khtnkhonggiancompact

Không gian compact

Bài 1 ( Số Lebesgue ) :
Cho không gian metric (X,d) và
( )
i
i I
G
∈
là một họ phủ mở của nó . Ta nói số
0α >
là số Lebesgue của họ phủ
mở
( )
i
i I
G
∈
nếu :
i
A X,diamA iG I : A G∀ ⊂ < α ⇒ ∃ ∈ ⊂
.
Chứng minh rằng trong một khong gian metric compact , mọi bao phủ mở đều có một số Lebesgue .
Chú ý :
Từ đề bài ta suy ra :
Họ phủ mở
( )
i
i I
G
∈

của (X,d) có số Lebesgue nếu và chỉ nếu :
i
0 : A X,diamA i I: A G∃α > ∀ ⊂ < α ⇒ ∃ ∈ ⊂
.
Giải
Cho (X,d) là không gian metric compact và
( )
i
i I
G
∈
là một họ phủ mở của nó .
Giả sử họ
( )
i
i I
G
∈
không có số Lesgue thì :
n
n
n i
1
diamA
n , A X :
n
A G , i I
∗

<


∀ ∈ ∃ ⊂


⊄ ∀ ∈

¥
(1)
Với mỗi
n
∗
∈
¥
, ta chọn ra một
n n
a A∈
thì được dãy
( )
n
a
trong không gian compact X nên tồn tại dãy con
( )
k
n
k
a
hội tụ về một phần tử
a X
∈
.

Vì
i
i I
X G
∈
= U
nên tồn tại
0
i I
∈
sao cho :
0
i
a G
∈
.
Do
0
i
G
mở trong X nên :
( )
0
a a i
r 0 : B a,2r G∃ > ⊂
.
Vì
k
n
k

lim a a
→∞
=
nên tồn tại một số tự nhiên
0
k
đủ lớn sao cho :
a
0
1
r
k
<
và
( )
k
0
n a
a B a, r
∈
.
Theo (1) thì :
k 0
0
n i
A G
⊄
. (2)
Vì :
( )

k
0
0
k k
0 0
k
0
n a
k 0
n n
n a
1 1
diamA r
n k
a A
a B a,r

< ≤ <



∈


∈




nên :

( )
k 0
0
n a i
A B a, 2r G
⊂ ⊂
.
Điều này mâu thuẫn với (2) .
Vậy , họ phủ mở
( )
i
i I
G
∈
có số Lebesgue .
Bài 2 :
(i) Chứng minh rằng mọi không gian compact đều tiền compact .
(ii) Từ (i) và bài tập 1 , hãy suy ra rằng : Để không gian metric (X,d) compact , ĐKCVĐ là mọi bao phủ mở của
X đều có một bao phủ con hữu hạn .
Giải
(i) Giả sử (X,d) là không gian compact .
Nếu (X,d) không tiền compact thì tồn tại
0
ε >
sao cho không thể phủ được X bằng một số hữu hạn hình cầu
bán kính
ε
.
Lấy
1

x X
∈
thì
( )
1
X B x ,
⊄ ε
nên có
( ) ( )
2 1 2 1
x B x , d x ,x
∉ ε ⇒ ≥ ε
.
Vì :
( ) ( )
1 2
X B x , B x ,
⊄ ε ε
U
Nên có
( ) ( )
( ) ( )
3 1 2 3 1 3 2
x B x , B x , d x ,x ,d x , x
∉ ε ε ⇒ ≥ ε
U
.
Tiếp tục quá trình trên theo hướng quy nạp , ta tìm được một dãy
( )
n

n
x X⊂
sao cho
( )
m n
d x , x , m n
≥ ε ∀ ≠
.
Như vậy , mọi dãy con của dãy
( )
n
n
x
không phải là dãy Cauchy nên không thể hội tụ và như vậy thì (X,d)
không compact ( mâu thuẫn ) .
(ii) a/ Phần thuận :
Giả sử (X,d) compact .
Cho
( )
i
i I
G
∈
là một phủ mở của (X,d) thì tồn tại một số Lebesgue
3 0
α >
sao cho :
( )
i
A X,diam A 3 i I: A G

