Đề thi HSG$ ĐÁP ÁN môn Toán 7 năm học 2003-2004

PHòNG GD lệ thuỷ đề kiểm tra môn toán lớp 7
Học sinh giỏi năm học 2003 2004
(Thời gian làm bài 120 phút)
1. (5,0 đ)
a) (1,0 đ) Tìm các số sau:
-Bình phơng của nó bằng chính nó.
-Lập phơng của nó bằng chính nó.
b) (1,0 đ) Tìm giá trị của đa thức sau
3 5 99
x x x x+ + + +K
tại x = -1.
c) (1,5 đ) Tìm
x Ô
biết
2
2
5
x x+ =
.
d) (1,5 đ) Tìm x, y, z biết x + 2y + 3z = 154 và
2 3
x y
=
;
4 5
y z
=
.
2. (2,0 đ) Cho tam giác ABC, I là điểm trong tam giác.
Chứng minh rằng:
ã

ã
ã
ã
BIC ABI ACI BAC= + +
.

3. (1,5 đ) Cho hình vẽ bên biết
à à
à
0
360A B C+ + =
.
Chứng minh rằng Ax // Cy
4. (1,5 đ) Tìm tất cả các số hữu tỉ x, y, sao cho hai số x + y và
1 1
x y
+
đều là số
nguyên.
y
x
b
c
a
PHòNG GD lệ thuỷ hớng dẫn chấm môn toán lớp 7
Học sinh giỏi năm học 2003 2004
Câu Nội dung Điểm
1.(5,0 đ) a) Các số bình phơng của nó bằng chính nó là 0; 1
Các số lập phơng của nó bằng chính nó là -1; 0; 1
b)Thay x = -1 vào biểu thức ta có:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 5 99
3 5 99
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 50
x x x x+ + + +
= + + + +
= + + + +
= =
K
1 4 4 2 4 43
50 số hạng
c)Xét
2 2
0
5 5
x x+
T có
2 2
2
5 5
x x x+ = =
.
Vì
2 2
5 5
>
nên

2
5
x =
.
Xét
2 2
0
5 5
x x+ < <
T có
2 2
2
5 15
x x x

= =
.
Vì
2 2
15 5

>
nên không có giá trị của x thoả mãn điều
kiện bài toán.
d)Từ
2 3 2.4 3.4 8 12
x y x y x y
= = =
Và từ
4 5 3.4 3.5 12 15

y z y z y z
= = =
Do đó
8 12 15
x y z
= =

Suy ra
2 3 2 3 154
2
8 24 45 8 24 475 77
x y z x y z+ +
= = = = =
+ +
Vậy x = 8.2 =16; y = 12.2 = 24; z = 15.2 =30.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,75
0,75
0,5
0,75
0,25
2. (2,0 đ)
Ghi GT, KL, hình vẽ đúng:
2
2
1
1

1
2
d
b
i
a
0,5
Nối AI kéo dài cắt BC tại D.
Ta có:
ã
à à
1 1
BID A B= +
,
ã
ả
à
2 1
CID A C= +
suy ra
ã ã
à à
ả
à
1 1 2 1
BID CID A B A C+ = + + +
hay
ã
ã
ã

ã
BIC ABI ACI BAC= + +
0,5
1,0
3. (1,5 đ)
2
2
1
y
'
z
x
y
b
c
a
BZ // Cy và tia cy.
Ta có:
à
ả
à
0
1 2
180B C C= =
(so le trong).
ả
à
à
à
à

( )
à
à
0 0
2 1
180 180B B B B C B C= = = +
.
à
ả
à à
à
0 0 0 0
2
180 360 180 180A B A B C+ = + + = =
Mà
à
A
và
ả
2
B
là hai góc trong cùng phía, vậy Ax // Bz
mà Bz // Cy (theo cách vẽ) nên Ax // Cy.
0,5
0,25
0,25
0,5
4. (1,5 đ)
Do x, y
Ô

; x, y

0 nên đặt
a
x
b
=
;
c
y
d
=
trong đó
a, b, c, d
Â
; a,c

0; b, d > 0; (a, b) = (c, d) =1.
a c ad bc
x y ad bc bd
b d bd
+
+ = + = +Â M
(1)
ad bc b d b
b d
ad bc d b d
+

=

+

M M
M M
(do (a, b) = (c, d) =1)
Lại có
1 1 b d bc ad
bc ad ac
x y a c ac
+
+ = + = +Â M
bc ad a bc a c a
a c
bc ad c ad c a c
+

=

+

M M M
M M M
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
a c
b d
=
hay x =

y.
Nếu x = -y thì x + y = 0;
1 1
0
x y
+ =
.
Nếu x = y
a
b
=
khi đó:
2
2 1; 2
a
x y b b
b
+ = = Â M
1 1 2
2 1; 2
b
a a
x y a
+ = = Â M
Suy ra
1
1; 2;
2
a
x y

b
= = =
.
0,75
0,75
Các cặp (x; y) cần tìm là (1; 1); (-1; -1); (2; 2);
(-2; -2);
1 1 1 1
; ; ;
2 2 2 2


ữ ữ

.
*L u ý: +HS làm cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
+Điểm số toàn bài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.