Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 9 pdf

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

72

Chương 8 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Như đã phân tích ở chương hai, một bài toán có miền hình học phức
tạp, có thể xem như là tập hợp của nhiều dạng hình học đơn giản (gọi là
miền con hay phần tử –element); để việc xây dựng hàm xấp xỉ (hay còn gọi
là hàm nội suy- interpolation function) trên miền con nầy được dễ dàng, hàm
xấp xỉ được xây dựng một cách hệ thống cho hầu hết dạng hình học, hàm
xấp xỉ nầy chỉ phụ thuộc vào phương trình vi phân, từ đó hình thành phương
pháp phần tử hữu hạn.
Với phương pháp phần tử hữu hạn, miền tính toán được xem như là
tập hợp nhiều miền con hữu hạn (finite element) có dạng hình học đơn giản
(simple shape-element). Trên mỗi miền con nầy, phương trình chỉ đạo
(governing equation) được thiết lập với sử dụng một phương pháp biến phân
nào đó. Các phần tử được liên kết với nhau và phải thoả mãn điều kiện cân
bằng và liên tục của các biến phụ thuộc qua biên của các phần tử.

8.1 Các loại phần tử
Miền tính toán được chia thành nhiều miền con (còn gọi là phần tử); nếu
miền tính toán là một chiều, ta có phần tử một chiều, miền tính toán là hai
chiều ta có phần tử hai chiều, miền tính toán là ba chiều ta có phần tử ba
chiều.

Các loại phần tử một chiều

Các loại phần tử hai chiều
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

73



Các loại phần tử ba chiều
8.2 Hàm nội suy
Lời giải xấp xỉ của ẩn số bài toán được cho bởi:

j
n
j
j
Nhh .
1
∑
=
=
(3.1)
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

74

Ở đây Ν

j
là hàm nội suy (interpolation functions) và h
j
là ẩn của bài toán
tại nút của phần tử.
Ta cũng có thể mô tả hình dạng của phần tử bằng cách dùng các toạ độ của
mỗi nút trong phần tử (xem Hình 3.1):

j
n
j
j
xpSpx ).()(
1
∑
=
= (3.2a)

j
n
j
j
ypSpy ).()(
1
∑
=
= (3.2b)

j
n

j
j
zpSpz ).()(
1
∑
=
= (3.2c)
Vì rằng hàm nội suy S
j
được dùng xác định hình dạng của phần tử, nên
thường được gọi là hàm dạng (shape functions).
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

75

Hình 3.1: Hàm nội suy và hàm dạng của phần tử một chiều

Bậc của đa thức dùng để nội suy và các hàm dạng bên trong phần tử có thể
là khác nhau; người ta phân ra ba loại như sau: Phần tử dưới tham số
(subparametric elements) khi bậc đa thức hàm dạng nhỏ hơn bậc đa thức nội
suy. Phần tử đẳng tham số (isoparametric elements) khi bậc đa thức hàm
dạng bằng bậc đa thức nội suy. Phần tử trên tham số (superparametric
elements) khi bậc đa thức hàm dạng lớn hơn bậc đa thức nội suy (xem Hình
3.2).
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

76

Đa số các bài toán trong thực tế dùng phần tử đẳng tham số và hàm dạng
đồng nhất với hàm nội suy.Hình 3.2: Minh hoạ về định nghĩa các loại phần
tử một chiều dưới tham số, đẳng tham số, và trên tham số
Khi tại các nút chỉ chứa ẩn số h của bài toán, thường xử dụng hàm nội suy
Lagrange (phần lớn các hàm nội suy trong các bài toán chất lỏng được xử
dụng bởi nội suy Lagrange, do đó ở đây chỉ giới thiệu nội suy Lagrange );
nếu tại các nút còn có ẩn số là đạo hàm ∂h / ∂x
i
thường xử dụng hàm nội
suy Hermite.
Hàm nội suy Lagrange được xây dựng từ đa thức như sau:
∏
≠
=
−
−
=
mk
m
mk
m
k
xx
xx
xN
0
)( (3.3)
Với m là số nút

x
m
là toạ độ nút thứ m

Tính chất của hàm nội suy

Hàm nội suy có các tính chất sau:

- Tính chất 1: Hàm nội suy có giá trị bằng 1 tại nút đó và bằng 0 tại
các nút khác.
- Tính chất 2: Các hàm nội suy thoả biểu thức sau:
njPPN
j
n
i
iji
, 2,1),()().(
1
==
∑
=
ξξξ
(3.4)

Với P
j
(ξ
i
) là đa thức cơ sở của hàm nội suy.

