Chương IV: PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE (Phần 2) pptx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (165.46 KB, 29 trang )

CHƯƠNG IV
PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE
§3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
•
Vị trí cân bằng của cơ hệ.
•
Nguyên lý di chuyển khả dĩ
•
Ví dụ

§3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
1. Vị trí cân bằng của cơ hệ. Vị trí cân bằng của cơ hệ
là vị trí cơ hệ sẽ luôn luôn ở tại đó tại mọi thời điểm nếu
tại thời điểm ban đầu nó chiếm vị trí đó và có vận tốc
của mọi chất điểm bằng không
2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ.
Để vị trí của hệ là vị trí cân bằng, điều kiện
cần và đủ là tại vị trí đó tổng công của tất cả các lực
hoạt động trên mọi di chuyển khả dĩ bằng không
3. Các ví dụ.
,
0
kk
rr

=
0
1
=
∑

=
k
N
k
k
rF


δ

3. Các ví dụ
Ví dụ 1. Xác định quan hệ giữa lực ép và
lực quay của đòn trong máy ép.
Biết
-
Cơ hệ khảo sát: máy ép
-
Các lực hoạt động
-
Áp dụng NLDCKD
P

P

Q

Q

P


ha,
),,(
21
QPP


∑
=
,0
kk
rF


δ
02
=−
sQPa
δδϕ
δϕ
π
δ
2
h
s
=
0
2
2
=−
δϕ

π
δϕ
h
QPa
Q
a
h
P
π
4
=

3. Các ví dụ
Ví dụ 2. Tìm quan hệ giữa các lực
trong hệ để hệ cân bằng
Bai giai
Cơ hệ khảo sát: ròng rọc mang các
vật nặng A, B, C.
Các lực hoạt động:
Hệ có hai bậc tự do, các toạ độ suy
rộng
Các phương trình liên kết
α
β
1
P

2
P


Q

A
B
C
D
A
s
B
s
C
s
CB
ys ,
),,(
21
QPP


,2
1
csss
CBA
=++
CC
ycs
=+
2
0sinsin.
21

=++
CBA
yQsPsP
δβδαδ
,02
=++
CBA
sss
δδδ
,
CC
ys
δδ
=
),(
2
1
BAC
ssy
δδδ
+−=
0)(
2
1
sinsin.
21
=+−+
BABA
ssQsPsP
δδβδαδ

,0
2
sin
1
=−
Q
P
α
,0
2
sin
2
=−
Q
P
β
,
sin2
1
α
Q
P
=⇒
.
sin2
2
β
Q
P =

3. Các ví dụ
Ví dụ 4. Xác định lực Q để hệ cân bằng và các
phản lực liên kết trong cơ cấu culit
Bài giải
•
Tính lực Q.
-
Cơ hệ khảo sát: culit. Hệ có một bậc tự do, toạ
độ suy rộng
-
Các lực hoạt động
-
Áp dụng NLDCKD
P

Q

δϕ
K
C
ϕ
ϕ
.,QP


0
=+−=
C
yPQRA
δδϕδ

ϕϕ
ltgtgOKy
C
==
.
δϕ
ϕ
δ
2
cos
l
y
C
=
0
cos
2
=+−
δϕ
ϕ
δϕ
l
PQR
P
R
l
Q
ϕ
2
cos

=

3. Các ví dụ
•
Tính các phản lực tại K
-
Cơ hệ khảo sát: Cu lit đã giải phóng liên kết K
•
Hệ có 3 bậc tự do. Các toạ độ suy rộng
•
Các lực hoạt động
•
Áp dụng NLDCKD:
–
Các di chuyển khả dĩ độc lập
A
X

P

Q

K
C
ϕ
K
M
ψ
C
s

δ
A
O
),,(
ψϕ
A
s
MXQP
A
,,,



( )
0,0,0
1
==≠=
C
s
δδψδϕδ
( )
0,0,0
2
=≠==
C
s
δδψδϕδ
( )
0,0,0
2

≠===
C
s
δδψδϕδ
0.
2
=+−=
ϕδψδψδ
tglXMA
A
( )
0sincos
3
=−=
AA
sPXA
δϕϕδ
,
ϕ
PtgX
A
=
.
2
ϕ
PltgM =

