BT mon co ban- phan NHAP MON GIAI TICH

www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 1
4. BÀI TẬP NHẬP MÔN GIẢI TÍCH

Bài 1 :
Cho ( E , d ) là không gian metric và
A E
⊂
và
x E
∈
.
Ta định nghĩa :
+ x là điểm dính của A
( )
r 0,B x,r A
⇔ ∀ > ≠ ∅
I
.
+ x là điểm tụ của A
( ) { }
r 0, B x,r \ x A
⇔ ∀ > ≠ ∅ 
 
I
.
+ x là điểm trong của A
( )
r 0,B x,r A
⇔ ∃ > ⊂
.
+ x là điểm biên của A

⇔
x cùng là điểm dính của A và của E\A .
Ta ký hiệu :
+
A
là tập hợp các điểm dính của A , gọi là bao đóng của A .
+
A
o
hoặc Int(A) là tập hợp các điểm trong của A .
+ A’ là tập hợp các điểm tụ của A .
+
A
∂
là tập hợp các điểm biên của A , gọi là biên của A .
Chứng minh rằng :
1)
A A A '
=
U
.
2)
A
là tập đóng trong E và là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A .
c)
A
o
là tập mở trong E và là mở lớn nhất trong E bị chứa trong A .
d)
( )

A E \ A
∂ = ∂
;
A A E \ A∂ = I
;
E A A E \ A
 
= ∂
 ÷
 
o o
U U
e)
A
∂
là tập đóng trong E , và hơn nữa : A đóng
A A
⇔ ∂ ⊂
Giải
a) Chứng minh :
A A A'= U
.
( )
x A r 0,B x,r A∈ ⇔ ∀ > ≠ ∅I

{ } ( ) { }
( )
r 0, x B x,r \ x A⇔ ∀ > ≠ ∅ 
 
U I

{ }
( ) { }
x A
r 0,
B x, r \ x A
≠ ∅

⇔ ∀ >

≠ ∅ 

 

I
I

{ }
( ) { }
x A
r 0, B x,r \ x A
≠ ∅

⇔

∀ > ≠ ∅ 

 

I

I

x A
x A'
∈

⇔

∈


x A A '
⇔ ∈
U
.
Vậy :
A A A '
=
U
.
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 2
b) Chứng minh :
A
là tập đóng trong E và là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A .
HƯỚNG DẪN :
Để chứng minh tập đóng , ta sử dụng tính chất sau đây :
F đóng trong E
( )
n
n n

n
x F, x x E x F
→∞
∈
⇔ ∀ ⊂ → ∈ ⇒ ∈
¥

Lời giải
Ta chứng minh
A
đóng trong E .
Cho dãy
( )
n
x A
⊂
sao cho :
n
n
lim x x E
→∞
= ∈
.
Ta phải chứng minh :
x A
∈
Tức là chứng minh :
( )
r 0,B x,r A
∀ > ≠ ∅

I
.
Thật vậy , cho r > 0 tùy ý .
Vì
n
n
lim x x E
→∞
= ∈
nên :
( )
N
r
N ,d x , x
2
∃ ∈ <
¥
Vì
N
x A
∈
nên
N N
r r
B x , A a B x , A
2 2
   
≠ ∅ ⇒ ∃ ∈
 ÷  ÷
   

I I
.
( )
N
a A
r
d x ,a
2
∈


⇒

<


( )
( ) ( )
N N
r r
d x,a d x,x d x ,a r
2 2
⇒ ≤ + < + =
( ) ( )
a B x, r a B x,r A
⇒ ∈ ⇒ ∈
I
( do
a A
∈

) .
( )
B x,r A , r 0
⇒ ≠ ∅ ∀ >
I
x A
⇒ ∈
.
Vậy :
A
đóng .
Ta chứng minh
A
là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A .
Giả sử F là tập đóng trong E chứa A .
Từ :
A F
⊂
suy ra :
A F F
⊂ =
. ( tính chất : A đóng
A A
⇔ =
)
Vậy
A
là tập đóng nhỏ nhất trong E chứa A .
c) Ta chứng minh Int(A) là tập mở trong E .
Với mỗi

x int A
∈
, tồn tại r > 0 sao cho :
( )
B x,r A
⊂
.
( ) ( )
B x,r int B x,r int A
⇒ = ⊂
( tính chất : A mở
o
A A⇔ =
)
Vậy : intA mở .
Ta chứng minh intA là mở lớn nhất trong E bị chứa trong A .
Cho G là mở trong E bị chứa trong A .
Từ :
G A
⊂
suy ra :
G int G int A
= ⊂
.
Vậy : intA là mở lớn nhất trong E bị chứa trong A .
d) Chứng minh :
A A E \ A∂ = I
.
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 3
Theo định nghĩa :

x là điểm biên của a khi và chỉ khi ta có đồng thời :
+ x là điểm dính của A , tức :
x A
∈
.
+ x là điểm dính của E\A , tức :
x E \ A
∈
.
Do đó :
A A E \ A∂ = I
. (*)
Chứng minh :
( )
A E \ A
∂ = ∂
.
Áp dụng (*) cho A và E\A , ta có :
( ) ( )
A A E \ A E \ A A E \ A E \ E \ A E \ A
∂ = = = = ∂
I I I
.
Chứng minh :
( )
E A int A int E \ A
= ∂
U U
.
( )

E A E \ A
= ∂ ∂
U

( )
A E \ A E \ A
 
= ∂
 
U I

( ) ( )
A E \ A E \ E \ A= ∂ U U

( ) ( )
A int E \ A int E \ E \ A= ∂ U U
( do
E \ A,E \ E \ A
mở )
( ) ( )
A int E \ A int E \ E \ A
⊂ ∂  
 
