giao an on thi tot nghiep TOAN 12 HR

Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
Tổng số 15 tiết:
- Các tiết: 84,85, 86, 87, 88, 89, 90 GIẢI TÍCH
- Các tiết : 49, 50 HÌNH HỌC
- 5 tiết tăng cường cho ơn tập
A/ GIẢI TÍCH
PHẦN I. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
VẤN ĐỀ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Nắm được định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số.
2. Định lý. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
+ Nếu
( )
' 0,f x x I≥ ∀ ∈
và
( )
0' =xf
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng
biến trên I
+ Nếu
( )
' 0,f x x I≤ ∀ ∈
và
( )
0' =xf
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f nghịch
biến trên I
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 + 2 b) y = -x4 + 4x2 – 3 c)

1
2
x
y
x
+
=
−
d)
2
75
2
−
+−
=
x
xx
y
e)
3
2
xy =
f)
( )
π
2x0 sin2 <<−= xxy
g) y = x – ex
Bài 2. . Tìm m để hàm số
( ) ( )
3

1
231
3
2
3
+−+−−= xmxm
mx
y
luôn luôn đồng biến trên tập
xác đònh
VẤN ĐỀ II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm cực trị của hàm số
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
3. Hai quy tắc tìm cực trị của hàm số:
a. Quy tắc 1:
+ Tìm
( )
xf
′
.
+ Tìm các xi (i = 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục
nhưng khơng có đạo hàm.
+ Xét dấu
( )
xf
′
. Nếu
( )
xf

′
đổi dấu khi x đi qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại x
i

b. Quy tắc 2:
+Tính
( )
xf
′
.


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán Năm học : 2009 - 2010
Tổ Toán- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
+ Tìm các nghiệm xi (i = 1,2,…) của phương trình
( )
0=
′
xf
.
+ Tìm
( )
xf
′′
và tính
( )
i
xf
′′
.

* Nếu
( )
0
i
f x
′′
<
thì hàm số đạt đại tại điểm xi
* Nếu
( )
0
i
f x
′′
>
thì hàm số đạt tiểu tại điểm xi
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng quy tắc 1, tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 3x2 – 2x3 b)
3
2
2
4
+−= x
x
y
c)
2
1
2

−
−−
=
x
xx
y
d)
3
152
2
−
−−
=
x
xx
y
Bài 2. Dùng quy tắc 2, tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x2 + 3 b) y = 3x5 – 125x3 + 2160x c) y = sin2x – x
Bài 3. Định m để hàm số
1
2
2
−
+−
=
x
mxx
y
có cực đại và cực tiểu (ĐS m < 3)
Bài 4. Định a, b để hàm số

bax
x
y +−=
2
4
2
đạt cực trị bằng -2 tại x = 1
Baøi 5. Tìm m ñeå haøm soá
2
3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=
−
(m laø tham soá) có cực đại, cực tiểu
và các giá trị cực trị trái dấu
VẤN ĐỀ III: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
2. Quy tắc tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
[ ]
;a b

+Tìm các
1 2
, , ,
n

x x x
thuộc đoạn
( )
;a b
tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.
+ Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
, , , , ,
n
f x f x f x f a f b
.
+ So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn
[ ]
;a b
, số nhỏ nhất trong các
giá trị đó là GTNN của f trên đoạn
[ ]
;a b
.
II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm só :
a)
22
2
−+= xxy
b)
,

1
2
x
xx
y
++
=
trên
( )
0;∞−

c)
52
24
+−= xxy
trên [-3;2] d)
2
100 xy −=
trên [-8;6]
e) y = x
2
.ex trên [-3;2] f)
1sinsin
1sin
2
++
+
=
xx
x

y
VẤN ĐỀ IV: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hàm số y = f(x)
1. Nếu
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
lim
lim
lim
lim
x x
x x
x x
x x
f x
f x
f x
f x
−

−
+
+
→
→
→
→
= +∞


= −∞

⇒

= +∞


= −∞


đường thẳng x = x
0
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )y f x=
.
2. Nếu
( )
( )
0
0

lim
lim
x
x
f x y
f x y
→+∞
→−∞
=

⇒

=

đường thẳng y = y
0
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )y f x=
.

II.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm các tiệm cận của các đường cong sau:
a)
1
52
−
−
=
x
x

y
b)
3 5
3 2
x
y
x
+
=
+
c)
2 5
1
x
y
x
+
=
+
d)
3 3
2
x
y
x
− +
=
−
VẤN ĐỀ V: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Xét sự biên thiên của hàm số.
a. Tìm giới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực (nếu có) của hàm số.
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị
của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số
+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn giao điểm của đồ thị
với các trục toạ độ
II. MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ.
Bài tốn 1. Giao điểm của hai đồ thị
Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có hai đồ thò (C1) và (C2).
Hãy tìm các giao điểm của (C1) và (C2).
Cách giải: * Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có nghiệm x0
* Thay x
0
vào một trong hai hàm số ta có y
0
.
* Tọa độ giao điểm là M(x
0
,y
0
).


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010

Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
Nhận xét: Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm phương trình f(x) =
g(x) .
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong
Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hồnh độ tiếp điểm của
hai đường cong đó.
Giả sử hai hàm số lần lượt có hai đồ thò (C1) và (C2).
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thò (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết:
1) Đường thẳng d tiếp xúc (C) tại M(x0;y0).
Cách giải: Tìm f’(x) và áp dụng công thức tiếp tuyến:
y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
).
2) Đường thẳng d có hệ số góc k.
Cách giải: Giải phương trình f’(x) = k có nghiệm x0 là hoành độ tiếp điểm áp

dụng câu 1)
3) Đường thẳng d đi qua A(xA;yA).
Cách giải: * Viết phương trình đường thẳng d qua A là: y = k(x – xA) + yA
* Điều kiện để d tiếp xúc (C) là hệ:



=
+−=
k)x('f
y)xx(k)x(f
AA
Phải có nghiệm và nghiệm chính là hoành độ tiếp điểm và hệ số góc k.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hàm số: y =
2 3
2
x
x
−
+

1) Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số
2) Tìm m đđể đường thẳng y = -x + m cắt đồ thò (C) tại hai điểm phân biệt.ø
Bài 2: Cho hàm số: y = -x3 - 3x2 + 2.
1)Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2)Biện luận bằng đồ thò số nghiệm của phương trình: x3 +3x2 + 1 + m = 0 (1).
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là nghiệm phương trình y’’ = 0.
Bài 3: Cho hàm số f(x) =
2

