hệ thống bài tập hình học giải tích lớp 12 hay

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I/ PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Cho ∆ABC có trong tâm G và M là điểm tùy ý trong k
o
gian.
a/ CMR: MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
.
b/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= k
2
.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ∆BCD và O là trung điểm của AG; M là điểm tùy ý.
a/ CMR:

3 0OA OB OC OD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
b/ CMR: 3MA
2
+MB
2
+MC
2
+MD
2
=6MG
2
+3OA
2
+OB
2
+OC
2
+OD
2
c/ Tìm quỹ tích các điểm M thỏa: 3MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
= k
2

.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N nằm trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho MB’
= CN. CMR: AM ⊥ BN.
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng :
a/
' ' 2AC A C AC+ =
uuuur uuuur uuur
b/
' ' 2 'AC A C CC− =
uuuur uuuur uuuur
II/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Trong không gian Oxyz. Hãy viết tọa độ của các vectơ:
a/
1 3
2a e e
→ → →
= − +
b/
1 2
2b e e
→ → →
= −
c/
1 2 3
2 7 3c e e e
→ → → →
= − +
d/
2 3
1

2
2
d e e
→ → →
= −
e/
1
3
2
e e
→ →
= −
f/
1
4,5f e
→ →
=
Bài 2: Hãy viết dưới dạng:
x e y e ze
1 2 3
→ → →
+ +
các vectơ sau đây :
a/
( 2;1; 3)u
→
= −
b/
1 6
( ;0; )

5
3
v
→
= −
c/
1
( ;0; )
2
m
π
→
=
d/
( )
0; 2;5p
→
= −
e/
(0;0; 2)q
→
= −
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho 3õ vectơ:
(2; 5;3); (0;2; 1); (1;7; 2)a b c
→ → →
= − = − =
.
a/ Tính tọa độ của vectơ :
x a b c
→ → → →

= − +4
1
3
3
.
b/ Cho biết M(–1;2;3); hãy tìm tọa độ các điểm A, B, C sao cho:
; ;MA a MB b MC c
→ → →
= = =
uuur uuur uuuur
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ x biết:
a/
0 (1; 2;1)x b khi b
→ → → →
+ = = −
b/
2 (5;4; 1); (2; 5;3)x a b khi a b
→ → → → →
+ = = − = −
c/
2 (5;6;0); ( 3;4; 1)x a x b khi a b
→ → → → → →
− = + = = − −
Bài 5: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Gọi M
1
, M
2
, M
3
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên

các trục Ox, Oy, Oz. Gọi
'
1
M
,
'
1
M
, M
3
’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng
Oxy, Oyz, Ozx. Tìm tọa độ của các điểm M
1
’, M
2
’, M
3
’. Áp dụng cho M(–1,2,3).
Bài 6: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Tìm tọa độ của điểm:
a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy. b/ P đối xứng với M qua trục Ox.
c/ Q đối xứng với M qua gốc tọa độ O. Áp dụng với M(–2; 5; 1).
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) và C(–1; 2; –2).
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
b/ Tính diện tích ∆ABC.
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5).
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b/ Tìm tọa độ tâm của các mặt ABCD và ABB’A’ của hình hộp đó.
Bài 9: Cho hai bộ 3 điểm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) và A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1); C’(–9; 5; 1).
Hỏi bộ nào có 3 điểm thẳng hàng ?
Bài 10: Tính tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ

a b
→ →
,
trong mỗi trường hợp sau:
1
a/
(3;0; 6); (2; 4;5)a b
→ →
= − = −
b/
(1; 5;2); (4;3; 5)a b
→ →
= − = −
c/
(0; 2; 3); (1; 3; 2)a b
→ →
= = −
d/
(1; 1;1); (0;1; 2)a b
→ →
= − =
e/
(4;3; 4); (2; 1;2)a b
→ →
= = −
Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai điểm A, B trong mỗi trường hợp:
a/ A(4;–1; 1); B(2; 1; 0) b/ A(2; 3; 4); B(6; 0; 4) c/ A(
2
; 1; 0); B(1;
2

