Chương IV: PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE (Phần 1) pptx

Chương IV
PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE
§ 1. Các khái niệm cơ bản
§2.Nguyên lý D’Alemert- Lagrange
§3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
§4.Phương trình Lagrange loại II

§ 1. Các khái niệm cơ bản
1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phản lực liên kết.
2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ
3. Toạ độ suy rộng
4. Công khả dĩ. Lực suy rộng
5. Liên kết lý tưởng

§ 1. Các khái niệm cơ bản
1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phản lực liên kết.
1.1. Cơ hệ không tự do
1.2. Liên kết và phân loại

1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phản lực
liên kết.
1.1. Cơ hệ không tự do
Cơ hệ tự do là cơ hệ mà các chất điểm của nó có
thể thực hiện những di chuyển vô cùng bé tuỳ ý sang
các vị trí lân cận
Cơ hệ không tự do là cơ hệ trong đó các chất điểm
của nó chịu các ràng buộc bởi một số các điều kiện hình
học và động học là

1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phản lực

liên kết.
1.1. Cơ hệ không tự do
1.2. Liên kết và phân loại
1.2.1. Liên kết và phương trình liên kết
-
Định nghĩa liên kết
-
Phương trình liên kết
O
1
O
A
B
1
r

2
r

3
r

0
r

x
y
0),,( ≥
kk
vrtf


α
m, ,2,1=
α
0),,,,,,( ≥tzyxzyxf
kkkkkk


α
m, ,2,1=
α

1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phản lực
liên kết.
-
Phương trình liên kết. Các ví dụ
-
Ví dụ 1.
Ví dụ 2. Con lắc toán học
A
0
0321
=−−+ rrrr

0coscoscos
0332211
=−−+ rrrr
ϕϕϕ
0sinsinsin
332211

=−+
ϕϕϕ
rrr
O
l
ϕ
x
y
222
lyx =+

1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phản lực
liên kết.
-
Phương trình liên kết. Các ví dụ
- Ví dụ 3. Quả cầu lăn không trượt trên mặt phẳng
Điểm A tiếp xúc với mp
ξ
C
η
ζ
x
′
y
′
z
′
N
ψ
ϑ

ϕ
K
ϕ
ψ
O
0
x
0
y
0
z
rvv
CA



×+=
ω
A
),,(:
ζηξ
ωωωω

0=×+ rv
C



ω
,0=−

η
ω
Rx
C

,0=+
ξ
ω
Ry
C

.0=
C
z

ψϑϑψϕω
ξ
cossinsin


+=
ψϑϑψϕω
η
sinsincos


+−=
ψϑϕω
ζ


+= cos

1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phản lực
liên kết.
-
Phương trình liên kết. Các ví dụ
Ví dụ 3. Quả cầu lăn không trượt trên mặt phẳng
Thay các biểu thức này vào phương trình liên kết, ta được
,0=−
η
ω
Rx
C

0)sinsincos( =++
ψϑϑψϕ



Rx
C
0)cossinsin( =++
ψϑϑψϕ



Ry
C
0=
C

z

,0=+
ξ
ω
Ry
C

.0=
C
z


1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phản lực liên
kết.
1.2.2. Phân loại các liên kết
-
Liên kết giữ và không giữ
-
Liên kết dừng và không dừng
-
Liên kết hô lô nôm và không hô lô nôm
-
Ta sẽ giới hạn ở các liên kết hô lô nôm
0),,,,,,( ≥tzyxzyxf
kkkkkk


α
0),,,,,,( =tzyxzyxf

kkkkkk


α
0),,,,,( =
kkkkkk
zyxzyxf


α
0),,,,,,( =tzyxzyxf
kkkkkk


α
0),,,( =tzyxf
kkk
α
0),,,,,,( =tzyxzyxf
kkkkkk


α

2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do
của cơ hệ
2.1. Định nghĩa di chuyển khả dĩ
2.2. Di chuyển thực và di chuyển khả dĩ
2.3. Số bậc tự do của cơ hệ

2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ
hệ
2.1. Định nghĩa di chuyển khả dĩ
Định nghĩa 1 Di chuyển khả dĩ của chất điểm,
ký hiệu là di chuyển vô cùng bé tại thời điểm
cho trước mà liên kết cho phép.
,r

δ
,r

δ
A
O
l
ϕ
x
y
,r

δ

2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ
hệ
2.1. Định nghĩa di chuyển
khả dĩ
Định nghĩa 2. Di chuyển
khả dĩ của cơ hệ là tập hợp
các di chuyển khả dĩ của
các chất điểm của cơ hệ tại

thời điểm khảo sát.
, ), ,,(
21 N
rrr

δδδ
A
r

δ
B
r

δ
I
r

δ
K
r

δ
O
P
B
I
K
A

2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ

2.2. Di chuyển thực và các di chuyển khả dĩ
-
Phương trình xác định các di chuyển khả dĩ
các biến phân toạ độ
-
Phương trình xác định các di chuyển thực
{ }
NNNN
zyxzyxzyxrrr
δδδδδδδδδδδδ
,,, ,,,,,,), ,,(
22211121
=

