Hệ thống bài tập giải tích 12 (ôn thi ĐH) phần 1

H thng bi tp gii tớch 12
(Phn 1)
Đạo hàm
I) Định nghĩa đạo hàm:
Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x
0
đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x x
0
= 2
b) y =
x
1
x
0
= 2
c) y =
1
1
+

x
x
x
0
= 0
Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x R)
a) y =
x

- x b) y = x
3
- x + 2
c) y = x
3
+ 2x c) y =
1
12


x
x
Bài3: Tính f'(8) biết f(x) =
3
x
Bài4: Cho đờng cong y = x
3
. Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết:
a) Tiếp điểm là A(-1; -1).
b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2.
c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 5.
d) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = -
12
x
+ 1
Bài5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2) (x + 2004).
Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000)
II) các phép tính đạo hàm:
Bài1: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
1) y =

( )
43
2
+ xx
( )
352
23
+ xxx
2) y =
( ) ( ) ( )( )
45342312 ++++ xxxx
3) y =
( )
( )
3
2
23
12133 ++ xxxx
4) y =
( ) ( )
( )
3
2
44
342312 ++++ xxxx
5) y =
( ) ( ) ( )
432
321 +++ xxx
6) y =

43
652
2
+
+
x
xx
7) y =
1
3
3
++

xx
xx
8) y =
( )
1
1
2
3
+
+
xx
x
1
9) y =
44
1
1

1
12






−
+
+






−
+
x
x
x
x
10) y =
2
2
2
2
1
1

1
1
xx
xx
xx
xx
++
−+
+
−+
++

11) y =
( )
3
32
321 xxx
+++
12) y =
3
3
1
1
x
x
−
+
13) y =
6
4

53
62
31
−−
−−
xx
xx
14) y =
xcosxsin
xcosxsin
+
−
15) y =
( )
[ ]
xsinsinsin
16) y =
( )
x
excos
x
xsin
x
−







+
−
−
2
1
2
1
2
2
17) y =






+++






+−
3
2
2
3
2
11311

2
3
xlnx
Bµi2: TÝnh c¸c ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau:
1) y =
xln
x
2) y =
xcos
xsin
3) y =
x
x
2
2
1






+
4) y =
x
xx
xxx
xxx ++
5) y =
7

5
4
3
54
231
−−
+++
xx
xxx
III) ®¹o hµm mét phÝa vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i ®¹o hµm:
Bµi1: Cho f(x) =
x
x
+1
. TÝnh f'(0)
Bµi2: Cho f(x) =
2+xx
. TÝnh f'(0)
Bµi3: Cho f(x) =





=
≠
−
0x nÕu 0
0x nÕu
x

xcos1
1) XÐt tÝnh liªn tôc cña f(x) t¹i x = 0.
2) XÐt tÝnh kh¶ vi cña f(x) t¹i x = 0.
Bµi4: Cho hµm sè: f(x) =
13
32
2
−
+−
x
xx
.
Chøng minh r»ng f(x) liªn tôc t¹i x = -3 nhng kh«ng cã ®¹o hµm t¹i x = -3.
Bµi5: Cho f(x) =
( )





≤+
>+
−
0x nÕu 1ax-x-
0x nÕu ex
2
x
1
. T×m a ®Ó ∃f'(0)
Bµi6: Cho f(x) =




>++
≤−
01
0
x nÕu bax
x nÕu xsinbxcosa
2
IV) đạo hàm cấp cao:
Bài1: Cho f(x) =
12
23
2
2
+
+
xx
xx
. Tính: f
(n)
(x)
Bài2: Cho f(x) =
6116
843
23
2
+
+

xxx
xx
. Tính: f
(n)
(x)
Bài3: Cho f(x) =
107
942
24
23
+
+
xx
xxx
. Tính: f
(n)
(x)
Bài4: Cho f(x) =
189
1153
24
2
+

xx
xx
. Tính: f
(n)
(x)
Bài5: Cho f(x) = cosx. Tính: f

(n)
(x)
Bài6: Cho f(x) = cos(ax + b). Tính: f
(n)
(x)
Bài7: Cho f(x) = x.e
x
. Tính: f
(n)
(x)
Bài8: Cho f(x) =
xlnx
3
. Tính: f
(n)
(x)
Bài9: Cho f(x) =
( )
baxln +
. Tính: f
(n)
(x)
V) đẳng thức, ph ơng trình, bất ph ơng trình với các phép toán đạo hàm:
Bài1: Cho y =
x
ln
+1
1
. CMR: xy' + 1 = e
y

