Luyện thi đại học: PT-BPT vô tỉ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (302.35 KB, 29 trang )
Lê Thị Phơng Hoa
1.ph ơng trình bất ph ơng trình cơ bản
a.ph ơng trình cơ bản :
Dạng phơng trình:
=
)()(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
(nếu g(x) có TXĐ là R)
b.Bất ph ơng trình cơ bản:
Dạng 1:
<
>
)()(
0)(
0)(
0)(
)()(
2
xgxf
xg
xg
xf
xgxf
Dạng 2:
( )
( )
( ) ( )
<
>
<
xgxf
xf
xg
xgxf
2
0
0
)()(
Chú ý: Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đa về dạng cơ bản ,
ta làm nh sau:
+ Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa .
+ Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm .
+ Bình phơng hai vế .
+ Tiếp tục cho đến khi hết căn .
bài tập áp dụng
Bài 1 . 1: Giải các ph ơng trình sau:
)1(3253.1
=+
xx
)2(632.2 xx
=+
Giải1 :
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
=
=
=+
2
7
2
014154
2
3
2
x
x
xx
x
Giải2:
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
3
113
6
03314
6
2
=
==
=+
x
xx
x
xx
x
Bài 1 . 2 Giải ph ơng trình sau
)1(1266.1
2
=+
xxx
(ĐH Xây Dựng -2001).
Giải:
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
Trờng THPT Tam Dơng II 1
Lê Thị Phơng Hoa
1
1
2
1
)12(66
2
1
22
=
=
=+
x
x
x
xxx
x
Bài 1 . 3 Giải ph ơng trình
321
=++
xx
Giải:Phơng trình đã cho tơng đơng với hệ:
2
)4()2)(1(_
41
4)2)(1(
1
2
=
=
=+
x
xxx
x
xxx
x
Bài 1 . 4: Giải ph ơng trình
231 = xxx
Giải:Phơng trình đã cho tơng đơng với hệ:
3
326
3
326
3
326
43
0883
43
6524
3
231
3
22
+
=
=
+
=
=+
+=
+=
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
Bài 1 . 5 : Giải ph ơng trình
xxxx
+=+
1
3
2
1
2
(ĐHQG Hà Nội 2000)
Giải:Phơng trình đã cho tơng đơng với hệ:
=
+=++
22222
3
2
3
2
3
2
10
21
3
4
3
2
3
2
1
10
xxxx
x
xxxxxx
x
=
=
==
=
1
0
10
10
0)1(
10
22
x
x
xx
x
xxxx
x
Bài 1 . 6 : Giải ph ơng trình
( )
3428316643 =+ xx
Giải:Phơng trình đã cho tơng đơng với hệ:
( )
2
2
2
2
4
3
3428316643
4
3
=
=
=+
x
x
x
xx
x
Trờng THPT Tam Dơng II 2
Lê Thị Phơng Hoa
Bài 1 . 7 : Giải bất ph ơng trình:
27593137
xxx
(ĐH DL Phơng Đông -2001)
Điều kiện:
5
27
x
Bất phơng trình đã cho tơng đơng với:
+
93275137
5
27
xxx
x
( )( ) ( )( )
23
59
65762229
044345859
23
5
27
23275932
5
27
275932368137
5
27
2
+
+
+
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
Bài tập làm thêm:
Bài 1: (PP BĐ TĐ)
2 2
2 2
2
2
1. 3 2 2 1; 2. 3 9 1 2
3. 4 6 4; 4. 2 4 2
5. 3 9 1 | 2 |; 6. 2 3 0;
7. 1 1;
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x
+ = + =
+ = + + + =
+ = + =
+ + =
Bài 2: (PP BĐ TĐ)
1. 3 6 3;
2. 3 2 1 3;
3. 3 2 1;
4. 9 5 2 4;
5. 3 4 2 1 3;
6. 5 1 3 2 1 0;
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
+ + =
+ =
+ =
+ = +
+ + = +
=
7. 3 4 4 2 ;x x x+ + + =
8. 5 5 10 5 15 10;x x x + =
9. 4 1 1 2 ;x x x+ =
Trờng THPT Tam Dơng II 3
Lê Thị Phơng Hoa
2
10. 3 2 1 2;
11. 1 5 1 3 2
x x x
x x x
+ + + =
=
12. 1 9 2 12x x x+ =
2 2
13. 5 8 4 5x x x x+ + + =
2 2
14. 3 5 8 3 5 1 1x x x x+ + + + =
2 2
15. 9 7 2 5 1 3 2 1x x x x x+ =
2 2 2
2
16. 3 6 16 2 2 2 4
3 1 1 4 2
17.
