 3.4 = 12m
2
5/ Ví dụ 5:
Nhà trờng tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan. Ngời ta dự tính : Nếu dùng
loại xe lớn chuyên chở một lợt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là 2
chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu loại
xe đó đợc huy động.
Giải
Gọi số xe lớn là x(xe); ĐK: x>0; x nguyên. Khi đó số xe nhỏ sẽ là: x+2 (xe)
Số chỗ ngồi của mỗi xe lớn là:
180

x
Số chỗ ngồi của mỗi xe nhỏ là:
180
2x +
Theo bài ra ta có PT:
180
x
-
180
2x +
= 15
x
2
+2x-24 = 0
x
1
= 4(t/m); x
2
= -6(loại)
Vậy số xe lớn cần điều động là 4 xe
6/ Ví dụ 6:
Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút. Tính vận
tốc tàu thuỷ khi nớc yên nặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4km/h.
Giải
Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng là x(km/h). ĐK: x>4. Khi đó:
Vận tốc đi xuôi dòng là: x+4(km/h)
Vận tốc đi ngợc dòng là: x-4(km/h)
Thời gian tàu đi xuôi dòng là :
120
4x +

(giờ)
Thời gian tàu đi ngợc dòng là :
120
4x
(giờ)
Theo bài ra ta có PT:
120
4x +
+
120
4x
= 6
3
4
9x
2
-320x-144 = 0
8
Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
x
1
= -
4
9
(loại); x
2
= 36(t/m)
Vậy vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng là 36km/h
7/ Ví dụ 7:
Một hình chữ nhật có đờng chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chièu rộng 7m. Tính

diện tích của hình chữ nhật đó.
Giải
Gọi chiều rộng của HCN là x (m); ĐK : x>0. Khi đó:
Chiều dài của HCN là x+7 (m)
áp dụng định lí Pitago ta có PT: x
2
+(x+7)
2
= 169
x
1
= 5(t/m); x
2
= -12(loại)
Vậy: chiều rộng của HCN là 5m; chiều dài của HCN là 12m
Diện tích của HCN là: 5.12 = 60m
2
8/ Ví dụ 8:
Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã dự định để đi hết quãng đờng 120km trong
một thời gian đã định. Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nới đúng giờ,
xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa còn lại của quãng đờng. Tính thời gian xe lăn
bánh trên đờng.
Giải
Gọi vận tốc đã định của ô tô là x(km/h); ĐK: x>2. Khi đó:
Thời gian dự định đi là:
120
x
(giờ)
Đi đợc nửa quãng đờng tức là đi đợc 60km xe nghỉ 3 phút hay
1

20
(giờ), nh vậy thời
gian xe đi trên nửa quãng đờng đầu là
60
x
. Sau khi nghỉ, để đến nơi đúng giờ xe phải tăng
vận tốc thêm 2km/h tức là đi với vận tốc: (x+2) km/h, do đó trên nửa quãng đờng sau xe
phải đi trong
60
2x +
(giờ)
Theo bài ra ta có PT:
60
x
+
60
2x +
+
1
20
=
120
x
x
2
+2x-2400 = 0
x
1
= 48(t/m); x
2

= -50(loại)
Vậy thời gian xe lăn bánh trên đờng là: (
60 60
48 50
+
)(giờ) =
49 9
2
20 20
=
(giờ)
9/ Ví dụ 9:
Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút.
Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vời thứ hai trong 2 giờ. Hỏi
nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Giải
Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x(giờ); ĐK: x>3. Khi đó:
Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong x-2(giờ)
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy đợc:
1
x
(bể)
Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy đợc:
1
2x
(bể)
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy đợc:
12
35
(bể); (2

h
55 =
35
12
h)
9
Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
Theo bài ra ta có PT:
1
x
+
1
2x
=
12
35
6x
2
-47x+35 = 0
x
1
= 7(t/m); x
2
=
5
6
<3 loại
Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 7 giờ đầy bể
Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 5 giờ đầy bể
10/ Ví dụ 10:

Một công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do tăng
năng xuất 5 sản phẩm mỗi giờ nên ngời ấy đã hoàn thành kế hoạh sớm hơn thời gian quy
định 1 giờ 40 phút. Tính số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định.
Giải
Gọi số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định là x(sản phẩm); ĐK: x>0; x
nguyên.Khi đó:
Thời gian quy định là:
50
x
(giờ)
Thời gian thực tế đã làm là:
50
5x +
(giờ)
Theo bài ra ta có PT:
50
x
-
50
5x +
=
5
3
; (1 giờ 40 phút =
5
3
giờ)
x
1
= 10(t/m); x

2
= -15(loại)
Vậy số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định là 10 sản phẩm

Bài tập
Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính
quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
Bài 2: Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc. Sau
khi đợc
3
1
quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại. Tìm
vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến B sớm hơn dự định
24 phút.
Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ng-
ợc từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách
giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc
xuôi và lúc ngợc bằng nhau.
Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi
dòng sông nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi
ngợc dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngợc dòng.
Bài 5: Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nừu
ngời thứ nhất làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc ắ
công việc. Hỏi một làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Bài 6: Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì đợc
5
4
hồ. Nếu vòi A chảy
trong 3 giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đợc

2
1
hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi
chảy trong bao lâu mới đầy hồ.
Bài 7: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một
mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi
chảy một mình đầy bể?
10
Giáo viên biên soạn : Lâm Đại Đồng
Bài 8: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt
mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng
mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?.
Bài 9:
Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu ngời. Dân số tỉnh A năm nay tăng
1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 ngời. Tính
số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?
11