; 1)
Bài 12: Tính góc giữa hai vectơ
a b
→ →
,
trong mỗi trường hợp sau :
a/
(4;3;1); ( 1;2;3)a b
→ →
= = −
b/
(2;4;5), (6;0; 3)a b
→ →
= = −
Bài 13: Cho ∆ABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
a/ Tính các góc của ∆ABC.
b/ Tìm tọa độ trong tâm G của ∆ABC.
c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó.
Bài 14: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1).
Bài 15: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1).
Bài 16: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có
(6;3; 2)AB = −
uuur
và
(3; 2;6)AD = −
uuur
.
Bài 17: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,a b c
ur ur ur

trong mỗi tr.hợp sau:
a/
(4;2;5); (3;1;3); (2;0;1)a b c
→ → →
= = =
b/
(1; 1;1); (0;1; 2); (4;2;3)a b c
→ → →
= − = =
c/
(4;3; 4); (2; 1;2); (1; 2;1)a b c
→ → →
= = − =
d/
( 3;1; 2); (1;1;1); ( 2;2;1)a b c
→ → →
= − − = = −
Bài 18: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1; 0; 1) và B(2; 1; 2);
OD i j k= − +
uuur r ur ur
,
' 4 5 5OC i j k= − −
uuuur r ur ur
. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
Bài 19: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2). Đường thẳng Ab cắt mp Oxyz tại điểm M. Điểm M chia đoạn thẳng
AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M.
Bài 20: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) và C(7; 9; 1).
a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
b/ Phân giác trong góc A của ∆ABC cắt BC tại D. Tìm tọa độ của D.
c/ Tính cosin của góc BAC và diện tích ∆ABC.

Bài 21: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) và C(8; 3; –2).
a/ CMR: ABC là tam giác vuông.
b/ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác kẻ từ B.
c/ Tính diện tích của ∆ABC.
Bài 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) và D(2; –1; –2).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật.
b/ Tính đường cao của ABCD kẻ từ đỉnh D.
Bài 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và
2OC i j k= + +
uuur r ur ur
.
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b/ Tính chu vi và diện tích của ∆ABC.
c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d/ Tính độ dài đường cao của ∆ABC hạ từ đỉnh A.
e/ Tính các góc của ∆ABC.
Bài 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A.
Bài 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3).
a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc.
b/ Tính diện tích tứ giác ABCD.
2
Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc của P trên (ABC).
Bài 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) và
( )
2OD k i= −
uuur ur r

.
a/ CMR: ABCD là hình thoi. b/ Tính diện tích của hình thoi.
Bài 28: Cho
5
2; ;1
2
A
 
 
 
,
5 3
; ;0
2 2
B
 
 
 
,
3
5; ;3
2
C
 
 
 
,
9 5
; ; 4
2 2

D
 
 
 
.
a/ CMR: bốn điểm trên là bốn đỉnh của hình bình hành.
b/ Tính diện tích hình bình hành đó.
Bài 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0).
a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC).
b/ Tìm trực tâm H của ∆ABC.
c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
III/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của mặt phẳng.
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1).
Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0.
a/ Lập pt tổng quát của mp(β) đi qua M và song song với mp(α).
b/ Hãy lập phương trình tham số của mp(β) nói trên.
Bài 3: Hãy lập pt mp(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz.
Bài 4: Lập pt mp(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y = 0.
Bài 5: Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0.
Bài 6: Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 = 0.
Bài 7: Cho mpα có phương trình tham số :
x t
y t
z t t
= +
= − +
= − − +






