Chuyên đề HH giải tích không gian 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.36 KB, 18 trang )
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
A. Lí thuyết cần nhớ:
1.Tọa độ của vectơ
Đònh nghóa: Trong kg(Oxyz ) cho vectơ
→
u
tùy ý ,do
→
i
,
→
j
,
→
k
không đồng phẳng nên tồn
tại bộ ba số thực (x ; y ; z) sao
→
u
= x
→
i
+ y
→
j
+ z
→
k
Bộ ba số (x ; y ; z) gọi là tọa độ của vectơ
→
u
, kí hiệu:
→
u
= ( x ; y ; z )
Vậy
→
u
= ( x ; y ; z ) ⇔
→
u
= x
→
i
+ y
→
j
+ z
→
k
Các tính chất:
→
u
= ( x ; y ; z ) ,
→
v
= ( x’ ; y’ ; z’ )
•
→
u
+
→
v
= ( x + x’ ; y + y’; z + z’ )
•
→
u
-
→
v
= ( x – x’ ; y – y’; z – z’ )
• k
→
u
= ( kx ; ky ; kz )
•
=
=
=
⇔=
→→
'
'
'
zz
yy
xx
vu
2. Tọa độ của điểm :
Đònh nghóa : Trong kg(Oxyz ) cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa của
điểm M .
Vậy nếu
→−
OM
= (x ; y ; z) thì bộ ba số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M ,
Ta viết : M ( x ; y ; z )
M ( x ; y ; z ) ⇔
→−
OM
= x
→
i
+ y
→
j
+ z
→
k
Các tính chất : A ( x
A
; y
A
; z
A
) , B ( x
B
; y
B
; z
B
) ta có ;
• AB = ( x
B
– x
A
; y
B
– y
A
; z
B
– z
A
)
• AB =
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx
−+−+−
•
−
−
=
−
−
=
−
−
=
⇔≠=
→−→−
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
kMBkMA
BA
M
BA
M
BA
M
1
1
1
)1(,
- 1 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
• M là trung điểm của đoạn AB ⇔
+
=
+
=
+
=
2
2
2
BA
M
BA
M
BA
M
zz
z
yy
y
xx
x
• G(x
G
;y
G
; z
G
) là trọng tâm tứ diện ABCD ⇔
+++=
+++=
+++=
)(
4
1
)(
4
1
)(
4
1
DCBAG
DCBAG
DCBAG
zzzzz
yyyyy
xxxxx
3 .Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ :
Cho hai vectơ
→
a
= ( x
1
; y
1
; z
1
) ,
→
b
= ( x
2
; y
2
; z
2
) ta có :
•
→
a
.
→
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
•
→
a
⊥
→
b
⇔ x
1
x
2
+ y
1
y
2
+ z
1
z
2
= 0
•
|
→
a
| =
2
1
2
1
2
1
zyx
++
•
cos
ϕ
=
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
. zyxzyx
zzyyxx
++++
++
•
→
a
và
→
b
cùng phương với nhau ⇔ x
1
: y
1
: z
1
= x
2
: y
2
: z
2
4 . Tích có hướng của hai vectơ:
a. Đònh nghóa : Cho hai vectơ
→
a
= ( x
1
; y
1
; z
1
) ,
→
b
= ( x
2
; y
2
; z
2
). Tích có hướng của hai vectơ
→
a
và
→
b
là một vectơ kí hiệu là [
→
a
,
→
b
] và
[
→
a
,
→
b
] =
22
11
22
11
22
11
;;
yx
yx
xz
xz
zy
zy
b. Các tính chất :
•
→
a
cùng phương với
→
b
⇔ [
→
a
,
→
b
] =
→
0
• [
→
a
,
→
b
]
⊥
→
a
, [
→
a
,
→
b
]
⊥
→
b
• |[
→
a
,
→
b
]| = |
→
a
|.|
→
b
|sin
ϕ
c.Diện tích tam giác :
Diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức:
- 2 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
S
ABC
∆
=
2
1
|[AB, AC ]|
d.Thể tích :
• Thể tích V của hình hộp ABCD. A’B’C’D’ được tính bởi công thức:
V = |[AB, AD ].AA’|
• Thể tích V của tứ diện ABCD được tính bởi công thức :
V =
6
1
|[AB , AC ]AD |
e. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ :
• Ba vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
đồng phẳng ⇔ [
→
a
,
→
b
].
→
c
= 0
• Ba vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
không đồng phẳng ⇔ [
→
a
,
→
b
].
→
c
≠ 0
• Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng ⇔
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
đồng phẳng
• Bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng ⇔
, ,AB AC AD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng
1. Bài Tập
1/ Cho ba vectơ
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b
= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
b. Tìm tọa độ của vectơ :
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3
→
c
.
c.Chứng minh rằng 3 vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
không đồng phẳng .
d. Hãy biểu diển vectơ
→
w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
.