∀ ⊂ < α ⇒ ∃ ∈ ⊂
.
Do (i) nên :
( )
n
1 2 n i
i 1
x ,x , ,x X : X B x ,
=
∃ ∈ ⊂ ∪ α
. (1)
Vì :
( )
k
diamB x , 2 3 , k 1,2, ,n
α ≤ α < α ∀ =
Nên :
( )
k
k k i
k 1,2, ,n, i I : B x , G∀ = ∃ ∈ α ⊂
(2)
( ) ( )
k
n
i
k 1
1 2 X G
=
⇒ ⊂ ∪

Như vậy : từ phủ mở
( )
i
i I
G
∈
của X , ta đã trích ra được phủ con hữu hạn
( )
k
i
1 k n
G
≤ ≤
.
b) Phần đảo :
Gỉả sử từ mọi phủ mở của (X,d) ta đều trích ra được một phủ con hữu hạn .
Cho
( )
n
n
x X⊂
tùy ý .
Nếu
{ }
n
A x / n 1
= ≥
hữu hạn thì có dãy con hội tụ là một dãy hằng.
Nếu A vô hạn và nếu A không có điểm tụ nào cả thì :
( ) { }

x x
x X, r 0 : B x,r \ x A
∀ ∈ ∃ > ∩ = ∅
 
 
Suy ra :
( ) { }
x x
x X, r 0: B x, r A x
∀ ∈ ∃ > ∩ ⊂
Không gian compact nhận họ
( )
( )
x
x X
B x,r
∈
làm một phủ mở nên tồn tại một phủ con hữu hạn
( )
( )
i
x
1 i n
B x,r
≤ ≤
.
Vậy :
( ) ( )
i i
n n

i x i x
i 1 i 1
A A X A B x , r A B x ,r
= =
 
 
= ∩ = ∩ ∪ = ∪ ∩
 
 
 
{ } { }
n
i 1 2 n
i 1
x x ,x , , x
=
⊂ ∪ =
⇒
A hữu hạn ( vô lý ) .
Vậy , A phải có một điểm tụ
x X
∈
và do đó tồn tại một dãy con
( )
k
n
k
x A
⊂
hội tụ về

x X
∈
.
Tóm lại , mọi dãy trong X đều chứa một dãy con hội tụ .
Vậy : X là không gian compact .

Bài 3 :
Chứng minh hợp của một số hữu hạn các tập compact khác rỗng cũng là một tập compact .
Giải
Giả sử :
1 2 n
K ,K , , K ≠ ∅
là các tập com pact .
Ta chứng minh tập
n
i
i 1
K K
=
= ∪
compact .
Giả sử K có phủ mở
( )
j
j J
G
∈
.
Với mỗi i = 1 , 2 , … , n , vì
( )

j
j J
G
∈
là phủ mở của tập compact
i
K
nên tồn tại phủ con hữu hạn
( )
( )
p
i
i
j
1 p n
G
≤ ≤
.
Do đó :
( )
i
p
n
n n
i
i
j
i 1 i 1p 1
K K G
= = =

= ∪ ⊂ ∪ ∪
K có phủ con hữu hạn
( )
( )
p
i
i
j
1 i n
1 p n
G
≤ ≤
≤ ≤
trich ra từ phủ mở
( )
j
j J
G
∈
.
Vậy ,
n
i
i 1
K K
=
= ∪
compact .

Bài 4 :

Cho
( )
n
n
K
∈¥
là dãy giảm các tập compact khác rỗng của không gian metric X . Chứng minh tập
n
n
K K
∈
= ∩
¥
là tập compact không rỗng của X .
Giải
Với mỗi
n
n ,K
∈ ≠ ∅
¥
, ta chọn ra một
n n
x K
∈
.
Ta được dãy
( )
n
n
x

trong tập compact
0
K
nên tồn tại dãy con
( )
k
n
k
x
∈¥
hội tụ về một
0
x K∈
.
Hơn nữa , vì
( )
n
n
K
∈¥
là dãy giảm nên với mọi
m
∈
¥
, ta có
( )
m
n m
m k
x K