Hàm nội suy có thể được xây dựng trong hệ toạ độ tổng thể (global
coordinates) hoặc hệ toạ độ địa phương (local coordinates), thông thường
với các bài toán phức tạp (nội suy bậc cao ở các bài toán hai hoặc ba chiều)
phải sử dụng hàm nội suy trong toạ độ địa phương.

8.2.1 Hàm nội suy cho bài toán một chiều
(i) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ tổng thể:
[
]
21
NNN = (3.5)
Với
AB
A
AB
B
xx
xx
N
xx
xx
N
−
−
=
−
=
−
21
,

(ii) Nội suy dạng Lagrange bậc hai trong hệ toạ độ tổng thể:
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

77

[
]
321
NNNN ≡ (3.6)
trong đó
( )
(
)
xx
D
xN
e
i
e
i
e
i
e
i
γβα
++=
1
với i = 1 , 2 , 3

Trong đó :
(
)
(
)
( ) ( )
( )
∑
=
=−−=
−=
−=
3
1
22
22
,
i
e
i
ee
k
e
j
e
i
e
k
e
j

e
i
e
j
e
k
e
k
e
i
e
i
Dxx
xx
xxxx
αγ
β
α

(iii) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương
[
]
21
NNN ≡ (3.7a)
với:

( )
( )
)7.3(
1

2
1
1
2
1
2
1
b
N
N







+=
−=
ξ
ξ



(iv) Nội suy bậc hai dạng Lagrange trong hệ toạ độ địa phương:
[
]
321
NNNN ≡

(v) Nội suy bậc ba dạng Lagrange trong hệ toạ độ địa phương:

[
]
4321
NNNNN ≡








( ) ( )( ) ( )
)7.3(1
2
1
,11,1
2
1
321
cNNN
ξξξξξξ

+=−+=−−=
0

-
1

1

ξ

2
N
1
N
1.0

i
N
1

2

3

-
1

-
1

1

1
u
2
u
3
u
0

11
≤
≤
−
ξ

r
v
n = 3


ξ

1

2

3

1

x

1
u
2
u
3
u
31
xxx
≤
≤

r
v
e
v
n
d
= 3

3
x

2
31
2
xx
x
+

=

x

1

2

3

4

-
1

-
1

3/1
−

3/1

1

1
u 2
u
1

3
u

4
u

0

11
≤
≤
−
ξ

r
v

n = 4

1

2

3

4

1
x

3
2
41
2
xx
x
+
=

1
u
2
u
3
u
4
u
21
xxx
≤
≤

r
v
e
v
n
d
= 4

2
x

3
2
41
3
xx
x
+
=

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

78


( )
( )( )
( )( )
( )
)7.3(
1
3
1
3
1
16

9
3
1
11
16
27
3
1
11
16
27
3
1
3
1
1
16
9
4
3
2
1
d
N
N
N
N














+






−






+−=







+−+=






−−+=






−






+−−=
ξξξ
ξξξ
ξξξ
ξξξ


8.2.2 Hàm nội suy cho bài toán hai chiều

(i) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ tổng thể cho phần tử tam giác:
[
]
321
NNNN ≡ (3.8)
ở đây:
(
)
yx
A
N
e
i
e
i
e
i
γβα
++=
2
1
1
(3.8a)
với: i = 1 , 2, 3 hoán vị vòng tròn

( )
kji
kji
jkkji
xx

yy
yxyx
−−=
−=
−
=
γ
β
α

(ii) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tam giác:
[
]
321
NNNN = (3.8b)

1

2

3

t

n

1
u
2
u
3
u
r
v
ξ

η

3
=
n
3
=
n

3=
d
n
1

2

3

1
u
2
u
3
u
e
v

x

y

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

79

với:

ηξηξ
==−−=
321
,,1 NNN

Nếu điểm gốc toạ độ địa phương được chọn khác như hình sau, thì hàm
nội suy cho phần tử tam giác cũng sẽ thay đổi theo:



(iii) Nội suy bậc hai trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tam giác:













(
)
( )
( )
ηλξξ

ηηξλ
ξλ
λ
λ
4,21
21,4
4,21
63
52
41
=−−=
−−==
=
−
=
NN
NN
NN

(3.8c) Với:
η
ξ
λ
−
−
=
1

(iv) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tứ giác:

Hàm dạng:
[
]
4321
NNNNN = (3.8d)