3. Các ví dụ
•
Các di chuyển khả dĩ

( )
0,0,0
1
==≠=
C
s
δδψδϕδ
A
X

P

Q

K
C
ϕ
K
M
ψ
δψ
A
O
A
X

P

Q


K
C
ϕ
K
M
ψ
δϕ
A
O
A
X

P

Q

K
C
ϕ
K
M
ψ
A
O
( )
0,0,0
2
=≠==
C
s

δδψδϕδ
( )
0,0,0
2
≠===
C
s
δδψδϕδ

CHƯƠNG IV
PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE
§4. Phương trình Lagrange loại hai
1.Rút ra phương trình Lagrange loại II
2.Biểu thức động năng trong các toạ độ suy
rộng
3.Phương trình Lagrange loại hai trong
trường hợp lực có thế.
4.Các ví dụ
5.Các tích phân chuyển động.

§4. Phương trình Lagrange loại hai
1. Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai.
Cơ hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng
n
qqq , ,,
21
∑
=
=−
N

k
kkkk
rwmF
1
0)(


δ
∑ ∑
= =
=
N
k
N
k
kkkkk
rFrwm
1 1



δδ
∑
=
∂
∂
+
∂
∂
=

n
i
i
i
kk
k
q
q
r
t
r
r
1




i
k
i
k
q
r
q
r
∂
∂
=
∂
∂

⇒




i
k
i
k
q
r
q
r
dt
d
∂
∂
=
∂
∂
⇒


∑
=
∂∂
∂
+
∂∂
∂

=
∂
∂
n
j
j
ij
k
i
k
i
k
q
qq
r
qt
r
q
r
dt
d
1
22


∑
=
∂
∂
+

∂
∂
=
n
j
j
j
kk
k
q
q
r
t
r
r
1




=
∂
∂
i
q
r


∑
=

∂∂
∂
+
∂∂
∂
n
j
j
ji
k
i
k
q
qq
r
tq
r
1
22



1.Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai.
Hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng
∑∑ ∑ ∑∑∑
== = ===
=









∂
∂
=
∂
∂
=
n
i
ii
N
k
n
i
i
i
k
N
k
k
n
i
i
i
k
k

N
k
kk
qQq
q
r
Fq
q
r
FrF
11 1 111
δδδδ






i
i
k
N
k
k
Q
q
r
F
=
∂

∂
∑
=


1
∑
=
=
N
k
kkk
rwm
1
W

δ
,
dt
rd
dt
vd
w
kk
k



==
∑

=
∂
∂
=
n
i
i
i
k
k
q
q
r
r
1
δδ


∑∑ ∑∑ ∑
= = == =
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
=
n

i
N
k
N
k
i
i
k
kki
i
k
kk
N
k
n
i
i
i
kk
k
q
q
r
dt
d
rmq
q
r
rm
dt

d
q
q
r
dt
rd
m
1 1 11 1
W
δδδ









∑∑ ∑
= = =
∂
∂
−
∂
∂
=
n
i
N

k
N
k
i
i
k
kki
i
k
kk
q
q
r
rmq
q
r
rm
dt
d
1 1 1
W
δδ











1.Rút ra hệ phương trình Lagrange loại hai.
Hệ hô lô nôm, giữ, lý tưởng
∑
=
=
N
k
kk
rmT
1
2
2
1