≥
⊂
hội tụ về x .
Vậy ,
m
x K , m∈ ∀ ∈¥
.
n n
n n
x K K K
∈ ∈
⇒ ∈ = ⇒ ≠ ∅
¥ ¥
I I
.
Ta chứng minh K compact .
Cho dãy
( )
m
m
x K
⊂
tùy ý và cố định một n tùy ý.
Vì
( )
m n
m
x K
⊂
compact nên tồn tại dãy con hội tụ :

( )
( )
k
k
n
n
m
k
x x K
→∞
→ ∈
.
Vì :
n
x K , n∈ ∀ ∈¥
nên :
n
n
x K K
∈
∈ =
¥
I
.
Vậy : K compact .
Bài 5 :
Trong không gian metric E , cho dãy
( )
n
n

n
x a
→∞
→
.
Chứng minh tập
{ } { }
n
K a x / n
= ∪ ∈
¥
compact .
Giải
Cách 1 :
Mọi dãy trong K đều là dãy con của dãy
( )
n
n
x
∈¥
.
Vì
( )
n
n
n
x a
→∞
→
nên mọi dãy con trong K đều hội tụ về

a K
∈
.
Vậy : mọi dãy trong K đều chứa một dãy con hội tụ về a .
Vậy : K compact .
Cách 2 :
Gỉa sử
( )
i
i I
G
∈
là một phủ mở của K .
Ta có :
i
i I
a K G
∈
∈ ⊂
U
nên :
0
0 i
i I: a G
∃ ∈ ∈
.
Vì
n
n
lim x a

→∞
=
nên :
0
0 n i 0
n : x G , n n .
∃ ∈ ∈ ∀ >
¥
Với mỗi
0
n 1,2, ,n=
, ta có :
( )
n
n i i
i I
x G G
∈
∈ ∈
.
Vậy :
{ } { }
n
n
K a x
∈
 
= ∪
 ÷
 

¥
U
{ } { } { }
0 0 0
0 i n
n
0
n n n
n n i i
n 0
n n n 1 n 1
a x x G G G
=
> = =
 
   
 
= ∪ ∪ ⊂ ∪ = ∪
 
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 
   
 
U U U
Vậy , từ phủ mở
( )

i
i I
G
∈
bất kỳ của K ta trích ra đươc phủ con hữu hạn
( )
n
0
i
0 n n
G
≤ ≤
.
Vậy : K compact .

Bài 6 :
Cho X,Y là các không gian metric và ánh xạ
f : X Y
→
sao cho với mọi tập compact
K X
⊂
, ta có
|K
f
liên tục .
Chứng minh f liên tục trên X .
Giải
Trong X , cho một dãy
( )

n
n
x
tùy ý hội tụ về phần tử
x X
∈
.
Theo bài 5 thì tập
{ } { }
n
K x x / n
= ∪ ∈
¥
compact .
Vì
|K
f
liên tục trên tập compact K nên :
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
|K |K n
n n
f x f x lim f x lim f x
→∞ →∞
= = =
.
Suy ra : f liên tục tại x tùy ý thuộc X .

Vậy : f liên tục trên X .

Bài 7 :
Cho X là không gian metric compact , Y là không gian metric và tập A đóng trong XxY . Chứng minh rằng
( )
2
pr A
đóng trong Y , trong đó
( )
2 2
pr : XxY Y,pr x, y y
→ =
là phép chiếu trên Y .
Giải
Cách 1 :
Cho một dãy
( ) ( )
n 2
n
y pr A⊂
hội tụ về một
y Y
∈
.
Ta phải chứng minh :
( ) ( ) ( )
2 2
y pr A y pr x, y , x, y A
∈ ⇔ = ∈

Vì
( ) ( )
n 2
n
y pr A⊂
nên :
( )
( )
n n
n
n
n 2 n n
x , y A
n, x X :
y pr x , y
⊂

∀ ∃ ∈

=


.
Vì
( )
n
n
x X⊂
compact nên có dãy con hội tụ :
( )

k
k
n
k
x x X
→∞
→ ∈
.
Vì
( )
( )
k k
n n
k
x , y
là dãy trong tập đóng A hội tụ về (x,y) nên
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
x, y A y pr x, y pr A pr A
∈ ⇒ = ∈ ⇒
đóng trong Y .
Cách 2 : ( Cách hướng dẫn trong tài liệu )
Điều phải chứng minh
⇔
( )
2
Y \ pr A
mở trong Y .
Lấy tùy ý
( )

