Chuyen De So Phuc

Cï §øc Hoµ Tỉ : To¸n - Lý
SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1/ Tập hợp số phức: C
2/ Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b
R∈
, i là đơn vò ảo, i
2
= -1); a là phần thực, b
là phần ảo củaz
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo
⇔
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3/ Hai số phức bằng nhau:
a + bi = a’ + b’i
)',',,(
'
'
Rbaba
bb
aa
∈



=
=
⇔

4/ Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b
)R∈
được biểu diễn bởi điểm M(a ;
b) hay bởi
);( bau =
→
trong mp(Oxy) (mp phức) y
M(a+bi)

0 x
5/ Cộng và trừ số phức :
. (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
. (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
)R∈
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b
)R∈
• z biểu diễn
→
u
, z’ biểu diễn
→
'u
thì z + z’ biểu diễn bởi
→→
+ 'uu
và z – z’ biểu diễn
bởi
→→
− 'uu
6/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’

)R∈
.
7/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz −=
−
a)
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
b) z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
8/ Môđun của số phức : z = a + bi
a)
OMzzbaz ==+=
22
b)
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''.
9/ Chia hai số phức :
a) Số phức nghòch đảo của z (z
)0≠
:
z
z
z
2
1
1
=

−
b) Thương của z’ chia cho z (z
)0≡
:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'
'
2
1
===
−
c) Với z
.'
'
,0 wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z

z
z
z
'
'
,
''
==






1
Cï §øc Hoµ Tỉ : To¸n - Lý
10/ Căn bậc hai của số phức :
z là căn bậc hai của số phức
ω

ω
=⇔
2
z
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi








=
++
=
⇔



=
=−
⇔
x
b
y
baa
x
bxy
ayx
2
2
2
22
2
22

(a, b, x, y
)R∈
a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b) w

0
≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
* Hai căn bậc hai của a > 0 là
a±
* Hai căn bậc hai của a < 0 là
ia.−±
11/ Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A
0
≠
).
ACB 4
2
−=∆
a)
0≠∆
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
A
B
2
δ
±−
, (
δ
là 1 căn bậc hai
của
)∆
b)

0=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
A
B
2
−
12/ Dạng lượng giác của số phức :
* z =
)sin(cos
ϕϕ
ir +
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b
)0, ≠∈ zR









=
=
+=
⇔
r
b
r
a

bar
ϕ
ϕ
sin
cos
22
+
ϕ
là một acgumen của z.
+
),( OMOx=
ϕ
13/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos
)'s in'(cos'',)sin
ϕϕϕϕ
irzi +=+
thì :
a)
)'sin()'[cos('.'.
ϕϕϕϕ
+++= irrzz
]
b)
)]'sin()'[cos(
''
ϕϕϕϕ
−+−= i
r
r

z
z
14/ Công thức Moa-vrơ :
*
Nn ∈
thì
)sin(cos)]sin(cos[
ϕϕϕϕ
ninrir
nn
+=+
15/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cos
)sin
ϕϕ
i+
(r > 0) là
)]
2
sin()
2
[cos()
2
sin
2
(cos
π
ϕ
π
ϕϕϕ

+++=+± irir
2
Cï §øc Hoµ Tỉ : To¸n - Lý
B. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1
b) (1 + i)
2
– (1 – i)
2
ĐS: 0 và 4
c) (2 + i)
3
– (3 – i)
3
ĐS: -16 và 37
d)
i
i
i
i −
−
+
− 2
1
3
ĐS :
2
33 −
và

2
3122 −−
Bài 2: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức :
a) z
2
– 2z + 4i ĐS: x
2
– y
2
– 2x và 2(xy – y + 2)
b)
1−
+
iz
iz
ĐS:
22
)1(
2
++
−
yx
xy
và
22
122
)1( ++
−
−
yx

xy
Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z):
a)
i
i
z
i
i
+
+−
=
−
+
2
31
1
2
ĐS:
i
25
4
25
22
+
b)
0)
2
1
](3)2[( =+++−
i

izizi
ĐS: -1 + i ; 1/2
c)
izz 422 −=+
ĐS: 2/3 + 4i
d)
0
2
=− zz
ĐS: 0, -1,
ii
2
3
2
1
,
2
3
2
1
−+
e)
0
2
=+ zz
ĐS: 0, i, -i
f)
0
2
2

=+ zz
ĐS: bi (b
)R∈
Bài 4: Xác đònh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa
mãn mỗi điều kiện sau:
a)
43 =++ zz
ĐS: x = 1/2 và x = -7/2
b)
izz −+− 1
= 2 ĐS: y =
2
31±
c) 2|z – i| =
izz 2+−
ĐS: y =
4
2
x
Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn :
1
4
=






