Ôn thi Bất Đẳng Thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1:
a) Chứng minh 2(a
4
+ b
4
) > ab
3
+ a
3
b + 2a
2
b
2
với mọi a, b.
b) Chứng minh
2 2 2
2a b ab b
− + −
> a, với a > b > 0.
Bài giải:
a) Ta có 2(a
4
+ b
4
) > ab
3
+ a
3
b + 2a
2

b
2

⇔

4(a
4
+ b
4
) > 2ab
3
+ 2a
3
b + 4a
2
b
2
⇔

(

b
4
– 2ab
3
+ a
2
b
2
) + (a

4
– 2a
3
b + a
2
b
2
) + (3a
4
+ 3b
4
– 6a
2
b
2
)
≥
0

⇔
(b
2
– ab)
2
+ (a
2
– ab)
2
+ 3(a
2

– b
2
)
2

≥
0 (đúng)
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
b) Với a > b > 0 thì
2 2 2
2a b ab b
− + −
> a
⇔
(a
2
- b
2
) + (2ab – b
2
) + 2
( ) ( )
2 2 2
2a b ab b− −
> a2
⇔
2b(a - b) + 2
( ) ( )
2 2 2
2a b ab b

− −
> 0 (đúng)
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Câu 2:
a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh:
( )c a c
−
+
( )c b c
−

ab
≤
b) Cho a > 0, b > 0. Chứng minh:
2 ab
a b
+
ab≤
Bài giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:
( ) ( )
1 1
1
2 2
c a c c b c c a c c b c
ab ab b a a b
c a c c b c
b a a b
− − − −
   

+ = + ≤
 ÷  ÷
   
− −
   
≤ + + + = ⇒
 ÷  ÷
   
Điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
.
bc
a
b c
⇔ =
−
b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:
( )
2 .
. .
2 . . .
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
≤ +
⇒ ≤ +
+ +
Suy ra
2 ab

a b
+
ab
≤
Câu 3:
a) Cho x> 0, y > 0 và x + y
≤
1. Chứng minh:
2 2
1 1
4.
xy
xy
x y
+ ≥
+
+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2
3
2 2 7x
x
+ − +
Bài giải:
a) Nhận xét rằng nếu a, b là số dương thì
1 1 4
.a b a b
+ ≥
+
Từ đó ta có:

( )
(
)
( )
( )
2 2 2
2
2
1 1 4 4
*
xy
xy
xy xy
x y
y
x y
x
+ ≥ =
+
+
+ + +
+
Vì x, y > 0 và x + y
≤
1 nên
( )
2
4
4.
x y

≥
+
Từ (*) suy ra:
2 2
1 1
4.
xy
xy
x y
+ ≥
+
+
b) Điều kiện:
2
2 7 0 1 2 2 1 2 2x x
x
− + + ≥ ⇔ − ≤ ≤ +
Ta có:
( )
2
2
2 7 8 8.
1
x
x
x
− + + = − + ≤
+
Do đó: A=
( )

2
3 2 1
3
.
2
2 2 7x
x
−
≥
+ − +
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là
( )
3 2 1
2
−
, đạt được khi x = 1.
Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
2 2
a b c ab bc ca
+ + ≥ + +
với mọi a, b, c.
b)
8 8 8
3 3 3
1 1 1a b c
a b c a b c
+ +
≥ + +

(a > 0, b > 0, c > 0)
c)
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
+ + + + ≥ + + +
với mọi a, b, c, d, e.
Bài giải:
a)
2
2 2
a b c ab bc ca
+ + ≥ + +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
0
2 2 2 2 2 2 0
2 2 2 0
0
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b ab b c bc a c ca
a b b c c a
⇔ + + − − − ≥
⇔ + + − − − ≥
⇔ + − + + − + + − ≥

⇔ − + − + − ≥
Do đó
2
2 2
a b c ab bc ca
+ + ≥ + +
là bất đẳng thức đúng.
b) Áp dụng câu a) ta có:
a
8
+ b
8
+ c
8

