chuyên đề tích phân có hướng dẫn giải chi tiết

CHUYÊN ĐỀ
TÍCH PHÂN
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 1
1.1. Phương pháp thường dùng
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], để tính
b
a
f(x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính
/
dx u (t)dt=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t , x b t= = = =Þ a Þ b
.
Bước 3.
b
/
a
f(x)dx f[u(t)]u (t)dt g(t)dt
b b
a a
= =
ò ò ò
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
1

2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ò
.
Giải
Đặt
x sin t, t ; dx cos tdt
2 2
p p
é ù
= - =Î Þ
ê ú
ë û
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= = = =Þ Þ
6 6
2
0 0
cos t cos t
I dt dt
cos t

1 sin t
p p
= =Þ
-
ò ò
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p
p
p p
= = = - =
ò
.
Vậy
I
6
p
=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx= -
ò
.

Giải
Đặt
x 2 sin t, t ; dx 2 cos tdt
2 2
p p
é ù
= - =Î Þ
ê ú
ë û
x 0 t 0, x 2 t
2
p
= = = =Þ Þ
2 2
2 2
0 0
I 2 cos t 4 4 sin tdt 4 cos tdt
p p
= - =Þ
ò ò
( )
2
2
0
0
2 (1 cos 2t)dt 2t sin 2t
p
p
= + = + = p
ò

.
Vậy
I = p
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ò
.
Giải
Đặt
( )
2
x t gt, t ; dx (t g x 1)dt
2 2
p p
= - = +Î Þ
1
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= = = =Þ Þ
4 4
2

2
0 0
tg t 1
I dt dt
4
1 tg t
p p
+ p
= = =Þ
+
ò ò
.
Vậy
I
4
p
=
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.

Giải
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ò ò
.
Đặt
( )
2
x 1 tgt, t ; dx (t g x 1)dt
2 2
p p
+ = - = +Î Þ
x 0 t , x 3 1 t
4 3
p p
= = = - =Þ Þ
3 3
2
2
4 4
tg t 1
I dt dt
3 4 12

1 tg t
p p
p p
+ ppp
= = = - =Þ
+
ò ò
.
Vậy
I
12
p
=
.
1.2. Phương pháp đặc biệt (dùng cho trắc nghiệm)
Hàm lượng giác ngược
+
y arcsin x x sin y= =Û
với
[ ]
x 1; 1 , y ;
2 2
p p
é ù
- -Î Î
ê ú
ë û
.
+
y arctgx x tgy= =Û

với
( )
x , y ;
2 2
p p
-ΠΡ
.
Chẳng hạn:
( )
2
arcsin , arcsin( 1) , arctg 3
2 4 2 3
p p p
= - = - - = -
.
Công thức
( ) ( )
( )
2 2
2 2
dx x dx 1 x
arcsin , arctg a 0
a a a
a x
a x
b b
b b
a a
a a
= = >

+
-
ò ò
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
0
dx
I
4 x
=
-
ò
.
Giải
2
2
2
0
0
dx x
I arcsin arcsin 1 arcsin 0
2
4 x
= = = -
-
ò
.
Vậy

I
2
p
=
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ò
.
Giải
3 1
3 1
2 0
0
d(x 1)
I arctg(x 1) arctg 3 arctg1
1 (x 1)
-
-
+
= = + = -
+ +

ò
.
2
Vậy
I
12
p
=
.
2. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ò
ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính
/
dt u (x)dx=
.
Bước 2. Đổi cận:
x a t u(a) , x b t u(b)= = = = = =Þ a Þ b
.
Bước 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b

a
=
ò ò
.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
e
e
dx
I
x ln x
=
ò
.
Giải
Đặt
dx
t ln x dt
x
= =Þ
2
x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ
2
2
1
1
dt
I ln t ln 2
t
= = =Þ

ò
.
Vậy
I ln 2=
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cos x
I dx
(sin x cos x)
p
=
+
ò
.
Giải
4 4
3 3 2
0 0
cos x 1 dx
I dx .
(sin x cos x) (t gx 1) cos x
p p
= =
+ +
ò ò
.
Đặt

2
dx
t t gx 1 dt
cos x
= + =Þ
x 0 t 1, x t 2
4
p
= = = =Þ Þ
( )
2
2
3 2
1
1
dt 1 1 1 3
I 1
2 4 8
t 2t
-
= = = - - =Þ
ò
.
Vậy
3
I
8
=
.
Ví dụ 9. Tính tích phân

