Đề thi HSG cấp trường lớp 9 năm học 2008 - 2009

Trêng PTCS Nam thîng
§Ò thi chän HS giái trêng
NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
Rút gọn các biểu thức sau:
a. A =
6 3 2 2 . 3 2 2. 6 3 2 2+ + + − +
.
b. B =
( ) ( )
2 2
2008 2014 . 2008 4016 3 .2009
2005.2007.2010.2011
− + −
Câu 2: Cho hàm số:
y =
mx – 3x + m + 1
a. Xác định điểm cố định của đồ thị hàm số?
b. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục
tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1(đơn vị diện tích).
Câu 3.
a. Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
.
Áp dụng giải phương trình:
2 2
2 5 6 10x x x x+ + + − +
= 5

b. Cho Q =
16
3
x
x
+
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
Câu 4.
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia
BA lấy điểm N sao cho BN = BM. Chứng minh: các đường thẳng AM, CN và
đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại một điểm.
Câu 5.
Cho tam giác ABC có
·
0
ABC = 60 ; BC = a ; AB = c
(a, c là hai độ dài cho
trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và
Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn
nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Ghi chú: Cán bộ coi không được giải thích gì thêm.