3 9 9
x x x x x x
x
x x x
+ + + + = + +
+
= + +
2
18. 1 2 5x x x =
19. 11 11 4x x x x+ + + + =
20. 1 1 8x x x+ = +
2.ph ơng pháp Đặt một ẩn phụ
Dạng 1: Giải phơng trình:
( ) ( )
0
=++
CxfBxAf
Ph ơng pháp giải : Đặt
( ) ( ) ( )
2
0 txfttxf
==
;
Phơng trình đã cho trở thành :
( )
00
2
=++
tCBtA t
Làm t ơng tự với bất ph ơng trình dạng:
( ) ( )
0
++
CxfBxAf
Dạng 2 : Giải phơng trình:
( ) ( )
( )
( )
( )
0)(2
=++++
CDxgxfBxgxfA
(Với
( )
Dxgxf
=+
)(
)
Ph ơng pháp giả i :
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
xgxfDtttxgxf 20)(
2
+==+
Phơng trình đã cho trở thành :
( )
00
2
=++
tCAtBt
Làm t ơng tự với bất ph ơng trình dạng:
( ) ( )
( )
( )
( )
0)(2
++++
CDxgxfxgxfA
bài tập áp dụng:
Bài 2 . 1 : Giải các ph ơng trình
)1(75553,1
22
+=+
xxxx
Trờng THPT Tam Dơng II 4
Lê Thị Phơng Hoa
)2(3012.2,2
22
=++
xx
(ĐH DL Hồng lạc-2001)
Giải1:
)1(75553,1
22
+=+
xxxx
Đặt
)0(55
2
=+
ttxx
Phơng trình đã cho trở thành:
=
=
=
=+
=+
=
=
=+
2
215
4
1
455
155
2
1
023
2
2
2
x
x
x
xx
xx
t
t
tt
Giải2:
)2(30122,2
22
=++
xx
Đặt
)0(12
2
>+=
txt
Phơng trình đã cho trở thành:
=
=
=+
)(7
)(6
042
2
Lt
tmt
tt
Vậy
62612
2
==+ xx
Bài 2. 2 : Giải các ph ơng trình
)1(4
2
47
.1
2
x
x
xx
=
+
++
(ĐH Đông đô-2000).
)2(4324.2
22
xxxx +=+
(ĐH Mỏ -2001)
Giải2:
Đặt
)0(4
2
= yxy
Phơng trình đã cho trở thành:
=+
=+
+=+
=+
23
42)(
32
4
222
xyyx
xyyx
xyyx
yx
Trờng THPT Tam Dơng II 5
Lê Thị Phơng Hoa
Giải hệ đối xứng này ta đợc nghiệm:
+
=
=
=
==
==
3
142
2
0
02
20
x
x
x
yx
yx
Giải1:Điều kiện:
0
x
Đặt
)0(
=
ttx
Phơng trình đã cho trở thành:
04874
234
=++ tttt
Giải phơng trình bậc 4 :
Xét t=0 không là nghiệm
Xét t 0 ,chia hai vế cho t
2
và đặt
)22(
2
+=
u
t
tu
Ta đợc phơng trình
=
=
=
=
=
=
=+
4
1
2
1
3
)(1
034
2
x
x
t
t
u
Lu
uu
Bài 2 . 3 : Giải các bất ph ơng trình sau
123342.1
22
>++
xxxx
(ĐHDL Phơng Đông -2000)
2)2(4)4(.2
22
<++ xxxxx
(ĐH QG HCM -1999)
Giải1:
Điều kiện:
13
x
Đặt:
)0(23
2
= txxt
Bất phơng trình đã cho trở thành:
2
5
0
0
2
5
1
0
0532
2
<
<<
>++
t
t
t
t
tt
Thay vào cách đặt:
13
0
4
13
2
13
2
++
x
xx
x
Giải2 :
2)2(4)4(.2
22
<++ xxxxx
Điều kiện:
40
x
Đặt:
04
2
+=
xxt
Trờng THPT Tam Dơng II 6
Lê Thị Phơng Hoa
Thay vào BPT Đã cho và giải ra ta đợc
1
>
t
Thay vào cách đặt ta đợc:
3232
+<<
x
Bài 2 . 4 : Giải các bất ph ơng trình sau
7
2
1
2
2
3
3.1 +<+
x
x
x
x
(ĐH Thái Nguyên -2000)
3)7)(2(72.2
++++
xxxx
Giải1: Biến đổi bất phơng trình đã cho trở thành:
( )
09
2
1
3
2
1
2
9
2
1
12)
2
1
(3
2
2
2
>
+
+
++<+
x
x
x
x
x
x
x
x
Đặt:
2
2
1
+= t
x
xt
BPT đã cho trở thành:
+>
<<
>+
>
>
7
2
3
4
7
2
3
40
3
2
1
3
0932
2
2
x
x
x
x
t
tt
t
Giải 2:
Điều kiện:
72
x
Đặt
)0(72
++=
txxt
Vậy
2
9
)7)(2(
2
=+
t
xx
Bất phơng trình đã cho trở thành:
=
=
++
+
7
2
9)7)(2(29
72
300152
2
x
x