3
1
2
dx
I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ò
.
Giải
Đặt
dx
t 2x 3 dt
2x 3
= + =Þ
+
2 2
2
t 3 t 1
t 2x 3 x x 1
2 2
- -
= + = + =Þ Þ
3
1
x t 2, x 3 t 3
2
= = = =Þ Þ
( )

3 3
2
2 2
2dt 1 1
I dt
t 1 t 1
t 1
= = -Þ
- +
-
ò ò
( )
3
2
t 1 1 1 3
ln ln ln ln
t 1 2 3 2
-
= = - =
+
.
Vậy
3
I ln
2
=
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0

3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
3 x x 3
t t
1 x x 1
- - +
= =Þ
+ +
2 2 2
4 8t dt
x 1 dx
t 1 (t 1)
-
= - =Þ Þ
+ +
x 0 t 3, x 1 t 1= = = =Þ Þ
1 3
2 2
2 2 2 2
1
3

8t dt t dt
I 8
(t 1) (t 1)
-
= =Þ
+ +
ò ò
.
Đặt
( )
2
t t gu, u ; dt (tg u 1)du
2 2
p p
= - = +Î Þ
t 1 u , t 3 u
4 3
p p
= = = =Þ Þ
( )
3 3
2 2
2
2 2 2
4 4
tg u tg u 1 du
tg udu
I 8 8
(tg u 1) t g u 1
p p

p p
+
= =Þ
+ +
ò ò
3 3
2
4 4
8 sin udu 4 (1 cos 2u)du
p p
p p
= = -
ò ò
( )
3
4
4u 2 sin 2u 3 2
3
p
p
p
= - = - +
.
Vậy
I 3 2
3
p
= - +
.
Chú ý:

Phân tích
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ò
, rồi đặt
t 1 x= +
sẽ tính nhanh hơn.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
t cos x dt sin xdx= = -Þ
x 0 t 1, x t 0
2
p

= = = =Þ Þ
0
2
2 2 2 2
0 1
I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt
p
= - = - -Þ
ò ò
1
1
3 5
2 4
0
0
t t 2
(t t )dt
3 5 15
æ ö
÷
ç
= - = - =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy

2
I
15
=
.
4
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
2
5
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
t sin x dt cos xdx= =Þ
x 0 t 0, x t 1
2
p
= = = =Þ Þ
2 2
5 2 2
0 0
I cos xdx (1 sin x) cos xdx
p p
= = -Þ
ò ò
1

1
3 5
2 2
0
0
2t t 8
(1 t ) dt t
3 5 15
æ ö
÷
ç
= - = - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
.
Vậy
8
I
15
=
.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx

p
=
ò
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
p p
= - +
ò ò
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
p p

= - +
ò ò
3
2
0
x 1 sin 2x
sin 4x
16 64 24 32
p
æ ö
p
÷
ç
= - + =
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Vậy
I
32
p
=
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dx

I
cos x sin x 1
p
=
+ +
ò
.
Giải
Đặt
( )
2
2
x 1 x 2dt
t t g dt tg 1 dx dx
2 2 2
t 1
= = + =Þ Þ
+
x 0 t 0, x t 1
2
p
= = = =Þ Þ
1
2 2
0
2 2
1 2dt
I .
1 t 2t 1 t
1

1 t 1 t
=Þ
- +
+ +
+ +
ò
1
1
0
0
dt
ln t 1 ln 2
t 1
= = + =
+
ò
.
Vậy
I ln 2=
.
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
p
=
+
ò

.
Giải
Đặt
x t dx dt= - = -p Þ
x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ
( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
p
p
-p
p
= - = -Þ
- + + +p
ò ò
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= - =p Þ
+ +
ò ò
5
( )

( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ò ò
( )
( )
( )
2
0
0
t
d
t
2 4
tg

t
2 2 2 4
cos
2 4
p
p
p
-
p p p
= = - = p
p
-
ò
.
Vậy
I = p
.
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx
2
p p
p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007

0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - = -Þ
x 0 t , x t 0
2 2
p p
= = = =Þ Þ
( )
( ) ( )
2007
0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2

p
p
-
= -Þ
p p
- + -
ò
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ò
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
p
p
+ = =
ò
(2). Từ (1) và (2) suy ra
I