( )
( )
η
ξ
ηξ
+=
+=
+−=
1
2
1
)'8.3(1
2
1
)(
2
1
3
2
1
N
bN
N
-

1

1

1

ξ
-
η
1

3

5

1
u
3
u
5
u
ξ

η

6
=
n

2

u
4
u
6
u
4

2

6

6=
d
n
1

2

3

1
u
2
u
3
u
x

y

4
u
4

5

5
u
6

6
u
t

n

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

80

( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
ηξηξ
ηξηξ
+−=−+=
++=−−=
11
4

1
,11
4
1
11
4
1
,11
4
1
42
31
NN
NN












(v) Nội suy bậc hai trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử tứ giác:

( )( ) ( )( )
11
4
1
,11
4
1
43
+−=++=
ξξξηψηξξηψ

( )( ) ( )( )
11
4
1
,11

4
1
21
−+=−−=
ηξξηψηξξηψ
η

ξ

4
n
=

1

2
u
2

3
u
3

4
u
4

r
v

1
u
4n
d
=

y

x

4

3

2

1

4
u
3
u
2
u
1
u
e
v
4
n

=

9
=
n

η

ξ

r
v
3

4

1

9

2

5

6

7

8

-
1

1

1

-
1

6

4

2

3

1

5

7

8

9
y

x

9=
d
n
2
31
2
xx
x
+
=
etc
…

e
v

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

81

(
)
( ) ( )
(
)
2
6

2
5
11
2
1
,11
2
1
ηξξψηξηψ
−+=−−=
(
)
( ) ( )
(
)
2
8
2
7
11
2
1
,11
2
1
ηξξψηξηψ
−−=+−=

(
)

(
)
22
9
11
ηξψ
−−= (3.8e)
8.2.3 Hàm nội suy cho bài toán ba chiều

(i) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử hình chóp:
















ζξ
η
ζ
η

ξ
==
=
−
−
−
=
42
31
,
,1
NN
NN
(3.9a)
(ii) Nội suy bậc hai trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử hình chóp:


(
)
( )
( )
ηλ
ηη
ξη
ξξ
ξλ
λ
λ
4
21

4
21
4
21
6
5
4
3
2
1
=
−−=
=
−−=
=
−
−
=
N
N
N
N
N
N

(3.9b)

ζ

η


1

2
u
2

3
u
3

4
u
4

r
v

1
u
ξ

4n
d
=

z

y

4

3
2

1

4
u
3
u
2
u
1
u
e
v

4
n
=

x

ζ

η

1
2
3

4

ξ

5

9
1
8

6
7

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

82


( )
ζζηζ
ξζζλ

21,4
4,4
109
87
−−==
==
NN
NN
với:
ζ
η
ξ
λ
−
−
−
=
1

(iii) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử ba chiều
hình trụ đáy tam giác:

bNaN
bNaN
bNaN
ηη
ξξ
λ
λ
==
==
=
=
63
52
41
,
,
,
(3.9c)
Với:
2
1
,
2
1

,1
ζζ
ηξλ
+
=
−
=−−= ba

(iv) Nội suy tuyến tính trong hệ toạ độ địa phương cho phần tử ba chiều
hình trụ có đáy tứ giác:










ζ

η

6
=
n
2

6

4

r
v
ξ

5

3

1

01
0
1
0
0
≤≤−
≥−−
≥
≥
ζ
ηξ
η
ξ

1
−
=

ζ

6
=
d
n

z

y
4

3

2

1
e
v
x
3
6

ζ

η

8
n
=

2

6

4

r
v
ξ

5

3

1

1
1
1
1
1
1
≤ζ≤−
≤η≤−
≤
ξ
≤
−

8
n
=

8n
d
=
z

y

4

3

2

1

e
v

x

5

8

7

6

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

83




( ) ( ) ( )
211322122221
1
,
1
,
1
cba
c
Ncba
c
Ncba
c
N ===



( ) ( ) ( )
121612251124

1
,
1
,
1
cba
c
Ncba
c
Ncba
c
N ===

( ) ( )
11281117
1
,
1
cba
c
Ncba
c
N == (3.9d)

Với :