∑
=
∂
∂
=
∂
∂
N
k
i
i
i
k

kk
q
T
q
r
rm
1





∑
=
∂
∂
=
∂
∂
N
k
ii
k
kk
q
T
q
r
rm
1





∑ ∑
= =
∂
∂
−
∂
∂
=
n
i
n
i
i
i
i
i
q
q
T
q
q
T
dt
d
1 1
W

δδ

∑∑ ∑
== =
=
∂
∂
−
∂
∂
n
i
ii
n
i
n
i
i
i
i
i
qQq
q
T
q
q
T
dt
d
11 1

δδδ

∑
=
=








−
∂
∂
−
∂
∂
n
i
ii
ii
qQ
q
T
q
T
dt
d

1
0
δ

niQ
q
T
q
T
dt
d
i
ii
, ,2,1,
==
∂
∂
−
∂
∂


2. Biểu thức động năng trong các toạ độ suy
rộng
Định nghĩa động năng
.
2
1
1
2

∑
=
=
N
k
kk
vmT
),, ,,(
21
tqqqrr
nkk

=
∑
∂
∂
+
∂
∂
=
i
i
kk
k
q
q
r
t
r
v




,
ji
qq

,, ,2,1, nji
=
i
q

∑






∂
∂
2
t
r
m
k
k

2
1

1 1,1 1,1
2
2
1
2
1
2
1
2
1






∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
==
∑

∑∑∑∑∑
=
= == ==
t
r
m
q
q
r
t
r
mqq
q
r
q
r
mvmT
k
N
k
k
N
k
i
i
kk
n
ji
k
N

k
ji
j
k
i
k
n
ji
k
N
k
kk





2
11, 11, 1
2
1
2
1
2
1







∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∑∑∑∑∑
== == =
t
r
mq
q
r
t
r
mqq
q
r
q
r
mT
k

N
k
k
n
ji
i
i
kk
N
k
k
n
ji
N
k
ji
j
k
i
k
k






2. Biểu thức động năng trong các toạ độ suy
rộng
Động năng

Trường hợp liên kết dừng
Áp dụng định lý Ơ le về dạng thức toàn phương
,
1
∑
=
=
∂
∂
∂
∂
N
k
ij
j
k
i
k
k
a
q
r
q
r
m

,
1
i
i

kk
N
k
k
b
q
r
t
r
m
=
∂
∂
∂
∂
∑
=

0
2
1
2
1
T
t
r
m
k
N
k

k
=






∂
∂
∑
=

,
012
TTTT ++=
∑ ∑ ∑
= = =




=




∂
∂
∂

∂
=
n
ji
N
k
n
ji
jiijji
j
k
i
k
k
qqaqq
q
r
q
r
mT
1, 1 1,
2


∑∑ ∑
== =
=





∂
∂
∂
∂



=
n
i
iii
i
kk
n
i
N
k
k
qbq
q
r
t
r
mT
11 1
1


0

01
==
TT
0
=
∂
∂
t
r
k

2
TT =
∑
=
=
∂
∂
n
i
i
i
Tq
q
T
1
2



3. Phương trình Lagrange loại hai trong trường
hợp lực có thế.
Biểu thức của lực suy rộng
Chứng minh
i
i
q
Q
∂
Π∂
−=
,
k
k
x
X
∂
Π∂
−=
,
k
k
y
Y
∂
Π∂
−=
k
k
z

Z
∂
Π∂
−=
k
k
k
k
k
N
k
k
kkkkk
N
k
k
z
z
y
y
x
x
zZyYxXA
δδδδδδδ
∂
Π∂
+
∂
Π∂
+

∂
Π∂
−=++=
∑∑
==
11
,
1
∑
=
∂
∂
=
n
i
i
i
k
k
q
q
x
x
δδ
,
1
∑
=
∂
∂

=
n
i
i
i
k
k
q
q
y
y
δδ
∑
=
∂
∂
=
n
i
i
i
k
k
q
q
z
z
1
δδ
.