1
2
5 2
1
2
1 2
a/ Hãy lập phương trình tổng quát của mp(α’) đi qua gốc tọa độ và song song với mpα.
b/ Tính góc ϕ tạo bởi mp(α’) và mp(β) có pt: x + y + 2z –10 = 0.
Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp(α) có phương trình: 6x – 3y + 2z –13 = 0.
Bài 9: Cho mp(α) : 2x – 2y – z – 3 = 0. Lập phương trình mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α) một
khoảng d = 5.
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy.
b/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với đ.thẳng AB với A(0; 2; –3) và B(1; –4; 1).
c/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0.
Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0). Viết pt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 12: Cho ∆ABC, với A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) và C(4; 5; 6). Viết phương trình mp(ABC).
Bài 13: Viết ptmp đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 1 = 0.
Bài 14: Cho A(2; 3; 4). Hãy viết p.trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình
mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ.
Bài 15: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0.
Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời ⊥ với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0.
b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho :
OR = 2OP = 2OQ.
c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 và vuông
góc với mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0.

d/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song
song với trục Oy.
e/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3).
3
f/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X).
B/ Vò trí tương đối của hai mặt phẳng.
Bài 1: Xác đònh m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau?
a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0;
(Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0
Bài 2: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0.
a/ Chứng minh (P) cắt (Q).
b/ Viết p.trình mp(S) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1).
c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và song song với mp(R).
d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R).
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x –
y + z – 1 = 0.
b/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 đồng thời song song với mp: x
+ y + z = 0.
c/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 đồng thời vuông góc với mp:
2x – z + 7 = 0.
Bài 4: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0
b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3).
a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD).
b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD).
c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và // với vectơ
v

ur
= (m; 1–m; 1+m). Đònh m để mp(P) vuông góc với
mp(ABC).
d/ Đònh m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0.
Bài 6: Viết p.trình mặt phẳng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) và tạo với mpOyz một góc 60
0
.
Bài 7: Tìm điểm M’ đối xứng của M qua mp(P) biết:
a/ M(1; 1; 1) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0.
b/ M(2; –1; 3) và mp(P): 2x – y – 2z – 5 = 0.
Bài 8: Cho tứ diện ABCD với A(–1; –5; 1), B(2; –4; 1), C(2; 0; –3) và D(0; 2; 2).
a/ Lập phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD).
b/ Tính cosin của góc nhò diện cạnh AB, cạnh BC.
c/ Tìm điểm đối xứng của điểm A qua các mp(BCD), (OBC).
Bài 9: Cho đường thẳng MN biết M(–6; 6; –5), N(12; –6; 1).
a/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với các m.phẳng tọa độ.
b/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(α) có phương trình: x– 2y + z–9 = 0 và tính sin của
góc ϕ giữa đ.thẳng MN và mp(α).
c/ Viết p.trình tổng quát của mp chứa đ.thẳng MN và // với trục Oz.
C/ Chùm mặt phẳng.
Bài 1: Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0.
a/ Viết phương trình mp(R) qua M(1; –2; 1) và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q).
b/ Viết pt mp(T) vuông góc với mp: x + 2y + z = 0 và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q).
c/ Viết phương trình mp(U) chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q) và tạo với mp: x + y – z = 0 một
góc nhọn a mà cosa = 3/125.
Bài 2: Đònh l, m để mp(P):5x + ly + 4z + m = 0 thuộc chùm mp: λ(3x – 7y + z – 3) + µ(x – 9y – 2z + 5) = 0
IV/ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của đường thẳng.
4
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0;–3) và nhận

(2; 3;5)a
→
= −
làm vectơ chỉ phương.
Bài 2: Lập p.trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và:
a/ Song song với đường thẳng a:
x t
y t
z t
= +
= − −
= − −





1 5
2 2
1
b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz.
Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0).
b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng:
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z
− + − =
+ − + =




