Ôn tập HK2 Toán 11

BÀI TẬP TOÁN 11 NGUYỄN THANH LAM
ÔN TẬP THI HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008 - 2009
MÔN TOÁN LỚP 11
Phần I : GIẢI TÍCH
A. Giới hạn hàm số
I. Tính giới hạn các hàm số sau :
1.
4
8
2
3
2
−
−
→
x
x
Lim
x
2.
8
4
3
2
2
+
−
−→
x
x
Lim

x
3.
1
1
23
1
−
−+−
→
x
xxx
Lim
x
4.
9
3
2
3
−
+
−→
x
x
Lim
x
5.
x
x
Lim
x

2
121
0
−+
→
6.
39
4
0
−+
→
x
x
Lim
x
7.
314
2
2
−+
+−
→
x
xx
Lim
x
8.
4
23
2

2
−
−−
→
x
xx
Lim
x
9.
1
3 2
1
x
x
Lim
x
→
+ −
−
10.
2
2
2
5 6
4
x
x x
Lim
x
→

− +
−
11.
2
0
1 1
3
x
x x
Lim
x
→
+ + −
12.
3 2
1
2 2
2 2
x
x
Lim
x x x
→
−
− − +
13.
x
x
Lim
x

3
11
3
0
−−
→
14.
2
24
3
2
−
−
→
x
x
Lim
x
15.
25
32
2
3
5
−
+−
→
x
x
Lim

x
16.
1
1
3
1
−
−
→
x
x
Lim
x
17.
23
1
2
3
1
−+
+
−→
x
x
Lim
x
18.
22
2
2

2
−−
−
→
x
x
Lim
x
19.
416
11
2
2
0
−+
−+
→
x
x
Lim
x
20.
x
xx
Lim
x
−−+
→
11
3

0
21.
1
34
−
+
∞→
x
x
Lim
x
22.
x
x
Lim
x
42
53
−
−
∞→
23.
1
13
2
−
−+
∞→
x
xx

Lim
x
24.
32
1
2
+
+
∞→
x
x
Lim
x

II. Xét tính liên tục tại điểm
0
x
của hàm số
( )f x
trong mỗi trường hợp sau :
1.
0
1 2 3
( 2)
( ) 2
2
1 ( 2)
x
x
f x x

x
x

− −
≠

= =

−

=

2.
2
0
16
( 4)
( ) 4
4
8 ( 4)
x
x
f x x
x
x

−
≠

= =

−


=

B. Đạo hàm
I. Tính đạo hàm các hàm số sau :
1.
3 2
1
3 4 1
3
y x x x= − + −
2.
( ) ( )
2 3
1 3 2y x x= + −
3.
( )
5
2
3y x= +
4.
( )
4
2y x x= −
5.
( ) ( ) ( )
2 3
2 3 4

1 1 1y x x x= + + +
6.
4 2
2 1y x x= − +
7.
3 1
2
x
y
x
+
=
−
8.
4
2
y
x
=
−
9.
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−

10.
2
5y x
x
= +
11.
2
3
y x x=
12.
( )
2
2 1y x x= − +
13.
2 4y x x= + + −
14.
2
1y x x= + +
15.
2
4y x x= + −
16.
3
2 1y x x= − +
17.
2
1
1
x
y

x
+
=
+
18.
2 2
1 1 2y x x= + + −
II. Tính đạo hàm các hàm số sau :
1.
sin 2 cos3y x x= +
2.
.sin 3y x x=
3.
2
siny x=
4.
2
cos 4y x=
5.
1 cos
x
y
x
=
−
6.
4
siny x=
7.
4

cosy x=
8.
1
tan 4
4
y x=
9.
2
cot (3 2)y x= +
10.
sin 2 cos 2
sin 2 cos2
x x
y
x x
+
=
−
11.
1 sin
1 sin
x
y
x
+
=
−
12.
tan 2y x=
13.

coty x x=
14.
1
tan
2
x
y
+
=
15.
1 tan 2y x= +
16.
sin(sin )y x=
17.
cos(sin )y x=
18.
2
cos (cos3 )y x=
1
BÀI TẬP TOÁN 11 NGUYỄN THANH LAM
III. Chứng minh rằng đạo hàm các hàm số sau không phụ thuộc vào biến số
x
1.
4 2 4 2
sin 4cos cos 4siny x x x x= + + +
2.
6 4 2 2 4 4
cos 2sin cos 3sin cos siny x x x x x x= + + +
3.
2 2 2

2 2
cos cos cos
3 3
y x x x
π π
   
= + + + −
 ÷  ÷
   
4.
3
cos cos cos cos
3 4 6 4
y x x x x
π π π π
       
= − + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
5.
4 4 2 2 2
2cos sin sin cos 3siny x x x x x= − + +
6.
4
8cos 4cos 2 cos 4y x x x= − −
7.
4
8sin 4cos 2 cos4y x x x= + −
IV. Giải các bất phương trình sau :
1.