U U
( )
A int A int E \ A
= ∂
U U
( )
E A int A int E \ A

⇒ ⊂ ∂
U U
.
( )
E A int A int E \ A
⇒ = ∂
U U
.
d) Chứng minh :
A
∂
đóng .
Vì
A,E \ A
đóng trong E nên :
A A E \ A∂ = I
đóng trong E .
Chứng minh :
A A
∂ ⊂ ⇔
A đóng .
Ta có :

A A
∂ ⊂
A A A⇔ = ∂U
( ) ( ) ( )
A A A E \ A A A A E \ A⇔ = =U I U I U

( )

( ) ( )
{ }
A A E \ A A A E \ A E \ A \ E \ A
 
= =
 
I U I U U

( )
{ }
A E E \ A \ E \ A A E A
 
= = =
 
I U I
A A
⇔ =

⇔
A đóng .

Bài 2 :
Cho ánh xạ f từ không gian metric X vào không gian metric Y.
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 4
Chứng minh rằng :
f liên tục trên X
( )
( )
A X,f A f A⇔ ∀ ⊂ ⊂
.

Giải
a) Phần thuận :
Giả sử f liên tục trên X .
Cho
A X
⊂
tùy ý .
CÁCH 1 ( Sử dụng dãy )
Nếu :
( )
y f A
∈
thì :
( )
y f a
=
với một
a A
∈
.
Vì
a A
∈
nên tồn tại một dãy
( )
n
n
a A
⊂
hội tụ về a .

Vì f liên tục tại a nên ta có :
( ) ( ) ( )
n n
n n
y f a f lim a lim f a f A
→∞ →∞
 
= = = ∈
 ÷
 
Vậy :
( )
( )
f A f A⊂
.
Cách 2 ( Sử dụng tính chất liên tục và bao đóng )
Ta có :
( ) ( )
1 1
A f f A f f A
− −
 
⊂ ⊂
 
 
 
( ) ( )
1 1
A f f A f f A
− −

   
⇒ ⊂ =
   
( vì f liên tục và
( )
f A
đóng )
( )
( )
f A f A⇒ ⊂
.
b) Phần đảo :
Giả sử :
( )
( )
A X,f A f A∀ ⊂ ⊂
. (*)
Để chứng minh f liênm tục trên X , ta cho F là một tập đóng tùy ý trong Y và ta sẽ chứng minh
( )
1
f F
−
đóng trong
X .
Áp dụng tính chất (*) cho tập
( )
1
f F X
−
⊂

, ta được :
( ) ( )
1 1
f f F f f F F F
− −
 
 
⊂ ⊂ =
   
 
( do F đóng trong X )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
f f F F f F f F f F f F
− − − − −
 
⇒ ⊂ ⇒ ⊂ ⇒ =
 
 
( )
1
f F
−
⇒
đóng .
Vậy : f liên tục trên X .
Không gian topo liên thông

I. Định nghĩa :
+ Không gian topo X gọi là liên thông nếu trong X chỉ có tập X và tập

∅
lả các tập vừa đóng , vừa mở trong X mà
thôi .
+ Một tập
A X
⊂
gọi là một tập liên thông khi không gian con A là một không gian liên thông .
Định nghĩa này rất khó sử dụng để chứng minh một tập là liên thông. Trong thực hành ta sử dụng một trong các định lý
sau đây :
II. Các định lý cơ bản về không gian topo liên thông :
1) Không gian topo X liên thông nếu X không thể phân hoạch được thành hai tập mở khác rỗng và rời nhau .
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 5
Nghĩa là :
X không liên thông khi và chỉ khi tồn tại hai tập
1 2
V ,V X⊂
sao cho :
+
1 2
V ,V ≠ ∅
.
+
1 2
V ,V
mở trong X .
+
1 2
V V = ∅I
.
+

1 2
X V V= U
.
Định lý này là phương pháp quan trọng nhất và thường được sử dụng để chứng minh một không gian là liên thông .
Như vậy , phương pháp chứng minh một không gian liên thông là phương pháp phản chứng .
Vì trong không gian topo bất kỳ ta luôn có tính chất :
Cho A là tập con khác rỗng của không gian topo X thì :
V là tập mở trong không gian con A khi và chỉ khi V có dạng :
V G A= I
, trong đó G là một tập mở trong X .
Nên từ định lý trên ta có hệ quả hiển nhiên sau đây dùng để chứng minh một tập
A X
⊂
là liên thông :
2) Một tập
A X
⊂
không liên thông khi và chỉ khi tồn tại hai tập
1 2
V ,V X⊂
sao cho :
+
1 2
V ,V
mở trong X .
+
1 2
V A,V A ≠ ∅I I
.
+

( ) ( )
1 2
V A V A
= ∅
I I I
.
+
1 2
A V V⊂ U
( tương đương với :
( ) ( )
1 2
A V A V A
=
I U I
)
3) Cho ánh xạ f từ không gian topo X vào không gian topo Y .
Nếu f liên tục và
A X
⊂
liên thông trong X thì f(A) liên thông trong Y .

Bài tập 1 : ( Đây là bài tập nền cho các bài tập về liên thông )
Cho không gian topo X và các tập
V, A X
∅ ≠ ⊂
và V mở trong X. Chứng minh nếu
V A
∩ = ∅
thì

V A
∩ = ∅
.
Giải
Nếu
V A
∩ ≠ ∅
thì có
x V A
∈ ∩
.
+
x V
∈
mở trong X
⇒
có lân cận
( )
W x V
⊂
. (1)
+
( )
x A W x A∈ ⇒ ∩ ≠ ∅
. (2)
( ) ( )
1 2 V A
⇒ ∩ = ∅
.
Điều này trái với giả thiết

V A
∩ = ∅
.
Vậy :
V A
∩ = ∅
.