xx
x
ttt
Bài tập. Giải các PT sau:
Trờng THPT Tam Dơng II 7
Lª ThÞ Ph¬ng Hoa
Bµi 1:
2 2
2 2
2 2
2
1. 3 5 5 5 7;
2. 2 12 30;
3. 13 7;
4. ( 5)(2 ) 3 3 ;
x x x x
x x
x x x x
x x x x
− + = − +
+ =
− − − + =
+ − = +
2
6. ( 4)( 1) 3 5 2 6;x x x x+ + − + + =
2 2
11. 2( 2 ) 2 3 9;x x x x− + − − =
2 2
12. ( 3) 3 22 3 7;x x x x− + − = − +
( ) ( )
2
15. 1 2 1 2 2 ;x x x x+ − = + −
( )
2 2
16. 2 2 2 3 9 0;x x x x− + − − − =
2 2
17. 3 15 2 5 1 2;x x x x+ + + + =
Bµi 2:
2 2
5. 3 3 3 6 3;x x x x− + + − + =
2 2
7. 5 2 2 5 9 1;x x x x+ + + + − =
9. 1 4 ( 1)(4 ) 5;x x x x+ + − + + − =
2 2
10. 4 2 3 4 ;x x x x+ − = + −
2 2
13. 2 5 2 2 5 6 1;x x x x+ + − + − =
2 2
14. 3 2 2 6 2 2;x x x x+ + − + + = −
2 2 2
18. 4 1 2 2 9;x x x x x x+ + + + + = + +
2 2 2
8. 4 8 4 4 2 8 12;x x x x x x+ + + + + = + +
2 2
19. 1 2 1 2;x x x x− − + + − =
2 2
20. 17 17 9;x x x x+ − + − =
2
2
21. 1 1 ;
3
x x x x+ − = + −
2
4 4
22. 16 6;
2
x x
x x
+ + −
= + − −
2
23. 3 2 1 4 9 2 3 5 2;x x x x x− + = = − + − +
Trêng THPT Tam D¬ng II 8
Lê Thị Phơng Hoa
2
24. 2 3 1 3 2 2 5 3 16;x x x x x+ + + = + + +
25. 2 2 5 2 3 2 5 7 2;x x x x + + + + =
( ) ( )
3 3
5 5
26. 7 3 8 7 3 7;x x
=
2
27. 2 3 2 ;
2 3
x
x x
x
+ + =
+
4
2 2
28. 1 1 2;x x x x + + =
2 2
29. 5 14 9 20 5 1;x x x x x+ + = +
( )
3 2
30. 10 8 3 6 ;x x x+ =
3 2
31. 1 3 1;x x x = +
2
32. 1 ( 1) 0;x x x x x x + =
Đặt ẩn phụ để trở thành phơng trình có 2 ẩn:
* Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ
nhng các hệ số vẫn còn chứa x
* PP này thờng đợc SD đối với những PT khi lựa chọn 1 ẩn phụ cho1 BT thì các BT
còn lại không BD đợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu BD đợc thì công thức BD quá
phức tap.
* Khi đó thờng ta đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số là 1
số chính phơng.
Bài tập. Giải các PT sau:
Bài 1:
2 2
1. 1 2 2 ;x x x x =
2 2
2. 1 2 2;x x x = +
2 2
3. (4 1) 1 2 2 1;x x x x + = + +
2 2
4. 4 4 (2 ) 2 4;x x x x x+ = + +
2 2
5. 3 1 (3 ) 1;x x x x+ + = + +
2 2
6. (4 1) 4 1 8 2 1;x x x x + = + +
2
7. 4 1 1 3 2 1 1 ;x x x x+ = + +
Trờng THPT Tam Dơng II 9
Lê Thị Phơng Hoa
2 2
2 2
2
8. 2(1 ) 2 1 2 1;
9. 1 2 4 1 2 1;
10. 12 1 36;
1 1 1
11. 2 1 3 0;
x x x x x
x x x x
x x x
x
x x
x x x
+ =
+ = +
+ + + =
+ =
3.Ph ơng pháp Đặt hai ẩn phụ
Dạng 1: Giải phơng trình:
( ) ( )
( )
( )
0)(
=+++
CxgxfBxgxfA
nnn
(Với
( )
Dxgxf
=+
)(
)
Ph ơng pháp giải : Đặt:
( )
( )
Dvu
vxg
uxf
nn
n
n
=+
=
=
Phơng trình đã cho trở thành:
( )
=+
=+++
Dvu
CBuvvuA
nn
0
Dạng 2: Giải phơng trình:
( ) ( )
( )
( )
0)(
=++
CxgxfBxgxfA
nnn
(Với
( ) ( )
Dxgxf
=
)
Ph ơng pháp giải : Đặt:
( )
( )
Dvu
vxg
uxf
nn
n
n
=
=
=
Phơng trình đã cho trở thành:
( )
=
=++
Dvu
CBuvvuA
nn
0
bài tập áp dụng:
Bài 3 . 1 : Giải ph ơng trình:
)x6)(2x(x62x
+=++
(ĐH Ngoại Ngữ-2001)
Giải :
Đặt
)0v,u(
vx6
u2x
=
=+
Phơng trình đã cho trở thành:
2vu
08uv2)uv(
vuuv
vuuv
8vu
2
22
==
=
+=
+=
=+
Vậy:
Trờng THPT Tam Dơng II 10
Lê Thị Phơng Hoa
2x2x62x
===+
Bài 3 . 2 :Giải ph ơng trình:
13x22x
33
=++
(An Ninh-01)
Giải :
Đặt:
=+
=+
v3x
u22x
3
3
Phơng trình đã cho trở thành:
=
=
==
==
=
=
30x
5x
2u;3v
3u;2v
6uv
1vu
Bài 3 . 3: Giải ph ơng trình
541xx56
44
=++
Đặt:
)0uv(
v41x
ux56
4
4
=+
=
Phơng trình đã cho trở thành:
=
=
==
==
=+
=+
40x
25x
2v;3u
3v;2u
97vu
5vu
44
Bài tập làm thêm: Giải các pt:
20 20
1. 6;
x x
x x
+
=
4
2. 6 2 2(1 (6 )( 2);x x x x + =
3
3
3
2 2
3
3
3. 2 1 1;
4. 9 2 1;
5. 9 1 7 1 4;
6. 3 10 5;
7. 9 ( 3) 6;
x x
x x
x x
x x
x x
=
=
+ + + + =
+ + =
= +
3
3
4 4
2 2
8. 24 12 6;
9. 7 1;
10. 5 1 2;
11. 3 3 3 6 3;
12. 1 8 ( 1)(8 ) 3;
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
+ + =
+ =
= =
+ + + =
+ + + + =
Trờng THPT Tam Dơng II 11
Lê Thị Phơng Hoa
3 3
3 3
2 3 3 2
2 2
3 3
3
(34 ) 1 ( 1) 34
13. 30;
34 1
14. 1 2 (1 ) 1;
15. 1 1 (1 ) 1 2 1 ;
16. 2 2 4;
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ +
=
+
+ =
+ + = +
+ + + =
2 3 3 2
4
4 4 4
17. (1 ) (1 ) 1 (1 );x x x x x x x x+ + = + +
3 3
3 3
7 5
18. 6 ;
7 5
x x
x
x x
=
+
2 2
3 3
sin cos
2 23 3
3
2 2
2 2
4 4
19. 7 2 3;
20. 81 81 30;
21. sin cos 4;
22. sin 2 sin sin 2 sin 3;
23. 10 8sin 8 s 1 1;
x x
tgx tgx
x x
x x x x
x co x
+ + =
+ =
+ =
+ + =
+ =
4 4
1 1
24. cos 2 cos 2 2;
2 2
x x + + =
3 3
3 3
3 3
4 4
3 3
25. 5 7 5 12 1;
26. 24 5 1;
27. 47 2 35 2 4;
28. 47 10 5;
29. 12 14 2;
x x
x x
x x
x x
x x
+ =
+ + =
+ + =
+ + =
+ =
3 3
4 4
30. 1 7 2;
31. 97 15 4;
x x
x x
+ + =
+ =
4.Ph ơng pháp Nhân liên hợp
Dạng : Giải phơng trình:
( ) ( ) ( )
xhCxgBxfA .
=
Với
( ) ( ) ( )
xhDxgBxfA .
22
=
Ph ơng pháp giải :
Nhân hai vế với biểu thức:
( ) ( )
xgBxfA
+
Ta đợc phơng trình
( ) ( ) ( ) ( )
( )
xgBxfAxhCxhD
+=
Nhóm nhân tử chung và giải hai phơng trình:
Trờng THPT Tam Dơng II 12
Lê Thị Phơng Hoa
( )
( ) ( )
( )
=+
=
DxgBxfAC
xh 0
bài tập áp dụng:
Bài 4 . 1 : Giải các ph ơng trình sau:
)1(
5
3
2314.1
+
=+
x
xx
(ĐH Bu Chính-2001)
)2(62)22(3.2
++=+
xxx
(ĐH Quân Sự -2001)
Giải1:
)1(
5
3
2314.1
+
=+
x
xx
Điều kiện:
3
2
x
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp:
2314
++
xx
, Phơng trình đã cho trở thành:
( )
2
)(342
2
0684344
7
26
3
2
3
2
72623142
3
2
52314
3
2
2314
5
3
3
2
=
=
=
=+
=+
=++
++
+
=+
x
Lx
x
xx
x
xxxx
xxx
xxx
x
x
Giải2:
)2(62)22(3.2
++=+
xxx
Điều kiện:
2
x
; Phơng trình đã cho tơng đơng với:
62623
=+
xxx
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp
623
++
xx
Làm tơng tự nh phần 1) ta đợc tập nghiệm:
=
2
5311
;3T
Bài 4 . 2 : Giải các bất ph ơng trình sau
xxx
+
11
(ĐH Ngoại thơng HCM-2001).