ζζ
ηη
ξ
ξ

−=+=
−=+=
−
=
+
=
1,1
1,1
1,1
21
21
21
cc
bb
aa


8.3 Tích phân số
8.3.1 Liên hệ giữa các hệ toạ độ tổng thể và hệ toạ độ địa phương
Với phương pháp phần tử hữu hạn miền tính toán Ω được chia nhỏ
thành nhiều miền con, phương pháp biến phân trọng số xây dựng trên các
miền con này. Do đó dẫn đến tích phân hàm dạng trên miền con.
Nếu tích phân hàm dạng bậc cao với sử dụng hệ toạ độ tổng thể
(x,y,z, global coordinate) thì thông thường sẽ xuất hiện các biểu thức đại số
rất phức tạp khi phần tử là hai, ba chiều (Irons and Ahmad, 1980).
Thay vào đó nếu chúng ta thực hiện chúng trong hệ toạ độ địa phương
(ξ,η,ζ, local coordinate) hay còn gọi là toạ độ chuẩn hay toạ độ tự nhiên
(normal coordinate hay natural coordinate) thì sẽ đơn giản hơn rất nhiều
(Taig, 1961); bởi lẽ nó thuận lợi trong việc xây dựng hàm nội suy, tích phân
số dùng được cách thiết lập của Gauss-Legendre (phổ biến nhất).

y

x
i
e
v

x

ξ

η

1

2

3

0,1

1,0

r
v

0,0

k
j
i
x3
x2
x1
→
→
→
Phần tử chiếu
X k
Xj

Phần tử thực
e
τ

Hinh3.3: Biểu thị phần tử chiếu V
r
vào phần tử thực V
e

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

84


Với phần tử đẳng tham số (isoparametric), ta có thể viết công thức biến đổi
toạ độ cho
phần tử tứ giác tuyến tính có bốn điểm nút như sau:

Với phần tử tam giác tuyến tính có ba điểm nút:

ở đây N
i
, N
j
là hàm dạng hay còn gọi là hàm nội suy (shape function hay
interpolation function).
Từ luật đạo hàm đạo hàm riêng phần, ta có:
















∂
∂
∂
∂
=














∂
∂
∂
∂













∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=















∂
∂
∂
∂
y
x
J
y
x
yx
yx
ηη
ξξ
η
ξ
(3.12)
Hay:















∂
∂
∂
∂
=














∂
∂
∂
∂
−
η

ξ
1
J
y
x
(3.13)
ở đây J là ma trận Jacobian biến đổi toạ độ. Định thức của ma trận nầy, det
J , cũng phải được ước lượng bởi lẽ nó được dùng trong các tích phân biến
đổi như sau:

+ Cho phần tử tứ giác tuyến tính:

∫∫ ∫ ∫
− −
=
e
ddJdxdy
ω
ηξ
1
1
1
1
det
(3.14)
+ Cho phần tử tam giác tuyến tính:


∫∫ ∫ ∫
−

=
e
ddJdxdy
ω
ξ
ξη
1
0
1
0
det
(3.15)

∑
=
++==
3
1
332211
i
ii
xNxNxNxNx
∑
=
++==
3
1
332211
(3.11)
j

jj
yNyNyNyNy
44332211
4
1
xNxNxNxNxNx
i
ii
+++==
∑
=
)10.3(
44332211
4
1
xNxNxNxNxNy
j
jj
+++==
∑
=
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

85

Trong một số trường hợp, ví dụ như ở Hình 3.4, phần tử tứ giác có 4 điểm
nút. Nếu dạng hình học như vậy, ma trận Jacobian trở nên không xác định;
để nó có giá trị tốt, các hình dạng phần tử như cạnh và góc của nó cần phải
đều đặn hơn (ví dụ tam giác đều, tứ giác đều ≡ hình vuông, đây là các dạng
phần tử lý tưởng).

8.3.2 Tích phân số
Một số tích phân của các loại bài toán hai chiều (2D), ba chiều (3D), theo
phương pháp phần tử hạn hạn có thể được ước lượng bằng giải tích, nhưng
nó không thực dụng cho các hàm số phức tạp, đặc biệt trong trường hợp tổng
quát khi
(
)
ηξ
, là toạ độ cong. Trong thực hành (3.14), (3.15) được ước lượng
bằng số, gọi là tích phân số (numerical integration hay còn gọi là numerical
quadrature). Dùng tích phân số của Gauss, với phần tử tứ giác, miền hai
chiều ta có:

( )
( )
∫ ∫
∑∑
− −

= =
≅
1
1
1
1
1 1
,,
n
i
n
j
jiji
fwwddf
ηξηξηξ
(3.16)

Với phần tử tam giác:

( )
( )
∫ ∫
∑
−
=
≅
1
0
1
0

1
,
2
1
,
ξ
ηξξηηξ
n
i
ii
i
fwddf
(3.17)

Với phần tử tứ giác thì w
i
, w
j
là hệ số trọng số và
ji
ηξ
, là các vị trí toạ độ
bên trong phần tử, cho ở Bảng 2 (xem Kopal 1961); còn với phần tử tam
giác, tương tự như phần tử tứ giác, nhưng các điểm tích phân là các điểm
mẫu (sampling points), Bảng 1.
Thông thường người ta muốn các tích phân số đạt độ chính xác cao,
nhưng có những trường hợp đặc biệt lại không cần thiết. Ở tích phân Gauss
(3.16), với n = 2, sẽ chính xác khi hàm f là cubic (bậc 3), còn ở tích phân
(3.17), n = 1, sẽ chính xác khi đa thức f bậc nhất, còn n = 3 sẽ chính xác
khi đa thức f bậc hai.