Bài 2 :
Cho tập A liên thông trong không gian topo X và
A B A
⊂ ⊂
.
Chứng minh B liên thông .
Giải
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 6
Nếu B không liên thông thì :
( ) ( )
1 2
B V B V B
= ∩ ∪ ∩
, trong đó :
+
1 2
V ,V
mở trong X .
+
1 2
V B,V B∩ ∩ ≠ ∅
.

+
( ) ( )
1 2
V B V B
∩ ∩ ∩ = ∅
.
Ta có :
1 1
1
B A
V A V A
V B

⊂

⇒ ∩ ≠ ∅ ⇒ ∩ ≠ ∅

∩ ≠ ∅


( do bài toán 1)
Chứng minh tương tự , ta được :
2
V A
∩ ≠ ∅
.
Tóm lại , ta có :
+
1 2
V ,V

mở trong X .
+
1 2
V A,V A∩ ∩ ≠ ∅
.
+
( ) ( )
1 2
V A V A
∩ ∩ ∩ = ∅
.
+
( ) ( )
1 2
V A V A A
∩ ∪ ∩ =
.
⇒
A không liên thông
Điều này trái với giả thiết A liên thông .
Vậy : B liên thông .
Bài 3 :
Cho họ
( )
i
i I
A
∈
các tập khác rỗng liên thông của không gian topo X thỏa
i

i I
A
∈
I
. Chứng minh :
i
i I
A A
∈
= U
liên thông .
Giải
Nếu A không liên thông thì :
( ) ( )
1 2
A V A V A
=
I U I
, trong đó :
+
1 2
V ,V
mở trong X .
+
1 2
V A,V A ≠ ∅I I
.
+
( ) ( )
1 2

V A V A
∩ = ∅
I I
.
Lấy một
i
i I
x A
∈
∈
I
. (1)
Ta có :
( ) ( )
( ) ( )
1
1 2
2
1 2
x A
x V A
A V A V A
x V A
V A V A

∈
∈ ∩


= ∩ ∪ ∩ ⇒



∈ ∩


∩ ∩ ∩ = ∅

Có thể giả sử
1
x V A∈ ∩
. (2)
( ) ( )
1 i
1 2 x V A , i I
⇒ ∈ ∩ ∀ ∈
.
1 i
V A , i I⇒ ∩ ≠ ∅ ∀ ∈
. (3)
Ta có :
( )
2 2 2 i 2 i
i I i I
V A V A V A V A
∈ ∈
 
∩ ≠ ∅ ⇒ ∅ ≠ ∩ = ∩ = ∩
 ÷
 
U U

www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 7
0
0 2 i
i I: V A
⇒ ∃ ∈ ∩ ≠ ∅
. (4)
( )
0
1 i
3 V A⇒ ∩ ≠ ∅
.
Tóm lại , ta có :
+
1 2
V ,V
mở trong X .
+
0 0
1 i 2 i
V A ,V A
≠ ∅
I I
.
+
( ) ( )
0 0
1 i 2 i
V A V A∩ = ∅I I
.
+

( ) ( )
0 0 0
i 1 i 2 i
A V A V A= I U I
.
0
i
A
⇒
không liên thông .
Điều này trái với giả thiết
0
i
A
liên thông .
Vậy : A liên thông .

Bài 4 :
Trong không gian topo X cho hai tập liên thông A,B khác rỗng sao cho
A B
∩ ≠ ∅
. Chứng minh
A B
∪
liên thông .
Giải
Nếu
C A B
= ∪
không liên thông thì :

( ) ( )
C V C W C
= ∩ ∪ ∩
trong đó :
+ V,W mở trong X .
+
V C, W C
∩ ∩ ≠ ∅
.
+
( ) ( )
V C W C
∩ ∩ ∩ = ∅
.
Lấy một
x A B
∈ ∩
. (1)
Vì :
( ) ( ) ( ) ( )
x C,C V C W C , V C W C
∈ = ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ = ∅
Nên x hoặc chỉ thuộc
V C
∩
hoặc chỉ thuộc
W C
∩
.
Có thể giả sử

x V C
∈ ∩
. (2)
( ) ( )
1 2 x V A B V A
⇒ ∈ ∩ ∩ ⇒ ∩ ≠ ∅
. (3)
Vì :
W C
∩ ≠ ∅
nên :
( ) ( ) ( )
W C W A B W A W B
∅ ≠ ∩ = ∩ ∪ = ∩ ∩ ∩
.
W A
⇒ ∩ ≠ ∅
. (4)
Từ (3),(4) suy ra :
+ V,W mở trong X .
+
V A, W B
∩ ∩ ≠ ∅
.
+
( ) ( )
V A W A
∩ ∩ ∩ = ∅
.
+

( ) ( )
A V A W A
= ∩ ∪ ∩
.
⇒
A không liên thông ( trái giả thiết ) .
Vậy :
C A B
= ∪
liên thông .

Bài 5 :
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 8
Trong không gian topo X ,cho n tập liên thông
1 2 n
A ,A , ,A
khác rỗng sao cho :
i i 1
A A , i 1,2, , n 1
+
∩ ≠ ∅ ∀ = −
.
Chứng minh :
n
i
i 1
A
=
∪
liên thông .