Giải1:
Điều kiện:
11
x
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp
xx
++
11
thì bất phơng trình
đã cho tơng đơng với:
Trờng THPT Tam Dơng II 13
Lê Thị Phơng Hoa
++>
<
++<
+
++
xx
x
xx
x
xxx
x
x
xx
x
x
112
10
112
01
0)112(
11
11
2
11
10
10
0
01
<
=
x
x
x
x
x
Bài làm thêm: (Nhân liên hợp)
2 2 2 2
1. 1 4 9 0;
3
2. 4 1 3 2 ;
5
3. 3(2 2) 2 6;
4. 3 7 3 2 3 5 1 3 4;
5. 21 21 21;
6. 21 21 ;
2 2
7. 2 2;
2 2 2 2
8. 2 1 2 2
x x x x
x
x x
x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
+ + + + =
+
+ =
+ = + +
+ = +
+ + =
+ =
+
+ =
+ + +
+ =
5.Ph ơng pháp Phân chia miền xác định
Dạng : Giải phơng trình:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xfxhxfBxgxfA
=+
Ph ơng pháp giải :
Xét ba trờng hợp :
Tr ờng hợp 1:
( ) ( )
tmxf 0
=
Tr ờng hợp 2:
( )
0
>
xf
Khi đó phải có
( )
( )
0
0
xh
xg
Phơng trình đã cho trở thành
( ) ( ) ( )
xfxhBxgA
=+
(Phơng trình cơ
bản)
Tr ờng hợp 3 :
( )
0
<
xf
Khi đó phải có
( )
( )
0
0
xh
xg
Trờng THPT Tam Dơng II 14
Lê Thị Phơng Hoa
Phơng trình đã cho trở thành
( ) ( ) ( )
xfxhBxgA
=+
(Phơng
trình cơ bản)
bài tập áp dụng:
Bài 5 . 1 : Giải ph ơng trình sau
)1(221682.1
22
+=+++ xxxx
(ĐH Bách khoa Hà Nội -2001).
Giải1:
2 2
1. 2x 8x 6 x 1 2x 2 (1)+ + + = +
Điều kiện :
=
+
++
1
1
022
01
0682
2
2
x
x
x
x
xx
Nhận thấy x=-1 là một nghiệm của phơng trình đã cho
Với
1
x
: Phơng trình tơng đơng với:
1
16422
1
121)3(2
1
)1(2)1)(1()3)(1(2
1
2
=
=+
+=++
+=++++
x
xxx
x
xxx
x
xxxxx
x
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x=-1
Bài 5 . 2 : Giải các bất ph ơng trình sau
113234.1
22
++
xxxxx
(ĐH Kế toán Hà Nội -2001)
4523423.2
222
++++
xxxxxx
(ĐH Y HCM -2001)
Giải1:
113234.1
22
++
xxxxx
Điều kiện:
=
2
1
3
1
0)12)(1(
0)3)(1(
x
x
x
xx
xx
Nhận thấy x=1 là một nghiệm của bất phơng trình
Với
3
x
Ta tách căn của bất phơng trình đã cho và đợc
1123
3
xxx
x
Hệ này vô nghiệm vì
13
<
xx
Trờng THPT Tam Dơng II 15
Lê Thị Phơng Hoa
Với
2
1
x
Ta tách căn của bất phơng trình đã cho và đợc
2
1
3)1)(3(2
2
1
1213
2
1
x
xx
x
xxx
x
Kết luận: Tập nghiệm
{ }
2
1
;1
Giải2:
4523423.2
222
++++
xxxxxx
Điều kiện:
4
1
x
x
Nhận thấy x=1 là một nghiệm của bất phơng trình
Với
4
x
Ta tách căn của bất phơng trình đã cho và đợc bpt
4232 + xxx
BPT thoả mãn với
4
x
vì:
432
>>
xxx
Với
1
x
Ta tách căn của bất phơng trình đã cho và đợc bpt
xxx + 4232
BPT vô nghiệm vì
xxx << 432
Kết luận: Tập nghiệm
{ }
[
)
+
;41
Bài tập làm thêm:
Bài 3: (PP phân chia MXĐ)
2
2
2
2 2
1. 1 1 1;
2. ( 3) (2 1);
3. ( 1)(2 7) 3( 1)( 6) ( 1)(7 1);
4. ( 1) ( 2) 2
5. 2 5 2 2) 3 6;
x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ = +
+ =
+ + = +
+ + =
+ + + = +
2
2 2
2
2 2
6. 1 1;
7. 2 8 6 1 2 2;
8. 4 1 4 1 1
9.( 3) 10 12
x x
x x x x
x x
x x x x
= +
+ + + = +
+ =
+ =
6.Ph ơng pháp Khai căn
Dạng : Giải phơng trình:
Trờng THPT Tam Dơng II 16
Lê Thị Phơng Hoa
( )
( )
( )
( )
( )
xgBAxfAxf .