' 0y <
với
3 2
6 9 1y x x x= − + +
2.
' 0y >
với
3 2
3 2y x x= − + −
3.
0y ≥
với
3 2
2 3 1y x x= − +
4.
' 0y ≤
với
3
3 1y x x= − + +
5.
' 0y <
với
4 2
2 1y x x= + +
6.
' 0y >
với
4 2
2 1y x x= − − +
7.

0y ≥
với
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
8.
' 0y ≤
với
2
3 3
1
x x
y
x
− +
=
−
V. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C)
1. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường cong (C) :
3
1y x x= − −
a. Tại điểm M
( )
1; 1− −

b. Tại điểm có hoành độ
0
2x =
c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2

2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường cong (C) :
3 2
3 1y x x= + −
a. Tại điểm M
( )
1;3
b. Tại điểm có hoành độ
0
1x = −
c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
3−


3. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường cong (C) :
3 2
4 3 6 5y x x x= − − +
tại điểm M
( )
3;68
4. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường cong (C) :
1 2
x
y
x
=

−
tại điểm có tung độ
0
1y = −
5. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường cong (C) :
3 1
1
x
y
x
− −
=
−
tại điểm có hoành độ
0
2x =
6. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường cong (C) :
3 2
3y x x= − +
.Biết rằng d song song
với đường thẳng
: 3y x∆ =
7. Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
(C)
a. Viết phương trình tiếp tuyến

∆
với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
0
2x =
b. Chứng minh rằng
∆
là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất .
8. Cho hàm số
3
3 1y x x= − + +
(C)
a. Viết phương trình tiếp tuyến
∆
với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
0
0x =
b. Chứng minh rằng
∆
là tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
9. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường cong (C) :
2
2 3y x x= − +
.Biết rằng
a. Tiếp tuyến d song song với đường thẳng
1
: 4 2 5 0x y∆ − + =
b. Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng
2
: 4 0x y∆ + =
2

BÀI TẬP TOÁN 11 NGUYỄN THANH LAM
10. Cho hàm số :
3 2
1
x
y
x
−
=
−
(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
a. Hoành độ tiếp điểm
0
0x =
b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
: 3y x∆ = − +
c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2
: 4 2009y x∆ = +
11. Cho hàm số
3
2 3y x x= − +
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết :
a. Hoành độ của tiếp điểm
0
1x = −
b. Tung độ của tiếp điểm
0
3y =

12. Cho hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
có đồ thị là (Cm).Tìm m để tiếp tuyến d của đồ thị (Cm)
tại điểm có hoành độ
0
1x = −
song song với đường thẳng
5y x=
13. Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm) của hàm số
2
2y x mx m= + +
cắt trục hoành tại hai
điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm này vuông góc với nhau.
14. Cho hai hàm số
1
2
y
x
=
(C
1
) và
2
2
x
y =

(C
2
)
a. Tìm giao điểm M của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của mỗi đồ thị tại giao điểm M
c. Tính góc giữa hai tiếp tuyến vừa tìm được .
VI. Các dạng toán khác có liên quan đến đạo hàm
1. Cho hai hàm số :
1
1
cos4
4
y x=
và
4 4
2
sin cosy x x= +
a. Chứng minh :
' '
1 2
y y=
b. Chứng minh :
2 1
3
4
y y= +

( Dùng kết quả của câu b để giải thích câu a )
2. Cho hai hàm số :
1
3
cos 4
8
y x=
và
6 6
2
sin cosy x x= +
a. Chứng minh :
' '
1 2
y y=
b. Chứng minh :
2 1
5
8
y y= +
( Dùng kết quả của câu b để giải thích câu a )
3. Cho hàm số
5 3
( ) 2 3f x x x x= + − −
. Chứng minh rằng :
'(1) '( 1) 4 (0)f f f+ − = −
4. Cho hàm số
( )
3 2
2