≥
a
4
b
4
+ b
4
c
4
+ c
4
a
4
= (a
2

b
2
)
2
+ (b
2
c
2
)
2
+ (c
2
a
2
)
2

≥

≥
(a
2
b
2
) (b
2
c
2
) + (b
2

c
2
)(c
2
a
2
) + (c
2
a
2
)(a
2
b
2
) = a
2
b
2
c
2
(a
2
+ b
2
+ c
2
)

≥
a

2
b
2
c
2
(ab +bc + ca)
Do đó
8 8 8 2 2 2
3 3 3 3 3 3
( )a b c a b c ab bc ca
a b c a b c
+ + + +
≥ ⇔

8 8 8
3 3 3
1 1 1a b c
a b c a b c
+ +
≥ + +
c) a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

≥
a(b + c + d +e)

⇔
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
– a(b + c + d +e)
≥
0

⇔
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

– ab – ac – ad – ae
≥
0

2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
0
4 4 4 4
0
2 2 2 2
a a a a
b ab c ac d ad e ae
a a a a
b c d e
       
⇔ + − + + − + + − + + − ≥
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
       
⇔ − + − + − + − ≥
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
(Bất đẳng thức đúng)
Do đó a
2
+ b
2
+ c
2

+ d
2
+ e
2

≥
a(b + c + d +e) là bất đẳng thức đúng.
Câu 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức:
2
1 2 3 3

3 3 3 3 4
n
n
+ + + + <
.
Bài giải:
Với m nguyên dương, ta có:
1
0,5 1,5
.
2.3 2.3 3
m m m
m m m
−
+ +
− =
Thay m lần lượt bởi 1; 2; ; m. Ta có:
2 2
1

1 1,5 2,5
3 2 2.3
2 2,5 3,5
3 2.3 2.3

0,5 1,5
3 2.3 2.3
n n n
n n n
−
= −
= −
+ +
= −
Do đó:
2
1 2 3 1,5 1,5 1,5 3

3 3 3 3 2 2.3 2 4
n n
n n
+
+ + + + = − < =
Câu 6: Tìm tất cả các số thực x thỏa:
( ) ( ) ( ) ( )
3
4 4 4
2 4 2 4 6 3 30.x x x x x x x
− − + − + − + ≤ +
Bài giải:

Điều kiện:
( ) ( )
2 4 0
2 0
2 4.
4 0
0
x x
x
x
x
x

− − ≥

− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥


≥

Áp dung bất đẳng thức Cối cho 2 số không âm, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
4
4

3 3
2 4
2 4 2 4 1
2
2 1
1
2 1 1
2
2 2.1
2 2 4
4 1
1
4 1 7
2
4 4 .1
2 2 4
6 3 2 .27 27
x x
x x x x
x
x x
x x
x
x x
x x
x x x x
− + −
− − = − − ≤ =
− +
+

− + +
− = − ≤ ≤ =
− +
+
− + − +
− = − ≤ ≤ =
= ≤ +
Do đó:
( ) ( ) ( ) ( )
3
4 4 4
2 4 2 4 6 3 30.x x x x x x x
− − + − + − + ≤ +
Vậy
2 4x
≤ ≤
là giá trị cần tìm.
Câu 7: Với a > 0, b> 0, c > 0, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
ab bc
b
c a
+ ≥
b)
ab bc ca
a b c
c a b
+ + ≥ + +
c)

3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + +
+ + ≥ + +
Bài giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
2 . 2 .
ab bc ab bc ab bc
b
c a c a c a
+ ≥ ⇔ + ≥
b)
2
ab bc
b
c a
+ ≥
(theo câu a)
Chứng minh tương tự câu a) ta có:
2
ab ca
a
c b
+ ≥
;
2 .
bc ca

c
a b
+ ≥
Do đó:
2 2 2
ab bc ab ca bc ca
a b c
c a c b a b
+ + + + + ≥ + +
⇔

ab bc ca
a b c
c a b
+ + ≥ + +
.
c)Với a, b > 0. Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
3 3 3 3
3 3
0 0
( ) 0 ( )
2 2
a b a b a b a ab b ab
a b ab a b a b ab a b
a b a b
ab