Bài2: Cho y =
xsine
x
. CMR: y'' + 2y' + 2y = 0
Bài3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR: y + xy' + x
2
y" = 0
Bài4: Cho f(x) = sin
3
2x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x. Giải phơng trình: f'(x) = g(x)
Bài5: Cho f(x) =
12
5
2
1
+x
; g(x) =
545 lnx
x
+
. Giải bất phơng trình: f'(x) < g'(x)
Bài6: Cho y =
11
22
22
2
+++++ xxlnx
xx
CMR: 2y = xy' + lny'

IV) dùng đạo hàm để tính giới hạn:
Tìm các giới hạn sau:
1) A =
x
xxx
lim
x
3
3
3
2
0
11 +++

2)
2
0
2
3
x
xcos
lim
x
x


3)
2
3
0

2121
x
xx
lim
x
++

4)
xx
xsinx
lim
x
+
++

243
121
0
Khảo sát hàm số và các ứng dụng
3
I) Tính đơn điệu của hàm số:
1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu:
Bài1: Tìm m để hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (-1; 1)
Bài2: Tìm m để hàm số: y = x
3
- 3(2m + 1)x

2
+ (12m + 5)x + 2
đồng biến trên (-

; -1] [2; +

)
Bài3: Tìm m để hàm số: y =
( ) ( )
mxmxm
mx
+++ 112
3
2
3
đồng biến trên (-

; 0) [2; +

)
Bài4: Tìm m để hàm số: y =
( )
xmmxx
m
23
3
1
23
++

đồng biến trên R
Bài5: Tìm m để hàm số: y = x
3
- 3(m - 1)x
2
+ 3m(m - 2)x + 1 đồng biến trong các khoảng thoả
mãn: 1
x
2
2) Ph ơng pháp hàm số giải quyết các bài toán chứa tham số:
Bài1: Cho phơng trình: x
2
- (m + 2)x + 5m + 1 = 0
1) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 1.
2) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn:
x
> 4.
3) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả mãn: x < 2.
4) Tìm m để phơng trình có nghiệm (-1; 1).
Bài2: Tìm a để phơng trình: (a + 1)x
2
- (8a + 1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm (0;1)
Bài3: Tìm m để phơng trình:
( )
048369
222
222
=+
xxxxxx
m.m

có nghiệm thoả mãn:
x

2
1

Bài4: Tìm m để phơng trình:
( ) ( )
xxxx +++ 6363
= m có nghiệm
Bài5: Tìm m để phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm
x







2
3
2
;
Bài6: Tìm m để phơng trình:
0121
2
3
2
3
=++ mxlogxlog

có ít nhất một nghiệm
x
[ ]
3
31;

Bài7: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm:
1)
( ) ( )
( )
2321
2
=+ mxxxx
2)
( )
01242
234
=+++ mxxmmxx

Bài8: Tìm a để:
12
12
13
2
=


x
x
x

+ ax có nghiệm duy nhất
4
Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x
2
+ 4x + 6) m nghiệm đúng với x
Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4
( ) ( )
xx + 24
x
2
- 2x + a - 18 nghiệm đúng với x
[-2; 4]
Bài11: Tìm m để:
( )
mm
xx
xsin
xcos
22
2
1
1
33
2
2
1
2
++

+
+

< 0 x
Bài12: Tìm m để
( )
xxxxxx
m.m

++
222
222
46129
0 nghiệm đúng với x thoả mãn:
2
1
x
Bài13: Tìm m để bất phơng trình:
3 xmx
m + 1 có nghiệm
3) Sử dụng ph ơng pháp hàm số để giải ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng
trình, hệ bất ph ơng trình:
Bài1: Giải các phơng trình và các bất phơng trình sau:
1)
4259 +>+ xx

2)
( )
75155
2
3
2
2
++






++ xxlogxxlog
2
Bài2: Giải hệ bất phơng trình:





>+
<+
013
0123
3
2
xx
xx

Bài3: Giải hệ bất phơng trình:
( )





>++
<
0953
3
1
0
23
2
2
2
2
xxx
xlogxlog

Bài4: Giải hệ phơng trình:

++=
++=
++=
2
2
2
23
23
23
xxxz
zzzx
yyyx

4) Chứng minh bất đẳng thức:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)
242
1
2
1
422
xx
xcos
x
+<<
x > 0
2)
!n
x

x
xe
n
x
++++>
2
1
2
x > 0; n N
*
3) 1 - x
x
e

1 - x +
2
2
x
x [0; 1]
5
4) 1 - x
x
e
x
+

1
2
1 - x +
( )

x
x
+12
4
x [0; 1]
5)
( )
2
1
2
x
xxln >+
x > 0
6)
x
x
xln
1
<
x > 1
II) cực trị và các ứng dụng:
Bài1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau đây:
1) y = x
3
+ 4x2) y =
2
54
2
+
++

x
xx
3) y =
2
xx
ee

+
4) y = x
3
(1 - x)
2

Bài2: Tìm cực trị nếu có của mỗi hàm số sau đây (biện luận theo tham số a)
1) y = x
3
- 2ax
2
+ a
2
x 2) y = x - 1 +
1x
a

