On thi Tot nghiep Toan 12 full.doc

PHẦN GIẢI TÍCH:

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)
1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)>f(x

2
).
3) x
0
∈(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tạ đó f’(x) không xác định hay bằng 0.
II. Định lý:
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại
một điểm c∈(a,b) sao cho
( ) ( )
( ) ( ) '( ).( ) '( )
f b f a
f b f a f c b a hay f c
b a
−
− = − =
−
2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b).
• Nếu f’(x)>0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b).
• Nếu f’(x)<0 ∀x∈(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b).
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý vẫn còn đúng).
B. CÁC BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m=1.
b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số
2

2y x x= −
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
Bài 3: Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2).
b)
1
2 x R
x
e x
+
≥ + ∀ ∈
.
c) x>1
ln
x
e
x

≥ ∀ .
Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :
5 3
2 1 0x x x− + − =

ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x
0
∈(a,b) .
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x
0
ta có
f(x) < f(x
0
) (x ≠ x
0
).
• Điểm x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận của điểm x
0
ta
có f(x)>f(x
0
) (x ≠ x
0
).

2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x
0
∈(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0.
Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x
0
) > 0 trên khoảng (x
0
; x
0
); f’(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một điểm cực đại của hàm số
f(x).
- 1 -
Tóm tắt lý thuyết
các dạng bài tập
b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x
0
- δ; x

0
) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
; δ+ x
0
) thì x
0
là một điểm cực tiểu của hàm
số f(x).
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x
0
, đạo hàm đổi dấu thì điểm x
0
là điểm cực trị.
Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f’(x
0
) = 0, f''(x
o
) ≠ 0 thì x
o
là một điểm
cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x

0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.
B . CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 2 1y x mx m= − + − +
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 2: Cho hàm số
2
2 4

2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
a) Khảo sát hàm số khi m=-1.
b) Xác định m để hàm số có hai cực trị.
Bài 3: Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C).
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực
trị đó.
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞).
Bài 4: Cho hàm số
2 2
2 1x kx k
y
x k
− + +
=
−
với tham số k.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và
(d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.
3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.

Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + + đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
Xác định m sao cho hàm số.
a) Có cực trị.
b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m= = − + −
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )

x D f x M
x D f x M
∀ ∈ ≤
∃ ∈ =
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
0 0
: ( )
: ( )
x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥
∃ ∈ =
(ký hiệu m=minf(x) )
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là
GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x
2
, ..., x
n
của f(x) trên [a,b].
- 2 -
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x

2
), ..., f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3).
b)
2
4y x x= + −
.
c)
3
4
2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)
2 os2x+4sinxy c=

x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e)
2
3 2y x x= − +
trên đoạn [-10,10].
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y= x 1 3x 6x 9 + + − + +
trên đoạn[-1,3].
Bài 3: Chứng minh rằng
2
2
6 3
2
7 2
x
x x
+
≤ ≤
+ +
với mọi giá trị x.
ℑ4. LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Định nghĩa :
+Cung AB lồi nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía trên cung.
+Cung AB lõm nếu mọi điểm của cung tiếp tuyến luôn ở phía dưới cung.
2) Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn.
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên (a;b).
+ Nếu f”(x)<0 với mọi x∈(a,b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
+ Nếu f”(x)>0 với mọi x∈(a,b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.

+ Nếu f’’(x) đổi dấu khi xđi qua x
0
thì điểm M
0
(x
0
,f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thị hàm số.
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm a,b để hàm số
3 2
axy x x b= − + +
nhận điểm (1;1) làm điểm uốn.
Bài 2: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
2
2 1
1
x
y
x x
+
=
+ +
có ba điểm uốn thẳng hàng.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc
bé nhất.