2
x
x
−
+
1) Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số
2)Tìm điểm thuộc đồ thò có toạ độ nguyên
Bài 4: Cho hàm số y= x4+2(m-2)x2+m2-5m+5 . (Cm), m là tham số
1)Khảo sát và vẽ đồ thò (C1) của hàm số khi m=1


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
A(0; 1).
3)Tìm m để đồ thò của hàm số cắt trục O x tại 4 điểm phân biệt ;


PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT
A. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Các kiến thức cần nhớ:
1) Hàm số mũ y = ax:
- TXĐ: R, ax > 0 với mọi x.
- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
- Các tính chất của lũy thừa.
2) Dạng cơ bản:
)x(glog)x(f
0)x(g,1a0
)x(ga
);x(g)x(f

1a0
aa
a
)x(f)x(g)x(f
=⇔



>≠<
=
=⇔



≠<
=



<
<<
∨



>
>
⇔>
)x(g)x(f
1a0

)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f
3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ:
- Đưa về cùng cơ số
- Lơgarít hai vế (dạng:
cba,ba
)x(g)x(f)x(g)x(f
==
)
- Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
a)
5
1
5.25.3
1x1x2
=−
−−
b)
2655
x1x1
=+
−+
c)
09.66.134.6
xxx
=+−

d)
016,0.25,62.1225
xxx
=−−
Bài 2: Giải các phương trình:
a)
2
3 2.3 15 0
x x
− − =
b)
1 3
5 5 26 0
x x− −
+ − =
c) 3
3.4 2.10 25 0
x x x
− − =

Bài 3: Giải các bất phương trình:
a)
077.649
xx
<−−
b)
1x
x
1x
1x

32.25,04
++
−
≤
c)
0273.43
2x2x2
>+−
++
d)
06,1)4,0.(2)5,2(
xx
<+−
B. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
Kiến thức cơ bản:
- Định nghĩa:
y
a
axxlogy =⇔=
- Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0,
1a0 ≠<
. Tập giá trị: R


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu
1a0 ≠<
- Các cơng thức biến đổi:
1alog

a
=
01log
a
=
xa
xlog
a
=
loga(b1.b2)= loga|b1| + loga|b2|
1
1 2
2
log log log
a a a
b
b b
b
= −
blog.clogblog
caa
=
alog
1
blog
b
a
=
c
a

c
log b
log b
log a
=
α
α
a a
log b log |b|=
1
log log
α
a
a
b b
α
=
- Phương trình và bất phương trình cơ bản:



>=
≠<
⇔=
0)x(g)x(f
1a0
)x(glog)x(flog
aa











>>
>



<<
<<
⇔>
0)x(g)x(f
1a
)x(g)x(f0
1a0
)x(glog)x(flog
aa
- Phương pháp giải thường dùng:
+ Đưa về cùng cơ số
+ Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản.
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
a) log
2
(x

2
+ 3x + 2) + log
2
(x
2
+ 7x + 12) = 3 + log
2
3
b) log
3
(2 - x) - log
3
(2 + x) - log
3
x + 1 = 0
c)
3 2
1
log( 8) log( 4 4) log(58 )
2
x x x x+ − + + = +
d)
2
2 1
2
log ( 1) log ( 1)x x− = −

Bài 2: Giải các phương trình:
a)
3 4 12

log log logx x x+ =
b)
2 3 6
log log logx x x+ =

Bài 4: Giải các bất phương trình:
a) log
3
(x + 2) > log
81
(x+2) b)
2)
4
1
x(log
x
≥−
c)
15
2
3
<
−
x
x
log
d)
13
2
3

>−
−
)x(log
xx
PHẦN III . : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
A.KI Ế N TH Ứ C C Ầ N NH Ớ
1. Đònh nghóa: Hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F được gọi là của f trên K nếu
'( ) ( ),F x f x x K= ∀ ∈
.


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
Chú ý
( ) ( )f x dx F x C= +
∫
: Họ tất cả các nguyên hàm của f trên K.
2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
1)
0dx C=
∫
;
∫
+= Cxdx
2)
1
. ( 1)
1
x

x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫

3)
ln . ( 0)
dx
x C x
x
= + ≠
∫

4) Với k là hằng số khác 0.
a.
cos
sin
kx
kxdx C
k
= − +
∫
; b.
sin
cos

kx
kxdx C
k
= +
∫
;
c.
kx
kx
e
e dx C
k
= +
∫
; d.
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
;
5) a.
2
1
tan
cos

dx x C
x
= +
∫
; b.
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
.
3. Các phương pháp tính nguyên hàm
a.Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè:
[ ] [ ]
( ) '( ) ( )f u x u x dx F u x C= +
∫

a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần:
.udv u v vdu= −
∫ ∫

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
1.
3 2
( ) 2 3 2f x x x x= − + −
; 2.

2
( ) 3 3f x x x x= + + +
; 3.
( ) sin 2cos( 1) 3f x x x= + + +
;
4.
2
2 1
( )
3
x
f x
x x
+
=
+ +
; 5.
3 2
( ) (2 1) 5f x x x x= + + +
; 6.
5
( ) sin .cosf x x x=
;
7.
( ) .sinf x x x=
; 8.
2
( ) .sinf x x x=
; 9.
2

( ) .cosf x x x=
;
II. TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −
∫
2. Tính chất Với f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K.
Khi đó ta có:
1)
∫
a
a
dx)x(f
= 0; 2)
∫
a
b
dx)x(f
= -
∫
b
a
dx)x(f
;
3)
( )
b

a
f x dx
∫
+
( )
c
b
f x dx
∫
=
( )
c
a
f x dx
∫
; 4)
∫
±
b
a
dx)]x(g)x(f[
=
∫
b
a
dx)x(f
±
∫
b
a

dx)x(g
;
5)
∫
b
a
dx)x(f.k
= k.
∫
b
a
dx)x(f
; k
R∈
2. Các phương pháp tính tích phân
a.Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè:
[ ]
( )
( )
( ) '( ) ( )
u b
b
a
u a
f u x u x dx f u du=
∫ ∫


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ

a.Ph¬ng ph¸p tích phân từng phần:
( )
( ) '( ) ( ) ( ) | ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
∫
3
1. (x + 11) dx
;
2.
∫
x x 3
e (3e + 1) dx
;
3.
∫
2
2
2
1
3x + x
dx
x
;