.
Bài 4: Trong mpOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1).
a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b/ Tính đường cao CH của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC.
c/ Tính thể tích hình tứ diện OABC.
Bài 5: Viết p.trình tam số, chính tắc, tổng quát của đ.thẳng d biết:
a/ d qua M(2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương là (–1; 3; 5).
b/ d qua M(–2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương là (0; 0; –3).
c/ d qua M(2; 3; –1) và N(1; 2; 4).
Bài 6: Viết phương trình của đường thẳng d biết:
a/ d qua M(4; 3; 1) và // với đ.thẳng:( x = 1 + 2t; y = –3t; z = 3 + 2t).
b/ d qua M(–2; 3; 1) và song song với đ.thẳng:
2 1 2
2 0 3
x y z− + +
= =
.
c/ d qua M(1; 2; –1) và song song với đ.thẳng:
3 0
2 5 4 0
x y z
x y z
+ − + =


− + − =


.
Bài 7: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với các trục Ox, Oy
biết p.trình tham số của d là:
a/
2 2
1 3
4 3
x t
y t
z t
= +


= − +


= − +

b/
1
2 4
3 2
x t
y t
z t
= − +


= −



= +

Bài 8: Viết p.trình chính tắc của đ.thẳng d biết pt tổng quát của nó là:
a/
2 5 0
2 3 0
x y z
x z
− + + =


− + =

b/
3 0
2 6 2 0
x y z
x y z
+ − + =


− + − =

Bài 9: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
1 2 3
2 3 1
x y z− + −
= =
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz

Bài 10: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
2 5 0
2 3 0
x y z
x z
− + + =


− + =

trên mp: x + y + z – 7 = 0.
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0
b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng:
(d
1
):
1 0
2 0
x y
x z
+ + =


− =

; (d
2
):
2 1 0

0
x y
z
+ − =


=

Bài 12: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8). Viết ptts, chính tắc và tổng quát của:
a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ∆ACD.
b/ Đường cao AH của tứ diện ABCD.
5
Bài 13: Viết ptct của đ.thẳng d đi qua M(1; 4; –2) và ssong với đ.thẳng:
6 2 2 3 0
3 5 2 1 0
x y z
x y z
+ + + =


− − − =

.
Bài 14: Viết ptts của đt nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đt d:
2 3 0
2 0
x z
y z
− − =



− =

tại giao
điểm của đường thẳng d và mp(P).
Bài 15: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1), vuông góc và cắt đường thẳng:
1
2 4 3
x y z +
= =
.
Bài 16: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng:
1 3 2
3 2 1
x y z+ + −
= =
− −
;
2 1 1
2 3 5
x y z− + −
= =
−
.
Bài 17: Lập ptts của đt d đi qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt:
1 2
3 4 1
x y z− +
= =
và cắt đt:

2 0
1 0
x y z
x
+ − + =


+ =

.
Bài 18: Cho đ.thẳng d:
1 1 2
2 1 3
x y z+ − −
= =
và mp(P): x – y- z – 1 = 0.
a/ Tìm ptct của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; –2), song song với mp(P) và vuông góc với d.
b/ Gọi N = d ∩ (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN.
B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG.
Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng:
3 2 2 8 0
2 3 7 0
x y z
x y z
+ − + =


− + + =

.

Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến của mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0 với các mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm
của mặt phẳng đã cho với các trục tọa độ.
Bài 3: Lập phương trình tham số và tổng quát của đương thẳng d:
a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và ⊥ với mp(α): 6x – 3y – 5z + 2 = 0.
b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mp : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
Bài 4: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; –2; 1), B(3; 1; –1).
b/ Đi qua điểm M(1; –1; –3) và ⊥ với mp(α): 2x – 3y + 4z – 5 = 0.
c/ Đi qua điểm C(2; 3; –1) và // với đt có p.trình:
x y z
x y z
− − − =
+ − + =



2 3 3 0
2 5 0
Bài 5: Cho đường thẳng a có p.trình:
x z
y z
− − =
− =



2 3 0
2 0
và mp(α) có phương trình: z + 3y – z + 4 = 0.
a/ Tìm giao điểm H của a và mp(α).

b/ Lập ptđt ∆ nằm trong mp(α), đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng a.
Bài 6: Cho đt a:
x y z
z y z
+ − − =
− + + =



