chuong 1. Bo tro phep tinh vi phan va tich phan.ppt

To¸n cao cÊp 2
Ch­¬ng 1. Bæ trî phÐp tÝnh vi ph©n & tÝch
ph©n hµm 1 biÕn sè


1.1. Hàm 1 biến số:
1.1.1. Các khái niệm:
a) Định nghĩa hàm 1 biến số:

Tập xác định: D
f
= X

Tập giá trị đồ thị:

đồ thị:
RX

)x(fyx
RX:f
=


{ }
)x(fy:RyR
f
==
{ }
ff
Dx);x(fy:)y;x(G

==


1.1.1. C¸c kh¸i niÖm(tiÕp)
b) VÝ dô:
VÝ dô 1:
VÝ dô 2: y = 2x+ 1. D
f
= R
f
= R
x)x(fy
==
+
==
RR;RD
ff
o
X
Y


1.1.1. Các khái niệm (tiếp)
c) Một số dáng điệu của hàm số:

Hàm bị chặn:
y = f(x) bị chặn trên U

Hàm bị chặn trên:
Hàm bị chặn dưới:

Hàm đơn điệu:
y =f(x) tăng (giảm) trên U
f
D

UxK)x(f:0K
>
UxK)x(f

UxK)x(f

f
DU
)x(f)()x(fxx:Ux;x
212121
><<


1.1.1. C¸c kh¸i niÖm (tiÕp)

Hµm f(x) kh«ng tăng (giảm) trªn

Hµm ch½n (lÎ):
Hµm ch½n (lÎ) trong U nÕu
VÝ dô:
y = sin x lÎ trªn R
y =x
2
+ 2 ch½n trªn R

f
DU ⊂
)x(f)()x(fxx:Ux;x
212121
≤≥⇒<∈∀



−=−=−
∈−⇒∈
))x(f)x(f()x(f)x(f
UxUx


1.1.1. C¸c kh¸i niÖm (tiÕp)

Hµm tuÇn hoµn:
y = f(x) gäi lµ tuÇn hoµn trªn U
t > 0: f(x + t) = f(x)
Chu kú: T > 0
VÝ dô: y =sin x; y =cosx T = 2
y =tgx; y = cotgx T =
π
π


1.1.2. C¸c phÐp to¸n trªn hµm sè:
a) C¸c phÐp to¸n sè häc:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f - g)(x) = f(x) - g(x)

(f . g)(x) = f(x) . g(x)
b) Hîp hµm:
u = g(x) cã D
g
; R
g

y = f(u) cã
)x(g
)x(f
)x(
g
f
=
gf
RD
⊃


1.1.2. Các phép toán trên hàm số:

Hàm hợp f o g:
(f o g) (x) = f(g(x))
c) Ngược hàm:
định lý: y = f(x) tăng (giảm) trong D
f
thì
tăng (giảm) trong R
f
f

f
1
Ry
Dx
)y(fx)x(fy


==

ff
1
DR:f


1
f



1.1.3. C¸c hµm s¬ cÊp c¬ b¶n:
a) Hµm lòy thõa:
b) Hµm mò:
c) Hµm l«garit y =log
a
x
d) Hµm l­îng gi¸c:

y = sinx

y = cosx


y = tgx

y = cotgx
e) Hµm s¬ cÊp
)R(xy
∈α=
α
)1a0(ay
x
≠<=
1a0
≠<


1.2. Giíi h¹n vµ sù liªn tôc cña hµm
1 biÕn sè:
1.2.1. Bæ sung giíi h¹n cña d y sè:·
a) ®Þnh nghÜa:
D·y héi tô:
b) TÝnh chÊt:

TC1(duy nhÊt):

TC2 (giíi néi):
{ }
....)3;2;1n(Rxx
n
n
n

=∈
ε<−⇒≥∀>∃>ε∀⇔
=
∞→
axnn:0n,0
axLim
no0
n
n


1.2.1. Bæ sung giíi h¹n cña d y sè:·

TC3:
byLim
axLim
n
n
n
n
=
=
∞→
∞→
ba)yx(Lim
nn
n
+=+
∞→
ca)cx(Lim

n
n
=
∞→
ab)yx(Lim
nn
n
=
∞→
0b;b/a)y/x(Lim
nn
n
≠=
∞→
banyx
nn
≥⇒∀≥
1)
2)
3)
4)
5)


1.2.1. Bổ sung giới hạn của d y số (tiếp) ã
:

TC4:

D y đơn điệu:ã tăng (giảm) nếu

D y bị chặn:ã bị chặn






=
=


ayLim
axLim
n
n
n
n
nyzx&
nnn

azLim
n
n
=

{ }
n
n
x

nx)(x
1nn

+
{ }
n
n
x
nMx:0M
n
<>


1.2.1. Bæ sung giíi h¹n cña d y sè ·
(tiÕp)

BÞ chÆn trªn:

BÞ chÆn d­íi:

TC5:

(i)

(ii)