2

3

4

1

4

2

3

1

Hình 3.4: Phần tử tứ giác có ma trận Jacobian không xác định
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

86


Bảng 1: Điểm tích phân cho phần tử tam giác
theo công thức (3.17)

n
ξ
i

η
i
w
i
1

1/ 3

1/ 3

1


3
1/ 2
1/ 2
0
1/ 2
0
1/ 2
1/ 3
1/ 3
1/ 3



Bảng 2: Trọng số và điểm tích phân Gauss – Legendre
theo công thức (3.16)

Điểm tích phân

i
ξ

Số điểm tích
phân r
Trọng số w
i
0.0000000000 Một điểm

0000000000.2

5773502692.0
±

Hai điểm

0000000000.1


0000000000.0

Ba điểm

8888888889.0

7745966692.0
±

5555555555.0

3399810.0
±
435 Bốn điểm

6521451548.0

8611363116.0
±

0.3478548451

0000000000.0

0.5688888889
5384693101.0
±

Năm điểm 0.4786286705
9061798459.0
±

0.2369268850
2386191861.0
±

0.4679139346
6612093865.0
±

Sáu điểm 0.3607615730
9324695142.0
±

0.1713244924

8.4 Các bước tính toán cơ bản và kỹ thuật lập trình cho máy tính số
theo phương pháp phần tử hữu hạn

Để áp dụng cách giải bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn
người ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát
Chia miền khảo sát V thành n
e
miền con V
(e)
hay các phần tử có
dạng hình học nhất định.
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

87

Ta có: ,VV
e
n
1e
)e(

∑
=
= (3.18)
Với cách chia miền tính toán V bằng tổng các miền con V
(e)
, mô hình thực
tế được thay bằng mô hình tính toán với n
e
phần tử hữu hạn được liên kết
với nhau bởi các điểm nút và tại mỗi điểm nút tồn tại các đại lượng thể hiện
sự tác động qua lại của các phần tử kề nhau, như vậy bài toán hệ liên tục có
bậc tự do vô hạn được thay bằng bài toán tính hệ có bậc tự do hữu hạn đơn
giản hơn nhiều.
Ví dụ với các bài toán thấm thường có các dạng sơ đồ sau:
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

88

- Một chiều:





- Hai chiều:

- Ba chiều:





- Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp
Phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng ở đây thường là phương pháp
Galerkin- gọi tắt là phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin.
Để tìm được nghiệm trên các miền con điều quan trọng là phải chọn
hàm toạ độ N
p
(e)
( hay còn gọi là hàm nội suy, hàm dạng) đảm bảo sự liên
tục của các đại lượng cần tìm giữa các phần tử trong miền D.
-Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử
Miền V được chia thành n
e
phần tử (miền con V
(e)
) bởi R điểm nút. Tại một
nút có s bậc tự do, thì số bậc tự do của cả hệ là: n = R.s
Gọi {
q
} là véc-tơ ẩn của toàn hệ, {
q
}

e
là véc-tơ ẩn của mỗi phần tử; giả sử
mỗi phần tử có r nút, thì số bậc tự do của mỗi phần tử là: r. s
Ta có liên hệ {
q
}
e
= [L]
e
. {
q
} (3.19)
Mưa
Lớp không thấm
Phần tử
Nút
Mặt đất
M
ực n
ư
ớc

ng
ầ
m

Phần tử
Phần
Phần tử
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

89

(n
e
.1) = (n
e
.n)
x
(n .1)
Với [L]
e
được gọi là ma trận định vị.
Ứng với mỗi phần tử, ta có phương trình ma trận:
[K]
e
{
q
}
e
= {C}
e
(3.20)
[K]
e
ma trận phần tử , {C]
e
vectơ vế phải phần tử

{q}
e
là tập hợp các giá trị cần tìm tại các nút của phần tử
-Bước 4 : Ghép nối các phần tử
Tập hợp cho tất cả các phần tử trong miền V, ta có:
∑
=
ne
e 1
[K]
e
{
q
}
e
=
∑
=
ne
e 1
{C}
e