ℑ5. TIỆM CẬN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận đứng:
Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình x=x
0
là tiệm cân đứng của đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang:
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y=x
0
là tiệm cân ngang của đồ thị (C).
3) Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞

− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= − .
- 3 -
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:
1. Khảo sát hàm số .
2

4 5
2
x x
y
x
− + −
=
−
2. Xác định m để đồ thị hàm số
2 2
( 4) 4 5
2
x m x m m
y
x m
− − − + − −
=
+ −
có các tiệm cận trùng với các tiệm
cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ)
Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
a)
2
1y x= −
b)
3
2
1
1
x x

y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
+ +
=
−
.
d)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
+ +
=
− −
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
- Giới hạn
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệt
- Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệt
- Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
- 4 -

x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x

y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
 Hàm số nhất biến :
)bcad(
dcx
bax
y 0
≠−
+
+
=
 Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2
1 1
ax bx c
y
a x b
+ +

=
+
(tử, mẫu không có nghiệm chung, ... )
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1) Cho hàm số
x
mx)m(x
y
+−+
=
2
2
, m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. Trong trường hợp đó,
tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB.
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2.
Bài 2) Cho hàm số
2
54
2
−
+−
=
x
mmxx
y
, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O.

Bài 3) Cho các đường: y = x
2
– 2x + 2, y = x
2
+ 4x + 5 và y = 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.(Học kỳ2)
Bài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
)1x(2
3x4x2
2
−
−−
2. Định m để ptrình : 2x
2
– 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt.
Bài 5 : Cho hàm số
1
3
+
+
=
x
x
y
gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để
đoạn MN có độ dài nhỏ nhất
d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có

tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất
- 5 -
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
xO
I
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
•
I
x
y
O

•
I
Dạng 1: hàm số có cực trị
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là
trung điểm của IJ
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 6:Cho hàm số
)4()1(
2
xxy
−−=
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
3 2
6 9 4 0x x x m− + − − =
Bài 7:
Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực
trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)
Bài 8 :
Cho hàm số
3 2

5
- 2
3
= + +y x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ
α
Cơ số a
Lũy thừa
α
a
*
Nn
∈=
α
Ra
∈
naaaaa
n
(.......

==
α
thừa số )
0
=
α
0
≠
a
1
0
==
aa
α
)(
*
Nnn
∈−=
α
0
≠
a
n
n
a
aa
1
==
−
α

),(
*
NnZm
n
m
∈∈=
α
0
>
a
)( abbaaaa
n
n
n
m
n
m
=⇔===
α
),(lim
*
NnQrr
nn
∈∈=
α
0
>
a
n
r

aa lim
=
α
2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có
α
α
α
αααβαβαβα
β
α
βαβα
b
a
b
a
baabaaa
a
a
aaa
=






====
−+
;.)(;)(;;.

.
a > 1 :
βα
βα
>⇔>
aa
0 < a < 1 :
βα
βα
<⇔>
aa
3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số
0,10
>≠<
ba
.

bab
a
=⇔=
α
α
log
beb
bb
=⇔=
=⇔=
α
α

α
α
ln
10log
4. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT.
*
baa
b
aa
a
===
log
;1log;01log
*
cbcb
aaa
loglog).(log
+=

- 6 -

cb
c
b
aaa
logloglog
−=








bb
aa
log.log
α
α
=
Đặc biệt:
b
n
bb
b
a
n
aaa
log
1
log;log
1
log
=−=
*
ccb
b
c
c
aba

a
a
b
loglog.log
log
log
log
=⇒=
Đặc biệt :
bb
a
b
a
a
b
a
log
1
log;
log
1
log
α
α
==

cbcba
cbcba
aa
aa

<<⇔><<
>>⇔>>
0loglog:10
0loglog:1
5. GIỚI HẠN.

1
)1ln(
lim;1
1
lim
00
=
+
=
−
→→
x
x
x
e
x
x
x
6. BẢNG ĐẠO HÀM.
xx
ee
=
)'(
aaa

xx
ln.)'(
=
x
x
1
)'(ln
=
aa
x
x
a
ln
1
)'(log
=
)0,0(.)'(
1
>≠=
−
xxx
αα
αα
n n
n
xn
x
1
1
)'(

−
=
uu
eue '.)'(
=
aaua
uu
ln.'.)'(
=
u
u
u
'
)'(ln
=
au
u
u
a
ln.
'
)'(log
=
'.)'(
1
uuu
−
=
αα
α

n n
n
un
u
u
1
.
'
)'(
−
=
7 .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
a)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
=⇔=≠<




