CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.57 KB, 11 trang )

GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG
A, ĐƯỜNG THẲNG
I, Lý thuyết
1, Các công thức
* Cho
a

(x
1
,y
1
) và
b

(x
2
,y
2
) khi đó:
a

±
b

= (x
1
± x
2
; y
1

± y
2
) k
a

= (kx
1
; ky
1
)
a

=
2
1
2
1
yx +
a

.
b

= x
1
.x
2
+ y
1
y

2
=
α
cos ba


a

= k
b






=
=⇔
21
21
,
kyy
kxx
cùngphuongba


* Cho A(x
A
, y
A

) và B(x
B
, y
B
) khi đó:
BA

= (x
B
– x
A
; y
B
– y
A
) AB =
22
)()(
ABAB
yyxx −+−





−
−
=
−
−

=
⇔=
k
kyy
y
k
kxx
x
BkMAM
BA
M
BA
M
1
1


Nếu M là trung điểm của AB thì:





+
=
+
=
2
2
BA

M
BA
M
yy
y
xx
x
2, Phương trình tổng quát của đường thẳng
- P.tr đường thẳng (
∆
) có dạng: Ax + By + C = 0 (A
2
+ B
2
≠ 0)
⇒
VTPT:
n

= (A;B) VTCP:
u

= (-B;A)
với
∆⊥
n

với
∆≡
//u


3, Phương trình tham số của đường thẳng
- P.tr đt (
∆
) có dạng:



+=
+=
0
0
ybty
xatx
với t
R∈
⇒
VTCP:
u

= (a,b) và điểm M(x
0
,y
0
)
∆∈
4, Phương trình chính tắc của đường thẳng
- P.tr đt (
∆
) có dạng:

b
yy
a
xx
00
−
=
−
⇒
VTCP:
u

= (a;b) và điểm M(x
0
,y
0
)
∆∈
5, Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
) đến
∆
: Ax + By + C = 0
d
(M,
∆
)
=

22
00
BA
CByAx
+
++
= ?
1
GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
Nhận xét:
- Trong
∆
ABC độ dài đường cao AH = d
(M,BC)

- Đường thẳng (
∆
) là tiếp tuyến của đường tròn (C)



R
batâmI );(
↔ d
(I,
∆
)
= R
-Ptr đường phân giác của góc tạo bởi:
(

1
∆
): A
1
x + B
1
y+ C
1
= 0
và (
2
∆
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 cắt nhau là
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA

CyBxA
BA
CyBxA
+
++
=
+
++
-khử trị tuyệt đối ta có 2 đường phân giác
6, Góc giữa hai đường thẳng
- Đường thẳng (
1
∆
): A
1
x + B
1
y+ C
1
= 0
⇒

1
n

= (A
1
;B
1
)

- Đường thẳng (
2
∆
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
⇒

2
n

= (A
2
;B
2
)
⇒
góc giữa hai đường thẳng:
cos
))((

2
2
2
2
2

1
1
2
2121
BABA
BBAA
++
+
=
α

⇒

α
= ?
II, Bài toán:
1,Viết ptr đường thẳng
- Phương pháp:
+ Để viết ptr đt (
∆
) phải:



= ),(:
),(
00
BAnVTPT
yxquaM


+ P.tr tổng quát đt (
∆
): A(x – x
0
) + B(y – y
0
) = 0
- Chú ý:
+ VTCP:
u

= (A;B)
⇒
VTPT
n

= (-B;A)
+ (
∆
) // (d): Ax + By + C = 0
⇒
VTPT của (
∆
)
n

= (A, B)
+ (
∆
)

⊥
(d): Ax + By + C = 0
⇒
VTPT của (
∆
)
n

= (-B;A)
+ (∆) có hệ số góc là k
⇒
pt (∆): y = k.x + b
2,Tìm hình chiếu
⊥
của A lên đt (
∆
)
-Phương pháp:
-Cách 1:
-Viết pt đt (d )