Viết lại: [
K
].{
q
} = {
C
} (3.21)

Trong đó: [
K
] =
∑
=
ne
e 1
[K]
e
=
∑
=
ne
e 1
[L]
e
T
[K]
e
[L]
e

{ }
{ }
∑
=
=
ne
e
e

CC
1
=
∑
=
ne
e 1
[L]
e
T
{C}
e

{
}
K - Ma trận tổng thể
{
}
q - Vectơ tập hợp tổng các ẩn cần tìm tại các nút (tổng bậc tự do
tại các nút)
{
C
} Vectơ các số hạng tổng thể ở vế phải
Như vậy việc sử dụng ma trận định vị [L]
e
để tính [
K
] và {
C
}, thực chất

là sắp xếp các phần tử [K]
e
, {C}
e
vào vị trí của nó ở trong [
K
] và {
C
}. Tuy
nhiên trong thực hành người ta không dùng cách nầy.
Sau đây, sẽ giới thiệu một cách ghép nối trực tiếp để thiết lập ma trận
tổng thể và vectơ vế phải tổng thể mà không cần xử dụng ma trận định vị
[
L
]
e
.
Giả sử xét bài toán thấm có áp trong miền Ω (A B C D E F), miền
được chia thành 8 phần tử tam giác (n
e
=8), có 9 điểm nút (R =9), tại mỗi
điểm nút có s bậc tự do (số ẩn số tại nút ), ở đây s =1 là cột nước thấm, mỗi
phần tử tam giác có 3 điểm nút (r = 3); thì số bậc tự do của mỗi phần tử là:
r ×s = 3×1 = 3 (xem Hình 3.5).

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

90















Nếu cũng với phần tử tam giác có ba điểm nút nầy r = 3, tại mỗi nút có ba ẩn
h, u, v như bài toán dòng chảy hở hai chiều ngang s = 3, thì số bậc tự do của
mỗi phần tử là r. s = 3x3 = 9, ta sẽ được ma trận phần tử (9,9). Để đơn giản
ta xét phần tử tam giác tại mỗi nút có một bậc tự do. Mỗi phần tử (ở đây là
tam giác) được đánh số các nút (i,j, k), theo chiều được qui ước (chẳng hạn
ngược chiều kim đồng hồ), nút i được qui ước là nút ở bên trái và thấp
nhất. Với mỗi phần tử bất kỳ n
e
ta có ma trận phần tử [K]
e

và vectơ vế phải
{
}
C
e
như sau:

[ ]










=
e
kk
e
kj
e
ki
e
jk
e
jj
e

ji
e
ik
e
ij
e
ii
e
KKK
KKK
KKK
K , {C}
e
=










e
k
e
j
e
i

c
c
c

Với cách đánh số nút và phần tử như trên ta có 8 phần tử với các nút tương
ứng (i,j,k) như sau: e
1
(1,4,5), e
2
(1,5,2), e
3
(2,5,6), e
4
(2,6,3), e
5
(4,7,8),
e
6
(4,8,5), e
7
(5,8,9), e
8
(5,9,6)

Ví dụ phần tử: e
4
(i,j,k)
≡
e
4

(2,6,3)
[K]
e=4
=










4
33
4
36
4
32
4
63
4
66
4
62
4
23
4
26

4
22
KKK
KKK
KKK
, và {C}
e=4
=










4
3
4
6
4
2
c
c
c

Mỗi hệ số K
ij

e
chử e chỉ số trên, chỉ hệ số nầy thuộc ma trận phần tử
nào; i là hàng nào trong ma trận tổng thể, j là cột nào trong ma trận tổng thể.
Ví dụ K
62
4
đây là hệ số của ma trận phần tử e = 4, nằm trong hàng 6 cột
2 của ma trận tổng thể.và ma trận tổng thể:
X(m)

A

B

C

D

E

F

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

Y(m)

V
n

= 0

V
n
= 0

i

i

k

j

Ω

Hình 3.5: Ví d
ụ b
ài toán th
ấm có áp miền tính toán (ABCDEF)

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

91

[
K
] =

[ ]
∑
=
ne
e
e
K
1
=
[ ]
∑
=
8
1e
K
e
= [X]

[X]
11 11 12 14 15 15
21 22 22 22 23 25 25 26 26
32 33 36
41 44 44 44 45 45 47 48 48
51 51 52 52 54 54 55 55 55 55 55 55 56 56 5
1 2 2 1 1 2
2 2 3 4 4 2 3 3 4
4 4 4
1 1 5 6 1 6 5 5 6
1 2 2 3 1 6 1 2 3 6 7 8 3 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9