=
>>
⇔=
)()(
)0)((0)(
)(log)(log
xgxf
xghayxf

xgxf
aa
b)
)()(1
)()(
xgxfaaa
xgxf
>⇔>>

0)()()(log)(log >>⇔> xgxfxgxf
aa
c)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
<⇔><<

)()(0)(log)(log xgxfxgxf
aa
<<⇔>
I. LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức.
1)
( )
5
5
2
3
126

.. yxyx
−
2)
33
3
4
3
4
ba
abba
+
+
3)
1.
1
.
1
4
1
4
2
1
3
4
+
+
+
+
−
a

a
aa
aa
a
4)






+−








+
+
−
+
m
m
m
m
m
1

2
1
2
.
22
4
2
1
3
2
* Tính giá trị của biểu thức.
1)
5
3
3
1
75,0
32
1
125
1
81
−−
−







−






+
2)
20
3
1
1
3
2
2
3
1
)9(864.)2(001,0
+−−−
−
−
−
- 7 -
3)
5,0
75,0
3
2
25

16
1
27
−






+
−
4)
3
2
1
1
25,04
)3(19
4
1
2625)5,0(
−
−
−
−+







−−−
* Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1)
7
35
.2
8
1
ax
2)
3
4
5
. aa
3)
4
8 3
. bb
4)
4
3
.27
3
1
a
* Tính .
1)
( )

3
3
3






2)
31321
16.4
+−
3)
23
2
3
27
4)
( )
5
5
4
8
2
* Đơn giản các biểu thức.
1)
1
)(
232

3222
+
−
−
ba
ba
2)
334
3333232
))(1(
aa
aaaa
−
++−
3)
π
π
ππ








−+
abba .4)(
1
2

II. LÔGARIT.
* Biết log
5
2 = a và log
5
3 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
1) log
5
27 2) log
5
15 3) log
5
12 4) log
5
30
* Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các lôgarit.
1)
( )
3
2
5
3
ba
2)
2,0
6 5
10
−









b
a
3)
5
4
9 ba
4)
7
2
27a
b

* Tính giá trị các biểu thức.
1) log
9
15 + log
9
18 – log
9
10 2)
3
3
1
3

1
3
1
45log3400log
2
1
6log2
+−
3)
3log
2
1
2log
6
136
−
4)
)3log.4(loglog
23
4
1
* Tính giá trị các biểu thức.
1)
2log8log
4log
2
1
4
1
7125

9
49.2581








+
−
2)
5log33log
2
1
5log1
52
4
4216
+
+
+
3)









+
−
−
4log
6log9log
2
1
5
77
54972
* Tìm x biết.
1) log
6
x = 3log
6
2 + 0,5 log
6
25 – 2 log
6
3. 2) log
4
x =
3log410log2216log
3
1
444
+−

* Tính.
1)
2020
)32log()32log(
−++
2)
)725log()12log(3
−++
3)
e
e
1
lnln
+
4)
).ln(4ln
21
eee
+
−
* Tìm x biết
1) log
x18
= 4 2)
5
3
2log
5
−=
x

3)
6)2.2(log
3
−=
x
* Biết log
12
6 = a , log
12
7 = b. Tính log
2
7 theo a và b.
* Biết log
2
14 = a. Tính log
49
32 theo a
III. HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT – LŨY THỪA.
* Tìm tập xác định của các hàm số sau.
1) y =
1
−
x
x
e
e
2) y =
1
12
−

−
x
e
3) y = ln






−
−
x
x
1
12
4) y = log(-x
2
– 2x ) 5) y = ln(x
2
-5x + 6) 6) y =








−

+−
x
xx
31
132
log
2
2
* Tìm các giới hạn.
1)
x
e
x
x
1
lim
3
0
−
→
2)
x
ee
xx
x
5
lim
32
0
−

→
3)
)32(lim
5
xx
x
−
→
4)








−
∞→
xex
x
x
1
.lim
- 8 -
5)
x
x
3
9

loglim
→
6)
x
x
x
)14ln(
lim
0
+
→
7)
x
xx
x
)12ln()13ln(
lim
0
+−+
→

8)
x
x
x
2sin
)31ln(
lim
0
+

→
9)
11
1
lim
0
−+
−
→
x
e
x
x
10)
x
x
x
tan
)21ln(
lim
0
+
→
* Tính đạo hàm của các hàm số sau.
1) y = (x
2
-2x + 2).e
x
2) y = (sinx – cosx).e
2x

