Luyện thi Tốt nghiệp Toán 2010 số 11

http://ductam_tp.violet.vn/
B GIO DC V O TO K THI TT NGHIP THPT NM 2010
THAM KHO Mụn: TON Giỏo dc THPT
Thi gian lm bi 150 phỳt Khụng k thi gian giao .
S 11
I. PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im)
Cõu I. (3 im)
Cho hm s
3
2
x
y 2x 1
3
= + +
A. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s
B. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú honh l nghim ca o hm cp hai.
C. Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh
3
2
x
2x 2 m
3
+ + =
Cõu II. (3 im)
I. Gii phng trỡnh:
x 1 x
4 5.2 1 0
+
+ =
II. Tớnh tớch phõn:
4

0
cos 2x
I dx
3 sin2x

=
+

III. Tỡm GTLN v GTNN ca hm s
( )
3
f x
x 1

=

trờn on
1
1;
2




Cõu III. (1 im)
Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A. Cnh bờn SA vuụng gúc vi
mt ỏy, cnh bờn SB to vi mt ỏy mt gúc 30
0
, AB = a.
1) Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABC.

2) Mt hỡnh nún cú nh S v ng trũn ỏy tõm A, bỏn kớnh AB. Tớnh din tớch xung quanh
ca hỡnh nún.
II. PHN DNH CHO TH SINH TNG BAN (3 im)
A. Theo chng trỡnh chun:
Cõu IV.a (2 im)
Cho D(-3;1;2) v mt phng (

) qua ba im A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8).
1.Vit phng trỡnh tham s ca ng thng AC
2.Vit phng trỡnh tng quỏt ca mt phng (

)
3.Vit phng trỡnh mt cu tõm D bỏn kớnh R= 5.Chng minh mt cu ny ct mp(

)
Cõu V.a (1 im)
Gii phng trỡnh
2
2 17 0
+ + =
z z
trờn tp s phc.
B. Theo chng trỡnh nõng cao:
Cõu IV.b (2 im)
Trong khụng gian Oxyz cho im A(3;4;2), ng thng (d):
x y z 1
1 2 3

= =

v mt phng (P): 4x + 2y + z -1 =0
1) Lp phng trỡnh mt cu (S) tõm A v tip xỳc vi mt phng (P). tớnh ta tip im.
2) Vit phng trỡnh ng thng qua A , vuụng gúc vi (d) v song song vi mt phng (P)
Cõu V.b (1 im)
Giải phơng trình sau trên tập số phức: (z + 2i)
2
+ 2(z + 2i) - 3 = 0.
Ht
http://ductam_tp.violet.vn/
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ SỐ 1
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
I
(3,0
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3
2
x
y 2x 1
3
= − + +
2,0
Điể
m
a) Tập xác định: D = R 0,25
b) Sự biến thiên:
 Chiều biến thiên:

( )

2
y ' x 4x
x 0, y 1
y ' 0
35
x 4, y
3
= − +

= =

= ⇔
 

= =
 ÷

 

Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
;0−∞
,
( )
4;+∞
và đồng biến trên khoảng (0; 4)
0,25
0,25
 Giới hạn của hàm số tại vô cực
3

3
x x
1 2 1
lim y lim x ( )
3 x x
→−∞ →−∞
= − + + = +∞
;
3
3
x x
1 2 1
lim y lim x ( )
3 x x
→+∞ →−∞
= − + + = −∞
0,25
 Bảng biến thiên:
0,25
 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 4 và y
cđ


=
35
3
; đạt cực tiểu tại x = 0 và y
ct
= 1
0,25

c) Đồ thị (C):
Một số điểm đồ thị đi qua
10
1;
3
 
−
 ÷
 
,
19
2;
3
 
 ÷
 
,
28
5;
3
 
 ÷
 
Đồ thị nhận điểm
19
2;
3
 
 ÷
 

làm tâm đối xứng.
0,5
2. Viết phương trình TT của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của đạo hàm cấp
hai
1,0
Gọi d là TT cần tìm và
( )
0 0
x ;y
là tọa độ tiếp điểm. Ta có:
( )
2
0 0
y ' x 4, y'' 2x
y '' 0 x 0, y 1
= − + = −
= ⇔ = =
0,5
0
0
-
∞
+
∞
-
35
3
1
0
4

-
∞
+
∞
+
-
y'
y
x
x
y
O
35
3
1
4
1
y = m - 1
http://ductam_tp.violet.vn/
 Hệ số góc của d là : y’(0) = 4 0,25
 PTTT cần tìm là: y = 4x +1 0,25
3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
2
x
2x 2 m
3
− + + =
1,0
 PT:

3 3
2 2
x x
2x 2 m 2x 1 m 1
3 3
− + + = ⇔ − + + = −
,(*)
 Đặt:
3
2
x
y 2x 1
3
= − + +
có đồ thị (C) đã vẽ
Và y = m – 1 có đồ thị là đường thẳng (d) cùng phương với trục hoành Ox
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d)
0,5
 Biện luận:
+
m 2
38
m
3
<



>



: PT (*) có 1 nghiệm
+
m 2
38
m
3
=



=


: PT (*) có 2 nghiệm
+
38
2 m
3
< <
: PT (*) có 3 nghiệm
0,5
II
(3,0
)
1. Giải phương trình 1.0
Đặt 2
x
= t, t>0 ta được phương trình
4t