4
p
=
.
Tổng quát:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = Î
+ +
ò ò
Z
.
Ví dụ 17. Tính tích phân
6
2
0
sin x
I dx
sin x 3 cos x
p
=
+

ò
và
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3 cos x
p
=
+
ò
.
Giải
+
6 6
2 2
0 0
sin x 3 cos x
I 3J dx (sin x 3 cos x)dx
sin x 3 cos x
p p
-
- = = -
+
ò ò

( )
6
0

cos x 3 sin x 1 3
p
= - - = -
(1).
+
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2
sin x 3 cos x
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ò ò
Đặt
t x dt dx
3
p
= + =Þ
x 0 t , x t
3 6 2
p p p
= = = =Þ Þ
2 2

2
3 3
1 dt 1 sin tdt
I J
2 sin t 2
sin t
p p
p p
+ = =Þ
ò ò
( )
2 2
2
3 3
d(cos t)
1 1 1 1
d(cos t)
2 4 cos t 1 cos t 1
cos t 1
p p
p p
= = -
- +
-
ò ò
6

2
3
1 cos t 1 1

ln ln 3
4 cos t 1 4
p
p
-
= =
+
(2).
T (1) v (2)
3 1 3
I 3J 1 3
I ln 3
16 4
1
1 1 3
I J ln 3
J ln 3
4
16 4
ỡ
-
ù
ỡ
- = -
ù
ù
= +
ù
ù
ù

ù
ị
ớ ớ
ù ù
-
+ =
ù ù
= -
ù ù
ợ
ù
ợ
.
Vy
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Vớ d 18. Tớnh tớch phõn
1
2
0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+

ũ
.
Gii
t
2
x t gt dx (1 t g t)dt= = +ị
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= = = =ị ị
( )
4 4
2
2
0 0
ln(1 t gt)
I 1 t g t dt ln(1 t gt)dt
1 tg t
p p
+
= + = +ị
+
ũ ũ
.
t
t u dt du
4
p
= - = -ị
t 0 u , t u 0

4 4
p p
= = = =ị ị
( )
0
4
0
4
I ln(1 t gt)dt ln 1 tg u du
4
p
p
p
ộ ự
= + = - + -ị
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tgu 2
ln 1 du ln du
1 t gu 1 t gu
p p
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
( )
4 4
0 0
ln 2du ln 1 t gu du ln 2 I
4
p p
p
= - + = -
ũ ũ
.
Vy
I ln 2
8
p
=
.
Vớ d 19. Tớnh tớch phõn
4
x
4
cos x
I dx
2007 1
p
p

-
=
+
ũ
.
Gii
t
x t dx dt= - = -ị
x t , x t
4 4 4 4
p p p p
= - = = = -ị ị
4 4
t
t t
4 4
cos( t)
2007 cos t
I dt dt
2007 1 1 2007
p p
-
-
p p
-
-
= - =ị
+ +
ũ ũ
( )

4 4
t
t t
4 4
(1 2007 ) 1
1
cos tdt 1 cos t dt
1 2007 2007 1
p p
p p
- -
+ -
= = -
+ +
ũ ũ
7
4 4 4
0
4 4
1 2
cos tdt I I cos tdt cos tdt
2 2
p p p
p p
- -
= - = = =ị
ũ ũ ũ
.
Tng quỏt:
Vi

a > 0
,
0>a
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on
[ ]
; - aa
thỡ
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=
+
ũ ũ
.
Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn
Ă
v tha
f( x) 2f(x) cos x- + =
.
Tớnh tớch phõn
2
2
I f(x)dx
p

p
-
=
ũ
.
Gii
t
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -
ũ
,
x t dx dt= - = -ị
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - = = = -ị ị
[ ]
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
= - = = + = - +ị ị
ũ ũ

2 2
0
2
cos xdx 2 cos xdx 2
p p
p
-
= = =
ũ ũ
.
Vy
2
I
3
=
.
3.3. Cỏc kt qu cn nh
i/ Vi
a > 0
, hm s
f(x)
l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a
a
f(x)dx 0
-
=
ũ
.
ii/ Vi

a > 0
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ũ ũ
.
iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim)
2 2
n n
0 0
(n 1) !!
,
n !!
cos xdx sin xdx
(n 1) !!
. ,
n !! 2
p p
-ỡ
ù
ù
ù
ù
= =
ớ