3) y =
xx
xx
ee
ee
−
−
+
−
4) y = 2
x
-
x
e
5) y = ln(x
2
+ 1) 6) y =
x
xln
7) y = (1 + lnx)lnx 8) y =
1ln.
22
+
xx
9) y = 3
x
.log
3
x
10) y = (2x + 3)

e
11) y =
x
x
π
π
.
12) y =
3
x
13) y =
3 2
2ln x
14) y =
3
2cos x
15) y = 5
cosx + sinx
* Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1) y = e
sinx
; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan
2
x
= 0
4) y = e
x
.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0

5) y = ln
2
x ; x
2
.y’’ + x. y’ = 2
IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
* Giải các phương trình:
1). (0,2)
x-1
= 1 2).
3
3
1
13
=






−
x
3).
164
23
2
=
+−
xx

4).
x
x
34
2
2
2
1
2
−
−
=






5).
( ) ( )
223223
2
+=−
x
6).
( ) ( )
1
1
1
2525

+
−
−
−=+
x
x
x
7).
1
5
93
2
+
−
=
x
x
8).
255
4
2
=
+−
xx
9) 3
x
.2
x+1
= 72 9)
2

2
1
.
2
1
217
=












−+
xx
10)
27
6020
5.3.4
131
=
+−+
xxx
11) 5

x+1
+ 6. 5
x
– 3. 5
x-1
= 52
12) 2. 3
x+1
– 6. 3
x-1
– 3
x
= 9 13) 4
x
+ 4
x-2
– 4
x+1
= 3
x
– 3
x-2
– 3
x+1
* Giải các phương trình.
1) 4
x
+ 2
x+1
– 8 = 0 2) 4

x+1
– 6. 2
x+1
+ 8 = 0
3) 3
4x+8
– 4. 3
2x+5
+ 27 4) 3
1+x
+ 3
1-x
= 10
5) 5
x-1
+ 5
3 – x
= 26 6) 9
x
+ 6
x
= 2. 4
x

7) 4
x
– 2. 5
2x
= 10
x

8) 27
x
+ 12
x
= 2. 8
x
9)
( ) ( )
23232
=−++
xx
10)
14487487
=






++






−
xx

11)
12356356
=






−+






+
xx
12)
( ) ( )
x
xx
2.14537537
=−++
13) 3
2x+4
+ 45. 6
x
– 9. 2
2x+2

= 0 14) 8
x+1
+ 8.(0,5)
3x
+ 3. 2
x+3
= 125 – 24.(0,5)
x
* Giải các phương trình.
1)
44
23
2
−−
=
xxx
2)
451
2
32
+−−
=
xxx
3)
x
x
x
−
+
=

2
2
3.368
4)
5008.5
1
=
−
x
x
x
5)
x
x
255
5
log3
=
−
6)
5
3log
6
33.
−
−
−
=
x
x

7)
2
log
9
.9 xx
x
=
8)
5log
34
55.
x
x
=
* Giải các phương trình.
1) 2
x
+ 3
x
= 5
x
2) 3
x
+ 4
x
= 5
x
3) 3
x
= 5 – 2x 4) 2

x
= 3 – x
5) log
2
x = 3 – x 6) 2
x
= 2 – log
2
x 7) 9
x
+ 2(x – 2)3
x
+ 2x – 5 = 0
V. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.
* Giải các phương trình.
1) log
2
x(x + 1) = 1 2) log
2
x + log
2
(x + 1) = 1 3) log(x
2
– 6x + 7) = log(x – 3)
4) log
2
(3 – x) + log
2
(1 – x) = 3 5) log
4

(x + 3) – log
2
(2x – 7) + 2 = 0
6)
x
x
xx
2log
log
log.log
125
5
25
5
=
7) 7
logx
+ x
log7
= 98 8) log
2
(2
x+1
– 5) = x
- 9 -
* Giải các phương trình.
1) log
2
2
(x - 1)

2
+ log
2
(x – 1)
3
= 7 2) log
4x
8 – log
2x
2

+ log
9
243 = 0
3)
33loglog3
33
=−
xx
4) 4log
9
x + log
x
3 = 3
5) log
x
2 – log
4
x +
0