Giải
Ta chứng minh
n
n i
i 1
B A
=
= ∪
liên thông bằng qui nạp .
Theo bài 4 thì đpcm đúng khi n = 1 , 2 .
Giả sử ta có
n
n i
i 1
B A
=
= ∪
liên thông với một số tự nhiên n nào đó.
Ta chứng minh
n 1
n 1 i
i 1
B A
+
+
=
= ∪
liên thông .
Vì
n 1 n n 1

B B A
+ +
= ∪
, mà
n n 1
B ,A
+
là các tập liên thông khác rỗng thỏa
n n 1
B A
+
∩ ≠ ∅
nên áp dụng kết quả khi
n = 2 , ta có
n 1
B
+
liên thông .
Vậy , theo nguyên lý quy nạp , ta có :
n
n i
i 1
B A
=
= ∪
liên thông ,
n 1
∀ ≥
.

Bài 6 :
Cho dãy
( )
n
n
A
các tập liên thông khác rỗng trong KG topo X thỏa :
n n 1
A A , n 1
+
∩ ≠ ∅ ∀ ≥
. Chứng minh :
n
n 1
A A
≥
= U
liên thông .
Giải
Chứng minh được
n
n i
i 1
B A
=
= ∪
liên thông ,
n 1
∀ ≥
.( Bài toán 5 ) .

Nếu
n
n 1
A A
≥
= U
không liên thông thì :
( ) ( )
A V A W A
= ∩ ∪ ∩
, trong đó :
+ V , W mở trong X .
+
V A,W A
∩ ∩ ≠ ∅
.
+
( ) ( )
V A W A
∩ ∩ ∩ = ∅
.
Vì :
V A
∩ ≠ ∅

nên :
( )
n n
n 1 n 1
V A V A

≥ ≥
 
∅ ≠ ∩ = ∩
 ÷
 
U U
.
1 1
1 n n
n 1: V A V B
⇒ ∃ ≥ ∩ ≠ ∅ ⇒ ∩ ≠ ∅
.
Tương tự , từ
W A
∩ ≠ ∅
suy ra :
2
2 n
n 1: V B
∃ ≥ ∩ ≠ ∅
.
Chọn
{ }
0 1 2
n max n ,n
=
thì :
0 0
n n
V B ,W B

∩ ∩ ≠ ∅
.
Đến đây , ta có :
+ V,W mở trong X .
+
0 0
n n
V B , W B
∩ ∩ ≠ ∅
.
+
( ) ( )
0 0
n n
V B W B∩ ∩ ∩ = ∅
.
+
( ) ( )
0 0 0
n n n
V B W B B∩ ∪ ∩ =
.
0
n
B
⇒
không liên thông ( trái giả thiết )
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 9
Vậy :
n

n 1
A A
≥
= U
liên thông .

Bài 7 : Chứng minh không gian topo X có tính chất :
“ Với mọi x,y thuộc X , luôn tồn tại không gian con liên thông Y sao cho
x, y Y
∈
“ thì X liên thông .
Giải
Cố định một
x X
∈
thì với mỗi
y Y
∈
, tồn tại một không gian con
y
Y
sao cho :
y
x, y Y
∈
.
Vì :
y
y Y
Y

∈
≠ ∅I
( nó luôn chứa x ) và :
y
y Y
X Y
∈
= U
Nên theo bài tập 6 , ta có X liên thông .

Bài 8 :
Trong không gian topo X , cho các tập liên thông A và B sao cho
A B
∩ ≠ ∅
. Chứng minh
A B
∪
liên thông .
Giải
Nếu
C A B
= ∪
không liên thông thì :
( ) ( )
C V C W C
= ∩ ∪ ∩
Trong đó :
+ V,W mở trong X .
+
V C, W C

∩ ∩ ≠ ∅
.
+
( ) ( )
V C W C
∩ ∩ ∩ = ∅
.
Lấy một
x A B
∈ ∩
.
Ta có :
+
x A C
∈ ∩
+
( ) ( )
A C A V C W C
∩ = ∩ ∩ ∪ ∩ 
 
( ) ( ) ( ) ( )
A C V A C W A B V A B W= ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∪ ∩ ∩
Bài 9 :
Cho B là một tập con liên thông của không gian metric X và A là một tập con bất kỳ của X sao cho :
( )
A B, X \ A B
∩ ∩ ≠ ∅
. Chứng minh rằng :
B A
∩∂ ≠ ∅

.
Giải
Từ giả thiết :
( )
B A, B X \ A
∩ ∩ ≠ ∅
và tính chất :
( ) ( ) ( )
B A B A X \ A B A B X \ A∩∂ = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩
Ta suy ra : nếu
B A
∩ ∂ = ∅
thì :
+
B A;B X \ A
∩ ∩ ≠ ∅
.
+
B A;B X \ A
∩ ∩
đóng trong B .
+
( ) ( )
B A B X \ A∩ ∩ ∩ = ∅
.
+
( ) ( )
B A B X \ A B∩ ∪ ∩ =
.
⇒

B không liên thông ( mâu thuẫn ) .
Vậy , phải có :
B A
∩ ∂ ≠ ∅
.
Bài 10 : Cho không gian metric X . Chứng minh X liên thông nếu và chỉ nếu với mọi
A X, A X
⊂ ∅ ≠ ≠
ta đều có
phần biên
A
∂ ≠ ∅
.
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 10
Giải
a) Phần thuận :
Giả sử X liên thông và
A X, A X
⊂ ∅ ≠ ≠
.
Ta có :
A A X \ A
∂ = ∩
. Vậy , nếu
A
∂ = ∅
thì :
+
A,X \ A
là các đóng khác rỗng trong X .