Bài3: Chứng minh rằng hàm số: y =
2
2
2
2
+

++
x
mxx
luôn có một cực đại và một cực tiểu với mọi m.
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:
1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin
4
x + cos
4
x + sinxcosx + 1
3) y = 5cosx - cos5x với x








44
;
4) y =
xcosxsin
xcosxsin
44
66
1
1
++

++
Bài2: Cho phơng trình: 12x
2
- 6mx + m
2
- 4 +
2
12
m
= 0
Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình. Tìm Max, Min của: S =
3
2
3
1
xx +

Bài3: Cho a.b 0. Tìm Min của: y =
a
b
b
a
a
b
b
a

a
b
b
a
++








++
2
2
2
2
4
4
4
4

Bài4: Cho x, y 0; x + y = 1. Tìm Max, Min của: S =
11 +
+
+ x
y
y
x

Bài5: Cho x, y 0; x + y = 1. Tìm Min của: S =
y
y
x
x

+
11
Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = sin
6
x + cos
6
x + asinx.cosx
IV) tiệp cận:
Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:
6
1) y =
12
23
2
2
+
++
xx
xx
2) y =
1
1

2
3
+
++
x
xx
3) y =
x
x
2
4) y =
2
9
2
x
x

+
5) y =
( )
( )
2
2
12
x
xx


6) y =
1

2
+x

Bài2: Tìm các tiệm cận của hàm số (biện luận theo tham số m)
1) y =
1
4
2
2
+

mxx
x
2) y =
32
2
2
+
+
mxx
x

Bài3: Cho (C): y =
( )
2
312
2

++++
x

axaax
, a -1; a 0. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của
(C) luôn đi qua một điểm cố định
Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
1
232
2

+
x
xx
1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi.
2) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất.
V) Khảo sát và vẽ đồ thị:
Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = 2x
3
+ 3x
2
- 1 2) y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5
3) y = x
3
- 3x
2
- 6x + 8 4) y = -x
3

+ 3x
2
- 4x + 3
5) y = -
3
3
x
- x
2
+ 3x - 4
Bài2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y = x
4
- 2x
2
2) y = -x
4
+ 2x
2
- 1
3) y = x
4
+
10
3
x
2
+ 1 4) y =
2
4

x

- x
2
+ 1
Bài3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =
1
42
+

x
x
2) y =
3
12

+
x
x

Bài4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =
2
33
2
+
++
x
xx

2) y =
1
2
x
x
3) y =
1
2
2
+
+
x
xx
4) y =
12
136
2
+
++
x
xx

Bài5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y =
3
5
3
1
4
1

234
+ xxx
2) y =
54
1182
2
+
+
2
xx
xx
7
3) y =
1
542
2
2
+
++
x
xx
4) y =
5015
149
2
2
+
+
xx
xx

5) y =
xx
xx
22
12
2
2

++
6) y = x +
12
2
+x

VI) phép biến đổi đồ thị:
Vẽ đồ thị của các hàm số:
1) y =
1
1
2
+
+
x
xx
2) y =
2
92
2

+

x
xx
3) y =
2
33
2

+
x
xx
4) y =
1
55
2

+
x
xx
5) y =
12
2

+
x
xx
6) y =
1
1

+

x
x
7)
( )
21
2
+= xxxy
VII) tiếp tuyến:
1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài1: Cho hàm số: y = x
3
- 1 - k(x - 1) (1)
1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k để tiếp
tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =
xcosxx +++ 42
2
tại giao điểm của đờng cong
với trục tung.
Bài3: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1
a) Tìm m để (C
m
) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.

b) Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Bài4: Cho 2 đồ thị
( ) ( ) ( )
( )





+==
+==
mxxgy:)P(
xxxfy:)C(
2
22
2
11
1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P).
Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
2
1
x
4
- 3x
2
+
2

5
1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có x
M
= a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với (C) là
nghiệm của phơng trình:
( )
( )
0632
22
2
=++ aaxxax
8
2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ.
Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y =
( )
mx
mmxm
+
++
2
13
với trục Ox tiếp tuyến của (C)
song song với (): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó.
Bài7: Cho (C) : y =
1
12


x
x

và M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp tuyến
tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
1) CMR: M là trung điểm của A và B.
2) CMR: S

IAB
không đổi
3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài8: Cho (C): y =
mx
mxx