==⇔∆⊥
∆
?)( un
quaA
d

⇒

p tr đt (d ): ?
-Tìm: I =
⇒∩∆ )()( d
tọa độ I la nghiêm của hệ:
I
y
x
ptđt
dptđt
⇒



=
=
⇔



∆ ?
?
)(
)(
-Vậy hình chiếu
⊥
của A lên đt (
∆
) là I

2

GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
-Cách 2:
-Gọi I (a;b) là hình chiếu
⊥
của A lên đt (
∆
) thì :
?
?
?
)2(0.
)1()(
I
b
a
ptuIA
ptI
⇒



=
=
⇒



⇒=
⇒∆∈
∆



Nhận xét: -độ dài AI là kc từ A đến (∆)
-khoảng cách nhỏ nhất từ A đến một điểm trên (∆) là AI
3,Tìm điểm đối xứng của A qua đt (∆)
Phương pháp:
-Tìm hình chiếu
⊥
của A lên đt (
∆
) là I
-Gọi B là điểm đối xứng của A qua đt (
∆
)thì I là trung điểm của AB
-Ta có:
?
?
?
2
2
B
y
x
yyy
xxx
B
B
BAI
BAI
⇒




=
=
⇒



+=
+=
4,Bài toán trong tam giác ABC
4.1,Điểm đặc biệt trong tam giác ABC
a,Trọng tâm G
-Ta có:
?
?
3
?
3
G
yyy
y
xxx
x
CBA
G
CBA
G
⇔






=
++
=
=
++
=
b,Trực tâm H(a;b)
-Ta có:
?
?
?
0.
0.
H
b
a
CAHBACBH
CBHABCAH
⇔



=
=
⇔




=⇔⊥
=⇔⊥




c,Tâm đường tròn ngoại tiếp I(a;b)
-Ta có:
?
?
?
)2(
)1(
22
22
I
b
a
ptCIAI
ptBIAI
⇔



=
=
⇔




⇔=
⇔=
4.2,Các đường thường gặp trong tam giác ABC
a,Trung tuyến AM:
?:
?:?:
pt
nvtptMAvtcp
quaA
quaM
quaA
⇔



=⇔=
⇔





với :M là trung điểm của BC
b,Đường cao AH:
?:
?:
pt

CBnvtpt
quaA
BC
quaA
⇔



==
⇔



⊥


c,Trung trực của cạnh AB:
?:
?:
pt
BAnvtpt
quaN
AB
quaN
⇔



==
⇔




⊥



với :N là trung điểm của AB
3
GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
B, ĐƯỜNG TRÒN
I, Lý thuyết
1, Các công thức
- Dạng tổng quát: (x – a)
2
+ (x – b)
2
= R
2
⇒
Tâm I(a;b) và bán kính R
- Dạng khai triển: x
2
+ y
2
- 2ax -2 by + c = 0
Điều kiện: a
2
+ b
2

– c > 0
⇒
Tâm I(a;b) và bán kính R =
cba −+
22
II, Bài toán
1, Viết ptr đường tròn
a, Viết pt tổng quát đường tròn
phương pháp:
- Tìm tọa độ tâm I(a;b)
- Tìm bán kính R = ?
- Kết luận: ptr tổng quát của đ.tròn: (x – a)
2
+ (x – b)
2
= R
2
* Nhận xét:
+Điểm M
∈
(C) ↔ MI=R
+đường tròn đường kính AB↔Tâm I là trung điểm AB và R=IA=IB=
2
AB
+ Đường thẳng
∆
là tiếp tuyến của (C) ↔
d
(I/
∆

)
= R
b, Viết ptr đ.tròn qua 3 điểm: A(x
A
,y
A
); B(x
B
,y
B
); C(x
C
,y
C
)
phương pháp:
- Gọi ptr đ.tròn (C): x
2
+ y
2
- 2.ax - 2.by + c = 0 với đk: a
2
+ b
2
–c >0
- Vì A, B, C
∈
(C)thay tọa độ các điểm vào (C)
⇒
hệ ptr 3 ẩn