+
A X \ A
∩ = ∅
.
+
X A X \ A
= ∪
.
⇒
X không liên thông ( mâu thuẫn ) .
Vậy : nếu
A X, A X
⊂ ∅ ≠ ≠
thì
A
∂ = ∅
.
b) Phần đảo :
Nếu X không liên thông thì tồn tại
A X, A X
⊂ ∅ ≠ ≠
sao cho A vừa đóng vừa mở trong X . Khi đó :
A A X \ A
∂ = ∩
( )
A X \ A
= ∩
( Vì A , X\A đóng )
= ∅
.

Bài 11 :
Cho (E,d) là một không gian metric liên thông , không bị chặn . Chứng minh rằng mọi mặt cầu
( ) ( )
{ }
S x,r y E / d , x r
= ∈ =
đều khác rỗng .
Giải:
Ta có :
( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( )
S x,r y E / d y,x r B x,r B' x,r C x,r
= ∈ = = ∂ = ∩
Với :
( ) ( )
{ }
B' x,r E / d y, x r
= ∈ ≤
và
( )
{ }
C y E / d y,x x
= ∈ ≥
Nếu
( ) ( )
{ }
S x,r y E / d y,x r
= ∈ = = ∅

thì ta có :
+
( ) ( )
B' x,r ,C x,r
là các tập đóng khác rỗng trong E .
+
( ) ( )
B' x,r C x,r
∩ = ∅
.
+
( ) ( )
E B' x,r C x,r
= ∪
.
⇒
E không liên thông ( mâu thuẫn ) .
Vậy :
( )
S x,r
≠ ∅
.
6. Không gian compact

Bài 1 ( Số Lebesgue ) :
Cho không gian metric (X,d) và
( )
i
i I
G

∈
là một họ phủ mở của nó . Ta nói số
0
α >
là số Lebesgue của họ phủ mở
( )
i
i I
G
∈
nếu :
i
A X,diamA iG I : A G∀ ⊂ < α ⇒ ∃ ∈ ⊂
.
Chứng minh rằng trong một khong gian metric compact , mọi bao phủ mở đều có một số Lebesgue .
Chú ý :
Từ đề bài ta suy ra :
Họ phủ mở
( )
i
i I
G
∈
của (X,d) có số Lebesgue nếu và chỉ nếu :
i
0 : A X,diamA i I: A G∃α > ∀ ⊂ < α ⇒ ∃ ∈ ⊂
.
Giải
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 11
Cho (X,d) là không gian metric compact và

( )
i
i I
G
∈
là một họ phủ mở của nó .
Giả sử họ
( )
i
i I
G
∈
không có số Lesgue thì :
n
n
n i
1
diamA
n , A X:
n
A G , i I
∗

<

∀ ∈ ∃ ⊂


⊄ ∀ ∈


¥
(1)
Với mỗi
n
∗
∈
¥
, ta chọn ra một
n n
a A∈
thì được dãy
( )
n
a
trong không gian compact X nên tồn tại dãy con
( )
k
n
k
a
hội tụ về một phần tử
a X
∈
.
Vì
i
i I
X G
∈
=

U
nên tồn tại
0
i I
∈
sao cho :
0
i
a G
∈
.
Do
0
i
G
mở trong X nên :
( )
0
a a i
r 0 : B a,2r G∃ > ⊂
.
Vì
k
n
k
lim a a
→∞
=
nên tồn tại một số tự nhiên
0

k
đủ lớn sao cho :
a
0
1
r
k
<
và
( )
k
0
n a
a B a,r
∈
.
Theo (1) thì :
k 0
0
n i
A G
⊄
. (2)
Vì :
( )
k
0
0
k k
0 0

k
0
n a
k 0
n n
n a
1 1
diamA r
n k
a A
a B a,r

< ≤ <



∈


∈




nên :
( )
k 0
0
n a i
A B a,2r G

⊂ ⊂
.
Điều này mâu thuẫn với (2) .
Vậy , họ phủ mở
( )
i
i I
G
∈
có số Lebesgue .
Bài 2 :
(i) Chứng minh rằng mọi không gian compact đều tiền compact .
(ii) Từ (i) và bài tập 1 , hãy suy ra rằng : Để không gian metric (X,d) compact , ĐKCVĐ là mọi bao phủ mở của X đều
có một bao phủ con hữu hạn .
Giải
(i) Giả sử (X,d) là không gian compact .
Nếu (X,d) không tiền compact thì tồn tại
0
ε >
sao cho không thể phủ được X bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính
ε
.
Lấy
1
x X
∈
thì
( )
1
X B x ,

⊄ ε
nên có
( ) ( )
2 1 2 1
x B x , d x , x
∉ ε ⇒ ≥ ε
.
Vì :
( ) ( )
1 2
X B x , B x ,
⊄ ε ε
U
Nên có
( ) ( )
( ) ( )
3 1 2 3 1 3 2
x B x , B x , d x , x ,d x , x
∉ ε ε ⇒ ≥ ε
U
.
Tiếp tục quá trình trên theo hướng quy nạp , ta tìm được một dãy
( )
n
n
x X⊂
sao cho
( )
m n
d x , x , m n

≥ ε ∀ ≠
.
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 12
Như vậy , mọi dãy con của dãy
( )
n
n
x
không phải là dãy Cauchy nên không thể hội tụ và như vậy thì (X,d) không
compact ( mâu thuẫn ) .
(ii) a/ Phần thuận :
Giả sử (X,d) compact .
Cho
( )
i
i I
G
∈
là một phủ mở của (X,d) thì tồn tại một số Lebesgue
3 0
α >
sao cho :
( )
i
A X,diam A 3 i I: A G
∀ ⊂ < α ⇒ ∃ ∈ ⊂
.
Do (i) nên :
( )
n