ù
-
p
ù
ù
ù
ợ
ũ ũ
neỏu n leỷ
neỏu n chaỹn
.
Trong ú
n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn:
0 !! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3!! 1.3; 4 !! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =
6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10= = = = =
.
8
Ví dụ 21.
2
11
0
10 !! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ò
.
Ví dụ 22.
2

10
0
9 !! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p
= = =
ò
.
(Độc giả có thể thử lại các ví dụ 11 – 13!).
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số
u(x), v(x)
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
( ) ( )
/ / / /
/ /
uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + = +Þ
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv= + = +Þ Þ
ò ò ò
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu= + = -Þ Þ

ò ò ò ò
.
Công thức:
b b
b
a
a a
udv uv vdu= -
ò ò
(1).
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
b b
b
/ /
a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= -
ò ò
(2).
2. Phương pháp giải toán
2.1. Sử dụng công thức
Giả sử cần tính tích phân
b
a
f(x)g(x)dx
ò
ta thực hiện
Cách 1.
Bước 1. Đặt
u f(x), dv g(x)dx= =

(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
v(x)
và vi phân
/
du u (x)dx=
không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
ò
phải tính được.
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx
ò ò ò
với P(x) là đa thức thì đặt
u P(x)=
.
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) ln xdx
ò
thì đặt
u ln x=
.

Cách 2.
Viết lại tích phân
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx=
ò ò
và sử dụng trực tiếp công thức (2).
9
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
x
0
I xe dx=
ò
.
Giải
Cách 1.
Đặt
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ì
ì
ï

ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî
î
(chọn
C 0=
)
1 1
1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1= - = - =Þ
ò ò
.
Cách 2.
( )
1 1 1
1
/
1
x x x / x x

0
0
0 0 0
xe dx x e dx xe x e dx (x 1)e 1= = - = - =
ò ò ò
.
Vậy
I 1=
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
e
1
I x ln xdx=
ò
.
Giải
Cách 1.
Đặt
2
dx
du
u ln x
x
dv xdx
x
v
2
ì
ï
=

ï
=
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
î
=
ï
ï
î
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
x ln xdx ln x xdx
2 2 4
+
= - =Þ
ò ò
.
Cách 2.
e e e

/ e
2 2 2
1
1 1 1
x x 1 e 1
x ln xdx ln x. dx ln x xdx
2 2 2 4
æ ö
+
÷
ç
= = - =
÷
ç
÷
ç
è ø
ò ò ò
.
Vậy
2
e 1
I
4
+
=
.
Ví dụ 3. Tính tích phân
2
x

0
I e sin xdx
p
=
ò
.
Giải
Cách 1.
Đặt
x x
u sin x
du cos xdx
dv e dx v e
=
=
ì
ì
ïï
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï
î
î
2 2
x x x
2
2

0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J
p p
p
p
= = - = -Þ
ò ò
.
Đặt
x
x
u cos x
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ì
ì
ï
ï
ï ï
Þ
í í
=
ï ï
=
ï
ïî

î
2 2
x x x
2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
p p
p
= = + = - +Þ
ò ò
10
2
2
e 1
I e ( 1 I) I
2
p
p
+
= - - + =Þ Þ
.
Cách 2.
( )
2 2
/
x x x
2
0
0 0

I sin x. e dx e sin x e cos xdx
p p
p
= = -
ò ò
( )
2
/
x
2
0
e cos x. e dx
p
p
= -
ò
2
x x
2
2
0
0
e e cos x e sin xdx
p
p
p
é ù
ê ú
ê ú
= - +

ê ú
ê ú
ë û
ò
( )
2
I e 1 I
p
= - - +Þ
.
Vậy
2
e 1
I
2
p
+
=
.
2.2. Sử dụng sơ đồ (dùng cho trắc nghiệm)
Ví dụ 4. Tính tích phân
1
2 x
0
I x e dx=
ò
.
Giải
( )
1

1
2 x
0
0
I x 2x 2 e 0dx e 2= - + - = -
ò
.
Chú thích:
+ Mũi tên đi xuống chỉ tích của 2 nhân tử ra khỏi tích
phân (cùng với dấu trên mũi tên).
+ Mũi tên ngang là tích 2 nhân tử còn trong tích phân
(cùng với dấu trên mũi tên).
Ví dụ 5. Tính tích phân
e
1
I ln xdx=
ò
.
Giải
e e
e
1
1 1
I ln xdx x ln x dx 1= = - =
ò ò
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
2
x
0