1
k +k k k k +k
2
k k +k +k k k +k k +k
3
k k k
4
k k +k +k k +k k k +k
=
5
k +k k +k k +k k +k +k +k +k +k k +k k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8 58 59 59
62 62 63 65 65 66 66 66 69
74 77 78
84 84 85 85 87 88 88 88 89
95 95 96 98 99 99
6 7 7 8
3 4 4 3 8 3 4 8 8
5 5 5
5 6 6 7 5 5 6 7 7
7 8 8 7 7 8
+k k +k
6
k +k k k +k k +k +k k
7
k k k
8
k +k k +k k k +k +k k
9
k +k k k k +k

… (3.22)
Cọng một cách tương tự cho vectơ vế phải {
C
}, với chú ý phép cọng nầy
giống cọng các số hạng trên đường chéo chính của ma trận tổng thể [
K
]:

{
C

} =
∑
=
ne
e 1
{C}
e
(3.23)
Ta thấy ở ma trận tổng thể các phần tử khác không có dạng đường chéo
(hay còn gọi là dạng Band). Để tiết kiệm bộ nhớ và thời gian tính của máy
tính, người ta chỉ lưu trữ các phần tử khác không nầy và thuật toán cũng chỉ
tính toán với các phần tử khác không.
Người ta phải lưu trữ cả ma trận dạng band nầy khi ma trận band có
chiều rộng Band hẹp (liên quan đến cách đánh số nút của các phần tử),
không đối xứng (Hình 3.6). Chỉ cần lưu trữ một nữa band khi ma trận đối
xứng. Khi chiều rộng Band lớn và trong các hàng của Band còn nhiều phần
tử bằng không, người ta có thể dồn ma trận lại thành ma trận Band hẹp hơn,
như vậy sẽ cần thêm ma trận định vị nữa. Tuy nhiên với cách lưu trữ ma trận
Band dù theo kiểu nào, thì trong Band vẫn còn một số hệ số phần tử bằng
không; do đó để loại bỏ các phần tử bằng không ở trong Band, người ta còn
có cách lưu trữ các phần tử khác không nầy ở dạng vectơ gọi là kỷ thuật
frontal method.
Thiết lập ma trận tổng thể của bài toán ở dạng ma trận Band
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

92

Ở đây ma trận tổng thể được lưu trữ ở dạng Band, ví dụ ma trận tổng thể

không đối xứng, nên lưu trữ cả hai Band (K
IJ
≠ K
J I
)













Ta có K
IJ
= V K
i j
(3.24)

Với i = I
j = J - I + 1 + b
( Nếu ma trận đối xứng chỉ cần lưu trữ một Band, lúc đó j = J - I + 1 )
Sau đây là thuật toán theo phương pháp khử Gauss, viết cho ma trận Band
đối xứng, chỉ lưu trữ một Band có chiều rộng b:

Ước lượng thuận Thế ngược


- Bước 5: áp đặt các điều kiện biên của bài toán ta sẽ nhận được hệ
phương trình để giải như sau:
b

b

n

n

[K]=

[VK]

n

2b+1
1111

K
II

K
II

Hình 3.6: Cách lưu trữ ma trận dạng Band
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

93

Cách áp đặt điều kiện biên
Sau khi có được ma trận hệ thống ở dạng Band, để việc lập chương trình
được đơn giản, kích thước ma trận thổng thể của bài toán được cố định khi
có số điều kiện biên là bất kì.
Cách làm như sau:
Dạng phương trình [ K ].{ q } = { c } (3.25)
Nếu ẩn số thứ i = r được biết là α
i
, tức là:
q
r
= α
i

thì các hệ số của ma trận hệ thống được biến đổi như sau:

K
rj
= 0 nếu j ≠ r
K
ir
= 0 nếu i ≠ r (3.26)
K
rr
= 1

Vec-tơ vế phải của hệ thống sẽ là:


{
}
C =























−
−
−
•
•
•
irnn
i
ir
ir
kc
kc
kc
α
α
α
α
M
M

22
11
(3.27)

Cũng có thể đưa điều kiện biên vào bằng cách nhân hệ số trên đường chéo
chính của ma trận [VK] với một số rất lớn (từ 10
8
- 10
15
), khi ma trận [K]
có tính chất trội hoặc không xấu (các hệ số k
ii
là không quá bé so với các hệ
số khác).
b

b

1

n

n

[K]=

[VK] =

n

2b+1

1

Hình 3.7: Cách áp đặt điều kiện biên
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