1 2 n i
i 1
x , x , , x X : X B x ,
=
∃ ∈ ⊂ ∪ α
. (1)
Vì :
( )
k
diamB x , 2 3 , k 1,2, ,n
α ≤ α < α ∀ =
Nên :
( )
k
k k i
k 1,2, ,n, i I : B x , G∀ = ∃ ∈ α ⊂
(2)
( ) ( )
k
n
i
k 1
1 2 X G
=
⇒ ⊂ ∪
Như vậy : từ phủ mở
( )
i
i I
G

∈
của X , ta đã trích ra được phủ con hữu hạn
( )
k
i
1 k n
G
≤ ≤
.
b) Phần đảo :
Gỉả sử từ mọi phủ mở của (X,d) ta đều trích ra được một phủ con hữu hạn .
Cho
( )
n
n
x X⊂
tùy ý .
Nếu
{ }
n
A x / n 1
= ≥
hữu hạn thì có dãy con hội tụ là một dãy hằng.
Nếu A vô hạn và nếu A không có điểm tụ nào cả thì :
( ) { }
x x
x X, r 0: B x,r \ x A
∀ ∈ ∃ > ∩ = ∅
 
 

Suy ra :
( ) { }
x x
x X, r 0 : B x, r A x
∀ ∈ ∃ > ∩ ⊂
Không gian compact nhận họ
( )
( )
x
x X
B x, r
∈
làm một phủ mở nên tồn tại một phủ con hữu hạn
( )
( )
i
x
1 i n
B x, r
≤ ≤
.
Vậy :
( ) ( )
i i
n n
i x i x
i 1 i 1
A A X A B x , r A B x ,r
= =
 

 
= ∩ = ∩ ∪ = ∪ ∩
 
 
 
{ } { }
n
i 1 2 n
i 1
x x , x , ,x
=
⊂ ∪ =
⇒
A hữu hạn ( vô lý ) .
Vậy , A phải có một điểm tụ
x X
∈
và do đó tồn tại một dãy con
( )
k
n
k
x A
⊂
hội tụ về
x X
∈
.
Tóm lại , mọi dãy trong X đều chứa một dãy con hội tụ .
Vậy : X là không gian compact .

Bài 3 :
Chứng minh hợp của một số hữu hạn các tập compact khác rỗng cũng là một tập compact .
Giải
Giả sử :
1 2 n
K ,K , ,K ≠ ∅
là các tập com pact .
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 13
Ta chứng minh tập
n
i
i 1
K K
=
= ∪
compact .
Giả sử K có phủ mở
( )
j
j J
G
∈
.
Với mỗi i = 1 , 2 , … , n , vì
( )
j
j J
G
∈

là phủ mở của tập compact
i
K
nên tồn tại phủ con hữu hạn
( )
( )
p
i
i
j
1 p n
G
≤ ≤
.
Do đó :
( )
i
p
n
n n
i
i
j
i 1 i 1p 1
K K G
= = =
= ∪ ⊂ ∪ ∪
K có phủ con hữu hạn
( )
( )

p
i
i
j
1 i n
1 p n
G
≤ ≤
≤ ≤
trich ra từ phủ mở
( )
j
j J
G
∈
.
Vậy ,
n
i
i 1
K K
=
= ∪
compact .

Bài 4 :
Cho
( )
n
n

K
∈¥
là dãy giảm các tập compact khác rỗng của không gian metric X . Chứng minh tập
n
n
K K
∈
= ∩
¥
là tập compact không rỗng của X .
Giải
Với mỗi
n
n , K
∈ ≠ ∅
¥
, ta chọn ra một
n n
x K
∈
.
Ta được dãy
( )
n
n
x
trong tập compact
0
K
nên tồn tại dãy con

( )
k
n
k
x
∈¥
hội tụ về một
0
x K∈
.
Hơn nữa , vì
( )
n
n
K
∈¥
là dãy giảm nên với mọi
m
∈
¥
, ta có
( )
m
n m
m k
x K
≥
⊂
hội tụ về x .
Vậy ,

m
x K , m∈ ∀ ∈¥
.
n n
n n
x K K K
∈ ∈
⇒ ∈ = ⇒ ≠ ∅
¥ ¥
I I
.
Ta chứng minh K compact .
Cho dãy
( )
m
m
x K
⊂
tùy ý và cố định một n tùy ý.
Vì
( )
m n
m
x K
⊂
compact nên tồn tại dãy con hội tụ :
( )
( )
k
k

n
n
m
k
x x K
→∞
→ ∈
.
Vì :
n
x K , n∈ ∀ ∈¥
nên :
n
n
x K K
∈
∈ =
¥
I
.
Vậy : K compact .
Bài 5 :
Trong không gian metric E , cho dãy
( )
n
n
n
x a
→∞
→

.
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 14
Chứng minh tập
{ } { }
n
K a x / n
= ∪ ∈
¥
compact .
Giải
Cách 1 :
Mọi dãy trong K đều là dãy con của dãy
( )
n
n
x
∈¥
.
Vì
( )
n
n
n
x a
→∞
→
nên mọi dãy con trong K đều hội tụ về
a K
∈
.