6
7
=
6)
x
x
x
x
81
27
9
3
log1
log1
log1
log1
+
+
=
+
+
7) log
9
(log
3
x) + log
3
(log
9
x) = 3 + log

3
4 8) log
2
x.log
4
x.log
8
x.log
16
x =
3
2
9) log
5
x
4
– log
2
x
3
– 2 = -6log
2
x.log
5
x 10)
3log)52(log
2
52
2
2

=+−
xx
x
x
VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
* Giải các hệ phương trình sau.
1)



+=+
=+
15log1loglog
11
222
yx
yx
2)



=−−+
+=+
3log)log()log(
8log1)log(
22
yxyx
yx
3)






=−
=
2)(log
9722.3
3
yx
yx
4)



=−
=+
2loglog
25
22
yx
yx
5)



=+
=+
1
433

yx
yx
6)





=+
=+
−−
3
9
4
33
yx
yx
7)





=
=+
+−
+
55.2
752
1 yxx

yxx
8)



=−−+
=−
1)(log)(log
3
53
22
yxyx
yx
9)





=+−
+=
0log.log)(log
)(logloglog
2
222
yxyx
xyyx
10)






=
=
3log4log
loglog
)3()4(
43
yx
yx

11)





=−−+
+=
1233
)(24
22
2loglog
33
yxyx
xy
xy
12)




=
+=
64
log1
2
y
x
xy

13)



=−−+
=−
1)23(log)23(log
549
35
22
yxyx
yx
14)





=

=
y
x
y
x
yxxy
3
3
3
272727
log4
log3
log
log.log3log

VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
* Giải các bất phương trình.
- 10 -
1)
13
52
>
+
x
2) 27
x
<
3
1
3)

4
2
1
45
2
>






+−
xx
4)
13732
3.26
−++
<
xxx
5)
439
1
+<
+xx
6) 3
x
– 3
-x+2
+ 8 > 0 7)

243
4log
3
<
+
x
x

9)
5)15(log
2
1
−<+
x
10)
1
31
log
4
−
+
x
x
11) log
0,8
(x
2
+ x + 1) < log
0,8
(2x + 5)

12)
0)
1
21
(loglog
2
3
1
>
+
+
x
x
13) log
2
2
x + log
2
4x – 4 > 0 14)
0log3log
3
<−
xx
15) log
2
(x + 4)(x + 2)
6
−≤
16)
0

1
13
log
2
>
+
−
x
x
x
17)
13log
4
<−
x
18) log
2
x + log
3
x < 1 + log
2
x.log
3
x 19) 3log
x
4 + 2log
4x
4 + 3log
16x
4

0
≤
20)








−






<








−







3
4
1
log1
2
1
log
2
1
3
1
xx
21)
1
1
loglog
1
1
loglog
3
1
4
134
−
+
<

+
−
x
x
x
x
* Tìm tập xác định của các hàm số.
1) y =
2
5
12
log
8,0
−
+
+
x
x
2) y =
1)2(log
2
1
+−
x
§1. NGUYÊN HÀM:
1). Định nghĩa :
Hàm số
( )
F x
gọi là nguyên hàm của hàm số

( )
f x
trên
( )
,a b
nếu
( ) ( ) ( )
, ,F x f x x a b
′
= ∀ ∈
.
Ghi nhớ : Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
thì mọi hàm số có dạng
( )
F x C+
(
C
là hằng số)
cũng là nguyên hàm của
( )
f x
và chỉ những hàm số có dạng
( )
F x C+
mới là nguyên hàm của

( )
f x
. Ta gọi
( )
F x C+
là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số
( )
f x
và ký hiệu là
( )
f x dx
∫
.
Như vậy:
( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
2). Tính chất:
a.TC1:
( ) ( ) ( )
0;kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
b.TC2:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫

c.TC3: Nếu
( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
thì
( ) ( )
f u du F u C
= +
∫
.
3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b a 0∈ & ≠¡
:
dx x C= +
∫
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
( )
1
1
1
,

x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫
x x
e dx e C= +
∫
sin cosxdx x C= − +
∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
- 11 -