2/ Cho 3 vectơ
→
a
= (1; m; 2),
→
b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .Đònh m để Vectơ đó đồng phẳng .
3/ Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a. Xác đònh điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
b. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo.
c.Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ A.
d.Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
4/ Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a.Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD
b.Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c.Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D.
d.Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D .
5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3),C(-3;5;4)
a. Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC.
b. Tính cosin các góc A,B,C .
c.Tính diện tích tam giác ABC
- 3 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
A. Lí thuyết cần nhớ :
1. Đònh nghóa :
• Vectơ
→
n
≠
→
0
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu nó nằm trên đường
thẳng vuông góc với ( α ).
Kí hiệu :
→
n
⊥ ( α )
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ
→
a
,
→
b
≠
→
0
,không cùng phương và
các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong (α ) được gọi là cặp vectơ chỉ
phương của mặt phẳng ( α ).
Chú ý :
Nếu ( α ) có cặp vectơ chỉ phương
→
a
,
→
b
thì (α ) có một vectơ pháp tuyến
→
n
= [
→
a
,
→
b
]
2.Phương trình mặt phẳng:
M ặt phẳng ( α ) qua M
0
( x
0
;y
0
; z
0
) có vtpt
→
n
= ( A; B; C ) có phương trình là :
A ( x – x
0
) + B (y – y
0
) + C ( z – z
0
) = 0
3. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng : (α) Ax + By + Cz +D = 0 và (α’) A’x + B’y + C’z + D’= 0
Khi đó hai mặt phẳng (α) và (α’) lần lượt có VTPT :
→
n
= (A;B; C),
'
→
n
=(A’;B’;C’)
• (α) và (α’) cắt nhau ⇔
→
n
và
'
→
n
không cùng phương
⇔ A:B:C ≠ A’: B’: C’
(α) // (α’) ⇔
'''' D
D
C
C
B
B
A
A
≠==
• (α) ≡ (α’) ⇔
'''' D
D
C
C
B
B
A
A
===
4/ Chùm mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (α) Ax + By + Cz +D = 0
(α’) A’x + B’y + C’z + D’= 0
a.Đònh lí : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (α) và (α’) đều có phương trình dạng: λ( Ax + By
+ Cz +D) +µ ( A’x + B’y + C’z + D’) = 0 , λ
2
+µ
2
≠ 0 (1).
Ngược lại mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao
tuyến của (α) và (α’)
b.Đònh nghóa: Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt (α) và (α’) gọi là chùm
mặt phẳng. Phương trình (1) gọi là phương trình chùm mặt phẳng.
B.Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng :
• Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng và vtpt của
nó hay tìm cặp vtcp của nó
• Sử dụng phương trình chùm mặt phẳng.
1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau:
(α) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz .
(α) là mặt trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ).
(α) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz .
- 4 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
2/Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a. (α) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz .
b. (α) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) .
(α) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt phẳng :
(P): x + y – z = 0 .
(α) qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vông góc với hai mặt phẳng :
( α
1
): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (α
2
): 5x – 4y + 3z +1 = 0 .
3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng :
(α
1
): 2x + 3y – 4 = 0 , (α
2
) : 2y – 3z – 5 = 0 , (α
3
) : 2x + y – 3z –2 = 0.
a. Viết phương trình mặt phẳng ( α ) quiểm M( 1;3; -4 ) giao tuyến của(α
1
) ,(α
2
)
b. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua giao tuyến của (α
1
) ,(α
2
) đồng thời vuông góc với (α
3
) .
4/Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
d
1:
:
=−−=
=−+−
012
0542
zyx
zyx
, (d
2
) :
=
+=
−=
tz
ty
tx
2
32
1
.
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
1
) và song song với (d
2
).
Viết phương trình mặt phẳng (α
1
) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai
đường thẳng (d
1
), (d
2
) .
5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho điểm M( 2;-1 ; 1) và đường thẳng d:
=+−+
=−+−
0322
0832
zyx
zyx
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường
thẳng d.
6/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:
2
2
2
1
1
−
−
=
+
=
zyx
và vuông gócvới mặt
phẳng (Q): 2x – 3y + z + 3 = 0
II. ĐƯỜNG THẲNG
A. Lí thuyết cần nhớ
Vectơ
→
u
≠
→
0
nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng thẳng (d) gọi là vectơ
chỉ phương của đường thẳng (d).
Đường thẳng (d) đi qua điểm M
0
( x
0
; y
0
; z
0
) có vectơ chỉ phương
→
u
= ( a; b; c) có phương trình
tham số là :
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
t ∈ R
Phương trình chính tắc :
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
.
• Phương trình tổng quát của đường thẳng :
=+++
=+++
0''''
0
DzCyBxA
DCzByAx
(1) trong đó
A
2
+B
2
+C
2
≠ 0, A’
2
+B’
2
+C’
2
≠ 0 , A:B:C ≠ A’:B’:C’.