+ 32
2
(m 0, 1)
Chứng minh rằng tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm có
tung độ bằng 1
Bài9: Cho (C): y =
mx
mxx
+
++
4
43
2
Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C).
Bài10: Cho đồ thị (C): y =
1
22
2

+
++
x
xx
1) Điểm M (C) với x
M
= m. Viết phơng trình tiếp tuyến (t
m
) tại M.
2) Tìm m để (t
m
) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán và hai
tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau.
3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng tiệm cận
tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M
trên (C).
2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
- 3x
2
biết tiếp tuyến vuông góc với đờng
thẳng: y =
3
1
x.
Bài2: Cho hàm số (C): y = f(x) =
2
4
x

- x
3
- 3x
2
+ 7
Tìm m để đồ thị (C) luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx
Bài3: Cho (C): y =
2
33
2
+
++
x
xx
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đờng thẳng
(): 3y - x + 6 = 0
9
Bài4: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =
34
132
2
+

x
xx
vuông góc với đờng thẳng: y = -
3
x
+
2

Bài5: Cho đồ thị (C): y =
1
12
2

+
x
xx
Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh rằng
tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận.
Bài6: Cho (C
m
): y = x
4
+ mx
2
- m - 1
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y = 2x với A là điểm cố định
của (C
m
) có hoành độ dơng.
Bài7: Cho đồ thị (C
a
): y =
1
3
2
+
++
x

axx
Tìm a để (C
a
) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác của góc phần t thứ nhất của hệ
toạ độ.
Bài8: Cho (C): y =
1
12
2
+
+
x
xx
. CMR: trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó
có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45
0
.
3) Phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A






4
12
19
;
đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x

3
+ 3x
2
+ 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x
3
+ 3(m - 1)x
2
+ 6(m - 2)x - 1
Bài3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ 2
1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A






2
9
23
;
đến (C).
2) Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài4: Cho (C): y = -x
3
+ 3x + 2

Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x
4
- x
2
+ 1
Tìm các điểm A Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài6: Tìm trên đờng thẳng x = 3 các điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y =
1
12
+
+
x
x

ViiI) ứng dụng của đồ thị:
1) Xét số nghiệm của phơng trình:
Bài1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: 3x - 4x
3
= 3m - 4m
3

10
Bài2: Tìm m để phơng trình: x
3
- 3x + 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài3: Tìm a để phơng trình: x
3
- 3x
2

- a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2 nghiệm
lớn hơn 1.
Bài4: Biện luận theo b số nghiệm của phơng trình: x
4
-2x
2
- 2b + 2 = 0
Bài5: Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình: x
2
+ (3 - a)x + 3 - 2a = 0 và so sánh các nghiệm
đó với -3 và -1
Bài6: Tìm m để
8102
2
+ xx
= x
2
- 5x + m có 4 nghiệm phân biệt.
2) Sự tơng giao của hai đồ thị hàm số:
Bài toán về số giao điểm
Bài1: Tìm k để đờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị: y =
2
34
2
+
++
x
xx
tại hai điểm phân biệt.
Bài2: Tìm m để đồ thị: y = x

3
+ 3x
2
+ mx + 1 cắt đờng thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt.
Bài3: Cho (C
m
): y = x
3
- 2mx
2
+ (2m
2
- 1)x + m(1 - m
2
)
Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Bài4: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
- 3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x - (m
2
- 1)
Tìm m để (C

m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Bài5: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 3(m
2
+ 1)x - (m
3
+ 1)
Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại đúng một điểm.
Bài6: Tìm m để (C
m
): y = x
3
+ m(x
2
- 1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bài7: Tìm m để (C
m
): y =
3
1
3
x

- x + m cắt Ox tại ba điểm phân biệt
Bài8: Tìm m để (C
m
): y = x
3
+ 3x
2
- 9x + m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
Bài9: Tìm m để (C
m
): y = x
3
- 3(m + 1)x
2
+ 3(m
2
+ 1)x - m
3
- 1 cắt Ox tại đúng 1 điểm
Bài toán về khoảng cách giữa các giao điểm
Bài1: Tìm m để (C
m
): y = f(x) = x
3
- 3mx
2
+ 4m
3
cắt đờng thẳng y = x tại ba điểm phân biệt lập
thành cấp số cộng.