I e sin xdx
p
=
ò
.
Giải
11
2
x x
2
2
0
0
I (sin x cos x)e e sin xdx e 1 I
p
p
p
= - - = + -
ò
.
Vậy
2
e 1
I
2
p
+
=
.
Chú ý:

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx
p
=
ò
.
Giải
Đặt
2
t x x t dx 2t dt= = =Þ Þ
2
x 0 t 0, x t
4 2
p p
= = = =Þ Þ
( )
2
2
0
0
I 2 t cos t dt 2 t sin t cos t 2
p
p
= = + = -Þ p
ò
.

Vậy
I 2= -p
.
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I sin(ln x)dx=
ò
.
Giải
Đặt
t t
t ln x x e dx e dt= = =Þ Þ
x 1 t 0, x e t 1= = = =Þ Þ
( )
1
1
t
t
0
0
sin t cos t e (sin 1 cos1)e 1
I e sin t dt
2 2
- - +
= = =Þ
ò
.
Vậy
(sin 1 cos1)e 1

I
2
- +
=
.
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) dx=
ò
, ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x
a

1
x

2
x

b
f(x)

+

0

-

0

+
Bước 2. Tính
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - +
ò ò ò ò
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
2
2
3
I x 3x 2 dx
-
= - +
ò
.
Giải
Bảng xét dấu
12
x
3-

1

2

2
x 3x 2- +

+

0

-

0
( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
-
= - + - - + =
ò ò
.
Vậy
59
I
2
=
.

Ví dụ 10. Tính tích phân
2
2
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx
p
= - -
ò
.
Giải
2 2
2
0 0
I 4 sin x 4 sin x 1dx 2 sin x 1 dx
p p
= - + = -
ò ò
.
Bảng xét dấu
x
0

6
p

2
p

2 sin x 1-

-

0

+

( ) ( )
6 2
0
6
I 2 sin x 1 dx 2 sin x 1 dx 2 3 2
6
p p
p
p
= - - + - = - -
ò ò
.
Vậy
I 2 3 2
6
p
= - -
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx= ±

ò
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ±
ò ò ò
rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân
( )
2
1
I x x 1 dx
-
= - -
ò
.
Giải
Cách 1.
( )
2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
- - -
= - - = - -

ò ò ò
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
- -
= - + + - - -
ò ò ò ò
0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
- -
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + + - - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Cách 2.
13
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +
x – 1 – – 0 +

( ) ( ) ( )
0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
-
= - + - + + - + - +
ò ò ò
( )
1
2
0 2
1 1
0
x x x x 0
-
= - + - + =
.
Vậy
I 0=
.
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
{ }
b
a
I max f(x), g(x) dx=
ò
và
{ }
b

a
J min f(x), g(x) dx=
ò
, ta thực hiện các
bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
h(x) f(x) g(x)= -
trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu
h(x) 0>
thì
{ }
max f(x), g(x) f(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) g(x)=
.
+ Nếu
h(x) 0<
thì
{ }
max f(x), g(x) g(x)=
và
{ }
min f(x), g(x) f(x)=
.
Ví dụ 12. Tính tích phân
{ }
4

2
0
I max x 1, 4x 2 dx= + -
ò
.
Giải
Đặt
( )
( )
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - +
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +
( )
( )
( )
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
= + + - + + =
ò ò ò
.
Vậy
80
I

3
=
.
Ví dụ 13. Tính tích phân
{ }
2
x
0
I min 3 , 4 x dx= -
ò
.
Giải
Đặt
( )
x x
h(x) 3 4 x 3 x 4= - - = + -
.
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 +
( )
1 2
2
1
x 2
x
0
1
0 1
3 x 2 5

I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
æ ö
÷
ç
= + - = + - = +
÷
ç
÷
ç
è ø
ò ò
.
Vậy
2 5
I
ln 3 2
= +
.
14
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Để chứng minh
b
a
f(x)dx 0³
ò
(hoặc
b

a
f(x)dx 0£
ò
) ta chứng minh
f(x) 0³
(hoặc
f(x) 0£
) với
[ ]
x a; b" Î
.
Ví dụ 14. Chứng minh
1
3
6
0
1 x dx 0- ³
ò
.
Giải
Với
[ ]
1
3 3
6 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0" - -Î£Þ ³Þ ³
ò
.
2. Dạng 2