- 5 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì nó có một vectơ chỉ phương
→
u
= (
''
;
''
;
'' BA
BA
AC
AC
CB
CB
)
B.Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng:
Để lập phương trình của một đường thẳng ta sử dụng một trong hai cách sau:
• Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một điểm thuộc đường thẳng.
• Viết phương trình hai mặt phẳng phân biệt và chứa đường thẳng đó.
Chú ý :
• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.
• Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt của mặt phẳng làm vtcp.
C.Một số cách viết phương trình đường thẳng thường gặp:
1/ Bài toán 1:Viết phương trình hình chiếu vông góc của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (α ).
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua đường thẳng (d ) và vuông góc với (α ).
( Mặt phẳng (β ) nhận vtcp của(d) và vtpt của (α ) làm cặp vtcp )
• Hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên (α ) là giao tuyến của (α ) và (β ).
2/ Bài toán 2: Viết phương trính đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng (d
1
) ,
(d
2
) cho trước .( M ∉ (d
1
),(d
2
)) .
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng ( M,(d
1
))
• Viết phương trình mặt phẳng (M,(d
2
))
• (d) = (M,(d
1
)) ∩ (M,(d
2
)).
3/ Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d
) qua M cắt đường thẳng (d
1
) và vuông góc với (d
2
).
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M và (d
1
).
• Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua M và (β )⊥ (d
2
).
• (d) = (α) ∩ (β).
4/ Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M cắt đường thẳng (
∆
) và vuông góc
với (
∆
).
Cách giải:
• Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với (
∆
).
• Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và (
∆
).
• (d) = (α) ∩ (β) .
Ghi chú :Ta có thể giải bài toán như sau.
• Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với (
∆
).
• Tìm giao điểm N của (
∆
) và(α ).
• Viết phương trình đường thẳng MN đó là đường thẳng (d) cần tìm.
5/ Bài toán 5: Cho đường thẳng (
∆
) và mặt phẳng (α ) cắt nhau tại điểm M .Viết phương tình
đường thẳng (d) đi qua M nằm trong (α ) và (d)⊥ (
∆
).
Cách giải :
• Viết phương trình mặt phẳng (β) qua M và (β)Vuông góc với (d) .
• (d) = (α)∩ (β).
- 6 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
6/ Bài toán 6 : Viết phương trình đường thẳng (
∆
) có vtcp
→
u
và cắt hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cho
trước.
Cách giải :
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
1
) và nhận
→
u
làm một vtcp.
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua (d
2
) và nhận
→
u
làm một vtcp.
(c) = (α)∩ (β).
Chú ý :
• Nếu (
∆
) là đường vuông góc chung của (d
1
) ,(d
2
) thì (
∆
) có vtcp là tích có hướng của hai
vtcp của (d
1
), (d
2
) .
• Nếu (∆) ⊥ mp(α) thì (∆) nhận VTPT của (α) làm VTCP
D.Bài tập :
1/ Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (
∆
):
a. Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3).
b. Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2)
c.Qua D(3; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 4y – zz +5 = 0
2/ Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát
=+−+
=−+−
0242
01023
zyx
zyx
.
Hãy viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của (d).
3/ Cho đường thẳng (d) :
=−+−
=−
0323
02
zyx
zx
và mặt phẳng (α): x –2y + z +5 = 0.
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (α).
4/ Cho hai đường thẳng: (d
1
)
zy
x
=+=
−
2
3
1
, (d
2
):
=+
=+−+
01
02
x
zyx
.
a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vuông góc với (d
1
) và cắt (d
2
).
b. Viết phương trình đường thẳng (∆ )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vuông góc với hai đường thẳng
(d
1
), (d
2
).
5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt phẳng :
3x – 2y – 3z – 7 = 0 đồng thời cắt đường thẳng (d):
2
1
2
4
3
2
−
=
−
+
=
−
zyx
6/ Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng : (d
1
):
−=
+−=
=
tz
ty
tx
3
4
, (d
2
):
−=
+−=
−=
tz
ty
tx
54
3
21
.
7/ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng :
(d
1
):
z
yx
=
−
+
=
−
1
1
2
1
, (d
2
):
=++−
=−+−
0122
042
zyx
zyx
- 7 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
A. LÍ THUYẾT :
1/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng : (d) :
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
,( d
’
):
'
'
0
'
'
0
'
'
0
c
zz
b
yy
a
xx −
=
−
=
−
(d) qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) ,có VTCP
→
u
= ( a; b; c)
(d’) qua M’
0
(x’
0
;y’
0
;z’
0
) ,có VTCP
'
→
u
= ( a’; b’; c’)
a. (d) và (d
’
) đồng phẳng ⇔
0].,[
'
00
'
=
→−−−→
→
MMuu
b. (d) và (d’) cắt nhau ⇔
0].,[
'
00
'
=
→−−→
→
MMuu
và a:b:c ≠ a’:b’:c’
c. (d)//(d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’≠ (x’
0
– x
0
):(y’
0
– y
0
) :(z’
0
– z
0
)
d. (d) ≡ (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’ = (x’
0
– x
0
):(y’
0
– y
0
) :(z’
0
– z
0
)
e. (d) và (d’) chéo nhau ⇔
0].,[
'
00
'
≠
→−−−→
→
MMuu
2/ Vò trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng :
Cho đường thẳng (d) có pt:
c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
và
Mặt phẳng (α ) có phương trình : Ax + By +Cz + D = 0
Đường thẳng (d) qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) , có VTCP
→
u
= ( a; b; c) .Mặt phẳng (α ) có VTPT
);;( CBAn
=
→
(d) cắt (α ) ⇔
→
n
.