Bài2: Tìm m để (C
m
): y = f(x) = x
3
- (2m + 1)x
2
- 9x cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt lập thành
cấp số cộng.
Bài3: Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x
4
- 5x
2
+ 4 tại A, B, C, D phân biệt
mà AB = BC = CD
3) Các điểm đặc biệt:
Bài1: Tìm điểm cố định của (C
m
): y = x
3
- (m + 1)x
2
- (2m
2
- 3m + 2)x + 2m(2m - 1)
Bài2: CMR: (C
m
): y = (m + 2)x
3
- 3(m + 2)x
2

- 4x + 2m - 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết ph-
ơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó.
11
Bài3: CMR: (C
m
): y = (m + 3)x
3
- 3(m + 3)x
2
- (6m + 1)x + m + 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng.
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó.
Bài4: Cho họ đồ thị (C
m
): y =
mx
mmxx

++ 22
2
Tìm các điểm trên Oy mà không có đồ thị nào của (C
m
) đi qua.
Bài5: Cho họ (C
m
): y =
mx
mmxx

++ 22
2

Tìm các điểm Oxy mà không có đồ thị nào của (C
m
) đi qua
Bài6: Cho (C
m
): y = 2x
3
- 3(m + 3)x
2
+ 18mx + 6. CMR: trên Parabol (P): y = x
2
+ 14 có 2 điểm mà
không có đồ thị nào của (C
m
) đi qua.
Bài7: Cho họ đồ thị (C
m
): y =
mx
mmxx

+
22
Tìm các điểm Oxy có đúng 2 đờng cong của họ (C
m
) đi qua.
Bài8: Tìm M (C): y =
2
1
2

+
+
x
xx
có toạ độ là các số nguyên.
4) quỹ tích đại số:
Bài1: Cho (C
m
): y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (C): y = x
3
+ 2x
2
+ 7
CMR: (C
m
) luôn cắt (C) tại A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
Bài2: Cho (C): y =
2
34
2
+
++
x
xx
và đờng thẳng (D): y = mx + 1.
Tìm m để (D) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.

Bài3: Tìm m để (C
m
): y =
( )
2
632
2

++
x
xmx
có cực đại, cực tiểu và tìm quỹ tích cực đại, cực
tiểu.
Bài4: Cho họ đồ thị (C
m
): y =
( )
54
12
22
22
+++
++
mmx
mmxmx
. Tìm quỹ tích giao điểm của (C
m
) với
các trục Ox, Oy khi m thay đổi.
Bài5: Cho (C): y = x

3
- 3x
2
và đờng thẳng d: y = mx. Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phâm biệt A,
O, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Bài6: Tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu của y =
1
1
2
+
+
x
mmxx

Bài7: Tìm quỹ tích tâm đối xứng của (C
m
): y = mx
3
- 2(m + 1)x
2
+ 2(m - 3)x + m - 1
5) tâm đối xứng, trục đối xứng:
12
Bài1: Tìm m 0 để (C): y = -
m
x
3
+ 3mx
2
- 2 Nhận I(1; 0) là tâm đối xứng.

Bài2: Cho (C
m
): y = x
3
+ mx
2
+ 9x + 4 Tìm m để trên (C
m
) có một cặp điểm đối xứng nhau qua
gốc toạ độ.
Bài3: Tìm trên (C): y =
1
2
2

++
x
xx
các cặp điểm đối xứng nhau qua I






2
5
0;

Bài4: CMR: đờng thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị: y =

1
1
+

x
x

Bài5: Cho hàm số: y =
1
2
x
x
Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng: y = x - 1
13
TÝch ph©n
I) nguyªn hµm:
1) X¸c ®Þnh nguyªn hµm b»ng c«ng thøc:
Bµi1: CMR hµm sè: F(x) =
( )
xlnx +− 1
lµ mét nguyªn hµm cña hsè: f(x) =
x
x
+1

Bµi2: CMR hµm sè: y =
axxln
a
ax
x

++++
22
22
víi a ≠ 0
lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè: f(x) =
ax +
2

Bµi3: X¸c ®Þnh a, b, c ®Ó hµm sè: F(x) =
( )
32
2
−++ xcbxax
lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè:
f(x) =
32
73020
2
−
+−
x
xx

Bµi4: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y:
1)
∫







+ dx
x
x
2
3
1
2)
∫
−−
dx
x
xx
4
45
134

3)
∫






+ dx
x
1
x

3
4)
( )
∫
+ dxxx
3
3
2
5)
( )
( )
∫
++
dx2x-xx 1
3
6)
∫






+ dx
x
x
3
1
7)
∫







+ dx
x
x
4
2
1
8)
∫
+
dx
x
xx
2
4
9)
( )
∫
+ dxbax
2
3
10)
∫
++
−

dx
x
xx
4
3
4
2

11)
( ) ( )
∫
++ dxbxaxx
12)
dxe2
xx
∫
13)
( )
∫
− dxe
xx
2
2
14)
∫
++ dxee
x-x
2
15)
∫