2 6 0
2 3 13 0
và mp(α): 3x–2y + 3z + 16 = 0.
a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp(α).
b/ Gọi ϕ là góc giữa a và mp(α) .Hãy tính sinϕ .
c/ Lập pttq của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên mp(α).
Bài 7: Cho mp(α) có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp(β) có p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0.
a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song song với (α) và (β).
b/ Lập phương trình của mp(γ) chứa đường thẳng d và đi qua giao tuyến của hai mp (α) và (β).
c/ Lập p.trình của mp(P) đi qua M và vuông góc với (α) và (β).
Bài 8: Cho mp(α) có phương trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai điểm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17).
a/ Viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua A và vuông góc với (α).
b/ Hãy tìm trên α một điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến A và B là bé nhất.
Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình:
2 6 0
4 2 8 0
x y z
x y z
− + − =
+ − − =




.
6
a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mp tọa độ.
b/ Hãy tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
c/ Gọi M là giao điểm của đt a với mp(α) có pt: x + y – z + 12 = 0. Hãy tính tọa độ của M.
d/ Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mpα nói trên. Hãy tính sinϕ.
Bài 10: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ có p.trình:
∆ :
x t
y t
z t
= +
= − −
=





3
2
2
; ∆’ :
x y
x z
− + =
− − − =




5 0
2 3 2 5 0
a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai đường thẳng đó.
b/ Viết phương trình mp(α) chứa ∆ và song song với ∆’.
c/ Chứng minh ∆ và ∆’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng.
Bài 11: Viết phương trình mp chứa đường thẳng:
4 0
2 5 2 0
x y z
x y z
+ + − =


− + − =

và ssong đt :
2 1 5
1 2 2
x y z− − −
= =
.
Bài 12: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng:
1
4
x t
y t
z t
= −



=


=

;
2
4 2
1
x t
y t
z
= −


= +


=

.
Bài 13: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng:
3
1
5
x t
y t
z t

=


= −


= +

và cắt hai đường thẳng:
2 1 0
4 3 0
x y z
x y z
− − + =


− + − =

;
1 2 2
1 4 3
x y z− + −
= =
.

Bài 14: Viết ptđt d đi qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng:
1 0
2 3 0
x y z
y z

+ + − =


+ − =

;
1 3
2 1 1
x y z− −
= =
−
.
Bài 15: Cho hai đường thẳng:
d:
1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
; d’:
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
.
a/ CMR: d và d’ chéo nhau.
b/ Viết p.trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.
Bài 16: Với giá trò nào của k thì đường thẳng:
2 1 0
1 0

kx y z
x ky z
+ − + =


− + − =

nằm trong mpOyz.
Bài 17: Cho 3 đt d
1
:
5 2
14 3
x t
y t
z t
=


= −


= −

; d
2
:
1 4
2
1 5

x h
y h
z h
= −


= +


= +

; d
3
:
4 7 0
5 4 35 0
x y
x z
− − =


+ − =

a/ CMR: d
1
và d
2
chéo nhau.
b/ CMR: d
1

và d
3
cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
c/ Tìm góc nhọn giữa d
1
và d
2
.
d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) và lần lượt đi qua d
1
và d
2
.
Bài 18: Cho đt d:
5 2 3 5 0
4 5 15 0
x y z
x y z
− + − =


+ + + =

và ba mp (P): x + y – z – 7 = 0; (Q): 2x – 3y – z –10 = 0;
(R): x + y + 2z – 4 = 0
a/ CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R).
b/ Tìm ptđt qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d và cắt đường thẳng:
1 1 1
x y z
= =

− −
.
Bài 19: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau; tìm tọa độ giao điểm; lập p.trình mp chứa hai đ.thẳng đó.
a/ d
1
:
1 1 2
4 2 3
x y z− + −
= =
; d
2
:
4 5 9 0
3 5 7 0
x y
x z
− − =