→
u
≠ 0 ⇔ Aa +Bb +Cc ≠ 0
.
∉
⊥
⇔
→→
)(
)//()(
0
α
α
M
un
d
⇔
≠++
=++
0
0
000
CzByAx
CcBbAa
- 8 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
(d) ⊂ (α ) ⇔
∈
⊥
→→
)(
0
α
M
un
⇔
=++
=++
0
0
000
CzByAx
CcBbAa
Chú ý : Khi (d) cắt (α ) để tìm tọa độ giao điểm của (d) và (α ) ta giải hệ gồm các phương trình của
(d) và (α )
B. BÀI TẬP :
Bài 1: Xét vò trí tương đối của các cặp đường thẳng sau ,nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao
điểm :
a/ d:
zy
x
=+=
−
2
3
1
và d’
=+
=+−+
01
02
x
zyx
b/ d:
=++
=−+−
012
01
yx
zyx
và d’:
=+−+
=+−
033
012
zyx
yx
c/ d:
=−++
=+−+
012
0132
zyx
zyx
và d’:
1
3
57
2
−
+
=
−
=
−
zyx
d/ d:
3
3
6
2
9
1
−
=
−
=
−
zyx
và d’:
2
5
4
6
6
7
−
=
−
=
−
zyx
Bài 2 : Xét vò trí tương đố cảu đường thẳng và mặt phẳng sau , nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ
giao điểm của chúng:
a/ d:
+=
+=
+=
tz
ty
tx
1
39
412
và (α) : 3x + 5y – z – 2 = 0
b/ d:
=−+−
=+++
062
016753
zyx
zyx
và (α): 5x – z – 4 = 0
c/ d:
4
3
1
2
2
1
−
+
=
−
=
−
zyx
và (α) : 4x + 2y – 8z +2 = 0
d/ d:
1
3
1
2
2
1
−
+
=
+
=
−
zyx
và (α) : 2x + y – z –3 = 0
C. Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng , trên đường thẳng:
1/ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α)
- 9 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
• Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M và (∆)⊥ (α)
Tìm giao điểm của (∆) với (α) đó là điểm cần tìm.
2/ Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (α)
Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (α) .
M’ đối xứng với M qua (α) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’.
3/ Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d).
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (d).
Tìm giao điểm của (α) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm.
4/ Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) .
Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d).
M’ đối xứng với M qua (d) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’.
Bài tập :
1/ Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :
+=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2
1
.
Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d).
Tìm điểm M’ đối xưng với M qua (d).
2/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng
(α) : x + 2y – z + 4 = 0.
a. Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng .
b.Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (α).
3/ Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + x – 2 = 0 , và đường thẳng (d) :
3
2
12
1
−
+
==
−
zyx
.
- 10 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
a. Chứng minh (d) cắt (α) .
b. Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với (α).
c.Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A vuông góc với (d) đồng thời nằm trong mặt
phăng (α).
4/ Cho (d) :
2
3
12
21
+
=
−
+
=
−
z
m
y
m
x
, (α) : x +3y – 2z – 5 = 0. Đònh m để:
a). (d) cắt (α) b). (d) // (α) c). (d) ⊥ (α).
V. KHOẢNG CÁCH , GÓC :
LÍ THUYẾT :
Cần học thuộc các công thức : khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và đến đường thẳng ,
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Góc giữa hai đường thẳng , góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng .
BÀI TÂP:
1/ Tính khoảng cách từ các điểm M
1
(1;-3;4) , M
2
( 0;4 ;1) , M
3
( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng
(α) : 2x –2y + z – 5 = 0
2/ Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng ∆:
3
1
2
1
1
2
−
+
=
−
=
+
zyx
3/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
(∆
1
):
=+−
=+−+
012
05
yx
zyx
và (∆
2
):
1
3
1
2
1
1
−
−
=
+
=
− zyx
4/ Cho đường thẳng d:
1
1
12
1
−
−
=
−
=
+
zyx
và mặt phẳng (α):x+ y + 2z – 4 = 0 .
Tính góc giữa d và (α)
5/ Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0
6/ Cho đường thẳng (d):
=
−=
+=
tz
ty
tx
3
2
21
và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z +1 = 0.