Vậy : mọi dãy trong K đều chứa một dãy con hội tụ về a .
Vậy : K compact .
Cách 2 :
Gỉa sử
( )
i
i I
G
∈
là một phủ mở của K .
Ta có :
i
i I
a K G
∈
∈ ⊂
U
nên :
0
0 i
i I: a G
∃ ∈ ∈
.
Vì
n
n
lim x a
→∞
=
nên :

0
0 n i 0
n : x G , n n .
∃ ∈ ∈ ∀ >
¥
Với mỗi
0
n 1,2, , n=
, ta có :
( )
n
n i i
i I
x G G
∈
∈ ∈
.
Vậy :
{ } { }
n
n
K a x
∈
 
= ∪
 ÷
 
¥
U
{ } { } { }

0 0 0
0 i n
n
0
n n n
n n i i
n 0
n n n 1 n 1
a x x G G G
=
> = =
 
   
 
= ∪ ∪ ⊂ ∪ = ∪
   ÷  ÷
 ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 
   
 
U U U
Vậy , từ phủ mở
( )
i
i I
G
∈

bất kỳ của K ta trích ra đươc phủ con hữu hạn
( )
n
0
i
0 n n
G
≤ ≤
.
Vậy : K compact .

Bài 6 :
Cho X,Y là các không gian metric và ánh xạ
f : X Y
→
sao cho với mọi tập compact
K X
⊂
, ta có
|K
f
liên tục .
Chứng minh f liên tục trên X .
Giải
Trong X , cho một dãy
( )
n
n
x
tùy ý hội tụ về phần tử

x X
∈
.
Theo bài 5 thì tập
{ } { }
n
K x x / n
= ∪ ∈
¥
compact .
Vì
|K
f
liên tục trên tập compact K nên :
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
|K |K n
n n
f x f x lim f x lim f x
→∞ →∞
= = =
.
Suy ra : f liên tục tại x tùy ý thuộc X .
Vậy : f liên tục trên X .

Bài 7 :
Cho X là không gian metric compact , Y là không gian metric và tập A đóng trong XxY . Chứng minh rằng

( )
2
pr A
đóng trong Y , trong đó
( )
2 2
pr : XxY Y,pr x, y y
→ =
là phép chiếu trên Y .
Giải
Cách 1 :
Cho một dãy
( ) ( )
n 2
n
y pr A⊂
hội tụ về một
y Y
∈
.
Ta phải chứng minh :
( ) ( ) ( )
2 2
y pr A y pr x, y , x, y A
∈ ⇔ = ∈

www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 15
Vì
( ) ( )
n 2

n
y pr A⊂
nên :
( )
( )
n n
n
n
n 2 n n
x , y A
n, x X :
y pr x ,y
⊂

∀ ∃ ∈

=


.
Vì
( )
n
n
x X⊂
compact nên có dãy con hội tụ :
( )
k
k
n

k
x x X
→∞
→ ∈
.
Vì
( )
( )
k k
n n
k
x ,y
là dãy trong tập đóng A hội tụ về (x,y) nên
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
x, y A y pr x, y pr A pr A
∈ ⇒ = ∈ ⇒

đóng trong Y .
Cách 2 : ( Cách hướng dẫn trong tài liệu )
Điều phải chứng minh
⇔
( )
2
Y \ pr A
mở trong Y .
Lấy tùy ý
( )
2
y Y \ pr A

∈
thì
( )
2
y pr A
∉
nên :
( )
x, y A, x X
∉ ∀ ∈
Vậy : Với mọi
x X
∈
thì (x,y) thuộc tập (XxY) \ A mở trong XxY.
Do đó , tồn tại các tập
x
V
mở trong X và
x
W
mở trong Y sao cho
( ) ( )
x x
x, y V xW XxY \ A
∈ ⊂
. (*)
Ghi chú : Đây là tính chất cơ bản của không gian metric tich :
Nếu W là mở trong không gian metric tích XxY thì tồn tại các tập U mở trong X và V mở trong Y sao cho :
UxV W
⊂

.
( Xem phần chứng minh tính chất này ở cuối bài giải ) .
Vì
( )
x
x X
V
∈
là phủ mở của tập X compact nên tồn tại phủ con hữu hạn :
i
n
x
i 1
X V
=
=
U
.
Đặt :
i
n
x
i 1
W W
=
=
I
mở trong Y thì do (*) , ta có :
( )
2

W pr A
∩ = ∅
.
y W
⇒ ∈
mở
( ) ( )
2 2
Y \ pr A , y Y \ pr A
⊂ ∀ ∈
.
Vậy :
( )
2
Y \ pr A
mở trong Y , tức :
( )
2
pr A
đóng trong Y .(đpcm)

PHỤ CHÚ :
Ta chứng minh tính chất của không gian metric tích đã giới thiệu ở phần ghi chú :
Cho XxY là không gian metric tích của các không gian metric X,Y thì :
Với mọi W mở trong XxY , tồn tại U mở trong X và V mở trong Y sao cho :
UxV W
⊂
.
Chứng minh
Có thể giả sử :

( ) ( ) ( )
X Y XxY
X,d , Y,d , XxY,d
với metric
( ) ( )
( )
( ) ( )
XxY 1 1 2 2 X 1 2 Y 1 2
d x , y , x , y d x ,x d y , y
= +
.
Lấy một phần tử
( )
0 0
x ,y W
∈
thì do
( )
0 0
x ,y
là một điểm trong của W nên :
( )
( )
XxY 0 0
r 0: B x ,y ,2r W
∃ > ⊂
.
Đặt :
( ) ( )
X 0 Y 0

U B x ,r ,W B y ,r
= =
là các mở trong X , Y .
Với mọi
( )
x, y UxV
∈
, ta có :
( )
( )
( )
( ) ( )
XxY 0 0 X 0 Y 0
d x , y , x, y d x , x d y , y r r 2r
= + < + =
( )
( )
( )
XxY 0 0
x, y B x , y , 2r
⇒ ∈
.
Vậy :
( )
( )
XxY 0 0
UxV B x , y ,2r W
⊂ ⊂
. ( đpcm ) .
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 16