2
– 5t + 1 = 0, (*) 0,5
Giải (*), ta được t = 1 và t =
1
4
0,25
Với t = 1, ta được 2
x
= 1
x 0⇔ =
Với t =
1
4
, ta được 2
x
=
1
x 2
4
⇔ = −
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0, x = -2.
0,25
2. Tính tích phân:
4
0
cos 2x
I dx
3 sin2x
π
=

+
∫
1,0
Đặt t = 3 + sin2x
dt 2cos 2x.dx⇒ =
0,25
Với x = 0
t 3⇔ =

x t 4
4
π
= ⇒ =
0,25
Khi đó
( )
4
4
3
3
1 dt 1 1 1 4
I ln t ln 4 ln3 ln
2 t 2 2 2 3
= = = − =
∫
0,5
3.Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
3
f x

x 1
−
=
−
trên đoạn
1
1;
2
 
−
 
 
1,0
Ta có:
( )
( )
2
3
f ' x 0, x 1
x 1
= > ∀ ≠ ⇒
−
Hàm số f(x) luôn đồng biến trên cả đoạn
1
1;
2
 
−
 
 

0,5
Vậy
( )
1
1;
2
1
max f x f 6
2
 
−
 
 
 
= =
 ÷
 
và
( ) ( )
1
1;
2
3
minf x f 1
2
 
−
 
 
= − =

0,5
III 1.Tính thể tích của khối chóp S.ABC 0,5
(1,0
)
+ Diện tích mặt đáy:
2
ABC
a
S
2
∆
=
+ Chiều cao:
0
a 3
SA a.t an30
3
= =
0,25
a
30
0
S
C
B
A
http://ductam_tp.violet.vn/
+ Thể tích của khối chóp là:
SABC ABC
1 a 3

V S .SA
3 18
∆
= =
0,25
2. Tính diện tích xung quanh của hình nón 0,5
Hình nón xác định bởi:
a 3
h SA
3
r AB a
2a 3
l SB
3

= =



= =



= =


0,25
Diện tích xung quanh của hình nón:
2
xq

2a 3
S rl
3
= π =
0,25
IV.a
(2,0
)
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AC 0,75
+ VTCP của đường thẳng AC:
( )
AC 0;1; 3= −
uuur
0,25
+ PTTS của đường thẳng AC:
x 1
y t ,t R
z 11 3t
=


= ∈


= −

0,5
2. Viết PTTQ của mp
( )
α

0,75
( )
( )
AB 1;1; 1
AC 0;1; 3
= − −
= −
uuur
uuur
VTPT của mp
( )
α
:
( )
n AB,AC 2; 3; 1
α
 
= = − − −
 
uur uuur uuur
0,5
PTTQ của mp
( )
α
: 2(x -1) +3y +z-11 = 0
2x 3y z 13 0⇔ + + − =
0,25
3. Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R =5. CM mặt cầu cắt mp
( )
α

0,5
+ Phương trình mặt cầu (S) tâm D(-3;1;2) , bán kính R = 5 là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 3 y 1 z 2 25+ + − + − =
0,25
+
( )
6 3 2 13
d D; 14 5
4 9 1
− + + −
 
α = = < ⇒
 
+ +
mặt cầu (S) cắt mp
( )
α
0,25
V.a Giải phương trình:
2
2 17 0
+ + =
z z
trên tập số phức 1,0
Ta có:
( )
2
' 1 17 16 4i∆ = − = − =

0,5
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm là:
1
z 1 4i= − ±
0,5
1. 1,25
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mp
( )
P
nên:
Bán kính R = d[A,(P)] =
12 8 2 1
21
16 4 1
+ + −
=
+ +
0,25
Do đó, Phương trình mặt cầu (S)là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 3 y 4 z 2 21− + − + − =
0,25
IV.
b
+ Gọi
∆
qua A và vuông góc với mp
( )
P

⇒
VTCP của
( )
∆
là:
( )
( )
P
u n 4;2;1
∆
= =
uur uuur
PTTS của
( )
∆
là:
x 3 4t
y 4 2t
z 2 t
= +


= +


= +

0,25
http://ductam_tp.violet.vn/
+Gọi H(x;y;z)

( )
= ∆ ∩ α ⇒
H là hình chiếu của A lên mp
( )
α
, tọa độ điểm H là nghiệm
của hệ phương trình:
x 3 4t
y 4 2t
z 2 t
4x 2y z 1 0
= +


= +


= +


+ + − =

Giải hệ phương trình trên ta được H(-1;2;1)
0,5
2. 0,75
+ VTCP của đường thẳng d:
( )
d
u 1;2;3=
uur

+ VTPT của mp(P):
( )
( )
P
n 4;2;1=
uuur
Vì đường thẳng cần tìm qua A , vuông góc với (d) và song song với mp(P) nên có
VTCP là:
( )
( )
d
P
u u ,n 4;11; 6
 
= = − −
 
r uur uuur
0,5
Do đó phương trình của đường thẳng cần tìm là:
x 3 y 4 z 2
4 11 6
− − −
= =
− −
0,25
V.b Giải phương trình:(z + 2i)
2
+ 2(z + 2i) - 3 = 0 trên tập số phức 1,0
PT: (z + 2i)
2

+ 2(z + 2i) - 3 = 0
z 2i 1 z 1 2i
z 2i 3 z 3 2i
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
+ = − = − −
 
0,75
Kết luận phương trình có 2 nghiệm z = 1 – 2i và z = -3 – 2i 0,25