⇒






=
=
=
?
?
?
c
b
a
- Kết luận:
c,viết pt đ tr(C) thảo mãn:





∆∈ )(đttâmI
quaB
quaA
phương pháp:
- Gọi ptr đ.tròn (C): x
2
+ y

2
- 2.ax - 2.by + c = 0 với đk: a
2
+ b
2
–c >0
Ta có tâm I(a;b)
-VÌ I
∈
(
∆
) nên thay tạo độ vào pt đt (
∆
)
⇒
pt(1)
-Vì A, B
∈
(C) thay tọa độ các điểm vào (C)
⇒
pt(2) và pt(3)
4
GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
-Giải hệ ptr 3 ẩn
⇒







=
=
=
?
?
?
c
b
a
(kt đk)
-Kêt luận:
2, Viết ptr tiếp tuyến của (C): Tâm I(a,b) và bán kính R
a, Ptr tiếp tuyến của (C) tại M
0
(x
0
,y
0
)
∈
(C) khi đó tiếp tuyến:
thỏa mãm :
?:
);(:
),(
00
00
pt
byaxMInVTPT

yxquaM
⇔



−−==+
+


b,Ptr tiếp tuyến của (C) qua M(x
1
,y
1
):
phương pháp:
-xác định tâm I(a;b)và bán kính R của đường tròn (C)
-kiểm tra M có thuộc đường tròn (C) không ?
+Nếu M
∈
(C) thì pt tt:
?:
);(:
),(
11
11
pt
byaxMInVTPT
yxquaM
⇔




−−==+
+


+Nếu M
∉
(C) thì :
- Ptr đường thẳng
∆
qua M(x
1
,y
1
) và có hệ số góc là k có dạng:
y = k.(x- x
1
)+ y
1
↔ k.(x- x
1
)-y+ y
1
=0
- Để đường thẳng
∆
là tiếp tuyến của (C) thì:
d
(I/

∆
)
= R
⇔

?
)1(
)(
22
11
=⇔=
−+
+−−
kR
k
ybxak

⇒
pt tiếp tuyến: ?
Nhận xét: + Nếu M
∉
(C) thì có 2 pt tt qua M
+Nếu có 1 pt tt thì pt tt không có hệ số góc là: x = x
1
c, Ptr tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k
phương pháp:
-xác định tâm I(a;b)và bán kính R của đường tròn (C)
-pt đt
∆
có hệ số góc k có dạng: y = k.x + c ↔ k.x - y +c =0

- Để đường thẳng
∆
là tiếp tuyến của (C) thì:
d
(I/
∆
)
= R
⇔

?
)1(
22
=⇔=
−+
+−
cR
k
cbka

⇒
pt tiếp tuyến: ?
Nhận xét: +Có 2 pt tt cần tìm
+Nếu : tiếp tuyến
∆
// đt : y = ax + b
⇒
k = a
+Nếu : tiếp tuyến
∆

⊥
đt : y = ax + b
⇒
k =
a
1−
5
GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
III-BÀI TẬP
Bài 1: Viết ptr đt đi qua M(1,2) và
1, VTPT:
n

= (4;-3)
2, VTCP:
u

= (-1,4)
3, Qua N(1;6)
4, Vuông góc với (d
1
): 2x – y + 1 = 0
5, Song song với (d
2
): 3x + 2y – 1 = 0
6,có hệ số góc k = 3
7,vuông góc với đường thẳng có hệ số góc k = -3
Bài 2: Cho (
∆
): x + y + 1 = 0 và điểm A(6;0)