∫
3
1
4. (x + 4)dx
;
∫
2
-2
5. x(x - 1)dx
;
6.
∫
1
2 x
0
(x + e )dx
;
.
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
π
π
∫
-
1. (2sinx - cosx)dx
;
π
∫
3
2
0

1
2. (sinx + )dx
cos x
;
3.
π
∫
4
0
cosx(1 + 2tgx)dx
;
π
π
∫
3
4
2
6
1 - sin x
4. dx
sin x
;
π
∫
2
0
cos2x
5. dx
sinx + cosx
;

π
∫
2
4
0
x
6. cos dx
2
.
π
∫
2
4
0
7. tg xdx
;
π
π
∫
4
2 2
6
dx
8.
cos xsin x
;
∫
5
9. sin xcosxdx
;

Bài 3. Tính các tích phân sau
∫
2
1. 2x x +1dx
;
∫
2 3
2. 5x x - 1dx
;
∫
2
3
3x + 1
3. dx
x + x + 2
;
∫
2
4x + 2
4. dx
x + x
;
∫
2
2
0
3
3
3x
5. dx

1 + x
;
∫
2
2
1
2x - 1
6. dx
x - x + 6
;
Bµi 4: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
π
∫
0
1. xsinxdx
;
π
∫
0
2. xcosxdx
;
∫
e
1
3. xlnxdx
;
∫
2
x
1

4. xe dx
;
π
∫
2
0
5. (x + 1)sin3xdx
;
π
∫
2
0
6. xsin xdx
;
π
∫
2
0
7. xcos xdx
;
π
π
∫
3
2
4
xdx
8.
sin x
;

III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
a. Hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
thì diện tích S của hình phẳng giới hạn
bởi đồ thò hàm số
( )y f x=
, trục hoành và đường thẳng
,x a x b= =
là
| ( )|
b
a
S f x dx=
∫
b. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số
( )y f x=
,
( )y g x=
liên
tục trên đoạn
[ ]
;a b
và hai đường thẳng
,x a x b= =
là:
| ( ) ( ) |

b
a
S f x g x dx= −
∫
2. THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
Hàm số
( )y f x=
liên tục, không âm trên đoạn
[ ]
;a b
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ
thò hàm số
( )y f x=
, trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b= =
, quay quanh trục hoành
tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:
2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫
BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Bài 1. TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (C) cđa hµm sè y = 2 - x
2
víi ®êng
th¼ng (d): y = x.
Bài 2. Cho hµm sè y =
( )
3
x 1+
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ ph¬ng
tr×nh tiÕp tun cđa nã t¹i A(0,1).
Bài 3. Cho hµm sè y =
3x 5
2x 2
+
+
(C) . TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C) vµ c¸c trơc
Ox; Oy vµ ®êng th¼ng x = 2.
Bài 4 TÝnh thĨ tÝch vËt trßn xoay t¹o nªn bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng y = 2x - x
2
, y = 0 khi ta quay quanh:Trơc Ox.
Bài 5 TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay ®ỵc t¹o thµnh do h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi :
y =
x
xe
, x = 1 vµ y = 0 (
0 x 1
≤ ≤
) khi ta quay quanh (D) quanh Ox.
PHẦN IV: SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Tập hợp số phức: C
2. Số phức (dạng đại số) :
z = a + bi (a, b
R∈
, i là đơn vị ảo, i2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo của z
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo
⇔
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau:
a + bi = a’ + b’i
)',',,(
'
'
Rbaba
bb
aa
∈



=
=
⇔
4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b
)R∈
được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay
bởi

);( bau =
→
trong mp(Oxy) (mp phức) y
M(a+bi)

0 x
5. Cộng và trừ số phức :
. (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
. (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
)R∈
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b
)R∈


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán Năm học : 2009 - 2010
Tổ Toán- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
• z biểu diễn
→
u
, z’ biểu diễn
→
'u
thì z + z’ biểu diễn bởi
→→
+ 'uu
và z – z’ biểu diễn bởi
→→
− 'uu
6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’
)R∈

.
7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz −=
−
a)
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
b) z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
8. Môđun của số phức : z = a + bi
a)
OMzzbaz ==+=
22
b)
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''.
9. Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z
)0≠
:
z
z
z
2
1
1
=
−

b) Thương của z’ chia cho z (z
)0≡
:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'
'
2
1
===
−
c) Với z
.'
'
,0 wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z
z

z
z
'
'
,
''
==






10. Phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A
0≠
).
2
4b ac∆ = −
B. BÀI TẬP
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)
b) (1 + i)2 – (1 – i)2
c) (2 + i)3 – (3 – i)3
d)
i
i
i
i −
−
+

− 2
1
3

Bài 2: Tìm z
a)
i
i
z
i
i
+
+−
=
−
+
2
31
1
2
b)
1
[(2 ) 3 ]( ) 0
2
i z i iz
i
− + + + =

Bài 3: Phân tích ra thứa số :
a) a

2
+ 1 b) 2a
2
+ 3 c) 4a
4
+ 9b
2


Bài 4: Thực hiện phép tính :
a)
i21
3
+
b)
i
i
−
+
1
1
c)
mi
m
d)
aia
aia
−
+

e)
)1)(21(
3
ii
i
+−
+
f)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+−+
−−+



Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán Năm học : 2009 - 2010
Tổ Toán- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
Bài 5: Giải các phương trình sau trong C.
a)
01.3
2
=+− xx
b)
02.32.23
2
=+− xx

c) x2 – 3x + 4 = 0 d) x2 – x + 3 = 0
B/ HÌNH HỌC
Phần 1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Các công thức tính thể tích
KC KLT KHCN
day
1
V Bh; V Bh; V a.b.c
3
ˆ
B S ; h Chie u cao.
`
′
= = =
= =
Bài tập
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy , cạnh bên SB bằng a
3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 45
0
. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD.
3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
4. Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = b, góc C =
60
0

.Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 30
0
.
a) Tính độ dài đoạn AC’
b) Tính thể tích của lăng trụ.
5. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C
b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E
và F. Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE.
6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và thể tích
khối hộp.
7. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên với đáy
bằng 60
0
.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy.
c) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó.
8. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, AC = a, SA
⊥
(ABC), góc giữa
cạnh bên SB và đáy bằng 60
0
.
a) Chứng minh BC
⊥
(SAB)
b) Tính thể tích tứ diện SABC.
9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
⊥

(ABC), góc
giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng 60
0
.