 
+ − ≥ ⇔ + − + − ≥
 
⇔ + − + ≥ ⇔ + ≥ +
+ +
⇔ ≥
Tương tự ta có:
3 3 3 3
; .
2 2 2 2
b c b c c a c a
ab ca
+ + + +
≥ ≥
Do đó:

3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
.
2 2 2
a b b c c a a b b c c a
ab bc ca
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + + + + +
+ + ≥ + +
+ + +
⇔ + + ≥ + +

Câu 8: Chứng minh
A a B b B b C c C c A a
A a B b c d B b C c a d C c A a b d
+ + + + + + + + +
+ >
+ + + + + + + + + + + + + + +
Trong đó A, a, B, b, C, c, d là các số dương.
Bài giải:
Bài toán phụ: Cho 0 < x < y, z > 0. Chứng minh rằng:
.
x z x
y z y
+
>
+
Vì 0 < x < y, z > 0
( ) ( ) .
zy zx xy yz xz xy
x z x
y x z x y z
y z y
⇒ > ⇒ + > +
+
⇒ + > + ⇒ >
+
Áp dụng bài toán phụ ta có:
A a B b A a
A a B b c d A a c d
+ + + +
>

+ + + + + + + +
Tương tự:
B b C c C c
B b C c a d C c a d
+ + + +
>
+ + + + + + + +
Mà
A a C c A a C c
A a c d C c a d C c A a b d C c A a b d
+ + + +
+ > +
+ + + + + + + + + + + + + + + +
Do đó:
A a B b B b C c C c A a
A a B b c d B b C c a d C c A a b d
+ + + + + + + + +
+ >
+ + + + + + + + + + + + + + +
Câu 9:
Giải bất phương trình:
2
3
3
25 (2 9) 4 .x x x
x
+ ≥ +

Bài giải:
Điều kiện x # 0.

- Với x > 0. Nhân 2 vế bất phương trình với x ta được:

4 2 2
3
25 (2 9) 4 3x x x
+ ≥ +
(1)
Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:
2 2 2 4 2
3
2 4 2
3
5 5 (2 9) 3. 25 (2 9)
4 3 25 (2 9)
x x x x x
x x x
+ + + ≥ +
⇔ + ≥ +
(2)
Từ (1) và (2) suy ra để bất phương trình có nghiệm, dấu đẳng thức phải xảy ra ở bất
đẳng thức (2), lúc đó:
2 2
5 2 9 3x x x= + ⇒ =
- Với x < 0. Nhân 2 vế với x ta có:
4 2 2
3
25 (2 9) 4 3x x x
+ ≤ +
Bất phương trình trên đúng với mọi x < 0.
Câu 10: Cho x, y là 2 số thực khác 0. Chứng minh:

2 2
2 2
4 3 .
x y x y
y x y x
 
+ + ≥ +
 ÷
 
Bài giải:
Đặt
.
x y x y x y
t t
y x y x y x
= + ⇒ = + = +
Mà
2
x y
y x
+ ≥
(bất đẳng thức Côsi)
Suy ra
2 2 2t t hayt
≥ ⇒ ≤ − ≥
Khi đó
2 2
2
2 2

2.
x y
t
y x
= + +
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

( ) ( )
2
2 3 1 2 0t t t t
+ ≥ ⇔ − − ≥
( *)
(*) đúng vì
2 2t hayt
≤− ≥
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng(đpcm).
Câu 11: Chứng minh rằng
(
)
8
6
3 3
3 2 2 3 2 2 3
+ + − >
Bài giải:
Đặt a = x + y với x =
3
3 2 2 ,
+
y =

3
3 2 2
−
.
Dễ thấy: x
3
+ y
3
= 6 và x.y = 1
Suy ra:
( )
3 3 3
3
3 ( ) 6 3
3(1 1 ) 3(3 1.1. )
a x y xy x y a
a a
= + + + = +
= + + >
(Vì x > 1, y > 0 nên a > 1).
Do đó
9 2 3 8 6
(3 ) . 3 .a a a
> ⇒ >
Vậy :
(
)
8
6
3 3

