Đề thi HSG$ ĐÁP ÁN môn Toán 7 năm học 2001-2002

PHòNG GD-ĐT lệ thuỷ đề kiểm tra môn toán lớp 7
Học sinh giỏi năm học 2001 2002
(Thời gian làm bài 150 phút)
1. (2,75 đ) Tìm x biết:
a) 0,2x + 7,51 = - 4,29
b)
1ax ax= +
( a > 0 )
2. (2,0 đ) Tỉ số hai cạnh của một hình chữ nhật là 0,6. Chu vi hình chữ nhật là
320m. Tính mỗi cạnh của hình chữ nhật.

3. (1,5 đ) So sánh
m m+
và
m m
.
4. (0,5 đ) Trong dãy số tự nhiên có thể tìm đợc 2002 số tự nhiên liên tiếp nhau mà
không có số nào là số nguyên tố đợc hay không.
5. (3,25 đ) Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn.
a) Chứng minh trung tuyến AM nhỏ hơn nửa tổng hai cạnh AB và AC.
b) Chứng minh
ã ã
CAM BAM<
c) Tia phân giác AD nằm giữa đờng cao AH và trung tuyến AM.
PHòNG GD-ĐT lệ thuỷ hớng dẫn chấm môn toán lớp 7
Học sinh giỏi năm học 2001 2002
Câu Nội dung Điểm
1.
(2,75 đ)
a) (1,25 điểm)
0,2x + 7,51 = - 4,29

0,2 x = -4,29 7,51
0,25 = -11,8
x = -59
b(1,5 điểm)
Với a > 0 ta có | ax| =
( 0 0
( 0 0
ax ax x
ax ax x



< <


+ TH1 : x

0 ta có
(1) => ax = ax + 1
0x = 1 (vô lí)
+ TH 2: x < 0 ta có
(1) => -ax = ax + 1
-2ax = 1
x =
1
2a
0,25
0,25
0,25
0,5

0,5
0,5
0,5
2. (2,0 đ)
Gọi x, y là kích thớc của hình chữ nhật ( x, y > 0)
Theo bài ra ta có:
3
5
x
y
=
; x + y = (320 :2) = 160
Từ
3
5 3 5
x x y
y
= => =
. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
ta có:
160
20
3 5 3 5 8
x y x y+
= = = =
+
=> x = 60; y = 100 (thoả mãn điều kiện)
Vậy kích thớc của hình chữ nhật là 60 và 100.
0,25
0,5

0,25
0,5
0,5
3. (1,5 đ)
Ta có | m| =
( 0)
( 0)
m m
m m



<

* TH1: Nếu m

0 ta có
|m| + m = 2m; m.|m| = m
2
+ Khi m = 0 thì ta có 2m = 0 và m
2
= 0
=> |m| + m = |m|.m
+ Khi m = 2 thì ta có 2m = 4 và m
2
= 4
=> |m| + m = |m|.m
+ Khi 0 < m < 2 thì ta có 2m > m
2

=> |m| + m > |m|.m
+ Khi m > 2 thì m
2
> 2m
=> |m| + m < |m|.m
* TH 2: Nếu m < 0
Ta có |m| + m = -m + m = 0 và |m|.m =-m.m = -m
2
<0
=> |m| + m > |m|.m
Kết luận:
+ m = 0 hoặc m = 2 thì |m| + m = |m|.m
+ 0 < m < 2 thì |m| + m > |m|.m
+ m > 2 thì |m| + m < |m|.m
+ m < 0 thì |m| + m < |m|.m
4. (0,5 đ)
Ta có thể tìm đợc dãy gồm 2002 số tự nhiên liên tiếp nhau
trong đó không có số nào là nguyên tố ( tức là dãy gồm 2002
số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số)
Ví dụ xét dãy số 2003! + 2 , 2003 ! + 3, , 2003 ! + 2003
(gồm 2002 số tự nhiên liên tiếp)
Trong đó các số trong dãy trên đều là hợp số
4.
(3,25 đ)
GT :

ABC có ba góc nhọn (AB < AC), trung tuyến AM
KL: a)
2
AB AC

AM
+
<
b)
ã
ã
ABM CBM>
c) Đờng phân giác tại góc đỉnh A nằm giữa đờng cao và
trung tuyến tơng ứng.
0,25
M'
H
D
M
C
B
A
Chứng minh :
a) Trên tia đối tia MA lấy điểm M sao cho AM = MM
Ta có

BMM =

CMA (c.g.c)
=> BM = AC
Xét

ABM ta thấy AB + BM > AM ( bất đẳng thức về
cạnh trong tam giác)
Mặt khác BM = AC; AM = 2AM

=>
2
AB AC
AM
+
<
( điều phải chứng minh)
b) Xét

ABM ta thấy BM > AB ( do AC > AB(gt) và
AC=BM theo chứng minh trên)
=>
ã
ã
'BAM AM B>
. Mặt khác
ã
ã
'CAM AM B=

=>
ã
ã
BAM MAC>
(đpcm)
c) Theo chứng minh câu b) ta có
ã
ã
BAM MAC>
và AD là phân

giác của góc BAC nên tia AD nằm giữa hai tia AM và AB.
Mặt khác trong tam giác ABD có góc BAD là góc nhọn nên
đờng cao AH nằm giữa hai tia AD và AB.
Vì AD, AH nằm cùng phía so với AM và
ã
ã
MAD MAH<

=> Tia AD nằm giữa hai tia AM và AH.
1,0
1,0
1,0
*L u ý: +HS làm cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
+Điểm số toàn bài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.