1, Tìm điểm B đối xứng với A qua (
∆
)
2, Viết ptr đt qua A và // với (
∆
)
Bài 3: Cho A(1;2) B(-1;3) C(0;1)
1, Viết ptr đt các cạnh
2, Viết ptr đường cao AH, trung tuyến AN
3, Tìm góc A
Bài 1: 1,Viêt ptr đ.tròn đi qua A(1,2); B(1,-3); C(3,2)
2, Viêt ptr đ.tròn đi qua M(1,4) và tiếp xúc với Ox, Oy
Bài 2: Cho ptr đ.tr: x
2
+ y
2
+ 2x + 2y – 1 = 0
1, Xác định tâm và bán kình của đ.tr
2, Viêt p.tr tiếp tuyến qua M (-3;0)
6
GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
C, BA ĐƯỜNG CONIC
STT Tên Trục Tiêu điểm Tiêu điểm
Tâm
sai
Đường
chuẩn
PT t
2
tại

M
0
(x
0
;y
0
)
∈
conic
Đk để đt
Ax+By+C=0
Là tt của conic
1
Elip(E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
a>b
Trục lớn
∈
Ox:2a
Trục bé
∈

Oy: 2b
c
2
= a
2
- b
2
F
1
(-c, 0)
1
∆
: x = -
e
a
F
1
F
2
= 2c
F
2
= (c,0)
2
∆
:x =
e
a
e =
a

c
12
∆
: x = ±
e
a
1
2
0
2
0
=+
b
yy
a
xx
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
a<b
Trục lớn
∈
Oy:2b

Trục bé
∈
Ox: 2a
c
2
= b
2
- a
2
F
1
(0, -c)
1
∆
: y = -
e
b
F
1
F
2
= 2c
F
2
= (0,c)
2
∆
: x =
e
b

e =
b
c
12
∆
: y = ±
e
b
2
Hypebol(H
)

1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
Trục thực
∈
Ox:2a
Trục ảo
∈
Oy: 2b
c
2

= a
2
+ b
2
F
1
(-c, 0)
1
∆
: x = -
e
a
F
1
F
2
= 2c
F
2
= (c,0)
2
∆
: x =
e
a
e =
a
c
12
∆

: x = ±
e
a

1
2
0
2
0
=−
b
yy
a
xx
A
2
a
2
- B
2
b
2
= C
2
1
2
2
2
2
=−

b
y
a
x
Trục thực
∈
Oy:2b
Trục ảo
∈
Ox: 2a
c
2
= b
2
+ a
2
F
1
(0, -c)
1
∆
: y = -
e
b
F
1
F
2
= 2c
F

2
= (0,c)
2
∆
: x =
e
b
e =
b
c
12
∆
: y = ±
e
b
1
2
0
2
0
=−
a
xx
b
yy
B
2
b
2
- A

2
a
2
= C
2
3
Parabol
y
2
= 2px
Trục đ.xứng: Ox
Đỉnh: S(0;0)
F(-
2
p
;0)
2
:
p
x −=∆
y
0
y= p(x+x
0
) pB
2
= 2AC
y
2
= -2px Trục đ.xứng: Ox

Đỉnh: S(0;0)
F(-
2
p
;0)
2
:
p
x =∆
y
0
y= -p(x+x
0
) pB
2
= -2AC
7
GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
Ví dụ: Cho 2x
2
+ 3y
2
= 6
1, Xác định đặc điểm của Conic
2, Viết ptr tiếp tuyến của Conic qua A(-
3
;0)
3, Viết ptr tiếp tuyến của Conic qua B(4;0)
4, Viết ptr tiếp tuyến của Conic // với
∆