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và tính bán kính của mặt cầu đó.
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, gọi I là trung điểm của
AB, SI
⊥
(ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp.
Phần 2. MẶT TRỊN XOAY
A. MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1. Định nghĩa :
Mặt cầu (S) có tâm O bán kính R kí hiệu: S(O; R). S(O; R) = {M| OM = R}
2. Vò trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên
(P).
Khoảng cách từ O đến (P) là độ dài đoạn OH . Ta có:

) ( ) ( ; )a OH R P S O R> ⇔ ∩ = ∅

{ }
) ( ) ( ; )b OH R P S O R H= ⇔ ∩ =
) ( ) ( ; ) ( ; )c OH R P S O R C H r< ⇔ ∩ =

- H gọi là tiếp điểm
2 2
r R d= −
- (P) gọi là tiếp diện
3. Vò trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên
d.
Khoảng cách từ O đến d là độ dài đoạn OH. Tacó:


R
O
A
P
C(O;R)
S(O;R)
P
C(O;R)
S(O;R)
P
C(O;R)
S(O;R)
d
R
d
R
H
B
O

O
O
A
H
H
P
S(O;R)
P
S(O;R)
P
S(O;R)
R
R
r
R
M
M
O
O
O
H
H
H
M
Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
) ( ; )a OH R d S O R> ⇔ ∩ = ∅

{ }
) ( ; )b OH R d S O R H= ⇔ ∩ =

{ }
) ( ; ) ;c OH R d S O R A B< ⇔ ∩ =

- H gọi là tiếp điểm - d gọi là cát tuyến
- d gọi là tiếp tuyến - AB gọi là dây cung
4. Tính chất tiếp tuyến của mặt cầu
Từ điểm A ngoài S(O; R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu
a) Độ dài các đoạn nối A với tiếp điểm bằng nhau.
b) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên S(O; R).
5. Các công thức:
Diện tích mặt cầu:
2
4S R
π
=
Thể tích khối cầu:
3
4
3
V R
π
=

Chú ý: V’ = S
BÀI TẬP
Dạng 1: Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu bằng đònh nghóa
- Tập hợp những điểm M cách đều một điểm O cố đònh là một mặt cầu tâm O,
bán kính OM
- Các điểm cùng nhìn đoạn AB cố đònh dưới một góc vuông là mặt cầu tâm là

trung điểm O của AB, bán kính
2
AB
R =
.
- Tập hợp những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai
điểm A, B cố đònh bằng hằng số k
2
là mặt cầu, tâm là trung điểm O của AB, bán
kính
2 2
1
2
2
R k AB= −
Bài tập áp dụng
1) Chứng minh tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu.
HD: - Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A’B’C’D’
- Chứng minh A, B, C, D, A’, B,’ C’, D’ cách đều một điểm cố đònh.
Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình hộp chữ nhật.
Ta có O cách đều A, B, C, D, A’, B’, C’, D’
2) Cho tam giác ABC vuông tại B, DA vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a) Xác đònh mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D.
b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính mặt cầu trong a).


H
A
O
T

2
T
1
O
D
A
C
B'
A'
D'
C'
B
3a
4a
5a
A
B
C
D
Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
HD: a) Ta có
BC AB
BC BD
BC AD
⊥

⇒ ⊥

⊥



và
( )DA ABC DA AC⊥ ⇒ ⊥
Vậy A và B cùng nhìn CD dưới một góc vuông
Nên thuộc mặt cầu đường kính CD
b) Bán kính mặt cầu
2 2
5 2
2 2 2
DC BD BC a
R
+
= = =
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác đều có SA vuông góc với mặt
phẳng đáy ABCD. SA = AB = a.
a) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C.
b) Tính diện tích mặt cầu.
HD: a) - Ta có A, B, D cùng nhìn đoạn SC dưới một góc vuông
nên năm điểm S, A, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu
đường kính SC.
- Bán mặt cầu
2 2
3
2 2 2
SC BS BC a
R
+
= = =
b) Diện tích của mặt cầu

2 2
4 3S R a
π π
= =
Dạng 2: Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ
a) Cách xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (hình chóp nội
tiếp mặt cầu)
*) Điều kiện hình chóp đáy có đường tròn ngoại tiếp
- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy
- Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên
- Xác đònh giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đáy với mặt phẳng trung
trực vừa dựng.
b) Cách xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (hình lăng
trụ nội tiếp mặt cầu)
*) Điều kiện lăng trụ phải là lăng trụ đứng, đáy có đường tròn ngoại tiếp
- Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy (đường thẳng nối tâm hai đáy)
- Trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăngt trụ.
Bài tập áp dụng
4) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b và OC =
c. Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ điện OABC.
HD: Xác đònh tâm mặt cầu:
- Gọi E là trung điểm của BC
⇒
E là tâm đường ngoại tiếp tam giác OBC
- Dựng đường thẳng d vuông góc với (OBC) tại E


a
a
B

A
D
C
S
P
d
I
D
E
A
O
C
B
Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
- Dựng mặt phẳng trung trực (P) của cạnh OA
- (P) cắt d tại I. Ta có IB = IC = IO = IA
⇒
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Tính bán kính:
- Ta có bán kính
2
2
2 2
2 2
2 2
a b c
R IO EI OE
 
+

 
= = + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2 2 2
1
2
R a b c⇒ = + +
5) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
ĐS:
2
2
2 2
3 21
' ' '
2 3 6
a a a
R OG G A
 
 
= + = + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 

Dạng 3: Sự tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng, đường thẳng
a) Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O lên (P)
) ( ) ( ; )a OH R P S O R> ⇔ ∩ = ∅