94


- Bước 6: Giải hệ phương trình đại số


{
}
{
}
{
}
***
CqK =
(3.28)
Cách giải hệ phương trình ở dạng ma trận (3.28) nầy tuỳ theo từng loại bài
toán (dừng hoặc không dừng), tính chất của ma trận lưu trữ, cách lưu trữ ma
trận tổng thể mà chọn cách giải thích hợp; chẳng hạn khử Gauss trực tiếp,
phép tách LU hay Cholexski hoặc giải lặp Gauss-seidel có hệ số giảm dư
hay lặp theo phương pháp gradient liên hợp,… (xem N.T. Hùng, 2000)

8.5 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TỬ HỮU HẠN - Áp dụng trong CƠ VẬT
RẮN
Phương pháp PTHH là một phương pháp số có hiệu quả để giải các
bài toán ứng dụng có điều kiện biên.
Xấp xỉ ẩn trên miền con V
e
(phần tử),
∑
V
e
= V (miền tính toán).
Các phần tử nối kết lại các điểm nút. Tại nút chứa ẩn bài toán (còn gọi là bậc
tự do).
Phương pháp nầy là chủ đạo trong các bài toán cơ học vật rắn, đặc biệt thích
hợp cho bài toán có miền xác định phức tạp, điều kiện biên khác nhau. Lập
trình, tự động, tính toán dễ dàng và trở nên thông dụng nhờ sự phát triển của
máy tính điện tử.
Với bài toán cơ học VẬT RẮN biến dạng & CƠ KẾT CẤU dùng 3
mô hình:
+ Mô hình tương thích : Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước
+ Mô hình cân bằng : Xấp xỉ ứng xuất trên từng phân tử, đi tìm ứng suất
+ Mô hình hỗn hợp : Xem chuyển vị & ứng suất là hai yếu tố độc lập.
Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị và ứng
suất.
Đối với các bài toán trong cơ học chất lỏng, thường thiết lập bài toán
theo dạng theo dạng yếu Galerkin - trên từng phần tử (Xem sách chuyên
khảo của cùng Tác giả).

BÀI TOÁN BIÊN (Bài toán có điều kiện biên)
Trạng thái ban đầu G, biên của thể tích V là S

Sau khi có ngoại lực tác dụng nó biến đổi thành trạng thái G
’
.
Hãy tính tại mọi điểm I(x
1
,x
2
) những thông số trạng thái như: Chuyển
vị u, biến dạng ε, ứng suất σ,
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

95

Biết liên hệ: [ε] = [
x
u
∂
∂
] tại 1 điểm
[σ]=[E].[ε],vớiE:Tínhchấtcủavậtliệu
σ
=
σ
s
I

x
2

o

x
1

x
1

x
2

u=o

(V)

u

(S)

G

G'

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật

Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang

96

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN (Integral equation)
Muốn giải bài toán có điều kiện biên như trên, ngoài các liên hệ đã nói
trên, ta còn cần các phương trình cân bằng. Có 2 cách thiết lập phương trình
cân bằng:
• Cách thứ nhất: “Phương trình vi phân + Điều kiện biên”
















Xây dựng phương trình cân bằng cho một vi phân diện tích [dx
1
,dx
2
]
bao quanh điểm I bất kỳ.
D{[u],[E]} = 0: Gọi là phương trình vi phân.
Cộng thêm các điều kiện ràng buộc cho trước trên biên (u=0, σ = σ
s

)
Trong “Phương pháp sai phân”, sử dụng phương trình cân bằng theo
cách này
(để giải người ta chuyển dạng VI PHÂN về dạng SAI PHÂN)

• Cách thứ 2: “ Nguyên lý biến phân - cực tiểu phiếm hàm “
Dùng lý thuyết biến phân để xây dựng phương trình cân bằng cho cả
vùng (V), kể cả biên (S), gọi: Phương trình tích phân và tìm cực tiểu phiếm
hàm ở dạng tích phân này dΠ = 0; đây chính la ”Phương pháp cân bằng”.
Giải phương trình này sẽ cho ta lời đáp số của bài toán.
Trong kết cấu hàm Π gọi thế năng và ở đây sử dụng biến phân về
chuyển vị.

CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN:
Chuyển vị - biến dạng và ứng suất trong phần tử
(V)

O

dx
2
x
2

x

1
(S)

dx

1


δ
1
+d
δ
1


δ
2
+d
δ
2


δ
2


δ
1


τ
12
I