),,(
kkk
zyx
δδδ
0),,,( =+++ tzzyyxxf
kkkkkk
δδδ
α
=−+++ ),,,(),,,( tzyxftzzyyxxf
kkkkkkkkk
αα
δδδ
∑
=
=+
∂

∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
N
k
k
k
k
k
k
k
z
z
f
y
y
f
x
x
f
1
0
δδδ
ααα
,0

1
∑
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
N
k
k
k
k
k
k
k
z
z
f
y
y
f
x
x
f
δδδ

ααα
m, ,2,1=
α
0),,,( =++++ dttdzzdyydxxf
kkkkkk
α
,0
1
∑
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
N
k
k
k
k
k
k
k

dt
t
f
dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
αααα
m, ,2,1=
α
,0
1
∑
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
N
k

k
k
k
k
k
k
dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
ααα
m, ,2,1=
α

2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ
2.3. Số bậc tự do của cơ hệ
Không gian chiều các vectơ
di chuyển khả dĩ mà các thành phần của nó thoả
mãn m hệ thức. Do đó các vectơ này tạo thành
không gian con 3N – m, hay nói khác đi tập hợp
các vectơ di chuyển khả dĩ có 3N – m vectơ độc lập
Định nghĩa. Số bậc tự do của cơ hệ là số di
chuyển khả dĩ độc lập cực đại của tập hợp các di
chuyển khả dĩ.
Số bậc tự do của cơ hệ phản ánh khả năng thực

hiện các di chuyển của cơ hệ
N3
{ }
kkk
zyx
δδδ
,,
=
k
r

δ

3. Toạ độ suy rộng
3.1. Định nghĩa
Các tham số bất kỳ đủ để xác định vị trí cơ
hệ gọi là các toạ độ suy rộng.
3.2. Liên hệ giữa toạ độ suy rộng và toạ độ đề các
Số các toạ độ suy rộng độc lập bằng 3N - m
), ,,(
21 n
qqq
).,, ,,(
),,, ,,(
),,, ,,(
21
21
21
tqqqzz
tqqqyy

tqqqxx
nkk
nkk
nkk
=
=
=
), ,,(
21 nkk
qqqrr

=

4. Công khả dĩ và lực suy rộng
4.1. Công khả dĩ và công trên di chuyển thực
4.2. Lực suy rộng
4.3. Trường lực thế. Thế năng của cơ hệ

4.1. Công khả dĩ và công trên di chuyển
thực
4.1.1. Công khả dĩ
Định nghĩa Ta gọi công khả dĩ
của lực ký hiệu là được
tính bằng công thức
x
rFA


δδ
=

zZyYxXrFA
δδδϕδδ
++== cos.
F

rd

F

r

δ
ϕ
x
A
δ
y
z

4.1. Công khả dĩ và công trên di chuyển thực
4.1.2.
•
Công trên di chuyển thực
gọi là công của lực trên di chuyển thực hay
công yếu tố của lực
•
Đối với di chuyển thực (của điểm đặt của lực)
diễn ra theo thời gian, nên khi điểm đặt của lực di
chuyển trong khoảng thời gian hữu hạn từ
đến , công của lực sinh ra trên di chuyển

(thực) hữu hạn là
rdFAd


=
′
F

rd

0
M
1
M
10
MM
∫∫∫
++==
′
=
101010
10
MMMMMM
MM
ZdzYdyXdxrdFAdA



4.2. Lực suy rộng
Biểu thức công khả dĩ theo các toạ độ suy rộng

Lực suy rộng
N
FFF

, ,,
21
), ,,(
21 N
rrr

δδδ
∑∑
==
++==
N
k
kkkkkk
N
k
kk
zZyYxXrFA
11
)(.
δδδδδ


,
1
∑
=

∂
∂
=
n
i
i
i
k
k
q
q
x
x
δδ
,
1
∑
=
∂
∂
=
n
i
i
i
k
k
q
q
y

y
δδ
,
1
∑
=
∂
∂
=
n
i
i
i
k
k
q
q
z
z
δδ
∑∑∑
= ==









∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=++=
N
k
n
i
i
i
k
k
i
k
k
i
k
k
N
k
kkkkkk
q
q
z
Z

q
y
Y
q
x
XzZyYxXA
1 11
)(
δδδδδ
∑∑∑
== =
=








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
N

i
ii
n
i
N
k
i
i
k
k
i
k
k
i
k
k
qQq
q
z
Z
q
y
Y
q
x
XA
11 1
δδδ
∑
=









∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
N
k
i
k
k
i
k
k
i
k
ki
q
z