{ }
) ( ) ( ; )b OH R P S O R H= ⇔ ∩ =
. H gọi là tiếp điểm; (P) gọi là tiếp diện
) ( ) ( ; ) ( ; )c OH R P S O R C H r< ⇔ ∩ =
.
2 2
r R d= −

b) Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu của O lên d

) ( ; )a OH R d S O R> ⇔ ∩ = ∅
.
{ }
) ( ; )b OH R d S O R H= ⇔ ∩ =
. H gọi là tiếp điểm; d gọi là tiếp tuyến.
{ }
) ( ; ) ;c OH R d S O R A B< ⇔ ∩ =
. d gọi là cát tuyến; AB gọi là dây cung.
Bài tập áp dụng
6) Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R, điểm A nằm trên mặt cầu, (P) là mặt phẳng
qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 30
0
.
a) Xác đònh vò trí tương đối của (P) và mặt cầu. Tính diện tích thiết diện.
b) Đường thẳng
∆

qua A vuông góc với (P) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài
đoạn AB.
HD: a) - Gọi H là hình chiếu của O lên (P)
Ta có
·
0
R
OAH 30 OH
2
= ⇒ =
Vậy (P) cắt (S)
Diện tích thiết diện:
2
2 2
R R 3
S HA R -
2 2
π
π π
 
= = =
 ÷
 
b) Gọi I là trung điểm của AB
Ta có OI vuông góc AB


P
S(O;R)
R

30
0
∆
I
B
H'
O
H
A
Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
B. MẶT TRỤ, MẶT NÓN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
A. MẶT TRỤ
1. Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng
∆

song song với l.
- Đường thẳng
∆
là trục
- Khoảng cách giữa
∆
và l là bán kính
2. Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một hình chữ nhật quanh trục của nó.
3. Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của nó.
4. Các công thức Công thức tính diện tích
xq
S =2 Rh
π

;
TP xq 2
S = S + S = 2 R.(h +R)
π
đáy
Công thức tính thể tích
2
V= R .h
π
Chú ý: V’ = S
xq
B. MẶT NÓN
1. Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng
∆
cắt l nhưng không vuông góc với l.
- Đường thẳng
∆
là trục
- Giao điểm O của l và
∆
gọi là đỉnh.
- Hai lần góc hợp bởi l và
∆
gọi là góc ở đỉnh.
2. Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một tam giác cân quanh trục của nó.
3. Khối nón là hình nòn cùng với phần bên trong của nó.
4. Các công thức Công thức tính diện tích
xq
S = Rl
π

;
TP xq
S = S + S = R.(l +R)
π
đáy
Công thức tính thể tích
2
1
V= R .h
3
π
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng thuộc mặt trụ, mặt nón.
- Một đường thẳng thuộc mặt trụ nếu nó đi qua một điểm của mặt trụ và
song song với trục.
- Một đường thẳng thuộc mặt nón nếu nó đi qua đỉnh của mặt nón và tạo với
trục một góc không đổi và bằng nửa góc ở đỉnh.
7) Cho mặt phẳng (P), điểm A nằm trên mặt phẳng (P),
một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (P) sao cho hình
chiếu H của B trên (P) không trùng với A, điểm M


P
K
A
B
H
M
Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ

chạy trên (P) sao cho
·
·
ABM BMH=
.
Chứng minh M nằm trên mặt trụ tròn xoay có trục là AB.
HD:
Dựng MK vuông góc với AB
Chứng minh MK = BH
Dạng 2: Thiết diện của một mặt phẳng với mặt trụ
- Thiết diện vuông góc với trục là một đường tròn.
- Thiết diện qua trục hoặc song song với trục là một hình chữ nhật
8) Một hình trụ có bán kính đáy bằng R, trục OO’ và đường cao R
3
. Hai điểm A,
B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ bằng
30
0
.
a) Tính diện tích thiết diện qua AB và song song với trục hình trụ.
b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.
c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB vàtrục hình trụ.
HD: a. Thiết diện qua AB song song với trục là hình chữ nhật ACBD
S
ACBD
= AD.BD = AD
2
tan30
0
b. Góc giữa hai bán kính qua A và B bằng

·
AOC
với
·
2 2
2
2
cos
2
AO AC
AOC
AO
−
=
c. Gọi K, K’ lần lượt là trung điểm của AC và BD có KK’ // OO’
H là giao điểm của KK’ với AB, I là trung điểm của OO’
Có HI là đoạn vuông góc chung của AB và OO’; IH = OK
Dạng 3: Thiết diện của một mặt phẳng với mặt nón
- Thiết diện vuông góc với trục là một đường tròn.
- Thiết diện qua đỉnh cắt hình nón theo hai đường sinh là một tam giác cân
có đỉnh là đỉnh của hình nón.
9) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ có
đường tròn của hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD
và A’B’C’D’.
b) Chứng minh tất cả các đỉnh của hình lập
phương nằm trên một mặt cầu. Hãy tính diện
tích mặt cầu đó.
HD: a. Hình trụ có bán kính đáy
2

2
a
R =
; chiều cao h = a
b. Gọi O, O’ lần lượt là tâm hai đáy, I là trung điểm của OO’
Chứng minh: I cách đều các đỉnh của hình lập phương. Bán kính mặt cầu R
C
= IA


R
R
3
30
0
I
H
K'
K
O'
A
O
D
B
C
C
A
C'
D
A'

D'
B
B'
O'
O
Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
Phần 3 . PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ – TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. TOẠ ĐỘ VECTƠ
1) Định nghĩa : vecto
( ; ; )x y z= ⇔ = + +
r r r r r
u u xi yj zk
2) Tính : Cho các vecto
( ; ; )x y z=
r
u
,
' ( '; '; ')x y z=
r
u
. Ta có:
a)
'
x x'
y y'
z z'

=


= ⇔ =


=

r ur
u u
b)
' ( '; '; ')x x y y z z± = ± ± ±
r r
u u
c)
( ; ; ) ,k kx ky kz k= ∈
r
u
R e)
. ' ( ' ' ')x x y y z z= + +
r r
u u
f)
u = + +
r
2 2 2
x y z
g)
( , ')osc u u
+ +

=
+ + + +
r r
2 2 2 2 2 2
xx' yy' zz'
x y z x' y' z'
h)
u u' xx' + yy' + zz' = 0⊥ ⇔
r r
2. TOẠ ĐỘ ĐIỂM
1) Định nghĩa:
( ; ; ) ( ; ; )M x y z x y z
⇔ = ⇔ = + +
uuuur uuuur r r r
OM OM xi yj zk
2) Tính chất: Cho A(x
A
; y
A
; z
A
), B(x
B
; y
B
; z
B
). Ta có:
a)
AB

= (x
B
- x
A;
y
B
-y
A;
z
B
-z
A
)
b)
( ) ( ) ( )
| |AB= = − + + + −
uuur
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z

c) Tọa độ trung điểm M của AB là
+
 
 ÷
 
A B
z + z
;
2 2 2

A B A B
x x y + y
M ;
d) Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1 là:
A B
z kz
1 k
;
− − −
 