22
=++
Ph ơng pháp giải :
Khai căn và lấy đấu giá trị tuyệt đối ta đợc phơng trình
( ) ( ) ( )
xgBAxgAxf .
=++
Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách phân chia miền xác định ta đợc một tuyển
hai hệ
( )
( ) ( )
( )
( )
=
=
xgBA
Axf
xgBxf
Axf
.2
.2
Giải hai hệ này ta sẽ tìm đợc nghiệm của phơng trình đã
cho.
bài tập áp dụng:
Bài 6 . 1 : Giải ph ơng trình sau
294444.1
2
+=++
xxxxxx
2
5
2122122
+
=++++++
x
xxxx
Giải 1:
294444.1
2
+=++
xxxxxx
2492424
2
+=++
xxxx
Nếu
8
x
pt trở thành:
( )( )
( )
42
4
2
54
1
45442
42094224942
22
+
=
+=
++=+=
x
xx
xxx
xxxxxx
Vì
8
x
Nên
( )
3
42
4
2
54
+
x
xx
vậy phơng trình này vô nghiệm
Nếu
84
<
x
pt trở thành:
542494
2
==+=
xxxx
Vậy pt đã cho có nghiệm là x=4 và x=5.
Giải 2:
2
5
2122122
+
=++++++
x
xxxx
Trờng THPT Tam Dơng II 17
Lê Thị Phơng Hoa
2
5
1111
+
=++++
x
xx
Giải tơng tự ta đợc nghiệm là x=-1 và x=3.
Bài 6 . 2 : Giải ph ơng trình sau
21212
=+
xxxx
Giải:
Phơng trình đã cho tơng đơng với:
21111 =+ xx
( )
2
2
1111
21
21111
2
=
+
<
=+
x
xx
x
xx
x
Tập nghiệm:
[
)
+
;2
7.Ph ơng pháp Đạo hàm
Dạng : Bài toán tìm m để phơng trình f(x)=m có nghiệm,
Bài toán chứng minh phơng trình f(x)=A có nghiệm duy nhất,
Bài toán biện luận số nghiệm của phơng trình f(x)=m theo tham số m.
Ph ơng pháp giải :
* Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x)
* Tính đạo hàm f
(x) ,lập bảng biến thiên .
* Dựa vào bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của phơng trình .
bài tập áp dụng:
Bài 7 . 1 : Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
)45(12 xxmxxx
+=++
Giải:
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp:
xx
45
ta đợc:
mxxxxx
=++
)45)(12(
Xét
)(xfVT
=
TXĐ
[ ]
4;0
=
D
12)(
++=
xxxxg
;
0
122
1
2
3
)( >
+
+=
x
x
xg
)(xg
đồng biến và luôn dơng trên D.
xxxh
=
45)(
;
0
452
45
)( >
=
xx
xx
xh
( )
xh
đồng biến và luôn dơng trên D.
Suy ra hàm số
)()()( xhxgxf
=
cũng sẽ là hàm số đồng biến trên D.
Từ đó
( )
44512)4()0( VTfVTf
Trờng THPT Tam Dơng II 18
Lê Thị Phơng Hoa
Vậy để phơng trình đã cho có nghiệm thì:
( )
44512 m
8.Ph ơng pháp đánh giá hai vế
Ph ơng pháp:
Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh
VPVTVPVT
và tìm điều kiện để dấu
bằng xảy ra
bài tập áp dụng:
Bài 8 . 1: Giải các ph ơng trình sau:
2152.1
2
=++
xxx
11414.2
2
=+
xx
(ĐHQG Hà Nội-2001)
Giải1:
)1(2152.1
2
=++
xxx
Điều kiện:
1
01
052
2
+
x
x
xx
Ta có:
( )
xxxx +=+ 44152
2
2
VPxxxVT
=++=
2152
2
Dấu bằng xảy ra khi x=1.