2
y Y \ pr A
∈
thì
( )
2
y pr A
∉
nên :
( )
x, y A, x X
∉ ∀ ∈
Vậy : Với mọi
x X
∈
thì (x,y) thuộc tập (XxY) \ A mở trong XxY.
Do đó , tồn tại các tập
x
V
mở trong X và
x
W
mở trong Y sao cho
( ) ( )
x x
x, y V xW XxY \ A
∈ ⊂
. (*)
Ghi chú : Đây là tính chất cơ bản của không gian metric tich :
Nếu W là mở trong không gian metric tích XxY thì tồn tại các tập U mở trong X và V mở trong Y sao cho :

UxV W
⊂
.
( Xem phần chứng minh tính chất này ở cuối bài giải ) .
Vì
( )
x
x X
V
∈
là phủ mở của tập X compact nên tồn tại phủ con hữu hạn :
i
n
x
i 1
X V
=
=
U
.
Đặt :
i
n
x
i 1
W W
=
=
I
mở trong Y thì do (*) , ta có :

( )
2
W pr A
∩ = ∅
.
y W
⇒ ∈
mở
( ) ( )
2 2
Y \ pr A , y Y \ pr A
⊂ ∀ ∈
.
Vậy :
( )
2
Y \ pr A
mở trong Y , tức :
( )
2
pr A
đóng trong Y .(đpcm)

PHỤ CHÚ :
Ta chứng minh tính chất của không gian metric tích đã giới thiệu ở phần ghi chú :
Cho XxY là không gian metric tích của các không gian metric X,Y thì :
Với mọi W mở trong XxY , tồn tại U mở trong X và V mở trong Y sao cho :
UxV W
⊂
.

Chứng minh
Có thể giả sử :
( ) ( ) ( )
X Y XxY
X,d , Y,d , XxY,d
với metric
( ) ( )
( )
( ) ( )
XxY 1 1 2 2 X 1 2 Y 1 2
d x , y , x ,y d x , x d y ,y
= +
.
Lấy một phần tử
( )
0 0
x ,y W
∈
thì do
( )
0 0
x ,y
là một điểm trong của W nên :
( )
( )
XxY 0 0
r 0 : B x , y ,2r W
∃ > ⊂
.
Đặt :

( ) ( )
X 0 Y 0
U B x ,r ,W B y ,r
= =
là các mở trong X , Y .
Với mọi
( )
x, y UxV
∈
, ta có :
( )
( )
( )
( ) ( )
XxY 0 0 X 0 Y 0
d x ,y , x, y d x , x d y , y r r 2r
= + < + =
( )
( )
( )
XxY 0 0
x, y B x , y ,2r
⇒ ∈
.
Vậy :
( )
( )
XxY 0 0
UxV B x , y ,2r W
⊂ ⊂

. ( đpcm ) .

Bài 8 :
Cho ánh xạ f từ không gian metric X vào không gian metric Y . Ta gọi :
( )
( )
{ }
x,f x XxY / x XΓ = ∈ ∈
là đồ
thị của f .
a) Chứng minh nếu f liên tục trên X thì
Γ
đóng trong XxY .
b) Cho Y là không gian compact . Chứng minh nếu
Γ
đóng trong XxY thì f liên tục trên X .
Giải
a) Giả sử f liên tục trên X .
Giả sử
( )
( )
( )
n n
n
x ,f x
là một dãy tùy ý trong
Γ
hội tụ về (x,y) thuộc XxY .
Vì :
n

n
x x
→∞
→
và f liên tục tại x nên ta có :
( ) ( )
n
n
f x f x
→∞
→
.
Do tính duy nhất giới hạn nên ta có :
( )
y f x
=
.
Vậy :
( )
( )
( )
( )
( )
n
n n
n
x ,f x x,f x
→∞
→ ∈Γ
.