Bài 8 :
Cho ánh xạ f từ không gian metric X vào không gian metric Y . Ta gọi :
( )
( )
{ }
x,f x XxY / x XΓ = ∈ ∈
là đồ thị của
f .
a) Chứng minh nếu f liên tục trên X thì
Γ
đóng trong XxY .
b) Cho Y là không gian compact . Chứng minh nếu
Γ
đóng trong XxY thì f liên tục trên X .
Giải
a) Giả sử f liên tục trên X .
Giả sử
( )
( )
( )
n n
n
x ,f x
là một dãy tùy ý trong
Γ
hội tụ về (x,y) thuộc XxY .
Vì :
n
n

x x
→∞
→
và f liên tục tại x nên ta có :
( ) ( )
n
n
f x f x
→∞
→
.
Do tính duy nhất giới hạn nên ta có :
( )
y f x
=
.
Vậy :
( )
( )
( )
( )
( )
n
n n
n
x ,f x x,f x
→∞
→ ∈Γ
.
Vậy :

Γ
đóng trong XxY .
b) Giả sử Y compact và
Γ
đóng trong XxY .
Ta phải chứng minh f liên tục trên X .
Cách 1 : ( Cách giải tự nhiên nhất ) Ta phải chứng minh :
Với mọi B đóng trong Y thì
( )
1
f B
−
đóng trong X .
Thật vậy , cho B đóng trong Y .
Giả sử
( )
n
n
x
là một dãy trong
( )
1
f B
−
hội tụ về một
x X
∈
.
Vì :
( ) ( )

1
n
n
x f B
−
⊂
nên :
( )
( )
n
n
f x B
⊂
.
Vì B đóng trong tập compact Y nên B compact .
Do
( )
( )
n
n
f x B
⊂
nên có dãy con
( )
( )
k
k
n
n
f x

hội tụ về
y B
∈
.
Vậy , ta có dãy
( )
( )
k k
n n
k
x ,f x
trong tập đóng
Γ
hội tụ về (x,y) nên phải có :
( ) ( ) ( )
1
x, y f x y B x f B
−
∈Γ ⇒ = ∈ ⇒ ∈
.
Vậy :
( )
1
f B
−
đóng trong X .
Tóm lại , f liên tục trên X .
Cách 2 : Nếu f không liên tục tại một
0
x X

∈
nào đó thì :
( )
( )
( )
k
*
k n 0
0 : k , n k :d f x ,f x
∃ε > ∀ ∈ ∃ > ≥ ε
¥
. (1)
Vì
( )
( )
k
n
k
f x
là dãy trong không gian Y compact nên tồn tại dãy con hội tụ :
( )
k
j
j
n 0
j
f x y Y
→∞
 
→ ∈

 ÷
 
. (2)
Trong tập đóng
Γ
, dãy
( ) ( )
( )
k k
j j
j
n n 0 0
j
x ,f x x ,y XxY
→∞
 
→ ∈
 ÷
 

Vì
Γ
đóng nên :
( ) ( )
0 0 0 0
x ,y y f x
∈Γ ⇒ =
. (3)
( ) ( )
( )

( )
k
j
n 0
j
2 3 lim f x f x
→∞
⇒ =
. (4)
www.violet.vn/anhbay → Ôn thi cao học → Toán 17
( )
( )
( )
k
j
*
n 0
1 d f x ,f x , j
 
⇒ ≥ ε ∀ ∈
 ÷
 
¥
.
Điều này mâu thuẫn với (4) .
Vậy , f liên tuc trên X .
Cách 3 : ( Cách được hướng dẫn trong tài liệu )
Cho B đóng trong Y , ta phải chứng minh
( )
1

f B
−
đóng trong X .
Đặt :
( ) ( )
( )
( )
{ }
B
XxB x,f x XxY / x X,f x BΓ = Γ∩ = ∈ ∈ ∈
.
Vì
Γ
và XxB đều đóng trong XxY nên
B
Γ
đóng trong XxY .
Xét phép chiếu trên X :
( ) ( )
1 1
pr :XxY X, x, y pr x, y x
→ =
a

Vì
( ) ( )
1
1 B
pr f B
−

Γ =
nên đpcm trở thành chứng minh
( )
1 B
pr
Γ
đóng trong X . ( Đây chính là kết quả của câu b) bài
8 nhưng ở đây ta thực hiện lại một cách tương tự ) .
Thật vậy :
Xét một dãy tùy ý
( ) ( )
n 1 B
n
x pr⊂ Γ
hội tụ về
x X
∈
. (i)
Ta phải chứng minh :
( )
1 B
x pr
∈ Γ
, tức :
( )
( )
1
B
x pr x, y
x, y

=


∈Γ


Với mỗi n , vì
( )
n 1 B
x pr
∈ Γ
nên :
( )
( )
n 1 n n
n
n n B
x pr x , y
y :
x , y
=

∃

∈Γ


.
Vì
( )

n
n
y Y⊂
compact nên có dãy con
( )
k
n
k
y
hội tụ về
y Y
∈
.
Vậy , ta có dãy
( )
k k
n n B
k
x , y
⊂ Γ
hội tụ về (x,y) .
Vì
B
Γ
đóng nên
( ) ( )
B 1 B
x, y x pr
∈Γ ⇔ ∈ Γ
.

Vậy :
( )
1 B
pr
Γ
đóng trong X , mà
( ) ( )
1
1 B
pr f B
−
Γ =
nên
( )
1
f B
−
đóng trong X .
Do đó : Với mọi B đóng trong Y thì
( )
1
f B
−
đóng trong X .
Vậy : f liên tục trên X .