 ÷
− − −
 
A B A B
x kx y ky
M ;
1 k 1 k
e) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
+ + +
 
 ÷
 
y y z z
;
3 3 3
A B B A B B A B B
x + x x + y + z
G ;

g) Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là:
+ + + + + +
 
 ÷
 
y y y z z z
;
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
x + x x x + y + z
G ;
3. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
1) Vecto tích có hướng của hai vecto
( ) ( )
x';y';x'u' à == v zy;x;u
là
[ ]
, ' ; ;
' ' ' '
' '
y y
z z x x
u u
z z x x
y y
 
=
 ÷
 
r r

2) Tính chất: -
[ ]
, 'u u
r r
vng góc với hai vecto
u',u
.
- Hai
u',u
cùng phương
⇔
[
u',u
] =
0
3) Diện tích hình bình hành ABCD là S=
[AB,AD]
uuur uuur


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
Suy ra diện tích
∆
ABC là S
ABC
=
]AC,AB[
2
1

4) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’
[AB,AD AA'
H
].V =
uuuur uuuuuruuuur
* Chú ý thể tích khối chóp A’.ABD
[AB,AD AA'
Ch
].
1
V
6
=
uuuur uuuuuruuuur
B. Dạng toán thường gặp
1) Xác đònh tọa độ vectơ, tọa độ điểm
Kiến thức vận dụng:
u
=
'u
⇔
x x'; y y'; z z'= = =
Bài 1: Cho các vectơ
a (2; 5;3), b (0;2; 1), c (1;7;2)= − = − =
r r r
1) Tính tọa độ của vectơ
1
4a b 3c
3
− +

r r r
2) Tính tọa độ của vectơ
5a 2b 3 c− +
r r r
ĐS: 1)
1 1 55
4a b 3c 11; ;
3 3 3
 
− + =
 ÷
 
r r r
, 2)
( )
5a 2b 3 c 10 3; 29 7 3;17 2 3− + = + − + +
r r r
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(2; -1; 3), B(0; 1; -1), C(-1; 2; 0), D’(3; 2;
-1). Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
ĐS: D(1; 0; 4), A’(4; 1; - 2), B’(2; 3; -6), C’(1; 4; -5)
Bài 3: Cho tam giác ABC biết A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), C(4; 5; -5).
1) Xác đònh toạ độ của D để ABCD là hình bình hành.
2) Xác đònh toạ độ trọng tâm ABC.
ĐS: 1) D(5; 7; -3) 2) Gọi G là trọng tâm. ĐS:
7 5 1
G ; ;
3 3 3
 
−
 ÷

 
Bài 4: Cho vectơ
a (3;7; 7)= −
r
. Hãy biểu diễn vectơ
a
r
theo các vectơ
u (2; 1; 0), v (1; 1; 2), w (2; 2; 1)= = − = −
r r uur
HD: - Giả sử
m = 2
a mu n v p w n = - 3
p = 1


= + + ⇒



r r r uur
. Vậy
a 2u 3v w= − +
r r r uur
2) CÁC VECTƠ CÙNG PHƯƠNG Cho hai vectơ
u
= (x; y; z),
'u
= (x’; y’; z’).
Kiến thức vận dụng: a) Hai vectơ

u
và
'u
cùng phương
⇔
z'
z
y'
y
x'
x
==
.
(Quy ước mẫu bằng 0 thì tử tương ứng cũng bằng 0.)
b) Hai vectơ
u
và
'u
cùng phương
⇔
[
u',u
] =
0
c) Hai vecto
u
và
'u
khơng cùng phương
⇔

u , u' 0
 
≠
 
r ur r
Bài 1: Cho các điểm A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(-1; 1; -3).
1) Chứng minh A, B, C là các đỉnh của một tam giác.


B
C
C'
D
A'
D'
A
B'
Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
2) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là một hình bình hành. Tính diện tích hình bình
hành ABCD.
3) Tìm tọa độ chân phân giác ngoài của góc đỉnh A
HD: 1) Xét các vectơ
AB, AC
uuur uuur
:
AB ( 2; 3 3), AC ( 4; 2; 5)= − − = − −
uuur uuur
Có
3 3 3 2 2 3

AB,AC ; ; ( 9; 2; 8) 0
2 5 5 4 4 2
 
− − − −
 
= = − ≠
 ÷
 
− − − −
 
uuur uuur r
Vậy A, B, C không thẳng hàng
⇒
A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
2) D(1; -2; 0); S
ABCD
=
[AB,AC] 81 4 64 149= + + =
uuur uuur

3) - Gọi E là chân phân phân giác ngoài của góc đỉnh A
- Ta có
EB AB AB 2
= EB= EC EB= EC
EC AC AC 3
⇒ ⇔
uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho tam giác ABC. Biết A(2; 1; -3), B(3; -2; 2), C(4; 0; 1).
1) Tìm toạ độ chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
2) Tìm điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho A, B, M thẳng hàng.

HD: 1) Gọi H(x; y; z) là chân đường cao đỉnh A, H thuộc BC
Ta có

⊥




uuur uuur
uuur uuur
AH BC
HB cùng phương BC
ĐS:
14 4 1
H ; ;
3 3 3
 
 ÷
 
2) M
Ox
∈ ⇒
M(x
0
; y
0
; 0).
Ta có A, B, M thẳng hàng
MA cùng phương AB⇔
uuuur uuur

. ĐS:
13 4
M ; ; 0
5 5
 
−
 ÷
 
Bài 3: Cho ba điểm A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3).
1) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC
2) Xác đònh tọa độ của điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ giao
điểm hai đường chéo của hình hình hành ABCD.
ĐS: 1)
AB,AC ( 16; 62; 34) 0
 
= − − − ≠
 
uuur uuur r
. Vậy các vetơ
AB,AC
uuur uuur
không cùng
phương
S
ABC
=
2 2 2
1
[AB,AC] 16 62 34 6 71
2