−+ dxee
x-x
2
16)
∫
+
dx
e
e
x
5x-2
1
17)
∫
+
dx
x
1-x
1
18)
∫
dxcos2x-1
19)
∫
+
dx
cosx1
x4sin
2
14

2) Phơng pháp đặt ẩn phụ:
Tính các nguyên hàm sau đây:
1)
( )

+ dxx
4
13
2)

+

dx
xx
x
24
42
2

3)

xlnx
dx

4)

+
dx
xx
x

1
2
2
5)

+ dx1xx
6)
( )

+ dxe
3
x
1
7)

+
dx
x1
x
2
8)

+
+
dx
xx
4x
2
12
9)

+
dx
xx
x
2
3
12
10)


+
dx
x
1x
2
11)
( )

+
3
1x
xdx
12)

+ dxxx
2
1
13)

xdxcos
4
14)

xxcossin
dx
22
15)

dx1-2xx
16)
( )


2
4
3
4x
dxx
17)
( )

+ dxxx
2
3
3
12
18)

xdxcosxsin

5
19)

xdxtg
3
20)

dxe
x
1
x
21)

dx
xcos
e
tgx
2
22)
dx
x
x
ln
x
1


+

1

1
1
2
23)

+ dxxx
3
23
1
24)
( )

xlnln.xlnx
dx
25)

dx1-xx

3) Phơng pháp nguyên hàm từng phần:
Tính các nguyên hàm sau đây:
1)
( )

+ xdxcosx 12
2)

dxex
x2
3)

xdxln
4)

xdxsine
x
5)
( )

dxxlncos
6)

dxxe
x
7)







dx
xln
xln
11
2
8)

xdxsine
x 22

15
9)








+
dx
x
x
lnx
1
1

4) Nguyên hàm hàm hữu tỷ:
Bài1: Tính các nguyên hàm sau đây:
1)

+
dx
x
x
1
2
2
2)

++ 1xx
dx
2
3)

++
dx
xx
x
2
1
4)


2
ax
dx
2
5)

+ 23xx
dx
2
6)

+
++
dx
xx

xx
2
2
23
1
7)



+
0)(a dx
ax
x
2 2
1
8)

1
3
x
dx

9)


+
dx
x
1x
3

1
10)

++ 34
24
xx
dx

11)
( )

+
dx
1-xx
1x
2
12)

+ 3-2xx
dx
2
13)



dx
x4x
x
3
3

1
14)

+ 2xx
xdx
24
3
15)
( )

+
dx
1x
x
4
7
2
Bài2: 1) Cho hàm số y =
23
333
3
2
+
++
xx
xx
a) Xác định các hằng số A, B, C để:
y =
( )
( )

21
1
2
+
+

+

x
C
x
B
x
A
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm y
Bài3: a) Xác định các hằng số A, B sao cho
( ) ( ) ( )
233
111
13
+
+
+
=
+
+
x
B
x
A

x
x
b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của hàm số : f(x) =
( )
3
1
13
+
+
x
x
5) Nguyên hàm hàm lợng giác:
Tính các nguyên hàm sau đây:
16
1)
∫
xcos.xsin
dx
2)
∫
xdxsin
2
3)
∫
cosx
dx
4)
∫
dx
2

x
cos.xcos
5)
∫
++ 52cosx4sinx
dx
6)
∫
+ xcos-2sinxcosxxsin
dx
22
7)
∫
dxxcos
6
8)
∫
dxxtg
5
9)
∫
xcos
dx
6
10)
∫
xsin
dx
6
11)

∫
dx
xx.sincos
cos2x
22
12)
∫
xcos.xsin
dx
22
13)
∫
xdxsin2x.cos3
14)
∫
.sin4xdxcosx.cos2x
15)
∫
xdxsin.xcos 8
3
16)
∫
xdxcos
2
17)
∫
xdxsin
3
18)
∫

xdxtg
2
19)
∫
x.cosxdxsin
2
20)
∫
dx
xcos
tgx
3
21)
∫
+
+
xcosxsin
xcos
3
14
2
6) Nguyªn hµm hµm v« tû:
TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y:
1)
∫
−
2
4 x
dx
2)

∫
−+ 11 xx
dx
3)
( )
∫
+ 2xx
dx
4)
∫
x-1x
dx
5)
∫
+
+
1x
dx
1-x
1x
3
6)
( )
∫
+−+
++
dx
xx
1x
11

2
2
7)
∫
+++
3
xx
dx
11
8)
∫
+++ 11 xx
dx
9)
∫
− dxx
2
4
10)
∫
−− dxxx
2
4
11)
∫
−+− 143
2
xx
dx
17