Tìm các điểm M ∈ (d) sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 3 .
7/ Cho hai đường thẳng (d
1
):
5
4
3
3
2
2
−
+
=
−
=
−
zyx
và (d
2
):
1
4
2
4
3
1
−
−
=
−
−
=
+
zyx
Tìm hai điểm M,N lần lượt trên (d
1
) và (d
2
) sao cho độ dài đoạn MN nỏ nhất.
- 11 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
VI. MẶT CẦU:
A. Lí thuyết cần nhớ:
1/ Phương trình Mặt cầu:
a.Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R có phương trình là:
( x- a )
2
+ ( y - b )
2
+ ( z - c )
2
= R
2
b.Phương trình : x
2
+y
2
+z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a
2
+b
2
+c
2
- d > 0
là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R =
dcba
−++
222
2/ Vò trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng :
Cho mp(α) :Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S) có phương trình:
(x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a;b;c) của (S) trên (α)
Vậy
222
),(
CBA
DCcBbAa
IdIH
++
+++
==
α
a. Nếu IH < R thì (α) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn ( C)có tâm H ,có bán r =
22
IHR −
Phương trình của đường tròn (C) :
=+++
=−+−+−
0
)()()(
2222
DCzByAx
Rczbyax
b. Nếu IH = R thì (α) tiếp xúc với (S) tại H .(α) gọi là mặt tiếp diện của mc(S)
c. Nếu IH > R thì (α) và (S) không có điểm chung
B.Các dạng bài tập thường gặp:
1/ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau :
a) x
2
+ y
2
+ z
2
– 8x + 2y +1 = 0
b) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x + 8y – 2z – 4 = 0
c) 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
+ 6x – 9y + 12z – 4 = 0
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :
a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; 3 ) và đi qua điểm M( 3 ; 2 ; 4 ).
b) (S) có đường kính AB với A(1; 4 ; 5), B ( 3; -2; 7 ).
c) (S) có tâm I( 0 ; 4; 3 ) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 2x + y – 2z + 8 = 0
d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; 6 ), B( 3; -1; 0 ),C( 0; -7; 3 ),D(-2;1; -1).
3/ Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A( 1; 2; - 4 ) , B( 1; - 3; 1 )
C( 2; 2; 3 ) và có tâm I nằm trên mặt phẳng Oxy.
4/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z
2
= 4và mặt phẳng (α): x + z = 2.
Chứng minh rằng mp(α) cắt mặt cầu (S).
Xác đònh tâm và tính bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của (α) với (S).
5/ Cho (d) :
+=
+−=
−=
tz
ty
tx
2
21
và mặt phẳng (α) :2x - y – 2z –2 = 0 .Viết phương trình mặt cầu có tâm
I ∈ (d) cách (α) một đoạn bằng 2 và cắt mặt phẳng (α) theo giao tuyến là đườngtròn có bán kính
bằng 3 .
6/ Cho đường thẳng (d):
2
1
1
1
2
+
=
−
=
zyx
và hai mặt phẳng(α): x+ y -2z +5 = 0 ,
- 12 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
(β) : 2x – y + z + 2 = 0 .Viết phương trình mặt cầu có tâm trên (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng
(α) , (β).
7/ Cho dường tròn ( C ) :
=++−
=+++−++
0122
017664
222
zyx
zyxzyx
a) Tìm tâm và bán kinh của ( C ).
b) Lập phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn ( C ) và có tâm trên mặt phẳng
(p): x + y + x + 3 = 0.
8/ Lập phương trình mặt tiếp diện của mặt cầu (S):x
2
+y
2
+z
2
– 6x– 2y+4z+5 =0.
Tại điểm M(4; 3; 0 ).
9/ Lập phương trình mặt (α) tiếp xúc với mặt cầu x
2
+y
2
+z
2
–26x– 2y-2z –22= 0
biết (α) song song với ( β ): 3x – 2y + 6z +14 = 0.
10/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d):
+=
+=
+=
tz
ty
tx
1
31
44
và tiếp xúc với mặt cầu
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 6y+ 2z + 8 = 0
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
.
Bài 1: Viết tọa độ của các vectơ sau :
→→→→
−+−= kjia 432
,
→→→
−= ijb 2
,
→→
= kc 3
,
→→→
−−= ikd 2
Bài2 : Cho ba vectơ
→
a
= ( 2;-5 ; 3 ),
→
b
= ( 0; -2; 1) ,
→
c
= (-1 ; 6; 2 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ :
→
u
= 2
→
a
-
→
b
.
→→→→
++= cbav 3
2
1
b) Chứng minh rằng 3 vectơ
→
a
,
→
b
,
→
c
không đồng phẳng .
Bài 3 : Cho điểm M( - 1; 2 ; 3) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M .
Trên trục Ox .
Trên mặt phẳng Oyz.
Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 2 ; 1) ,B(-2 ; 1 ; 2)
a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua Oy.
b) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua xOy.
c) Tìm điểm M chia đoạn A’B’ theo tỉ số - 3
Bài 5: Cho ba vectơ
→
a
= ( 0;-2 ; 4 ),
→
b
= ( 1; 3; -1) ,
→
c
= (2 ; 0; 5 ).Tìm tọa độ của :
a) Vectơ
→→→→
+−=
cbad 3
3
1
4
.
b) Vectơ
→
x
biết
→→→
−=+
aax 2
.
c) Vectơ
→
u
biết
→→→
=+ bua 52
d) Tìm
→→→
cba
, e)
→→→
acb
, g )
→→→
cba .,
- 13 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
Bài 6 : Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2 ; -3) , B(3 ; 2 ; 0) , C ( -4; 2 ; 5).
a) Chứng minh A , B ,C là ba đỉnh của một tam giác .
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành .
c) Tìm a , b để điểm M(a+2 ;2b – 1 ; 1) thuộc đường thẳng AC.
Bài 7: Cho bốn điểm A(-3 ; 5 ;15) , B(0 ;0 ;7) , C (- 4 ; 2 ; 5) , D(4 ;-3 ; 0) .Chứng minh rằng hai
đường thẳng AB và CD cắt nhau .
Bài 8 : Cho tam giác ABC có A(1 ; 0 ; 3) ,B( 2 ; 2 ;4) , C( 0 ;3 ; -2).
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A, từ đó tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC .
Tính góc C của tam giác .
Bài 9: Cho ba điểm A(2 ; 1 ; 0) ,B(0 ; 0 ; 1) ,C(1 ; 1 ; 2 ) . Tính diện tích tam giác ABC, từ đó suy ra
độ dài đường cao vẻ từ A của tam giác .
Bài 10: Cho tam giác ABC với A(1 ; 1 ; 0) , B(3 ; -1 ; 1) ,C(5 ; 1 ; 3).Tính độ dài đường phân giác
trong của góc A.
Bài 11: Cho bố điểm A(0 ; -1 ; 0) , B(0 ; 0 ; 2) ,C( 1 ; 0 ; 0) , D(-1 ; 1 ; -2) .
a) Chứng minh rằng A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện .
b) Chứng minh rằng AC vuông góc với BD .
c) Tính góc tạo bới hai đường thẳng AB và CD .
d) Tính thể tích của tứ dòen và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ A.
Bài 12 : Cho ba điểm A(2 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ;0) , C( 0 ; 0 ; 2) ,D(a ; a ; a) với a là hằng số a ≠ 0 . Chứng
minh rằng OD vuông góc với mặt phẳng (ABC) với mọi a.
Bài 13: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0 ; 0 ; 0) ,B(1 ; 0 ; 0) ,C (0 ; 2 ;0) , A’( 0 ; 0 ; 3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp .
b) Goi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC , CD, DD’ . Chứng minh rằng M,N,P,Q
đồng phẳng .
c) Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ)
Bài 14 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi M,N lần lượt là trunh điểm của
A’D’ và B’B .
a) Chứng minh rằng MN vuông góc với AC’ .
b) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD).
c) Tính góc giữa MN và CC’.
Bài 15 : Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( α ) trong các trườnghợp sau:
a) (α) đi qua A (1; 0; 2 ) và vuông góc với mặt phẳng Oxy .
b) (α) đi qua M(2 ; -1 ; -3) và vuông góc với trụcc Ox .
c) (α) là mặt trung trực của đoạn AB với A(1; 3; 2 ), B(-1 ; 1; 0 ).
d) (α) qua I(-1; 2;4 ) và song song với mặt phẳng 2x – 3y + 5z – 1 = 0.
Bài 16 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ; -2) , C(-5 ; 2 ; -6) .
a) Chứng minh A, B , C là ba đỉnh của tam giác .
b) Tính độ dài phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC.
Bài 17:Cho mặt phẳng (P) : 2x + 5y – 7x +1 = 0 .
a) Hãy xác đònh vectơ pháp tuyến của (P).
b) Xác đònh m để điểm A(2m – 1 ; m +2 ; m – 1) nằm trên (P).
c) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với các trục tọa độ .
- 14 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
d) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng tọa độ .
Bài 18 : Viết phương trình mặt phẳng :
a) Đi qua A( 1 ; 0 ; 2) và song song với mặt phẳng xOy.
b) Đi qua M(2 ;-1 ; -3) và vuông góc với trục Ox .
c) Đi qua I( -1 ; 2 ; 4) và song song với mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0 .
d) (α ) là mặt trung tực của đoạn AB với A(1 ; 2 ; 3) , B(-1 ; 1 ; 0).
e) (β ) đi qua ba điểm A(-1 ; 2 ; 3) ,B(2 ; -4 ; 3) , C(4 ; 5 ; 6).
f) Đi qua hình chiếu của điểm N( 1 ; -3 ; 1) trên các trục tọa độ .