= + + =
uuur uuur
2) D(9; -5; 6). Giao điểm hai đường chéo là I(2; - 1; 2)
3) TÍNH ĐỒNG PHẲNG CỦA VECTƠ, CỦA ĐIỂM
Kiến thức vận dụng: a) Ba vectơ
khichỉ và khi phẳngđồngwv,,u
wlvku +=
b) Ba vectơ
0=w]v ,u[ khichỉ và khi phẳngđồngwv,,u
.
c) Ba vectơ
0≠
r ur uur r r ur
u, v,w không đồng phẳng khi và chỉ khi [u, v]w
.
Bài 1: Cho ba vectơ
a (1; 2; 3), b (4; 5; 6), c (2; 1; 0)= = =
r r r
. Chứng tỏ ba vectơ
a, b, c
r r r
đồng
phẳng


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
HD: Chứng tỏ
a, b c 0
 

≠
 
r r r
Bài 2: Cho A(1; 2; 4), B(2; -1 ; 0), C(-2; 3; -1) và M(x; y; z). Tìm điều kiện để A, B, C,
M đồng phẳng.
HD: Tìm điều kiện
AB, AC AM 0
 
=
 
uuur uuur uuuur
. ĐS: 19x + 17y – 8z – 21 = 0
Bài 3: Cho bốn điểm A(3; -1; 6), B(-1; 7; -2), C(1; - 3; -2), D(5; 1; 6).
1) Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
2) Tính góc giữa hai vectơ
AB, CD
uuur uuur
Bài 4: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
1) Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
2) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. Tính độ dài đường cao từ đỉnh A.
HD: 1) Chứng tỏ
AB, AC AD 0
 
≠
 
uuur uuur uuur
2) Thể tích tứ diện: V=
1 1
AB, AC AD
6 2

 
=
 
uuur uuur uuur
Gọi AH là đường cao của tứ diện. Tacó V =
BCD
BCD
1 3V
S .AH AH 1
3 S
⇒ = =

Bài 5: Cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6).
1) Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
2) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. Tính độ dài đường cao từ đỉnh A.
3) Tìm toạ độ chân đường cao hạ từ đỉnh D.
HD: 3) - Gọi H là chân đường cao đỉnh D, H(x; y; z)
- Ta có
DH AB
DH AC
AH, AB, AC đồng phẳng

⊥


⊥





uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
ĐS:
46 124 246
H ; ;
49 49 49
 
−
 ÷
 
Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, lấy các
điểm P, Q lần lượt trên
AD, BC sao cho
2 2
AP = AD; BQ = BC
3 3
uuur uuur uuur uuur
. Chứng minh ba vectơ M, N, P, Q cùng thuộc
một mặt phẳng.
HD: Phân tích vectơ
MN theo các vectơ MP, MQ
uuuur uuur uuuur
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AD. Phân tích:
3 3
MN = MI MJ MP MQ
4 4
+ = +
uuuur uuur uuur uuur uuuur
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1) Mặt cầu có tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình: (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z - c)
2

= R
2
(1)
2) Phương trình: x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2) là phương trình mặt cầu


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
khi A
2
+ B
2
+ C
2
- D > 0. Lúc đó mặt cầu có tâm I(-A; -B; -C), bán kính R =
DCBA

222
−++
3) Mặt cầu qua bốn đỉnh của tứ diện MNPQ gọi là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MNPQ.
Cách xác đònh phương trình của mặt cầu:
Cách 1: - Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu. Ta có: IM = IN = IP = IQ
⇒
tọa độ
của I
- Bán kính: R = IM
Cách 2: - Gọi phương trình mặt cầu dạng (1) (hoặc (2))
- Thay toạ độ của các đỉnh của tứ diện vào phương trình ta tìm được
a, b, c, R
(hoặc A, B, C, D)
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:
a) x
2
+ y
2
+ z
2
– 8x + 2y + 1 = 0 b) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x + 8y –
2z – 4 = 0.

c) 3x
2
+3y
2
+ 3z
2
+ 6x – 3y + 15z – 2 = 0 d) x
2
+ y
2
+ z
2
- 2mx +
2ny – 6pz – 1 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Mặt cầu có tâm I(1; - 3; 5) và bán kính R =
3
b) Tâm I(3;-2; 1) và qua
điểm A(2; -1; -3).
c) Đường kính AB với A(4; -3; 3), B(2; 1; 5).
HD: a) Phương trình mặt cầu : (x – 1)
2
+ (y + 3)
2
+ (z – 5)
2
= 3
b) Bán mặt cầu R = IA =
2 3
. Vậy phương trình : (x – 3)

2
+ (y + 2)
2
+ (z –
1)
2
= 18
c) Mặt cầu có tâm là trung điểm AB, bán kính R =
AB
2
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1),
D(-8; -2; 2).
HD: - Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu. Ta có
2 2 2 2
IA = IB = IC = ID IA = IB = IC = ID⇔

- ĐS:
2 2 2
62 74 133 252975
x + + y - + z - =
21 21 7 441
     
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 4: Cho mặt cong (S
m
): x
2
+ y
2

+ z
2
– 4mx + 4y + 2mz + m
2
+ 4m = 0.
a) Tìm điều kiện của tham số m để (S
m
) là mặt cầu.
b) Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
HD: a) (S
m
) là mặt cầu khi: (2m)
2
+ (-2)
2
+ m
2
–(m
2
+ 4m) > 0
⇔
(2m – 1)
2
+ 3 >
0
m ∀ ∈ ¡


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ

b) Ta có R =
( )
2
2m - 1 3 3+ ≥
. Vậy R nhỏ nhất khi m =
1
2
Bài 5: Tìm điều kiện của m để phương trình: x
2
+ y
2
+ z
2
– 2(m – 1)x – 2my + 4mz +
4m
2
– 4m = 0 là
phương trình mặt cầu
Bài 6: Lập phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Oz, tiếp xúc với mặt phẳng
(Oxy) và có bán kính bằng 3.
HD: - Gọi I là tâm mặt cầu: I(0; 0; z
0
), ta có bán kính mặt cầu R = OI
- R = |z
0
| = 3
0
z 3⇒ = ±
Bài 7: Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm M(0; 8; 0), N(4; 6; 2), P(0; 12; 4) có tâm
nằm trên mp (Oyz).

