ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2010 pps

Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088
ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH
NĂM 2010
Thời gian 180 phút
1. a. Giải phương trình:
2 3
2 4 3 4x x x x
+ + = +
b.Giải hệ phương trình
2 2
2 2
13
25
x y
x y
x y
x y

+ =

−



− =

+

2. Gọi
1 2
,x x

là hai nghiệm của tam thức
2
( ) axf x x b
= + +
với
[ ]
, 1;1a b
∈ −
Chứng minh
( ) ( )
1 2
| | 1 | | 1 2 5x x
+ + ≤ +
3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2
2 2
4 2
4 2
x y m
x y m

+ + =


+ = −


4. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thoả mãn điều kiện AM=AB
Chứng minh rằng sinA=2sin(B-C)
5.Cho tam giác ABC gọi a,b,c và

, ,
a b c
m m m
là cạnh và độ dài đường trung tuyến.Tìm min
3 3 3
3 3 3
a b c
a b c
P
m m m
= + +
Hướng dẫn đáp án
1. a. đk, đặt
2
4 ,x u x v
+ = =
, nghiệm x=2
b.đk, hệ viết lại
( )
2 2
2
13
(1)
25
(2)
x y
x y
x y
x y


+ =

−



+ =

−

Lấy (1) trừ (2) được (3) sau đó lấy (1) cộng (3) ta tìm được nghiệm
2. Ta có

( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
| | 1 | | 1 | | 2 | | 2 1
| | 2 | | 2 1 2 5
x x x x x x x x x x
b a b b
+ + = + + + − +
= + + − + ≤ +
3. Đặt
2
4x u
+ =
đk
2u
≥

,
2y v
=
Lúc đó ta có hệ
( )
2
1
. 2
2
u v m
u v m m
+ =



= − −


(II)
Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm
2u
≥
Ta có u,v là nghiệm phương trình
( )
2 2
1
2 0
2
t mt m m

− + − − =
có nghiệm
2t
≥
Đặt X=t-2 lúc đó phương trình theo X có nghiệm
0X
≥
1 2
1 2
0
2 3
0
X X
m
X X
≤ ≤

⇔ ⇔ ≤ ≤

< ≤

4. Xét tam giác ABC ta có
BMA MAC ACM
∠ = ∠ + ∠
vì
B M
∠ = ∠
Suy ra
MAC B C
∠ = ∠ − ∠

1 1
. .sin . . .sin
2 2
ACM
S AM AC MAC AB AC A
∆
⇒ = =
Mà
2 sin 2sin( )
ABC AC M
S S A B C
∆ ∆
= ⇒ = −
5. Ta có
2
2 2 2
2 2 2
2 3
2( )
4
a
a a a
m a b c
b c a
= ≥
+ +
+ −