Bài 19:Cho điểm M(1 ; 2 ; 3) .
a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) và cắt ba trục tọa độ tại A, B, C sao cho M là trọng tâm
của tam giác ABC .
b) Viết phương trình mặt phẳng (β ) và cắt ba trục tọa độ tại N, P , Q sao cho M là trực tâm
của tam giác ABC .
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba trục tọa độ tại ba điểm cách đều gốc tọa
độ.
Bài 20 :Viết phương trình mặt phẳng :
a) Đi qua hai điểm A(1 ;1 ;0) ,B(-1 ; 2 ; 7) và vuông góc với mặt phẳng (α) :2x–3y+z–7 = 0.
b) Đi qua M(0 ;2; -1) , song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (β) x – y +z = 0 .
c) Đi qua N(-3;0;1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P):2x–3y+z –2 = 0 ;(Q):x + 5y–2z = 0
Bài 21: Cho tứ diện ABCD có A(5 ; 1 ; 3) ,B(1 ; 6 ; 2) , C(5 ; 0 ; 4) ,D(4 ; 0 ;6) .
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD .
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song
song với mặt phẳng (ABC ) .
Bài 22: Xét vò trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
a) 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và 3x – y +z – 1 = 0 .
b) – x +y – z + 4 = 0 và 2x – 2y + 2z – 7 = 0.
c) x + y + z – 3 = 0 và 2x – 2 y + 2 z – 3 = 0.
d) 3x + 3y – 3z – 12 = 0 và 4 x + 4y – 4z – 16 = 0.
Bài 23 : Cho hai mặt phẳng có phương trình :(m
2
–5)x – 2y + mz + m – 5 = 0 và x + 2y – 3nz +3 = 0 .
Tìm m , n để hai mặt phẳng :
a) Song song với nhau .
b) Trùng nhau .
c) Cắt nhau .
Bài 24 : Cho hai mặt phẳng : 3x – (m – 3)y +2z – 5 = 0 và (m + 2)x – 2y + mz – 10 = 0 .Tìm m để :
a) Hai mặt phẳng song song với nhau .
b) Hai mặt phẳng trùng nhau .
c) Hai mặt phẳng cắt nhau .
Bài 25 : Viết phương trình mặt phẳng :
Đi qua A(1 ; 2 ; 1 ) và chứa trục Oy .
Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng : x – 3z +1 = 0 , 2y +3z – 5 = 0 và vuông góc với mặt
phẳng 2x – y – 1 = 0 .
Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng 3x – y + 3z +8 = 0 , -2x – y +z +2 = 0 và song song với
mặt phẳng x – y – 1 = 0.
- 15 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
Bài 26 : Viết phưo8ng trình tham số , ptct của đường thẳng đi qua hai điểm A(-1 ; 4 ; 3) ,B(2 ; 1 ; 1).
Bài 27 : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng đi qua
M(2 ; 5 ; -3) và chứa đường thẳng
2
3
3
4
3
1
−
−
=
−
−
=
+
zyx
và mặt phẳng Oxy.
Bài 28 : Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :
a) Có phương trình tổng quát :
=+−
=+−+
012
05
yx
zyx
.
b) Đi qua điểm M( 1 ; - 2 ; 3) và song song với đường thẳng :
=
−−=
+=
tz
ty
tx
4
3
31
c) Đi qua điểm N( 2 ; 3 ; - 4) và vưông góc với mặt phẳng x -2y + z – 6 = 0
d) Đi qua điểm A( - 2 ; 5 ; 1 ) và song với đường thẳng
=−−+
=++−
052
0123
zyx
zyx
e) Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P): x -2y + 3z – 1 = 0 với mặt phẳng yOz .
Bài 29: Xét vò trí tương đối của các đường thẳng sau :
a) d:
=++
=−+−
012
01
yx
zyx
và d’:
=+−+
=+−
033
012
zyx
yx
b) d:
=−+
=−+
0142
02523
zx
yx
và d’:
8
1
64
2
−
+
=
−
=
−
zyx
c) d:
3
3
6
2
9
1 −
=
−
=
− zyx
và d’:
2
5
4
6
6
7
−
=
−
=
−
zyx
d)
12
2
2
1 zyx
=
−
−
=
−
và d’ :
=
+−=
−=
4
35
2
z
ty
tx
.
Bài 30 :Chứng minh rằng đường thẳng d:
=−−−
=−+−
012
05235
zyx
zyx
nằm trong mặt phẳng (P):4x – 3y +7z
= 0.
Bài 31 :Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau :
a) (P) chứa đường thẳng d và song song với d’ biết :d:
−−=
+=
+=
tz
ty
tx
2
23
31
và d’:
=−−+
=−+−
052
032
zyx
zyx
.
b) (P) chứa đường thẳng d và (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) biết :
d:
2
2
3
2
2
1 −
=
−
+
=
− zyx
và (Q) : 3x +2y – z – 5 = 0 .