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x=1
Giải 2:
11414.2
2
=+
xx
Điều kiện:
2
1
2
1
4
1
x
x
x
Vậy
VPxxVT
=+=
11414
2
Dấu bằng xảy ra khi
2
1
014
114
2
=
=
=
x
x
x
Vậy pt đã cho có nghiệm:
2
1
=
x
Bài 8 . 2 : Giải các phơng trình sau:
xxxxxxx 32
+++=++
Giải:
Điều kiện:
0
x
Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phơng trình
Trờng THPT Tam Dơng II 19
Lê Thị Phơng Hoa
Với x>0
xxxxxxx
xxxx
xxx
32
32
+++<++
+<+
+<
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>0
Kết luận:nghiệm x=0
Bài 8 . 3: Giải các phơng trình sau:
0321
333
=+++++
xxx
Giải:
Nhận thấy x=-2 là một nghiệm
Với x>-2 thì x+1>-1
0
13
02
11
3
3
3
>
>+
>+
>+
VT
x
x
x
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>-2
Tơng tự với x<-2
0
13
02
11
3
3
3
<
<+
<+
<+
VT
x
x
x
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x<-2
Kết luận : nghiệm x=0
Bài tập làm thêm : Căn bậc ba.
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3
3
3 3
1. 1 2 2 3;
2. 5 6 2 11;
3. 1 3 1 1;
4. 1 1 2
5. 2 1 2 1 2;
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
+ =
+ + + = +
+ + + =
+ + =
+ + =
Bài tập. Giải các PT sau:
2
3 2 2
2
2
1. 2 5 1 2;
2. 2 7 11 25 12 6 1;
1 1
3. 2 2 4 ;
4. 2 1 3 4 1 1;
x x x
x x x x x
x x
x x
x x x x
+ + =
+ = +
+ = +
ữ
+ + =
Trờng THPT Tam Dơng II 20
Lê Thị Phơng Hoa
(
)
2 2
3 2 2
5. 1 1 2;
6. 1 2 2 1 2 2 1;
7. 2 2 1 2 1 3;
8. 2 5 3 3 2 6 1;
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + =
+ =
+ = +
+ + = +
2
6
9. 2 1 19 2
10 24
x x
x x
+ =
+
2 2 3 3 4 43 3
4 4
10. 1 1 1 1 1 1 6;x x x x x x+ + + + + + + + =
4 4 4
11. 1 1 2 8;x x x x+ + + = +
4 2
4
2 4 4 3
4
2 4
4 4
12. 2 3 4;
13. 2 1;
14. 2 2 4;
5
15. 2 2 1 2 2 1 ;
2
x x x
x x x x
x x x x
x
x x x x
= +
= +
+ + + =
+
+ + + + + + =
16. 3 4 1 15 8 1 6;
17. 6 9 6 9 6;
18. 5 4 1 2 2 1 1;
19. 2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4;
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + + + =
+ + =
+ + + + + =
+ + + =
9.Ph ơng pháp Tam thức bậc hai
Dạng : Bài toán biện luận số nghiệm của phơng trình f(x)=m theo tham số m.
Trong đó ta đặt đợc:
( ) ( )
0
=
ttxu
;
Bài toán khi đó trở thành :Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình bậc hai
0
2
=++
cbtat
Bảy bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số, hai số:
21
21
21
,3
,2
,1
xx
xx
xx
<<
<<
<<
<<<
<<<
<<<
<<<
<<<
21
21
21
21
21
,7
,6
,5
,4
xx
xx
xx
xx
xx
Ba bài toán cơ bản của tam thức bậc hai:
1, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc R
2, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (;+);
Trờng THPT Tam Dơng II 21
Lê Thị Phơng Hoa
3, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (;);
bài tập áp dụng:
Bài 9 . 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
( )( )
0156
2
=++
xxmxx
(CĐ SP HCM-2001).
Giải: Điều kiện:
51
x
Đặt
( )( ) ( )
2043415
2
2
==
txttxx
Bài toán đã cho trở thành:
Tìm m để phơng trình t
2
-t+5-m=0
có nghiệm
[ ]
2;0
t
,nghĩa là
<<
20
20
20
21
21
21
tt
tt
tt
Hệ điều kiện trên tơng đơng với:
( ) ( )
( )
( )
<<
>
>
2
2
0
02
00
0
02.0
s
f
f
ff
( )( )
7
4
19
2
2
1
0
7
5
4
19
075
<<
<
<
m
m
m
m
mm
Bài 9 .2 : Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
mxxxx
++=+
99
2
(CĐ Y HCM-1997).
