De thi HSG cap truong Toan 6 (THCS Hoai Chau)

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ HOÀI CHÂU
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN: TOÁN 6
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

C©u 1:(2®) T×m c¸c sè tù nhiªn x, y sao cho: (2x + 1)(y – 5)=12
C©u 2: (4®) a) TÝnh tổng: S=
2 2 2 2 2

1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
+ + + + +
b) Cho S = 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
2004
b1) TÝnh S
b2) Chøng minh S

126
C©u 3: (2 ®iĨm) T×m bèn ch÷ sè tËn cïng cđa sè 5
1992
C©u 4: (2®) Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3). Chøng minh r»ng p + 8 lµ hỵp sè
C©u 5: (3®) a/ T×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n 2n + 7 chia hÕt cho n + 1.
b/ Chøng minh r»ng ph©n sè sau lµ ph©n sè tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n:
12 1
30 2
n
n
+

+
.
C©u 6: (3 ®iĨm) T×m c¸c sè nguyªn x, y biÕt r»ng
x 2 1
2 y 2
− =
C©u 7: (4®) Cho gãc AMC = 60
0
. Tia Mx lµ tia ®èi cđa tia MA, My lµ ph©n gi¸c cđa gãc
CMx, Mt lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc xMy.
a) TÝnh gãc AMy.
b) Chøng minh r»ng MC vu«ng gãc víi Mt.
ĐáP áN
Câu 1: Vì x, y là các số tự nhiên và (2x + 1)(y 5) = 12 nên 2x+1; y 5 là các ớc của 12 (0,5đ)
Vì x là số tự nhiên nên 2x+1 số tự nhiên lẻ nên 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3
(0,5đ)
Ta có
2x + 1 1 3 0,5đ
y 5
12 4
x 0 1
y 7 9
Vậy (x,y)
{ }
(0,17);(1;9)
(0,5đ)
Câu 2: (4đ)
a) S =
2 2 2 2 2

1.2 2.3 3.4 98.99 99.100
+ + + + +

=
1 1 1 1 1
2

1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

ữ

+ + + + +
(0,5đ)
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 2 2 3 3 4 98 99 99 100

+ + + + +
ữ

(0,5đ)
=
1 1
2
1 100


ữ

= 2.
99
100
=
99 49
1
50 50
=
(0,5đ)
b) b1) Ta có S =5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
2004
5S = 5
2
+ 5
3
+5
4
+ +5
2005
(0,25đ)
5S S = (5
2
+ 5
3
+5
4

+ +5
2005
) (5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
2004
) (0,5đ)
4S = 5
2005
5 (0,25đ)
Vậy S =
2005
5 5
4

(0,5đ)
b2) S = (5 + 5
4
) + (5
2
+ 5
5
) +(5
3
+ 5
6
) + + (5
2001

+5
2004
) (0,25đ)
S = 5(1 + 5
3
) + 5
2
(1 + 5
3
) + 5
3
(1 + 5
3
) + + 5
2001
(1 + 5
3
) (0,25đ)
S = 126.(5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
2001
) (0,25đ)
Vì 126

126 S

126 (0,25đ)

Câu 3: Ta có 5
4
= 0625, số 0625 nâng lên lũy thừa nào thì tận cùng cũng bằng 0625 (1đ)
Do đó 5
1992
= (5
4
)
498
= 0625
498
= 0625 (1đ)
Câu 4: P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P có dạng 3k + 1; 3k + 2 (k

N
*
) (0,5đ)
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài (0,5đ)
Suy ra p = 3k + 1, suy ra p + 8 = 3k + 9

3 (0,5đ)
Vậy p + 8 là hợp số (0,5đ)
Câu 5: a) Với n . Ta có 2n + 7

n + 1 2(n + 1) + 5

n + 1 (0,5đ)
5

n + 1 n + 1 Ư(5) (0,5đ)

n + 1
{ }
1;5
n
{ }
0;4
(0,5đ)
b) Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2 (0,5đ)
( ) ( )
5 12 1 2 30 2 1 1 + + = =n n d d
(0,5đ)
Vậy phân số
12 1
30 2
n
n
+
+
tối giản với mọi số tự nhiên n (0,5đ)
Câu 6: Quy đồng mẫu ta đợc
xy 4 y
2y 2y

=
(0,5đ)
Suy ra xy 4 = y suy ra y(x 1) = 4 (0,5đ)
Vì x, y là các số nguyên nên y; x 1 là các ớc của 4. (0,5đ)
Ta có
y 1
1

2
2
4
4
1,5đ
x 1
4
4
2
2
1
1
x 5
3
3
1
2 0
Câu 7: Hình vẽ: (0,5đ) đ
a) Tia Mx là tia đối của tia MA góc AMx là góc bẹt:
ã
0
180AMx =
MC nằm giữa MA và Mx (0,5đ)

ã
ã
ã
AMC CMx AMx+ =
hay
ã

0 0
60 180CMx+ =

ã
0 0 0
180 60 120CMx = =
(0,5đ)
My là tia phân giác của góc CMx nên My nằm giữa MC và Mx và
ã
ã
ã
0 0
1 1
120 60
2 2
xMy yMC xMC= = = =
(0,5đ)
Vì góc AMx là góc bẹt nên My nằm giữa MA và Mx (0,5đ)
nên:
ã
ã
ã
+ =AMy xMy AMx
thay số:
ã
0 0
60 180+ =AMy

ã
0 0 0

180 60 120 = =AMy
(0,5đ)
b) Vì tia Mt là phân giác của góc xMy nên:
ã
ã
ã
0 0
1 1
60 30
2 2
xMt tMy xMy= = = =
(0,5đ)
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Mx, vì
ã
ã
0 0
xMt xMC(30 120 )< <
nên tia Mt nằm giữa Mx và MC
nên
ã
ã
ã
ã ã
0 0 0
xMt tMC xMC 30 tMC 120 tMC 90+ = + = =
(0,5đ)
60
0
A
M

C
x
y
t