Bài 32 :Viết phương trình đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) : 3x + 12y – 3z – 5 = 0 ;
(Q) : 3x – 4y +9z +7 = 0 và cắt hai hai đường thẳng :d
1
:
3
1
4
3
2
5
+
=
−
−
=
+
zyx
,d
2
:
4
2
3
1
2
3 −
=
+
=
−
− zyx
- 16 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
Bài 33: Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng (P)
với : d:
+=
+=
+=
tz
ty
tx
1
33
412
và (P) :3x + 5y – z – 2 = 0 .
Bài 34: Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết
:
d :
3
2
12
1
−
+
==
− zyx
và (P) 2x +y + z – 1 = 0
Bài 35 Chứng minh hai đường thẳng sau đây song vớ nhau và viết phương trình mặt phẳng chứa hai
đường thẳng đó
d:
12
1
3
2 zyx
=
−
−
=
+
và d’:
=−+−
=−+
08
0
zyx
zyx
Bài 36 : Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau :
a) d
1
:
−−=
+=
−=
tz
ty
tx
2
3
21
, d
2
:
−=
+=
=
tz
ty
tx
23
1
2
b) d
1
:
−=
−−=
+=
tz
ty
tx
3
2
1
, d
2
:
=−+−
=−+
08
0
zyx
zyx
Bài 37: Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz cho điểm M(1 ; -2 ; 3) . Tính khoảng cách từ M đến :
a) Mặt phẳng Oyz .
b) Mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 3 = 0.
c) Đường thẳng d :
=+−+
=+−
02
03
zyx
zyx
.
Bài 38 : Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hai đường thẳng : d
1
:
4
2
1
2
3
1 +
=
+
=
− zyx
,
d
2
:
1
3
32
1
−
−
==
+ zyx
.
a) Chứng minh hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau .
b) Chứng minh rằng d
1
song song với mặt phẳng (P) : 6x – 14y – z – 40 = 0 .Tính khoảng
cách giữa d
1
và (P).
c) Tìm điểm N đối xứng với điểm M( 1 ; -1 ;0) qua đường thẳng d
1
.
Bài 39 : Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Biết tọa
độ các điểm A(0 ;0 ; 0) ,B(1 ; 0 ; 0 ) , D( 0 ; 1 ; 0) và A’( 0 ; 0 ; 1) .
a) Hãy xác đònh các điểm còn lại của hình lập phương .
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’ . Tính khoảng cách giữa MN và AD.
Bài 40 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A( 2 ; 3 ;1) ,B( 1 ; 1 ; -1),C(2 ; 1 ; 0) ,
D(0 ; 1 2) .
Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD .
- 17 -
GV: Di ệp Quốc Quang – Cu Đrăm – Krơng Bơng
Viết phương trình đường thẳng AB .
Viết phương trình mặt cầu có tâm trên đường thẳng AB và qua hai điểm C và D.
Bài 41: Tính góc giữa :
a) d
1
:
−=
−=
+−=
tz
y
tx
4
1
32
, d
2
:
=−+−
=+−
04
03
zyx
zyx
.
b) d:
4
2
1
2
3
1 +
=
+
=
− zyx
và (P): 3x + y – z +13 = 0
Bài 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1 ;2 ;-3) và mặt phẳng (P):4x–y + 4z
-15 = 0.
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên (P).
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P).
Bài 43 :Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau :
a) x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x +2y – 4z – 2 = 0.
b) x
2
+ y
2
+ z
2
– 4x +8y +2z – 4 = 0
Bài 44 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường tròn (C) có phương trình :
=+++
=−−−−++
01854
032464
222
zyx
zyxzyx
. Tìm tâm và bán kính của (C) .
Bài 45 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm
A(1 ; 1 ; 0), B(-1 ; 1 ; 2) , C( 1 ; -1 ; 2) và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y + z – 4 = 0 .
Bài 46:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I(1;-1;2) và mặt phẳng (P):3x+4y–z–23 = 0.
Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (P) . Tìm tọa độ tiếp điểm .
Bài 47 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A( 0 ; 0 ; 1) ,B(2 ; 1 ; 1) , C(1 ; 0 ; 0).
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 48 : Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3 ; 2; 6 ), B( 3 ; -1 ; 0 ),
C( 0; -7 ; 3 ),D(-2 ;1 ; -1).
Bài 49 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho dường thẳng d:
1
2
1
2
2
1 −
=
+
=
− zyx
và hai
điểm A( 0 ;1;-1) , B(2; -1 3).Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm trên d và (S) đi qua hai điểm A,B
Bài 50 : Cho đường thẳng (d):
2
1
1
1
2
+
=
−
=
zyx
và hai mặt phẳng(α): x+ y -2z +5 = 0 ,
(β) :2x – y + z + 2 = 0 .Viết phương trình mặt cầu có tâm trên (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng
(α),(β).
- 18 -