1.2.2. Giíi h¹n cña hµm sè:
a) §Þnh nghÜa:
VÝ dô 1:

G:
)ta;ta()a(V:Ra
t
+−=∈
)L)x(fax0(x:00
L)x(fLim
ax
ε<−⇒δ<−<∀>δ∃>ε∀⇔
=
→
5)3x2(Lim
1x
=+
→
ε<δ<−=−+⇒δ<−<
>ε=δ∃>ε∀
.21x253x21x0
:02/;0


1.2.2. Giíi h¹n cña hµm sè (tiÕp):
VÝ dô 2:
Gi¶i:
{ }
L)x(fLimaxlimx)1.1(
n
n
n
n
n

n
=⇒=∀⇔
∞→∞→
0x
)x(flimCMR.
x
1
cos)x(f
→
∃=
0
n2
1
y;0
n2
2
1
x
nn
→
π
=→
π+
π
=
)y(fLim10)x(fLim
n
n
n
n

∞→∞→
=≠=


1.2.2. Giíi h¹n cña hµm sè (tiÕp):

Chó ý
VÝ dô 3:





∈



≠
=∃⇒∈
→
f
ax
f
Da
3VD)a(f
1VD)a(f
)x(fLimDa




=
≠
=
0x1
0xx
)x(f
1)0(f0)x(fLim
1x
=≠=
→




1.2.2. Giíi h¹n cña hµm sè (tiÕp):

ý nghÜa h×nh häc:
ε+<<ε−⇒



≠
δ+<<δ−
>δ∃>ε∀⇔
=
→
L)x(fL
ax
axa
:0;0

L)x(fLim
ax
a - a a +
L -
L
L +
O
δ
δ
ε
ε


1.2.2. Giíi h¹n cña hµm sè (tiÕp):
b) Giíi h¹n mét phÝa:
VÝ dô 4:
)x(fLim)x(fLim)a(f
ax
ax
ax
>
→
→
+
==
+
)x(fLim)x(fLim)a(f
ax
ax
ax

<
→
→
−
==
−
L)a(f)a(fL)x(fLim
ax
==⇔=∃
−+
→





<−
=
>
==
0x1
0x0
0x1
signx)x(f
1)x(fLim)0(f
0x
==
+
→
+

1)x(fLim)0(f
0x
−==
−
→
−


1.2.2. Giíi h¹n cña hµm sè (tiÕp):
c) Më réng kh¸i niÖm giíi h¹n:
•
Giíi h¹n ë v« tËn:
•
Giíi h¹n v« tËn:
)L)x(fMx(x:0M,0
L)x(fLim
x
ε<−⇒>∀>∃>ε∀⇔
=
∞→
))x(fMax0(x:0M,0
)x(fLim
ax
ε>⇒<−<∀>∃>ε∀⇔
∞=
→


1.2.3. ®¹i l­îng v« cïng bÐ vµ v«
cïng lín.

a) V« cïng bÐ:

®Þnh nghÜa:

VÝ dô:
•
TÝnh chÊt:
0)x(flimaxkhiVCB)x(f
ax
=⇔→
→
2
x
1
)x(f =
x)x(g;xsin)x(f
==


1.2.3. đại lượng vô cùng bé và vô
cùng lớn (tiếp)
f(x); g(x) VCB khi

TC1: f(x) g(x) là VCB khi

TC2: f(x) là hàm bị chặn; g(x) là VCB khi
f(x).g(x) là VCB khi

Hệ quả:
f(x). g(x) là VCB khi

f(x)
n
là VCB với n > 0 khi

ax

ax
ax
ax
ax
ax


1.2.3. đại lượng vô cùng bé và vô
cùng lớn (tiếp)

So sánh 2 vô cùng bé: f, g là 2 VCB khi
+/ Nếu
f(x) là VCB bậc cao hơn g(x); ký hiệu f(x) =o(g(x)) khi
+/ Nếu
f(x) là VCB cùng bậc với g(x); ký hiệu f(x) = 0(g(x)) khi
đặc biệt khi C = 1 : f(x) tương đương với g(x),
ký hiệu f(x) ~ g(x) khi
ax

0
)x(g
)x(f
Lim
ax

=

0C
)x(g
)x(f
Lim
ax
=

ax
ax
ax


1.2.3. ®¹i l­îng v« cïng bÐ vµ v«
cïng lín (tiÕp)
+/ : f(x) vµ g(x) lµ 2 VCB kh«ng so s¸nh ®­îc.
)x(g
)x(f
Lim
ax→
∃


Mèi liªn hÖ gi÷a VCB vµ hµm cã
giíi h¹n h÷u h¹n:
axkhiVCB)x(g
)x(gL)x(fL)x(fLim
ax
→

+=⇔=∃
→


b) V« cïng lín (VCL)

§Þnh nghÜa: f(x) lµ VCL khi nÕu

TÝnh chÊt: T­¬ng tù nh­ VCB
ax →
+∞=
→
)x(fLim
ax