3 2 2 3 2 2 3+ + − >
Câu 12: Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
3 2 4.a b c ab b c
+ + ≤ + + −
Bài giải:
Theo giả thiết a, b, c nguyên nên suy ra:
( )
2 2 2
2 2
2
3 3 2 1 0.
3 1 1 0
2 2
a ab b b c c
b b
a c
− + − + + − + ≤
   
⇔ − + − + − ≤
 ÷  ÷
   
Suy ra
; 1; 1.
2 2
b b
a c
= = =
Hay a = 1; b = 2; c = 1.
Câu 13: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

abc = ab + bc + ca thì:
1 1 1 3
.
2 3 2 3 3 2 16a b c a b c a b c
+ + <
+ + + + + +
Bài giải:
Từ điều kiện abc = ab + bc + ca, ta có:
1 1 1
1.
a b c
+ + =
(1)
Mặt khác với mọi x, y > 0, ta có:
1 1 1 1
4x y x y
 
≤ +
 ÷
+
 
(2)
Dấu “=” xảy ra
.x y
⇔ =
Áp dụng (2) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
2 3 2 4 2

1 1 1 1 1 1 3
.
16 16 32 32 16 32 32
a b c a c b c a c b c
a c b c a b c
 
= ≤ +
 ÷
 ÷
+ + + + + + +
 
≤ + + + = + +
Dấu “=” xảy ra
2( ), , ,a c b c a c b c
⇔ + = + = =
tức là khi và chỉ khi c = 0
(trái với giả thiết).
Vậy
1 1 1 3
.
2 3 16 32 32a b c a b c
≤ + +
+ +
Tương tự ta có:
1 1 1 3
.
2 3 32 32 16a b c a b c
≤ + +
+ +
1 1 1 3

.
3 2 32 32 32a b c a b c
≤ + +
+ +
Từ các bất đẳng thức trên và kết hợp với (1) ta được:

1 1 1 1 1 3 1 1 1 3
.
2 3 2 3 3 2 16 32 32 16a b c a b c a b c a b c
   
+ + < + + + + =
 ÷ ÷
+ + + + + +
   
Câu 14: Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:
12.
1 1 1
a b c
b c a
+ + ≥
− − −
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
3 . . .
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥

− − − − − −
Nhận xét rằng: Với mọi x > 1 ta có:
3
3
3 . . 3 4.4.4 12.
1 1 1
a b c
b c a
≥ =
− − −
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =4.
Câu 15: Cho 3 số dương x, y, z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

1 .x yz y zx z xy xy yz zx
+ + + + + ≥ + + +
Bài giải:
Ta chứng minh
.x yz x yz
+ ≥ +
(1)
(1)
( )
2
2
2 1 2
2 2
0.
x yz x x yz yz x yz
x y z x yz y z yz
y z

⇔ + ≥ + + ⇔ ≥ +
⇔ + + ≥ + ⇔ + ≥
⇔ − ≥
Do đó (1) đúng.
Tương tự ta có:
y zx y zx
+ ≥ +
(1)

z xy z xy
+ ≥ +
(2)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
1 .x yz y zx z xy xy yz zx
+ + + + + ≥ + + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =z =
1
3
.
Câu 16: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1.
Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 5.x xy y y yz z z zx x
+ + + + + + + + ≥
Bài giải:
Nhận xét rằng:

( ) ( ) ( )
2 2 2

2 2
4(2 2 ) 5 3 5x xy y x y x y x y
+ + = + + − ≥ +
Vì x, y > 0 suy ra
( )
2 2
5
2 2 .
2
x xy y x y
+ + ≥ +
Tương tự ta có:
( )
2 2
5
2 2 .
2
y yz z y z
+ + ≥ +

( )
2 2
5
2 2 .
2
z zx x z x
+ + ≥ +
Cộng ba bất đẳng thức trên ta được:
( )
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 5 .x xy y y yz z z zx x x y z
+ + + + + + + + ≥ + +
Do x + y + z = 1. Suy ra:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 5.x xy y y yz z z zx x
+ + + + + + + + ≥
Câu 17: Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng:

