Bài tập Ba Đường Cônic Ôn ĐH

BA ĐƯỜNG CÔNIC
1. Xác định độ dài hai trục, toạ độ cac đỉnh tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, khoảng cách 2 đường chuẩn,
bán kính qua tiêu và phương trình hình chữ nhật cơ sở của (E) :
2 2
x 4y 16 0+ − =
2. Viết phương trình chính tắc của (E) biết:
a. Hai đỉnh trên một trục là: A(0;-3), B(0;3) và một tiêu điểm F(2;0).
b. Tâm O, trục nhỏ trên Oy, tiêu cự bằng tâm sai bằng
5
3
c. Tâm O, đỉnh trên trục lớn là A(5;0) và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở:
41
22
=+ yx
3. Tìm những điểm M trên (E)
1
9
2
2
=+ y
x
a. Có
1 2
MF 3MF=
b. Nhìn hai tiêu điểm một góc 90
0
.
c. Nhìn hai tiêu điểm một góc 120
o
.
4 Viết phương trình chính tắc của (E) có tiêu cự bằng 8, tâm sai

5
4
=e
.Viết phương trình các tiếp tuyến của
(E) đi qua






4
15
;0M
5.Trong mặt phẳng toạ độ cho hai (E) có phương trình:
1
116
22
=+
yx
và
1
49
22
=+
yx
a. Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai elíp.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elíp.
6. Cho (E):
2 2

x y
1
25 16
+ =
. Xét một hình vuông ngoại tiếp (E) . Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh
của hình vuông đó.
7. Cho (E):
2 2
4x 9y 36+ =
và tiếp điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai
điểm M
1
, M
2
sao cho MM
1
=MM
2
.
8 (E):
01
2
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a
x

a. Chứng minh rằng với mọi điểm
( )
EM ∈
ta đều có
aOMb
≤≤
.
b. Gọi A là một giao điểm của đường thẳng
kxy =
với (E). Tính OA theo a, b, k.
c. Gọi A, B là hai điểm thuộc (E) sao cho
OB
⊥
OA
CMR:
22
11
OBOA
+
không đổi.
9. Cho (E):
1
49
22
=+
yx
và hai đường thẳng
( )
0: =−byaxD

( )
'
D : bx ay 0+ =
,
( )
2 2
a b 0+ >
a. Xác định các giao điểm M, N của (D) với (E) và các giao điểm P, Q của (D
’
) với (E).
b. Tính theo a, b diện tích tứ giác MPNQ.
c. Tìm điều kiện đối với a. b để diện tích lớn nhất.
d. Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích ấy nhỏ nhất.
10. Cho (E).
1
49
22
=+
yx
A(-3;0), M(-3;a), B(3;0), N(3;b) với a, b thay đổi.
a. Xác định toạ độ giao điểm I của AN và BM.
b. CMR: để đường thẳng MN tiếp xúc (E), điều kiện cần và đủ của a, b là ab = 4.
c. Với a, b thay đổi sao cho MN luôn tiếp xúc với (E). Hãy tìm quỹ tích điểm I.
11. Cho (E):
1
1625
22
=+
yx
a. Tìm mối liên hệ giữa k và m để (D):

mkxy +=
tiếp xúc với (E).
b. Khi (D) là tiếp tuyến của (E), Gọi giao điểm của (D) với (D
1
): x =5; (D
2
): x = -5. lần lượt tại M và
N. Tính diện tích tam giác FMN theo m, k với F là tiêu điểm có hoành độ dương.
c. Tìm k để diện tích tam giác FMN đạt giá trị nhỏ nhất.
Giáo viên Đặng Văn Tâm
12. Cho (E):
1
4
2
2
=+ y
x
và đường tròn (C) có phương trình:
034
22
=+−+ yyx
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua A(2;0).
2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (E) và (C).
13. Cho (H):
44
22
=− yx
1. Xác định tiêu điểm, đỉnh, tâm sai và các đường tiệm cận của (H).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến đi qua N(1;4). Tìm toạ độ tiếp điểm.
14. Cho (H):

144169
22
=− yx
1. Tìm điểm M trên (H) sao cho hai bán qua tiêu điểm của M vuông góc với nhau.
2. Viết phương trình của (E) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của hypebol và ngoại tiếp hình
chữ nhật cơ sở của hypebol.
15. Cho (H):
1
1625
22
=−
yx
Giả sử M là điểm bất kì thuộc (H). Chứng minh rằng. Diện tích của hình hành xác
định bởi hai đường tiệm cận của (H) và hai đường thẳng đi qua M và tương ứng song song với hai tiệm cận
đó, không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
16. Cho (E):
0192248
22
=−+ yx
a. Xác định toạ độ tiêu điểm, tâm sai và các đỉnh của (E).
b. Viết phương trình tiếp tuyến (Δ) với (E) và tìm toạ độ tiếp điểm biết (Δ) song song với đường
thẳng: x + y = 2010.
c. Tìm
( )
EG ∈
biết GF
1
= 3GF
2
với F

1
, F
2
lần lượt là tiêu điểm bên trái và bên phải của (E).
d. Cho N(2;4). Từ N kẻ hai tiếp tuyến NH
1
và NH
2
tới (E) với H
1
, H
2
là hai tiếp điểm. Viết phương
trình H
1
H
2
.
17. Cho (E):
225259
22
=+ yx
a. Viết phương trình chính tắc và xác định các tiêu điểm, tâm sai của (E)?
b. Một đường tròn (C) có tâm I(0;1) và đi qua điểm A(4;2). Viết phương trình của (C) và chứng
minh (C) đi qua hai tiêu điểm của (E).
18. Cho (E):
225259
22
=+ yx
.Đường thẳng (d

1
) có phương trình y = kx cắt (E) tại M và P, đường thẳng
(d
2
)
x
k
y
1
−=
cắt (E) tại N và Q (thứ tự MNPQ theo chiều kim đồng hồ).
a.Chứng minh rằng: MNPQ là hình thoi và
22
11
ONOM
+
không đổi.
b. Tìm k để diện tích MNPQ nhỏ nhất.
19. a. Viết phương trình chính tắc của (H) biết tâm sai
3
13
=e
, tiêu cự bằng
32
b.
( )
HM ∈
. Gọi F
2
là tiêu điểm của (H) có hoành độ dương. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ

M đến F
2
và đến đường thẳng
13
9
=x
không đổi.
c Tiếp tuyến với (H) tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng: diện tích tam giác OAB
không đổi.
20. Cho (H).
08035
22
=−− yx
a. Xác định toạ độ tiêu điểm, các đỉnh tâm sai và hai đường tiệm cận của (H).
b. Viết phương trình tiếp tuyến (Δ) với (H) và tìm toạ độ tiếp điểm biết tiếp tuyến (Δ) song song với
đường thẳng
2002
2
3
+−= xy
.
c. Tìm
( )
HM ∈
biết MF
1
= 2MF
2
với F
1

, F
2
lần lượt là tiêu điểm bên trái và bên phải của (H).
Giáo viên Đặng Văn Tâm