111 1
1111
i
n
i
ii
n
i
i
i
n
i
N
k
i
k
ki
k
ki
k
k
n
i
i
i
k
k
n
i
i

i
k
k
n
i
i
i
k
N
k
k
qQq
q
q
q
z
xq
y
xq
x
x
q
q
x
z
q
q
x
y
q

q
x
x
A
δδδ
δδδδ
∑∑∑∑
∑∑∑∑
=== =
====
=
∂
Π∂
−=






∂
∂
∂
Π∂
+
∂
∂
∂
Π∂
+

∂
∂
∂
Π∂
−=
=



∂
∂
∂
Π∂
+
∂
∂
∂
Π∂
+
∂
∂



∂
Π∂
−=

3. Phương trình Lagrange loại hai trong trường
hợp lực có thế.

Đặt
i
n
i
i
i
n
i
i
q
q
qQ
δδ
∑∑
==
∂
Π∂
−=
11
iii
qq
T
q
T
dt
d
∂
Π∂
−=
∂

∂
−
∂
∂

ni , ,2,1
=
0
=
∂
Π∂
i
q

,
Π−=
TL
,
ii
q
T
q
L

∂
∂
=
∂
∂
., ,2,1 ni

=
0
)()(
=
∂
Π−∂
−
∂
Π−∂
ii
q
T
q
T
dt
d

0
=
∂
∂
−
∂
∂
⇒
ii
q
L
q
L

dt
d

ni , ,2,1
=

4. Các ví dụ
Ví dụ 1. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của cơ
cấu tay quay thanh truyền
-Khảo sát cơ cấu tay quay thanh truyền
-
Cơ cấu có một bậc tự do và toạ độ suy rộng
-
Các lực hoạt động
A
O
B
ϕ
ψ
M
F

l
),( FM

ptOA
TTT
+=
,
2

1
2
1
2
2
2
B
vmJ
+=
ω
,
2
1
ρ
mJ
=
,
ϕω

=
BB
xv

=
,coscos
ψϕ
lrx
B
+=
ϕψ

2
2
2
sin1cos
l
r
−=
ϕ
2
2
2
sin
2
1
l
r
−≈








−+=
ϕϕ
2
2
2

sin
2
1cos
l
r
lrx
B






−−=−−=
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
2sin
2
sincossinsin
2
2
l
r
r
l
r
lrv
B


2. Các ví dụ

Ví dụ 1.
2
2
2
2
2
1
2sin
2
sin
2
1
ϕϕϕρ















−+=
l

r
rmmT
,
B
xFMA
δδϕδ
+=
=
B
x
δ
δϕϕϕ






−−
2sin
2
sin
l
r
r
δϕϕϕδϕδ







−−=
2sin
2
sin
l
r
FrMA






−−=
ϕϕ
ϕ
2sin
2
sin
l
r
FrMQ
ϕ
ϕϕ
Q
TT
dt
d

=
∂
∂
−
∂
∂

=
∂
∂
ϕ

T
ϕϕϕρ















−+

2
2
2
2
1
2sin
2
sin
l
r
rmm
.2coscos2sin
2
sin2
2sin
2
sin
22
2
2
2
2
2
1
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕρ
ϕ










−






−+
+














−+=

∂
∂
l
r
l
r
rm
l
r
rmm
T
dt
d

2. Các ví dụ
Ví dụ 1.
=






−







−+
+














−+
22
2
2
2
2
2
1
2coscos2sin
2
sin2
2sin
2
sin

ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕρ


l
r
l
r
rm
l
r
rmm






−−=
ϕϕ
2sin
2
sin
l
r
FM

2. Các ví dụ
Ví dụ 2. Phương trình vi phân chuyển
động của con lắc elliptic

-
Hệ có hai bậc tự do, chọn các toạ độ
suy rộng là
-
Các lực hoạt động
-
Lập phương trình Lagrange
x
O
y
A
ϕ
P