Vậy :
Γ
đóng trong XxY .
b) Giả sử Y compact và
Γ
đóng trong XxY .
Ta phải chứng minh f liên tục trên X .
Cách 1 : ( Cách giải tự nhiên nhất ) Ta phải chứng minh :
Với mọi B đóng trong Y thì
( )
1
f B
−
đóng trong X .
Thật vậy , cho B đóng trong Y .
Giả sử
( )
n
n
x
là một dãy trong
( )
1
f B
−
hội tụ về một
x X
∈
.
Vì :

( ) ( )
1
n
n
x f B
−
⊂
nên :
( )
( )
n
n
f x B
⊂
.
Vì B đóng trong tập compact Y nên B compact .
Do
( )
( )
n
n
f x B
⊂
nên có dãy con
( )
( )
k
k
n
n

f x
hội tụ về
y B
∈
.
Vậy , ta có dãy
( )
( )
k k
n n
k
x ,f x
trong tập đóng
Γ
hội tụ về (x,y) nên phải có :
( ) ( ) ( )
1
x, y f x y B x f B
−
∈Γ ⇒ = ∈ ⇒ ∈
.
Vậy :
( )
1
f B
−
đóng trong X .
Tóm lại , f liên tục trên X .
Cách 2 : Nếu f không liên tục tại một
0

x X
∈
nào đó thì :
( )
( )
( )
k
*
k n 0
0 : k , n k : d f x ,f x
∃ε > ∀ ∈ ∃ > ≥ ε
¥
. (1)
Vì
( )
( )
k
n
k
f x
là dãy trong không gian Y compact nên tồn tại dãy con hội tụ :
( )
k
j
j
n 0
j
f x y Y
→∞
 

→ ∈
 ÷
 
. (2)
Trong tập đóng
Γ
, dãy
( ) ( )
( )
k k
j j
j
n n 0 0
j
x ,f x x , y XxY
→∞
 
→ ∈
 ÷
 

Vì
Γ
đóng nên :
( ) ( )
0 0 0 0
x , y y f x
∈Γ ⇒ =
. (3)
( ) ( )

( )
( )
k
j
n 0
j
2 3 lim f x f x
→∞
⇒ =
. (4)
( )
( )
( )
k
j
*
n 0
1 d f x ,f x , j
 
⇒ ≥ ε ∀ ∈
 ÷
 
¥
.
Điều này mâu thuẫn với (4) .
Vậy , f liên tuc trên X .
Cách 3 : ( Cách được hướng dẫn trong tài liệu )
Cho B đóng trong Y , ta phải chứng minh
( )
1

f B
−
đóng trong X .
Đặt :
( ) ( )
( )
( )
{ }
B
XxB x,f x XxY / x X,f x BΓ = Γ ∩ = ∈ ∈ ∈
.
Vì
Γ
và XxB đều đóng trong XxY nên
B
Γ
đóng trong XxY .
Xét phép chiếu trên X :
( ) ( )
1 1
pr :XxY X, x, y pr x, y x
→ =
a

Vì
( ) ( )
1
1 B
pr f B
−

Γ =
nên đpcm trở thành chứng minh
( )
1 B
pr
Γ
đóng trong X . ( Đây chính là kết quả của câu
b) bài 8 nhưng ở đây ta thực hiện lại một cách tương tự ) .
Thật vậy :
Xét một dãy tùy ý
( ) ( )
n 1 B
n
x pr⊂ Γ
hội tụ về
x X
∈
. (i)
Ta phải chứng minh :
( )
1 B
x pr
∈ Γ
, tức :
( )
( )
1
B
x pr x, y
x, y

=


∈Γ


Với mỗi n , vì
( )
n 1 B
x pr
∈ Γ
nên :
( )
( )
n 1 n n
n
n n B
x pr x , y
y :
x , y
=

∃

∈Γ


.
Vì
( )

n
n
y Y⊂
compact nên có dãy con
( )
k
n
k
y
hội tụ về
y Y
∈
.
Vậy , ta có dãy
( )
k k
n n B
k
x , y
⊂ Γ
hội tụ về (x,y) .
Vì
B
Γ
đóng nên
( ) ( )
B 1 B
x, y x pr
∈Γ ⇔ ∈ Γ
.

Vậy :
( )
1 B
pr
Γ
đóng trong X , mà
( ) ( )
1
1 B
pr f B
−
Γ =
nên
( )
1
f B
−
đóng trong X .
Do đó : Với mọi B đóng trong Y thì
( )
1
f B
−
đóng trong X .
Vậy : f liên tục trên X .