Để chứng minh
b b
a a
f(x)dx g(x)dx³
ò ò
ta chứng minh
f(x) g(x)³
với
[ ]
x a; b" Î
.
Ví dụ 15. Chứng minh
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
£
+ +
ò ò
.
Giải
Với
11 10
x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x
2
p
é ù
" Σ£Þ££

ê ú
ë û
10 11
10 11
1 1
1 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x
+ + >Þ ³ Þ £
+ +
.
Vậy
2 2
10 11
0 0
dx dx
1 sin x 1 sin x
p p
£
+ +
ò ò
.
3. Dạng 3
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B£ £
ò
ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được
m f(x) M£ £

.
Bước 2. Lấy tích phân
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B= - - =££
ò
.
Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
0
2 4 x dx 5+£ £
ò
.
Giải
Với
[ ]
2 2
x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5" + +Σ £Þ£ £
.
Vậy
1
2
0
2 4 x dx 5+£ £
ò
.
Ví dụ 17. Chứng minh
3
4

2
4
dx
4 2
3 2 sin x
p
p
p p
£ £
-
ò
.
Giải
15
Với
2
3 2 1
x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
p p
é ù
" Σ£Þ££
ê ú
ë û
2
2
1 1
1 3 2 sin x 2 1
2
3 2 sin x

-Þ £ £ Þ £ £
-
( ) ( )
3
4
2
4
1 3 dx 3
1
2 4 4 4 4
3 2 sin x
p
p
p p p p
- -Þ £ £
-
ò
.
Vậy
3
4
2
4
dx
4 2
3 2 sin x
p
p
p p
£ £

-
ò
.
Ví dụ 18. Chứng minh
3
4
3 cotgx 1
dx
12 x 3
p
p
£ £
ò
.
Giải
Xét hàm số
cotgx
f(x) , x ;
x 4 3
p p
é ù
= Î
ê ú
ë û
ta có
2
/
2
x
cotgx

sin x
f (x) 0 x ;
4 3
x
-
-
p p
é ù
= < " Î
ê ú
ë û
( ) ( )
f f(x) f x ;
3 4 4 3
p p p p
é ù
"Þ £ £ Î
ê ú
ë û
3 cotgx 4
x ;
x 4 3
p p
é ù
"Þ £ £ Î
ê ú
p p ë û
( ) ( )
3
4

3 cot gx 4
dx
3 4 x 3 4
p
p
p p p p
- -Þ £ £
p p
ò
.
Vậy
3
4
3 cotgx 1
dx
12 x 3
p
p
£ £
ò
.
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B£ £
ò
(mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho
[ ]

b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx B
g(x)dx B
ì
"£ Î
ï
ï
ï
ï
Þ £
í
ï
=
ï
ï
ï
î
ò
ò
.
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho
[ ]
b
b
a
a

h(x) f(x) x a; b
A f(x)dx
h(x)dx A
ì
"£ Î
ï
ï
ï
ï
Þ £
í
ï
=
ï
ï
ï
î
ò
ò
.
Ví dụ 19. Chứng minh
2
2
2007
0
2 dx
2 4
1 x
p
£ £

-
ò
.
Giải
16
Với
2007 2
2 1
x 0; : 0 x x
2 2
é ù
" Σ££
ê ú
ê ú
ë û
2 2007
2007 2
1 1 1
1 x 1 x 1 1
2
1 x 1 x
- -Þ £ £ £ Þ £ £
- -
2 2 2
2 2 2
2007 2
0 0 0
dx dx
dx
1 x 1 x

Þ £ £
- -
ò ò ò
.
Đặt
x sin t dx cos t dt= =Þ
2
x 0 t 0, x t
2 4
p
= = = =Þ Þ
2
2 4
2
0 0
dx cos tdt
cos t 4
1 x
p
p
= =Þ
-
ò ò
.
Vậy
2
2
2007
0
2 dx

2 4
1 x
p
£ £
-
ò
.
Ví dụ 20. Chứng minh
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
£ £
+ -
ò
.
Giải
Với
[ ]
2
x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1" - + - -Î £ £
2
x x x
3 1 2 1
x 2 1
Þ £ £
- -