7
4
3 2 2
x mx
y m x m= − + + + −
. Tìm giá trị của
m
để
' 0y ≥
với mọi
x
5. Cho hàm số
( ) tan 2 cot 2f x x x= −
. Tính giá trị biểu thức A
3 3 ' 34
6 6
f f
π π
   
= + −
 ÷  ÷
   
6. Cho hàm số
2
( ) 2 16cos cos 2f x x x x= + −
a. Tính
'(0)f
;
''( )f
π

b. Giải phương trình :
''( ) 0f x −
6. Cho hàm số
2
( ) 2 16cos cos 2f x x x x= + −
a. Tính
'(0)f
;
''( )f
π
b. Giải phương trình :
''( ) 0f x =
7. Cho hàm số
2 2
( ) 2 2cos 14sinf x x x x= + +
a. Tính
'(0)f
;
''( )f
π
b. Giải phương trình :
''( ) 0f x =
8. Cho hàm số
2 2
( ) 2cos 4sin 2 1f x x x x= + + −
a. Tính
'(0)f
;
''( )f
π

b. Giải phương trình :
''( ) 0f x =
9. Cho hàm số
2
2y x x= −
. Chứng tỏ rằng :
3
'' 1 0y y + =
3
BÀI TẬP TOÁN 11 NGUYỄN THANH LAM
Phần II : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (Quan hệ vuông góc )
1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh :
a.
. . . 0AB CD AC DB AD BC+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b. Nếu tứ diện ABCD có
AC DB
⊥
và
AD BC
⊥
thì
AB CD
⊥
2. Cho tứ diện ABCD, có AB, AC, AD vuông góc với nhau đôi một, H là trực tâm của
tam giác BCD. Chứng minh :
a. AH vuông góc với mặt phẳng (BCD)
b.
2 2 2 2
1 1 1 1

AH AB AC AD
= + +
c. Gọi
; ;
α β γ
lần lượt là góc giữa đường thẳng AB, AC, AD và mặt phẳng (BCD).
Chứng minh :
2 2 2
sin sin sin 1
α β γ
+ + =
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
( )SA ABCD⊥
, M, N lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh bên SB, SC. Chứng minh :
( )SC AMN⊥
4. Cho tứ diện SABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B.
Mặt phẳng
( )
α
qua A và vuông góc với SC và cắt SB tại H. Chứng minh AH vuông
góc với mặt phẳng (SBC).
5. Cho tứ diện SABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), H, K lần lượt là trực tâm
của cáctam giác ABC, SBC. Chứng minh :
a. SC vuông góc với mặt phẳng (BHK)
b. HK vuông góc với mặt phẳng (SBC)
6. Cho tứ diện ABCD,AD vuông góc với (BCD), DI vuông góc với BC tại I và H là
trực tâm của tam giác BCD. Chứng minh : K là trực tâm của tam giác ABC.
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
SA SB SC a

= = =
. Chứng minh :
a.
( ) ( )SAC SBD⊥
b.
( ) ( )ABCD SBD⊥
c. Tam giác SBD vuông
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAB cân tại S, mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AD.
Chứng minh : a.
( ) ( )SAB SBC⊥
b.
( ) ( )SAB SAD⊥
c.
( ) ( )SCJ SID⊥
9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh :
a. Mặt phẳng (AB’C’D) vuông góc với mặt phẳng (BCD’A’)
b. Đường thằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD ) và (B’CD’)
10.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng
a
. Gọi O
là tâm của hình vuông ABCD.
a. Tính độ dài đoạn thẳng SO
b. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh :
( ) ( )MBD SAC⊥
c. Tính độ dài đoạn thẳng OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)
11.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm I cạnh
a
và có góc A bằng 60
0

; cạnh
6
2
a
sc =
và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a. Chứng minh :
( ) ( )SBD SAC⊥
b. Trong tam giác SAC kẻ IK vuông góc với SA tại K. Tính độ dài IK
c. Chứng minh :
( ) ( )SAB SAD⊥
Phần III : ĐỀ THAM KHẢO
4
BÀI TẬP TOÁN 11 NGUYỄN THANH LAM
ĐỀ ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài : 90 phút