: x – 2y + 1 = 0
5, Viết ptr tiếp tuyến của Conic
⊥
với (d): 2x – 3y + 1 = 0
Bài 1: Cho (P): y
2
= 2px
1, Xác định đặc điểm của (P)
2, Viết ptr tiếp tuyến của (P) qua A(2;2)
3, Viết ptr tiếp tuyến của (P) qua B(-2;0)
4, Viết ptr tiếp tuyến của (P) // với
∆
: x – 2y + 6 = 0
5, Viết ptr tiếp tuyến của (P)
⊥
với (d): x – y + 4 = 0
6, Viết ptr tiếp tuyến của (P) tạo với (d
1
): 2x – y = 0 một góc 45
0
Bài 2: Cho (P): y
2
= 16x. Viết ptr tiếp tuyến của (P):
1, đi qua A(1;2)
2, đi qua B(1;-4)
3, Vuông góc với (d): 2x – y + 5 = 0
Bài 3: Cho (E): 4x
2
+ 12y
2

= 48
1, Xác định các yếu tố của (E)
2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(0;-2)
3, Viết ptr tiếp tuyến // với
∆
: x + y = 0
4, Viết ptr tiếp tuyến // với (d): x – y + 1 = 0
5, Viết ptr tiếp tuyến có hệ số góc K = 2
Bài 4: Cho (E):
1
49
2
2
=+
y
x
1, Xác định các yếu tố của (E)
2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(3,0)
3, Viết ptr tiếp tuyến qua B(2,3)
4, Viết ptr tiếp tuyến // với
∆
: x -2y - 6 = 0
5, Viết ptr tiếp tuyến
⊥
// với (d): x – y + 1 = 0
6, Viết ptr tiếp tuyến tạo với đt: 2x – y = 0 một góc
4
Π
Bài 5: Cho (H):
1

49
2
2
=−
y
x
1, Xác định các yếu tố của (H)
2, Viết ptr tiếp tuyến qua A(3,0)
3, Viết ptr tiếp tuyến qua B(2,3)
4, Viết ptr tiếp tuyến // với
∆
: x -2y + 4 = 0
5, Viết ptr tiếp tuyến tạo với đt: x – y = 0 một góc 45
0
8
GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
(GIẢI TÍCH)
A, Các khái niệm cơ bản
I, Véc tơ và tọa độ trong không gian
a

= x.
kzjyi


++

),,( zyxa =⇔


Cho
(=a

x
1
,y
1
,z
1
) và
b

= (x
2
,y
2
,z
2
). Khi đó ta có các tính chất sau:
1,
a

±
b

= (x
1
±x
2
, y

1
±y
2
, z
1
±z
2
) 2,k.
a

= (kx
1
,ky
1
,kz
1
)
3,
a

⊥
b

⇔
a

.
b

= 0

⇔
x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
=0 4,
2
1
2
1
2
1
zyxa ++=

5,
a

.
b

= x
1

x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
=
α
cos.ba



⇔
gọi là tích vô hướng
6, cos
α
=
2
2
2
2
2
2
2
1
2

1
2
1
212121
. zyxzyx
zzyyxx
++++
++
7,





=
=
=
⇔=
21
21
21
kzz
kyy
kxx
bka


8, Tích có hương:
[ ]
?;;,

22
11
22
11
22
11
=








==
yx
yx
xz
xz
zy
zy
ban


Nhận xét:-ta có:



⊥

⊥
nb
na



-ta có:
α
sin ban


=
- Cho
⇔++= kzjyixOM



M(x,y,z)
- Cho A(x
A
,y
A
,z
A
) và B(x
B
,y
B
,z
B

). Khi đó ta có:
1,
AB
= (x
B
-x
A
, y
B
-y
A
,z
B
-z
A
) 2,AB =
222
)()()(
BABABA
zzyyxx −+−+−
3,










−
−
=
−
−
=
−
−
=
⇔=
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
MBkMA
BA
M
BA
M
BA
M
1
1
1
3, M là trung điểm của AB