Z
q
y
Y
q
x
XQ
1

4.3. Trường lực thế, Thế năng của cơ hệ
4.3.1. Khái niệm
Trường lực là khoảng không gian trong đó mỗi điểm của
nó có tác dụng lực khi có chất điểm đứng tại vị trí đó
Trường lực thế là trường lực trong đó tồn tạo một hàm
, gọi là hàm lực,
sao cho mỗi lực sinh ra bởi trường được tính theo
công thức
Ví dụ Trường trọng lực:
),,()( zyxFrFF



==
),,,( tzyxUU =
F

,
x
U
X

∂
∂
=
,
y
U
Y
∂
∂
=
.
z
U
Z
∂
∂
=
CPzU +−=

4.3. Trường lực thế, Thế năng của cơ hệ
4.3.2. Thế năng của cơ hệ
•
Định nghĩa. Hàm số được gọi
là thế năng của cơ hệ.
•
Công của lực trong trường lực thế
•
Thế năng của cơ hệ bằng công của lực tác dụng
lên cơ hệ sinh ra khi di chuyển cơ hệ từ vị trí
cuối về vị trí đầu

)()(
0
00
0
0
0
MUMUdUdz
z
U
dy
y
U
dx
x
U
A
ZdzYdyXdxA
MMMM
MM
MM
MM
−==
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂

=
++=
∫∫
∫
), ,,(
21 N
rrrU

−=Π
00
0 MMMM
ACUUA =Π⇒+Π−=−=

4.3. Trường lực thế, Thế năng của cơ hệ
4.3.3. Biểu thức của lực suy rộng trong trường lực
thế.
Tồn tại hàm
Thật vậy,
),, ,,(
21
tqqqUU
n
=
ni
q
U
Q
i
i
, ,2,1, =

∂
∂
=
∑
=








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
N
k
i
k
k
i
k
k

i
k
ki
q
z
Z
q
y
Y
q
x
XQ
1
i
N
k
i
k
ki
k
ki
k
k
i
q
U
q
z
z
U

q
y
y
U
q
x
x
U
Q
∂
∂
=








∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+

∂
∂
∂
∂
=
∑
=1
,
k
k
x
U
X
∂
∂
=
,
k
k
y
U
Y
∂
∂
=
k
k
z
U
Z

∂
∂
=
i
i
q
Q
∂
Π∂
−=

5. Liên kết lý tưởng
5.1.Định nghĩa. Liên kết lý tưởng là liên kết mà
tổng công của tất cả các phản lực liên kết trên
mọi di chuyển khả dĩ bằng không
Ý nghĩa Khái niệm liên kết lý tưởng:
•
Mô tả các phương trình chuyển động không cần
đề cập tới các phản lực liên kết, do đó làm giảm
một cách rất cơ bản các ẩn của bài toán.
0)(
∑∑
==
k
kk
k
k
rRRA



δδ

5. Liên kết lý tưởng
5.2. Mô hình liên kết lý tưởng trong thực tế
5.2.1. Liên kết giữa các chất điểm tạo thành vật rắn tuyệt đối là
liên kết lý tưởng
5.2.2. Liên kết tựa trơn giữa hai vật rắn là liên kết lý tưởng;
5.2.3. Dây mềm không dãn, có trọng lượng không đáng kể vắt
qua ròng rọc là liên kết lý tưởng nếu bỏ qua sự trượt giữa
dây và ròng rọc và ma sát ở ổ trục quay.
5.2.4. Các khớp động nối hai vật chuyển động là liên kết lý
tưởng nếu bỏ qua ma sát giữa các mặt tựa của chúng (trơn
tuyệt đối) hoặc bỏ qua sự trượt giữa chúng(nhám tuyệt đối)
v.v…
5.2.5. Đối với các liên kết không thoả mãn các điều kiện trên:
tách phản lực liên kết thành:
•
loại có tổng công khả dĩ bằng không gọi là các PLLK
•
loại kia có tổng công khả dĩ khác không ta xem chúng là các
lực hoạt động để tính toán.
Cách làm đó được gọi là lý tưởng hoá liên kết.

5. Liên kết lý tưởng
-
Vật rắn tuyệt đối
-
Các khớp động
k
B

k
A
O
( )
( )
.
)(
∑∑
∑∑
=−=
=−=+=
′
kkABAA
BAABBAA
BdAFrrdF
rdrdFrdFrdFAd
kkkk
kkkkkkk









kkA
BAF
k

λ
=

0)(
2
1
2
==
==
′
⇒
∑
∑
kkk
kkA
BAd
BdAFAd
k
λ

R

R
′

r

δ
r
′


δ
R

R
′

r

δ
r
′

δ
( )
0=
′
+=
′′
+=
′
rRRrRrRAd






δδδ
0=

′′
+=
′
rRrRAd




δδ