1
P

B
F

FPP

,,
21
,
x
Q
x
T
x

T
dt
d
=
∂
∂
−
∂
∂

ϕ
ϕϕ
Q
TT
dt
d
=
∂
∂
−
∂
∂

=+=
qcct
TTT
2
22
2
11

2
1
2
1
vmvm
+
xv

=
1
{ }
BB
yxv


,
2
=

2. Các ví dụ
Ví dụ 2.
ϕ
sinlxx
B
+=
ϕϕ
cos


lxx

B
+=
ϕ
cosly
B
=
ϕϕ
sin


ly
B
−=
ϕδϕδ
sinly
B
−=
222222
2
cos2
ϕϕϕ


lxlxyxv
BB
++=+=
)cos2(
2
1
2

1
222
2
2
1
ϕϕϕ


lxlxmxmT
+++=
)cos2(
2
1
)(
2
1
22
2
2
21
ϕϕϕ


lxlmxmmT
+++=
B
yPxFA
δδδ
2
+=

ϕδϕδ
sin
2
lPxF
−=
,FQ
x
=⇒
ϕ
ϕ
sin
2
lPQ
−=
,0=
∂
∂
x
T
ϕϕ
cos)(
221



lmxmm
x
T
++=
∂

∂
ϕϕ
ϕ
sin
2


xlm
T
−=
∂
∂
ϕϕ
ϕ



2
2
cos lxlm
T
+=
∂
∂

2. Các ví dụ. Ví dụ 2.
ϕϕϕϕ
sincos)(
2
2221




lmlmxmm
x
T
dt
d
−++=
∂
∂
ϕϕϕϕ
ϕ



2
222
sincos lmxlmxlm
T
dt
d
+−=
∂
∂
Flmlmxmm =−++
ϕϕϕϕ
sincos)(
2
2221



ϕϕϕϕϕϕϕ
sinsinsincos
22
2
222
lPxlmlmxlmxlm −=++−




Flmlmxmm =−++
ϕϕϕϕ
sincos)(
2
2221


ϕϕϕ
sincos glx
−=+



2. Các ví dụ. Ví dụ 3.
Vi du 3. Thiết lập phương trình vi phân
chuyển động của rôbôt phẳng hai khâu
Cho biết:Khâu 1: Khâu 2:
Các lực điều khiển

Bài giải
-
Cơ hệ khảo sát: rôbốt 2 khâu.
Các toạ độ suy rộng
-
Các lực
-
Áp dụng phương trình Lagrange
O
x
y
a
)(tu
1
C
2
C
F

11
, Jm
22
, Jm
)(),( tMtF

( )
)(),(,,
21
tMtFPP


),( u
ϕ
ϕ
( )
2
2
2
22
22
1121
2
1
2
1
2
1
ϕϕ

JvmamJTTT
C
+++=+=
ϕ
cos
2
ux
C
=
ϕ
sin
2

uy
C
=

2. Các ví dụ. Ví dụ 3.
Áp dụng phương trình Lagrange
+ Tính các lực suy rộng
2222
2
2
2
2
2
ϕ


uuyxv
CCC
+=+=
( ) ( )
2
2
22
2
2
2
22
2
2
121

2
1
2
1
2
1
2
1
umumJumumamJJT




++=++++=
ϕϕ
constamJJJ
=++=
2
121
:)0,0(
=≠
u
δδϕ
.)coscos()(
,coscos)(
211
211
δϕδϕϕϕδ
ϕδϕϕδϕδϕδ
ϕ

QgumgamMA
gumgamMA
=−−=
−−=
:)0,0(
≠=
u
δδϕ
uQugmFA
u
δδϕδ
=−= )sin(
22
,cos)(
21
ϕ
ϕ
gumamMQ
+−=
ϕ
sin
2
gmFQ
u
−=
,)(
2
2
ϕ
ϕ



umJ
T
+=
∂
∂
,2)(
2
2
2
ϕϕ
ϕ




uumumJ
T
dt
d
++=
∂
∂
,
2
um
u
T



=
∂
∂
um
u
T
dt
d


2
=
∂
∂

2. Các ví dụ. Ví dụ 3.
Áp dụng phương trình Lagrange
,
2
2
ϕ

um
u
T
=
∂
∂
0

=
∂
∂
ϕ
T
=++
ϕϕ



uumumJ
2
2
2
2)(
ϕ
cos)(
21
gumamM
+−
um

2
2
2
ϕ

um
−
ϕ

sin)(
2
gmtF
−=

5. Các tích phân chuyển động
•
Khái niệm
-
Tích phân chuyển động
-
Đại lượng bảo toàn
5.1. Tích phân năng lượng (sự bảo toàn cơ năng).
5.1.1. Rút ra tích phân năng lượng.
)(),( tqqtqq
iiii

==
consttqtqf
ii
=))(),((

),( qqff

=
iii
qq
T
q
T