+
=
+
=
+
=
⇔
2
2
2
BA
M
BA
M
BA
M
zz
z
yy
y
xx

x
B, Bài toán
Bài toán 1: Chứng minh
a

,
b

,
c

đồng phẳng
* Phương pháp:
- Tính
[ ]
ban


;=
= ?
- Tính
cn

.
= ?
+ Nếu
cn

.
= 0

⇔
a

,
b

,
c

đồng phẳng
+ Nếu
cn

.
≠ 0
⇔
a

,
b

,
c

không đồng phẳng
* Ví dụ: Xét sự đồng phẳng
1,
a

= (1;-1;1)

b

= (0;1;2)
c

= (4;2;3)
2,
a

= (4;3;4)
b

= (2;-1;2)
c

= (1;2;1)
9
GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II
Bài toán 2: Cmr 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng (đồng phẳng)
* Phương pháp:
- Tính
??;?; === ADACAB
- Tính
[ ]
?, == ACABn

- Tính
ADn.

= ?

+ Nếu
ADn.

= 0
⇔
A,B,C,D đồng phẳng
+ Nếu
ADn.

≠ 0
⇔
A,B,C,D không đồng phẳng
* Ví dụ: Xét sự đồng phẳng
1, A(1,2,3) B(3,2,1) C(-3,2,-1) D(4,2,1)
2, A(-1,-2,1) B(3,-2,1) C(2,1,1) D(-2,1,1)
Bài toán 3: Tính diện tích của
∆
ABC
* Phương pháp:
S =
[ ]
))()((,
2
1
cpbpappACAB −−−=
=?
Với p =
2
cba ++
* Ví dụ: Tính diện tích của

∆
ABC
1, A(1;2;3) B(4;-1;2) C(1;-2;6)
2, A(0;-1;3) B(-2;3;2) C(-1;1;4)
Bài toán 4: Tìm đường cao AH trong
∆
ABC
* Phương pháp:
- Tính
?=
∆ABC
S
BC = ?
- Ta có:
BC
S
AHBCAHS
ABC
2
.
2
1
=⇒=
∆
=?
* Ví dụ: Tìm độ dài đường cao trong
∆
ABC
1, A(1;2;3) B(-1;2;1) C(1;1;3)
2, A(0;1;2) B(-1;2;3) C(1;2;1)

Bài toán 5: Tìm thể tích tứ diện ABCD
* Phương pháp:
- Tính
?=AB

?=AC

?=AD
- Tính
[ ]
?, == ACABn


?. =ADn

- Thể tích khối tứ diện:
ADnV .
6
1

=
=?
Bài toán 6: Tính đường cao AH trong tứ diện ABCD
* Phương pháp:
- Tìm
?V
ABCD
=
10
GV:Nguyễn Xuân Lộc -0974.554.204 THPT Nam Sách II

- Tìm
?=
∆BCD
S
- Ta có:
BCD
SAHV .
3
1
=

BCD
S
V
AH
3
=⇒
=?
* Ví dụ: Tìm thể tích và đường cao của khối tứ diện
1, A(1;2;3) B(4;1;2) C(4;2;3) D(1;1;3)
2, A(4;-2;-1) B(0;1;0) C(1;2;1) D(1;3;5)
*****************************
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (
α
)
I, Lý thuyết
1, Phương trình tổng quát của (
α
)
Ax + By + Cz + D = 0 (

α
)
⇒
VTPT:
n

= (A,B,C) với
n

⊥
(
α
)
- Với M
0
(x
0
;y
0
;z
0
)
∈
(
α
)
⇔
Ax
0
+ By

0
+ Cz
0
+ D = 0
-
),,( cbau =

là véc tơ chỉ phương của (
α
)
⇔
Aa + Bb + Cc = 0
2, Góc giữa hai mặt phẳng
- Hai mặt phẳng: (
1
α
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D = 0
(
2
α
): A
2
x + B
2

y + C
2
z + D = 0
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc
α
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21
.
.
.
cos
CBACBA
CCBBAA
nn
nn
++++
++

==


α

?
=⇒
α
- Nếu
α
= 90
0
hay (
0.)()
2121
=⇔⊥ nn

αα
3, Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
- Cho hai mặt phẳng: (
1
α
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D = 0
(