− + =

.
7
b/ d
1
:
7 0
3 4 11 0
x y z

x y
− − − =


− − =

; d
2
:
2 1 0
1 0
x y z
x y
+ − − =


+ + =

.
c/ d
1
:
2 3
3 2
4 6
x t
y t
z t
= −



= −


= +

; d
2
:
5
1 4
20
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

.
Bài 20: Chứng minh hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau. Lập ptđt d vuông góc và cắt hai đường thẳng đó.
a/ d

1
:
3 5 0
2 1 0
x y
y z
+ − =


− − =

; d
2
:
2 0
2 0
x y z
x z
− − =


+ =

.
b/ d
1
:
7 3 9
1 2 1
x y z− − −

= =
−
; d
2
:
3 1 1
7 2 3
x y z− − −
= =
−
c/ d
1
:
5 0
2 1 0
x y z
x y
+ − + =


− + =

; d
2
:
1
2
3
x t
y t

z t
= +


= − +


= −

.
d/ d
1
:
1 2
2 2
x t
y t
z t
= +


= −


= −

; d
2
:
2

5 4
4
x t
y t
z
=


= −


=

.
Bài 21: Cho đt d:
2 4 3 0
2 3 2 3 0
x y z
x y z
+ − + =


+ − + =

và mp(P): 2x – y + 4z + 8 = 0.
a/ CMR: d cắt (P). Tìm giao điểm A của chúng.
b/ Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc với (P).
c/ Viết p.trình tham số của giao tuyến giữa (P) và (Q).
d/ Viết p.trình đ.thẳng d’ qua A, vuông góc với d và nằm trong (P).
C/ KHOẢNG CÁCH.

Bài 1: Tìm khoảng cách:
a/ Từ điểm A(3; –6; 7) đến mp(β): 4x – 3z –1 = 0.
b/ Giữa mp(α): 2x – 2y + z – 1 = 0 và mp(β) :2x – 2y + z + 5 = 0.
c/ Từ điểm M(4; 3; 0) đến m.phẳng xác đònh bởi ba điểm A(1; 3; 0), B(4; –1; 2) và C(3; 0; 1).
d/ Từ gốc tọa độ đến mp(β) đi qua P(2; 1; –1) và nhận
(1; 2;3)n
→
= −
làm pháp véc tơ.
Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến:
a/ Đường thẳng a có phương trình :
x t
y t
z t
= +
=
= − −





5 3
2
25 2
.
b/ Đường thẳng b có phương trình:
2 2 3 0
3 2 2 17 0
x y z

x y z
− + = =
− + + =



.
Bài 3: Tính khoảng cách từ M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) đến mp(Q): x + 2y + 2z – 10 = 0.
Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
(P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0
Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0; trong
đó A =A’, B = B’, C =C’, D ≠ D’
Bài 6: Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0.
Bài 7: Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mp (P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 5 = 0.
Bài 8: Tính khoảng cánh từ các điểm M(2; 3; 1) và N(1; –1; 1) đến đường thẳng d:
2 1 1
1 2 2
x y z+ − +
= =
−
.
Bài 9: Tính k/cách từ điểm M(2; 3; –1) đến đt d:
2 1 0
3 2 2 0
x y z
x y z
+ − − =


+ + + =


.
Bài 10: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
8
a/
1 3 4
2 1 2
x y z− + −
= =
−
;
2 2 1
4 2 4
x y z+ + +
= =
− −
b/
2 1 0
4 0
x z
x y
− − =


− − + =

;
3 2 0
3 3 6 0
x y

y z
+ − =


− − =

c/
1
1
1
x t
y t
z
= +


= − −


=

;
2 3
2 3
3
x t
y t
z t
= −



= − +


=

.
Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
(P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0
Bài 12: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
d
1
: 2 – x = y – 3 = z; d
2
:
1 2
2 2
1 2
x t
y t
z t
= −


= +


= − +

.