+ -
1 1 1
2
0 0 0
xdx xdx xdx
3 1 2 1
x 2 1
Þ £ £
- -
+ -
ò ò ò
.
Vậy
1
2
0
3 1 xdx 2 1
4 2
x 2 1
+ +
£ £
+ -
ò
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y f(x), x a, x b= = =
và trục hoành là
b
a
S f(x) dx=
ò
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx
ò
.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y ln x, x 1, x e= = =
và Ox.
Giải
Do
[ ]
ln x 0 x 1; e"³ Î
nên
17
( )
e e
e
1
1 1
S ln x dx ln xdx x ln x 1 1= = = - =

ò ò
.
Vậy
S 1=
(đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
y x 4x 3, x 0, x 3= - + - = =
và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0 1 3
y – 0 + 0
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + -
ò ò
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 8
2x 3x 2x 3x
3 3 3
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - - + + + - + + =

÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
Vậy
8
S
3
=
(đvdt).
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x), x a, x b= = = =
là
b
a
S f(x) g(x) dx= -
ò
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) g(x) dx-

ò
.
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x)= =
là
S f(x) g(x) dx
b
a
= -
ò
. Trong đó
, a b
là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của
phương trình
f(x) g(x)=

( )
a b<£ a b £
.
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình
f(x) g(x)=
.
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số
f(x) g(x)-
trên đoạn
[ ]
; a b
.

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx
b
a
-
ò
.
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
,
x 0, x 2= =
.
Giải
Đặt
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -
h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = =Û Ú Ú
(loại).
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 + 0
18
( ) ( )
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - - + - + - + -
ũ ũ
1 2

4 2 4 2
3 3
0 1
x 11x x 11x 5
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + - + - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
5
S
2
=
(vdt).
Vớ d 4. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
3 2
y x 11x 6, y 6x= + - =
.
Gii
t
3 2 3 2
h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6= + - - = - + -

h(x) 0 x 1 x 2 x 3= = = =
.
Bng xột du
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 0
( ) ( )
2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx= - + - - - + -
ũ ũ
2 3
4 2 4 2
3 3
1 2
x 11x x 11x 1
2x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + - - - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
1

S
2
=
(vdt).
Chỳ ý:
Nu trong on
[ ]
; a b
phng trỡnh
f(x) g(x)=
khụng cũn nghim no na thỡ ta cú th dựng cụng
thc
[ ]
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
b b
a a
- = -
ũ ũ
.
Vớ d 5. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
3
y x , y 4x= =
.
Gii
Ta cú
3
x 4x x 2 x 0 x 2= = - = =
( ) ( )
0 2
3 3

2 0
S x 4x dx x 4x dx
-
= - + -ị
ũ ũ
0 2
4 4
2 2
2 0
x x
2x 2x 8
4 4
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
Vy
S 8=
(vdt).
Vớ d 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4 x 3= - +
v trc honh.

Gii
Ta cú
2 2
x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0- + = - + = =
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
= = =
ộ ộ ộ
ờ ờ ờ

ờ ờ ờ
= = =
ở ở ở
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
-
= - + = - +ị
ũ ũ
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
ộ ự
ờ ỳ
= - + + - +
ờ ỳ
ờ ỳ

ở ỷ
ũ ũ
19
1 3
3 3
2 2
0 1
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3 3
ộ ự
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
= - + + - + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
.
Vy
16
S
3
=
(vdt).

Vớ d 7. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 4x 3= - +
v
y x 3= +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2
x 4x 3 x 3- + = +
2
2
x 3 0
x 0
x 4x 3 x 3
x 5
x 4x 3 x 3
+
ỡ
ù
ù
=
ộ
ù
ù
ộ ờ
- + = +

ớ
ờ ờ

=
ù
ù
ở
ờ
ù
- + = - -
ờ
ù
ợ ở
.
Bng xột du
x 0 1 3 5
2
x 4x 3- +
+ 0 0 +
( ) ( ) ( )
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx= - + - + - + -ị
ũ ũ ũ
1 3 5
3 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 2 3 2 3 2 6
ổ ử ổ ử ổ ử
-

ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + + - + - =
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
.
Vy
109
S
6
=
(vdt).
Vớ d 8. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
2
y x 1 , y x 5= - = +
.
Gii
Phng trỡnh honh giao im
2 2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0- = + - = + =
2
2
t x 0
t x 0
t 1 t 5
x 3
t 3

t 1 t 5
=
ỡ
ù
ù
=
ỡ
ù
ù
ù
ù
ộ
- = +
=
ớ ớ
ờ
=ù ù
ù ù
ợ
ờ
ù
- = - -
ờ
ù
ợ ở
( ) ( )
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx

-
= - - + = - - +ị
ũ ũ
Bng xột du
x 0 1 3
2
x 1-
0 +
( ) ( )
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx= - - - + - -ị
ũ ũ
1 3
3 2 3 2
0 1
x x x x 73
2 4x 6x
3 2 3 2 3
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= - - + - - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

.
Vy
73
S
3
=
(vdt).
Chỳ ý:
Nu hỡnh phng c gii hn t 3 ng tr lờn thỡ v hỡnh (tuy nhiờn thi H thỡ khụng cú).
20
B. TNH TH TCH KHI TRềN XOAY
1. Trng hp 1.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]
y f(x) 0 x a;b= " ẻ
,
y 0=
,
x a=
v
x b (a b)= <
quay quanh trc Ox l
b
2
a
V f (x)dx= p
ũ
.
Vớ d 9. Tớnh th tớch hỡnh cu do hỡnh trũn
2 2 2

(C) : x y R+ =
quay quanh Ox.
Gii
Honh giao im ca (C) v Ox l
2 2
x R x R= =
.
Phng trỡnh
2 2 2 2 2 2
(C) : x y R y R x+ = = -
( ) ( )
R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx
-
= - = -ị p p
ũ ũ
R
3 3
2
0
x 4 R
2 R x
3 3
ổ ử
p
ữ
ỗ
= - =p

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
3
4 R
V
3
p
=
(vtt).
2. Trng hp 2.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
[ ]
x g(y) 0 y c;d= " ẻ
,
x 0=
,
y c=
v
y d (c d)= <
quay quanh trc Oy l
d
2
c
V g (y)dy= p
ũ

.
Vớ d 10. Tớnh th tớch hỡnh khi do ellipse
2 2
2 2
x y
(E) : 1
a b
+ =
quay quanh Oy.
Gii
Tung giao im ca (E) v Oy l
2
2
y
1 y b
b
= =
.
Phng trỡnh
2 2 2 2
2 2
2 2 2
x y a y
(E) : 1 x a
a b b
+ = = -
b b
2 2 2 2
2 2
2 2

b 0
a y a y
V a dy 2 a dy
b b
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= - = -ị p p
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ũ ũ
R
2 3 2
2
2
0
a y 4 a b
2 a y
3
3b
ổ ử
p
ữ
ỗ
= - =p
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
2
4 a b
V
3
p
=
(vtt).
3. Trng hp 3.
Th tớch khi trũn xoay do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
y f(x), y g(x)= =
,
x a=
v
[ ]
x b (a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b )= < " ẻ
quay quanh trc Ox l
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx= -p
ũ
.
Vớ d 11. Tớnh th tớch hỡnh khi do hỡnh phng gii hn bi cỏc ng
2

y x=
,
2
y x=
quay quanh
Ox.
Gii
Honh giao im
4
x 0
x 0
x 1
x x

=
ỡ
ộ
ù
ù
ờ

ớ
ờ
=ù
=
ù
ở
ợ
.
21

( )
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dx= - = -Þ p p
ò ò
( )
1
5 2
0
1 1 3
x x
5 2 10
p
= - =p
.
Vậy
3
V
10
p
=
(đvtt).
4. Trường hợp 4.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
x f(y), x g(y)= =
,
y c=
và
[ ]

y d (c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d )= < "³³ Î
quay quanh trục Oy là
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy= -p
ò
.
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
x y 5= - +
,
x 3 y= -

quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm
2
y 1
y 5 3 y
y 2
= -
é
ê
- + = - Û
ê
=
ë
.
( )

( )
2
2
2
2
1
V y 5 3 y dy
-
= - + - -Þ p
ò
( )
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
-
= - + +p
ò
2
5 3
2
1
y 11y 153
3y 16y
5 3 5
-
æ ö
p
÷
ç

= - + + =p
÷
ç
÷
ç
è ø
.
Vậy
153
V
5
p
=
(đvtt).
22