Câu 1. ( 2 điểm ) Tính các giới hạn sau :
a.
3
9
lim
2
3
−
−
→
x
x
x

b.
2
37
lim
2
−
−+
→
x
x
x
c.
1
1
lim
3
1
−
−
→
x
x
x
Câu 2. ( 2 điểm ) Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a.
2
4 xxy +=
b.
xx
xx

y
cossin
cossin
+
−
=
c.
xxy 2sin2cos
44
−=
Câu 3. (2 điểm ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
23
23
+−= xxy
(1)
a. Tại điểm M (2 ;–2 )
b. Biết hệ số góc của tiếp tuyến là –3
Câu 4. ( 3 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên BC , DC
sao cho
2
a
BM =
;
4
3a
DN =
. Chứng minh :

a. Tam giác SAD vuông
b. BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) , BC vuông góc với mặt phẳng (SAB)
c. AM vuông góc với MN
Câu 5. ( 1 điểm ) Xác định m để
0)(' ≥xf

Rx ∈∀
, biết rằng :
12)1()(
23
++−+= xxmxxf

ĐỀ ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài : 90 phút
Câu 1. ( 3 điểm )
1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
22
2
++= xxy
tại điểm
1
0
=x

2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
54
34
34
−++= x

xx
y
b.
4
23
+
−
=
x
x
y
c.
12 −= xy
d.
2
13
2
−
−+
=
x
xx
y
Câu 2. ( 2 điểm ) Tính các giới hạn sau :
a.
2
4
lim
2
2

−
−
→
x
x
x
b.
x
x
x
112
lim
0
−+
→
c.
1
23
lim
2
2
1
−
+−
→
x
xx
x
Câu 3. (2 điểm ) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
xxy 2

2
+=
(1)
a. Tại điểm M (1 ; 3 )
b. Tại điểm N có hoành độ
2
0
=x
Câu 4. ( 3 điểm ) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, OH
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh :
a. BC vuông góc với mặt phẳng (OAH), AC vuông góc với mặt phẳng (OBH)
b. H là trực tâm của tam giác ABC
c.
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
Tháng 4 năm 2009
5
BÀI TẬP TOÁN 11 NGŨN THANH LAM
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
( C )’ = 0 , C : hằng số
( x )’ = 1
(
n
x
)’ =
1
.

−n
xn
(
x
1
)’ =
2
1
x
−
(
x
)’ =
x2
1
(
x
a
)’ =
aa
x
ln
( e
x
)’ = e
x
(
x
a
log

)’ =
ax ln.
1
(
xln
)’ =
x
1
(
x
n
ln
)’ =
x
xn
n
1
.ln.
1−
(
xsin
)’ =
xcos
(
xcos
)’ =
xsin−
(
tgx
)’ =

x
2
cos
1
=
xtg
2
1+
(
gxcot
)’ =
x
2
sin
1−
=
)cot1(
2
xg+−
(
x
n
sin
)’ =
xxn
n
cos.sin.
1−
(
x

n
cos
)’ =
xxn
n
sin.cos
1−
−
(
xtg
n
)’ =
x
xtgn
n
2
1
cos
1

−
(
xg
n
cot
)’ =
x
xgn
n
2

1
sin
1
cot.
−
−
QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
(
vu +
)’ =
.' ' vu +

(
vu.
)’ =
uvvu '' +
(
uk.
)’ =
'ku







v
u
’ =

2
''
v
uvvu −


HÀM SỐ HP
(
n
u
)’ =
'
1
uun
n−
(
u
1
)’ =
2
.'
u
u−

(
u
)’ =
u
u
2

.'
(
u
a
)’ =
aua
u
ln'
(
u
e
)’ =
'.ue
u

(
u
a
log
)’ =
au
u
ln.
.'
(
uln
)’ =
u
u.'
(

u
n
ln
)’ =
u
u
un
n
.'
.ln
1−
(
u.sin
)’ =
cos'. uu
(
u.cos
)’ =
uu .sin'.
−
(
utg.
)’ =
u
u
2
cos
.'
=
)1(.'

2
utgu +
(
ug.cot
)’ =
)cot1(.'
sin
.'
2
2
ugu
x
u
+−=
−
(
u
n
sin
)’ =
' cos.sin.
1
uuun
n−

(
u
n
cos
)’ =

.'.sin.cos.
1
uuun
n−
−
(
utg
n
)’ =
u
u
utgn
n
2
1
cos
.'

−
(
ug
n
cot
)’ =
u
u
ugn
n
2
1

sin
.'
.cot.
−
−

/






+
+
dcx
bax
=
( )
2
dcx
bcad
+
−

/
2
2
'''









++
++
cxbxa
cbxax
=
=
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
'''
''''2''
cxbxa
cbbcxcaacxbaab
++
−+−+−

6