( )
2
.
2 4
a b
a b
a b b a
+
+
+ ≥ +
Khi nào xảy ra đẳng thức?
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
( )
2
1 1 1 1
.
2 4 2 2 2 4 4 2
a b
a b a b a b
a b a b ab a b
+

+ + +
     
+ = + + = + + + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
Xét hiệu:

( )
2 2
1 1
2 2
1 1
0.
2 2
ab a b a b b a ab a b a b
ab a b
   
+ + − + = + + − −
 ÷  ÷
   
 
   
= − + − ≥
 
 ÷  ÷
   
 
 
Suy ra:
( )

2
1
.
2 2 4
a b
a b
ab a b a b b a a b b a
+
+
 
+ + ≥ + ⇒ + ≥ +
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra
0
1
4
a b
a b
= =


⇔

= =

Bài 18: Với 4 số a, b, c, d thỏa mãn các điều kiện
a
2
+ b

2
= 2 và (a – d)(b – c) = 1
Chứng minh rằng:
2 2
2 2 2 2c d ad bc ab
+ − − − ≥ −
Khi nào dấu “=” xảy ra?
Bài giải:
2 2
2 2 2 2c d ad bc ab
+ − − − ≥ −
(1)
(1)
2 2
2 2 2 2 0c d ad bc ab
⇔ + − − − + ≥

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2b c a d ab b c a d ab ab
⇔ − + − − ≥ − − − = −

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2 0.b c a d ab a b ab a b
⇔ − + − − ≥ + − − − ≥
(2)
Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu “=” xảy ra khi

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
1
1
1
a b
a b
a d b c
a d b c
a d b c
c d
a b

+ =

= =


− − =
 
⇔ − = − =
 
− = −
 
=




=

Câu 19: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn hay bằng 1 chứng minh rằng:
a)
1 1 2
1 1
1
a b
ab
+ ≥
+ +
+
b)
3
1 1 1 3
1 1 1
1
a b c
abc
+ + ≥
+ + +
+
Bài giải:
a)
1 1 2
1 1
1
a b

ab
+ ≥
+ +
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1 1
0
1 1
1 1
0
1 1 1 1
a b
ab ab
a b a b a b
a ab b ab
   
⇔ − + − ≥
 ÷  ÷
+ +
+ +
   
− −
⇔ + ≥
+ + + +
( ) ( ) ( )

( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
0
1 1 1
1
0
1 1 1
b a b a ab b a
b a ab
b a ab
b a ab
 
− − − + −
 
⇔ ≥
+ + +
− −
⇔ ≥
+ + +
Vì a, b
1
≥
nên tử số
0
≥
(đpcm).

b) Áp dụng kết quả trên ta có:

1 1 2
1 1
1
a b
ab
+ ≥
+ +
+
3
6 4
1 1 2
1
1
1
c
abc
abc
+ ≥
+
+
+
3
6 4
3
4 4 4
12
1 1 1 3 1 3
2

1 1 1
1 1
1
4 4
1
1
a b c
abc ab
abc
abc
a b c
 
+ + + ≥ +
 ÷
+ + +
+ +
+
 
≥ =
+
+
Do đó:
3 3 3 3
1 1 1 3 4 1 3
1 1 1
1 1 1 1
a b c
abc abc abc abc
+ + + ≥ − =
+ + +

+ + + +
(đpcm).
Câu 20: Chứng minh:
2 2
1 1 2
1 1 1
1; 1.
a b ab
a b
+ ≥
+ + +
≥ ≥
Bài giải:
Xét hiệu
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 2

2 2 2 2
2
2 2
1 1 2 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
0
1 1 1
a b ab a ab b ab
a b a b b a b a
ab a ab b
a ab b ab a b ab
b a ab
a b ab
   
+ − = − + −
 ÷  ÷
+ + + + + + +
   
− + + − +
− −
= + =
+ + + + + + +
− −
= ≥
+ + +
Vì (
1; 1.a b≥ ≥

)