Giải: Điều kiện:
90
x
Đặt :
( ) ( )
4
81
2
9
4
1
09
2
2
==
xtttxx
2
9
0
t
Bài toán đã cho trở thành:
Tìm m để phơng trình t
2
-2t+m-9=0
Trờng THPT Tam Dơng II 22
Lê Thị Phơng Hoa
có nghiệm
2
9
;0t
,nghĩa là
<<
2
9
0
2
9
0
2
9
0
21
21
21
tt
tt
tt
Hệ điều kiện trên tơng đơng với:
( )
( )
( )
10
4
9
109
9
4
9
0
4
9
09
010
0
4
9
9
2
2
0
0
2
9
00
0
0
2
9
.0
'
<<
>+
>
+
<
+
<<
>
>
m
m
m
m
m
m
mm
s
f
f
ff
10.Hệ ph ơng trình
Hệ đối xứng loại 1:
Là hệ phơng trình mà khi thay đổi vai trò của x và y thì mỗi phơng trình của hệ không
thay đổi.
Cách giải: + Đặt
( )
PS
Pxy
Syx
4
2
=
=+
+ Giải hệ với hai ẩn S,P
+ Thử đk và lấy x,y là hai nghiệm pt X
2
-SX+P=0
bài tập áp dụng:
Bài 10 . 1:
Giải hệ:
=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xy
x
y
y
x
(ĐH Hàng Hải 1999).
Giải:Hệ đã cho tơng đơng với:
( )
=+
=+
>
78
7
0,
xyyx
xyyx
yx
Trờng THPT Tam Dơng II 23
Lê Thị Phơng Hoa
Đặt
>
>
=
+=
0
0
;
v
u
xyv
yxu
Hệ đã cho trở thành
=
=
=
=
6
13
78
7
v
u
uv
vu
Giải ra ta đợc 2 nghiệm
( ) ( )
4;9;9;4
Hệ đối xứng loại 2:
- Là hệ phơng trình mà khi thay đổi vai trò của x và y thì hai phơng trình của hệ đổi
chỗ cho nhau.
Cách giải: -Trừ vế với vế của hai phơng trình để đợc một phơng trình có dạng tích.
- Hệ đã cho sẽ tơng đơng với tuyển hai hệ phơng trình.
- Giải hai hệ này để tìm nghiệm x và y.
bài tập áp dụng:
Bài 10. 2 : Cho hệ:
=++
=++
mxy
myx
21
21
1,Giải hệ khi m=9;
2,Tìm m để hệ có nghiệm (ĐH SP HCM 2001).
Giải:
Điều kiện:
0;2;1
myx
Bình phơng hai vế ta đợc hệ:
( )( )
( )( )
=+++
=+++
mxyyx
myxyx
211
211
Trừ vế với vế của hai phơng trình trên ta đợc hệ:
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
+=+
=
=+++
+=+
xmxx
yx
mxyyx
xyyx
21212
211
2121
1, Với m=9 ta có hệ:
( )( )
( )( ) ( )
3
521
5
521
2
==
=+
=
=+
=
yx
xxx
yx
x
xxx
yx
2,Tìm m để hệ có nghiệm :
Hệ
( )( )
++
=
+
=
+=+
=
m
mm
x
m
yx
m
xmxx
yx
4
82
2
1
2
0
21212
2
Trờng THPT Tam Dơng II 24
Lê Thị Phơng Hoa
Điều kiện
mmmmm
m
x 22928
2
1
2
22
+++
+
( )
3
3
03
09
096
2
2
2
+
m
m
m
m
mm
Kết luận:
3
m
.
11.Ph ơng pháp đặc biệt
1.Ph ơng trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai
Bài toán tổng quát:
Giải phơng trình:
( ) ( )
Iedxvuxrbax
+++=+
2
Với a
0, u
0 , r
0 ;
Ph ơng pháp giải:
Điều kiện dể phơng trình có nghĩa:
0
+
bax
Đặt ẩn phụ :
( )
1)(
2
baxvuybaxvuy
+=++=+
Với điều kiện
0
+
vuy
Lúc đó (I) trở thành :
evdxuyvuyr
+=+
2
)(
Giả sử các điều kiện sau đợc thoả mãn: u=ar +d và v=br+e
Lúc đó phơng trình đã cho trở thành hệ
( )
( ) ( )
++=+
+=+
brxuaruyvuxr
brarxvuyr
2
2
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phơng trình , đợc một tuyển hai hệ phơng
trình trong đó có một nghiệm x=y
bài tập áp dụng:
Bài 11 . 1 :
Giải phơng trình:
( )
1203232152
2
+=+
xxx
(Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ Số 303)
Lời giải: Điều kiện
0152
+
x
Biến đổi phơng trình (1) thành:
( )
28242152
2
+=+
xx
Đặt ẩn phụ :
( )
024152)24(15224
2
++=++=+
yxyxy
.
Phơng trình (1) trở thành :
152)24(
2
+=+
yx
Vậy ta có hệ:
+=+
+=+
152)24(
152)24(
2
2
xy
yx
Hệ này là hệ đối xứng loại hai
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai phơng trình ,
Ta đợc 2 nghiệm là
16
2219
2
1
21
==
xx
2.Ph ơng trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba
Trờng THPT Tam Dơng II 25