HD: - Gọi I là tâm mặt cầu: I(0; y
0
; z
0
)
- Ta có IM = IN = IP
Bài 8: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A(0; 1; 0), B(1; 0; 0), C(0; 0; 1) và tâm I
có tọa độ thỏa mãn phương trình: x + y + z – 3 = 0.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) Vectơ
0n ≠
r r
gọi là vectơ pháp tuyến của (P) nếu
n
r
nằm trên đường thẳng vuông
góc với (P)
2) Hai vectơ
; 'u u
r r
không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong (P).
Với
( ) ( )
x';y';x'u' à == v zy;x;u
thì (P) có vtpt là :
; ;
' ' ' '
' '
; ;

' ' ' '
' '
u, u'
u u'
y y
z z x x
n
z z x x
y y
hay
y y
z z x x
n
z z x x
y y
 
 
= =
 ÷
 
 
 
= ∧ =
 ÷
 
r ur
r
r ur
r
3) PT: Ax + By + Cz + D = 0,

2 2 2
0A B C+ + ≠
gọi là tổng quát của mp, vtpt của mp
( )
; ;n A B C=
r
4) Mặt phẳng qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) có vtpt
( )
; ;n A B C=
r
có phương trình dạng:
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
5) Mặt phẳng qua điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với
0; 0; 0a b c≠ ≠ ≠
có phương
trình

1
x y z
a b c
+ + =
(gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).
6) Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0
a) (P) và (P’) cắt nhau
: : ': ': 'A B C A B C⇔ ≠
b) (P) // (Q)
' ' ' '
A B C D
A B C D
⇔ = = ≠


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
c) (P)
≡
(Q)
' ' ' '
A B C D
A B C D
⇔ = = =
7) Khoảng cách từ M
0
(x
0
; y
0

; z
0
) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
( )
0 0 0
0
2 2 2
;( )
Ax By Cz D
M P
A B C
d
+ + +
=
+ +
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng1: Lập phương trình của mặt phẳng qua một điểm biết vtpt hoặc cặp vtcp
Phương pháp: - Xác đònh vtpt và điểm mà mặt phẳng đi qua
- Ptmp qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) có vtpt
n
= (A; B; C) là: A(x – x
0

)+B(y –
y
0
)+C(x – x
0
) = 0
Chú ý: - Nếu hai vectơ
;u v
r r
có giá song song hoặc nằm trong (P) thì
[ , ]n u v=
r r
r
là một vtpt
của (P).
- Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C có vtpt
,AB ACn
 
=
 
uuur uuur
r
Bài 1: Viết phương trình của mp (P)
a) Qua điểm E(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x + 2y – 5z = -1.
b) Qua điểm M(1; -2; 4) và vuông góc với 2 mp : 3x –2y + 2z + 7 = 0; 5x – 4y + 3z
+ 1 = 0.
c) Qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y – z = 0.
d) Qua ba điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
e) Qua ba điểm A(2; 0 ; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4).
ĐS: a) 2x + 2y – 5z + 10 = 0 b) 2x + y – 2z + 8 = 0 c) 4x – 3y –

2z + 3 = 0
d) x – 4y + 5z – 2 = 0 e) 6x + 4y + 3z – 12 = 0
Bài 2: Cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
b) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BD.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và song song với CD
HD: a) Ba vectơ
; ;AB AC AD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng
, 0AB AC AD
 
⇔ ≠
 
uuur uuur uuur
b) - mp(BCD) qua B(1; 6; 2) có cặp vtcp
; , ( 12; 10; 6)BC BD vtpt BC BD
 
⇒ = − − −
 
uuur uuur uuur uuur
- pt mp(BCD): 6x + 5y + 3z -42 = 0
c) - Mặt phẳng qua A(5; 1; 3) vuông góc với BD có vtpt
(3; 6;4)BD = −
uuur
- pt: 3x – 6y + 4z -21 = 0
d) - mp qua A, B và song song với CD có cặp vtcp
; , (10;9;5)AB CD vtpt AB CD
 

⇒ =
 
uuur uuur uuur uuur
- pt: 10x + 9y +5z – 74 = 0
Dạng 2: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn


Trường THPT Hàm Rồng Tài liệu ơn thi Tốt nghiệp mơn Tốn Năm học : 2009 - 2010
Tổ Tốn- Tin GV : Nguyễn Bích Thuỷ
Bài 1: Cho phương trình: m
3
x + (m – 1)
3
y + z – m(m – 1) = 0 (1).
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) là phương trình của một mặt phẳng.
b) Mặt phẳng (1) với m
0
≠
và m
1≠
cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tại các điểm A,
B, C. Chứng minh rằng thể tích khối tứ diện OABC không đổi.
HD : a) Ta có m
6
+ (m – 1)
6
+ 1 > 0 với mọi m nên (1) là phương trình của một
mặt phẳng
b)
( )

2 2
1
;0;0 , 0; ;0 , 0;0; ( 1)
( 1)
m m
A B C m m
m m
 
−
 
−
 ÷
 ÷
−
 
 
V
OABC
=
1
6
OA.OB.OC=
1
6
Bài 2: Cho góc tam diện vuông Oxyz. A, B, C, lần lượt là các điểm di động trên Ox;
Oy; Oz thoả mãn hệ thức
+ + =
1 1 1 1
OA OB OC 2008
.

a) Chứng minh rằng mp(ABC) luôn luôn đi qua một điểm cố đònh.
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC).
HD:a) - Chọn hệ tọa độ Oxyz. Gọi OA = a; OB = b; OC = c, (a > 0, b > 0, c > 0)
- Phương trình (ABC):
1
x y z
a b c
+ + = ⇒
mp(ABC) qua M(2008; 2008; 2008)
cố đònh.
b) Khoảng cách từ O đến (ABC):
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
1
1 1 1
abc
a b c
d
a b b c c a
a b c
+ + −
= =
+ +
     
+ +
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt 4x – 3y -12z + 1 = 0 và tiếp xúc
với mặt cầu có phương trình: x
2

+ y
2
+ z
2
– 2x – 4 y – 6x – 2 = 0.
HD: - Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, pt của (P): 4x – 3y – 12z + D = 0,
D 1≠
- Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) bán kính R = 4
- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu khi
( )
90
4.1 3.2 12.3
;( ) 4
14
16 9 144
D
D
I P R
D
d
=
− − +

= ⇔ = ⇔

= −
+ +


- (P): 4x – 3y – 12z + 90 = 0; (P): 4x – 3y – 12z – 14 = 0

Bài 4: Lập pt mặt cầu có tâm I(1; 4; -7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 6x + 6y –7z +
42 = 0.
HD : - Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến (P)
-
6 24 49 42
11
36 36 49
R
+ + +
= = ⇒
+ +
phương trình mặt cầu : (x – 1)
2
+ (y – 4)
2
+ (z + 7)
2
=
121