II) tÝch ph©n :
1) Dïng c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n:
Bµi1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1)
∫
π
0
4
xdxcos
2)
( )
∫
π
+
2
0
44
2 dxxsinxcosxcos
3)
∫
π
++
++
2
0
534
67
dx
xcosxsin
xcosxsin

4)
∫
π
0
3
5xdxcosxcosx
5)
∫
π
2
0
23
xdxsinxcos
6)
∫
π
4
0
4
xdxsin
Bµi2: Cho f(x) =
xcosxsin
xsin
+
1) T×m A, B sao cho f(x) = A + B







+
−
xsinxcos
xsinxcos
2) TÝnh: I =
( )
∫
π
3
0
dxxf
Bµi3: Cho hµm sè: h(x) =
( )
2
2
2
xsin
xsin
+
1) T×m A, B ®Ó h(x) =
( )
xsin
B
xsin
xcosA
+
+
+
2

2
2
2) TÝnh: I =
( )
∫
π
0
2
dxxh
Bµi4: Cho hµm sè: f(x) = 4cosx + 3sinx ; g(x) = cosx + 2sinx
1) T×m A, B ®Ó g(x) = A.f(x) + B.f'(x)
2) TÝnh: I =
( )
( )
∫
π
4
0
dx
xf
xg

Bµi5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1)
∫
+
1
0
2
1x

xdx
2)
( )
∫
−
1
0
5
43
1 dxxx
18
3)
∫
−
2
0
2
4 dxxx
4)
∫
−
e
x
x
e
dxe
1
1
5)
∫

4
1
dx
x
e
x
6)
dx
x
xln
e
∫
+
1
1
Bµi6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1)
( )
∫
π
+
2
0
4
1
dx
xsin
xcos
2)
∫

π
2
0
3
xdxcosxsin
3)
∫
π
2
0
5
xdxcos
4)
∫
π
4
0
6
xdxtg
5)
∫
π
+
4
0
2
1 xsin
dx
6)
∫

π
+
2
0
2 xsin
dx
7)
∫
π
+
4
0
2222
xsinbxcosa
dx
8)
∫
−
2
0
2
4 dxx
9)
∫
−
1
2
2
2
2

1
dx
x
x
10)
∫
π
+
2
0
22 xcos
xdxcos

Bµi7: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1)
( )
∫
π
−
4
0
2
12 dxxcosx
2)
∫
π
2
0
2
3xdxsine

x
3)
( )
∫
+
1
0
2
2
1 dxex
x
4)
( )
∫
e
dxxlnx
1
2
5)
( )
∫
+
1
0
2
1 dxxlnx
6)
( )
∫
π

+
2
0
1 dxxcoslnxcos
7)
( )
∫
+
e
e
dx
x
xln
1
2
1
8)
( )
∫








−
+
+

+
9
1
0
52
3
14
1
12
5 dx
x
xsin
x
x

2) TÝnh ph©n vµ ®¼ng thøc:
19
Bµi1: CMR: NÕu f(x) lµ hµm lÎ liªn tôc trªn [-a; a] th×: I =
( )
∫
−
a
a
dxxf
= 0
VD: TÝnh: I =
∫
−













++
1
1
3
2
1 dxxxln

Bµi2: CMR: NÕu f(x) lµ hµm ch½n liªn tôc trªn [-a; a] th×: I =
( ) ( )
∫∫
=
−
aa
a
dxxfdxxf
0
2

Bµi3: CMR: NÕu f(x) lµ hµm ch½n liªn tôc trªn R th×: I =
( )

( )
∫∫
=
+
−
aa
a
x
dxxf
b
dxxf
0
1
VD: TÝnh: I =
∫
−
+
++
2
2
24
12
12
dx
xx
x

Bµi4: Cho f(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn [0; 1]. CMR:
( ) ( )
∫∫

ππ
π
=
00
2
dxxsinfdxxsinxf
VD: TÝnh: I =
∫
π
+
0
2
49
dx
xcos
xsinx

Bµi5: (Tæng qu¸t ho¸ bµi4)
NÕu f(x) liªn tôc vµ f(a + b - x) = f(x) th× I =
( ) ( )
∫∫
+
=
b
a
b
a
dxxf
ba
dxxxf

2

Bµi6: NÕu f(x) liªn tôc vµ f(a + b - x) = -f(x) th×: I =
( )
0=
∫
b
a
dxxf
VD: TÝnh: I =
∫
π






+
+
2
0
1
1
dx
xcos
xsin
ln
J =
( )

∫
π
+
4
0
1 dxtgxln

Bµi7: NÕu f(x) liªn tôc trªn






π
2
0;
th×:
( )
∫
π
2
0
dxxsinf
=
( )
∫
π
2
0

dxxcosf
VD: TÝnh: I =
∫
π
+
2
0
xsinxcos
xdxcos
nn
n
J =
∫
π
+
2
0
xsinxcos
xdxsin
nn
n