−

+
iz
iz
ĐS: 0, 1 , -1
Bài 6: Phân tích ra thứa số :
3
Cï §øc Hoµ Tỉ : To¸n - Lý
a) a
2
+ 1 ĐS: (a – i)(a + i) b) 2a
2
+ 3 ĐS:
)32)(32( iaia +−
c) 4a
4
+ 9b
2
ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) 3a
2
+ 5b
2
ĐS:
)33)(53( ibaiba +−
Bài 7: Thực hiện phép tính :
a)
i21
3
+
ĐS:
i

5
6
5
3
−
b)
i
i
−
+
1
1
ĐS: i
c)
mi
m
ĐS: -i
m
d)
aia
aia
−
+
ĐS:
i
a
a
a
a
1

2
1
1
+
+
+
−
e)
)1)(21(
3
ii
i
+−
+
ĐS:
i
5
3
5
4
+
f)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+

ĐS:
i
17
9
34
21
+

g)
ai
bia +
ĐS:
ai
a
b
−
h) (2 – i)
6
ĐS: -117
– 44i
Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a) -1 + 4
i.3
ĐS:
).23( i+±
b) 4 + 6
i.5
ĐS:
).53( i+±
c) -1 - 2

i.6
ĐS:
).32( i−±
d) -5 + 12.i ĐS:
±

(2 + 3i)
Bài 9: Giải các phương trình sau trong C.
a)
01.3
2
=+− xx
ĐS:
i
2
1
2
3
±

b)
02.32.23
2
=+− xx
ĐS:
)1(
6
6
i±
c) x

2
– (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i
d) 3i.x
2
– 2x – 4 + I = 0 ĐS:
3
12102
.2102
3
1 −+
+−− i
;
3
12102
.2102
3
1 ++
−− i
Bài 10: Giài các hệ phương trình :
a)



−=+
+=+
izz
izz
25
4
2

2
2
1
21
ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i)
4
Cï §øc Hoµ Tỉ : To¸n - Lý
b)



+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1
+ 3i; -2 + i)
Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a)
i.322 +−
ĐS:
3
2

π
b) 4 – 4i ĐS:
4
3
π
c) 1 -
i.3
ĐS:
3
π
−
d)
4
sin.
4
cos
ππ
i−
ĐS:
4
π
−
e)
8
cos.
8
sin
ππ
i−−
ĐS:

8
5
π
−
f)
)1)(3.1( ii +−
ĐS:
12
π
−
Bài 12: Thực hiện phép tính :
a) 3(cos20
o
+ isin20
o
)(cos25
o
+ isin25
o
) ĐS:
2
23
.
2
23
i+
b) 5
)
4
sin.

4
(cos3).
6
sin.
6
(cos
ππππ
ii ++
ĐS: 15(cos
)
12
5
sin.
12
5
ππ
i+
c)
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+
ĐS:
6
6
.

2
2
i+
d)
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
ππ
ππ
i
i
+
+
ĐS:
4
2
.
4
6
i+
Bài 13: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a)
31 i−
ĐS:






−
+






−
3
sin.
3
[cos2
ππ
i
]
b) 1 + I ĐS:







+
4
sin.
4
cos.2
ππ
i
c)
)1)(31( ii +−
ĐS:
)]
12
sin(.)
12
[cos(22
ππ
−+− i
d)
i
i
+
−
1
31
ĐS:
)]
12
7

sin(.)
12
7
[cos(2
ππ
−+− i
e)
)3.(.2 ii −
ĐS:
)
3
sin.
3
(cos4
ππ
i+
f)
i22
1
+
ĐS:
)]
4
sin()
4
[cos(
4
2
ππ
−+− i

g) z =
ϕϕ
cos.sin i+
ĐS:






−+






−
ϕ
π
ϕ
π
2
sin
2
cos i
Bài 14: Tính :
a) (cos12
o
+ isin12

o
)
5
ĐS:
2
3
2
1
i+
b) [
00
30sin30(cos2 i+
)]
7
ĐS:
24.64 i−−
5
Cï §øc Hoµ Tæ : To¸n - Lý
c)
6
)3( i−
ÑS: -2
6
d) (1 + i)
16
ÑS: 2
8
e)
12
2

3
2
1








+ i
ÑS: 1
f)
2008
1






+
i
i
ÑS:
1004
2
1−
g)

21
321
335








−
+
i
i
ÑS: 2
21
6