Đề thi HSG$ ĐÁP ÁN môn Toán 7 năm học 2005-2006

PHòNG GD lệ thuỷ đề kiểm tra môn toán lớp 7
Học sinh giỏi năm học 2005 2006
(Thời gian làm bài 150 phút)
1. (1,5 đ) Hãy so sánh:
a) (1,0 đ)
1
2
n
n
+
+
và
3
n
n +
(
*n Ơ
).
b) (0,5 đ)
3
2
3
2
và
2
3
2
3
.
2. (2,0 đ) Tìm x biết
3 1

: 2
5 2
x + =
.
3. (1,0 đ) Cho a và b là hai số hữu tỉ chứng minh
. .a b a b=
.
4. (1,5 đ) Chứng tỏ rằng đa thức
( )
2
1f x x x= + +
không có nghiệm.
5. (1,0 đ) Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

2
AB AC
AD
+
<
.
6. (2,5 đ) Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC. Gọi M và N lần lợt là trung
điểm của AB và AC. Kẻ NH vuông góc với CM tại H. Kẻ HE vuông góc
với AB tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân.
7. (0,5 đ) Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n sao cho 3
n
tận cùng bằng 001.
PHòNG GD lệ thuỷ hớng dẫn chấm môn toán lớp 7
Học sinh giỏi năm học 2005 2006
Câu Nội dung Điểm
1.(1,5 đ)

a)Chọn
1
3
n
n
+
+
làm trung gian ta có:
1 1
2 3
n n
n n
+ +
>
+ +
;
1
3 3
n n
n n
+
>
+ +
do đó ta có
1
2 3
n n
n n
+
>

+ +
.
1,0
b)Ta so sánh hai số mũ:
3
2 8 4 4 12 10
3 3 9 8 2 2= = > = >
.
Từ đó
3 2
2 10 9 9 9 3
3 2 2.2 2 2 2
2 2 2 4 3 3> = = > =
.
Suy ra
3 2
2 3
3 2
2 3>
.
0,25
0,25
2. (2,0 đ)

3 1
: 2
5 2
3 1
: 2
5 2

3 3
:
5 2
3 3 9
2 5 10
x
x
x
x
+ =
=
=
= ì =
0,75
0,75
0,5
3. (1,0 đ)
Xét các trờng hợp:
0; 0a b
:
. ; ,a b ab a a b b a b ab= = = ì =
(Đúng)
0; 0a b
: (Lập luận tơng tự)
0; 0a b
:
0; 0a b
:
1,0
4. (1,5 đ)

Xét
0x
: Ta có
2 2
0 1 0x x x x+ + + >
.
Xét -1 < x < 0. Ta có x + 1 > 0;
2 2
0 1 0x x x> + + >
.
Xét
1x

: Ta có
Nếu x = -1 thì
2
1 1 0x x+ + = >
;
Nếu x < -1 thì
2 2
0 1 0x x x x+ > + + >
.
Vậy trong mọi trờng hợp đều có
2
1 0x x+ +
, chứng
tỏ đa thức
( )
2
1f x x x= + +

không có nghiệm.
0,5
0,5
0,5
5. (1,0 đ)
Ghi GT, KL, hình vẽ đúng:
b
d
c
e
a
Trên tia đối tia DA lấy điểm E sao cho AD = DE.
Ta có

ABD =

ECD (c.g.c)

AB = CE.
Trong

ACE có AE < CE + CA
AE < AB + CA

2
AB AC
AD
+
<
0,25

0,75
6. (2,5 đ)
Ghi GT, KL, hình vẽ đúng:
1
1
1
2
n
q
h
c
a
m
e
k
b
Từ A kẻ AK

MC tại K, từ A kẻ AQ

HN tại Q.

MAK =

NCH (c.h g.n)

AK = HC (1).
Và

BAK =

ACH (c g - c)


ã
ã
BKA AHC=
.
Lại có

AQN =

CHN (c.h g.n)

AQ = CH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ

AH là phân giác
ã
KHQ



ã
0
45AHQ =


ã

0
135AHC =


ã
0
135BKA =

ã
0
135BKH =
.
Do đó

BAK =

BHK (c g - c)

BA = BH hay

ABH cân tại B.
0,5
0,75
0,75
0,5
7. (0,5 đ)
Trong phép chia cho 1000 có 1000 số d là 0; 1; 2;;
999.
Ta xét 1001 số là 3;
2 3 1001

3 ;3 ; ;3
thì tồn taịi hai số có
cùng số d trong phép chia cho 1000.
Gọi hai số đó là
3
k
và
3
l
với
1 1001k l
.
Ta có
3 3 1000
l k
M
, do đó
3 3 1000
k l k k+
M
hay
( )
3 3 1 1000
k l k
M
mà
( )
3 ,1000 1
k
=

suy ra
3 1 1000
l k
M
tức là
3
l k
có tận cùng bằng 001.
0,25
0,25
*Lu ý: +HS làm cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
+Điểm số toàn bài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.