Bµi8: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu kú T th×:
( ) ( )
∫∫
=
+ TTa
a
dxxfdxxf
0

VD: TÝnh: I =
∫
π
−
2004
0
21 dxxcos

20
3) Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Bài1: Cho các hàm số: f(x) = 3x
3
- x
2
- 4x + 1 ; g(x) = 2x
3
+ x
2
- 3x - 1
1) Giải bất phơng trình: f(x) g(x).
2) Tính: I =
( ) ( )



2
1
dxxgxf

Bài2: Tính các tích phân sau:

1)

+
3
0
23
2 dxxxx
2)


+
2
0
1 dxxsin

Bài3: Cho I(t) =


1
0
dxte
x
với t R.
1) Tính: I(t).
2) Tìm minI(t).
Bài4: Tính các tích phân sau:
1)

+
2

0
2
32 dxxx
2)
( )

++
5
0
22
434 dxxxxx

Bài5: Tính các tích phân sau:
1) I =

+
2
0
2
44 dxmxx
2)
( )

++
2
1
2
22 dxmxmx

4) Bất đẳng thức tích phân:

Bài1: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau:
1)
8
2
1
0
2

<
++

xx
dx
2)
8
2
1
6
2
1
0
32

<

<


xx
dx

2)
3
32
1
3
3
0
2

<
++
<



xcosxcos
dx

Bài2: CMR:
4
2
0
2
2
2
2
edxe
e
xx
<<

Bài3: Cho hàm số: f(x) =
1
2
2
x
x
. CMR:
( )
4
29
2
5
3
2
<<

dxxf

5) Tích phân truy hồi:
21
Bài1: Cho I
n
=
dxxtg
n

4
0
2
1) CMR: I
n
> I
n + 1
2) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n - 1
3) Tính I
n
theo n.


Bài2: Cho I
n
=


2
0
xdxsin
n
1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n - 2
2) Tính I

n
. áp dụng tính I
11
=


2
0
11
xdxsin

Bài3: Cho I
n
=
( )


1
0
2
1 dxx
n
1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n - 1
2) Tính I
n
.
Bài4: Cho I

n
=


1
0
1 dxx x
n
1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I
n
và I
n - 1
2) Tính I
n
.
Bài5: Tính các tích phân sau:
1) I
n
=
dxxtg
n


4
0
2
2) I
n
=

2
0
xdxcosx
n

III) ứng dụng của tích phân:
1) Tính diện tích hình phẳng:
Bài1: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đờng sau đây:
1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x
2
- 2x 2)






==
==
2
x 0;x
0y ;xcosxsiny
32
3)

=
=
2
2
yx
xy
4)







=
==
x
y
x
y ;xy
2
8
8
2

22
5)

=+
=+
02
0
2
yxx
yx
6)





+=
=
5
1
2
xy
xy

Bài2: Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x
3
- 3x + 2 (C)
1) Viết phơng trình tiếp tuyến (d
1
) với (C) tại A có x
A
= 2. Viết phơng trình tiếp tuyến (d
2

)
với (C) tại điểm uốn của (C).
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:



= 1
1
x
)d(),C(
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:



)d(và)d(
)C(
21

Bài3: Cho hàm số: y =
1
2
2
+x
x
(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đờng thẳng y = 1, x = 0, x = b
bằng
4

.
Bài4: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi:
1) Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
2) Hypebol (H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
Elíp (E
1
):
1
2
2

2
2
=+
b
y
a
x
và Elíp (E
2
):
1
2
2
2
2
=+
c
y
b
x
Bài5: Tính diện tích phần chung của hai Elíp:
(E
1
):
1
2
2
2
2
=+

b
y
a
x
và (E
2
):
1
2
2
2
2
=+
a
y
b
x
2) Tính thể tích vật thể:
Bài1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh Ox một hình phẳng giới hạn bởi
các đờng:



==
==
10
0
x;x
y;e.xy
x

Bài2: Gọi (D) là miền giới hạn của các đờng:



=
=
2
2
0
xxy
y
. Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc
tạo thành do ta quay D
1) Quanh Ox b) Quanh Oy
23
Bài3: Gọi (D) là miền giới hạn của các đờng:



==
+=
2
1
103
xy;y
xy
. Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc
tạo thành do ta quay D quanh Ox.
Bài4: Cho miền D giới hạn bởi các đờng tròn (C): x

2
+ y
2
= 8 và Parabol (P): y
2
=2x
1) Tính diện tích S của miền D.
2) Tính thể tích V sinh ra bởi A khi quay quanh Ox.
Bài5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi ta quay Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
quanh Ox.
24