Bài 13: Tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mp(P):
d:
2 3 6 10 0
5 0
x y z
x y z
+ + − =


+ + + =

; (P): y + 4z + 17 = 0
Bài 14: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d:
5 0
3 6 0
x y z
x y
− − − =


− + =

; d’:
2 5 0
4 2 5 4 0
y z
x y z
+ − =



− + − =

Bài 15: Cho hai đ.thẳng d:
2 3 2 0
3 2 0
x y
x z
− − =


+ + =

và d’:
2 3 9 0
2 1 0
x y
y z
− + =


+ + =

.
a/ CMR: d // d’. Tính khoảng cách giữa d và d’.
b/ Viết p.trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
c/ Tính khoảng cách từ điểm (2; 3; 2) đến (P).
Bài 16: Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) và C(2; 1; –2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0.
a/ Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
b/ Tìm điểm N thuộc (P) sao cho NA + NC nhỏ nhất.

Bài 17: Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình:
1 2 2
3 2 2
x y z+ − −
= =
−
.
a/ CMR: hai đường thẳng AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng.
b/ Tìm điểm I trên d sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bài 18: Cho hai đường thẳng d:
0
4 0
x y
x y z
+ =


− + + =

; d’:
3 1 0
2 0
x y
y z
+ − =


+ − =

.

a/ CMR: d và d’ chéo nhau.
b/ Tính khoảng cách giữa d và d’.
c/ Tìm p.trình của đ.thẳng qua I(2;3;1) và cắt cả hai đ.thẳng d và d’.
Bài 19: Tìm góc tạo bởi đường thẳng:
3 1 2
2 1 1
x y z+ − −
= =
với các trục tọa độ.
Bài 20: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau:
a/
1 2
1
3 4
x t
y t
z t
= +


= − +


= +

;
2
1 3
4 2
x t

y t
z t
= −


= − +


= +

b/
1 2 2
3 1 4
x y z− + +
= =
;
2 1 0
2 3 2 0
x y z
x z
+ − − =


+ − =

c/
2 3 1 0
0
x y z
x y z

− + − =


+ + =

;
3 4 0
2 1 0
x y z
x y z
− + − =


− + + =

Bài 21: Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện có các đỉnh:
9
A(3; –1; 0), B(0; –7; 3), C(–2; 1; –1) và D(3; 2; 6).
Bài 22: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:
a/ d:
2 1 3
4 1 2
x y z+ − −
= =
−
; (P): x + y – z + 2 = 0
b/
1 2
1 3
2

x t
y t
z t
= +


= − +


= −

; (P): 2x – y + 2z – 1 = 0
c/
2 3 1 0
2 0
x y z
x y z
− + − =


− − + =

; (P): 3x – y + z – 1 = 0
Bài 23: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0.
Bài 24: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0.
Bài 25: Lập ptđt vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đt:
4
3
x t
y t

z t
=


= − +


= −

và
1 2
3
4 5
x t
y t
z t
= −


= − +


= −

.
Bài 26: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt:
1 2
1
2
x t

y t
z t
= +


= − −


=

.
Bài 27: Viết ptđt đi qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc với đt:
1 2
3 1 1
x y z− +
= =
và cắt đt:
2 0
1 0
x y z
x
+ − + =


+ =

.
E/ HÌNH CHIẾU.
Bài 1: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mp(P): x + y –2z –6 = 0.
a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P).

b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P).
c/ Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng MN trên mp(P).
Bài 2: Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng trên m.phẳng:
a/ d:
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =
; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0
b/
2 3 0
3 3 0
x y
x z
− − =


− − =

; (P): x + 2y + z – 5 = 0
Bài 3: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đ.thẳng d:
2 1 0
1 0
x y z
x y z
+ − + =


− + − =


. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của M trên d và trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tính HK.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5; 5; –4).
a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mp(ABC).
b/ Tính thể tích của tứ diện.
Bài 5: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0). Tìm tọa độ hchiếu vuông góc C’ của C trên đt:
AB.
Bài 6: Cho hai đường thẳng d:
4
6 2
x t
y t
z t
=


= +


= +

và d’:
6 3
1
x h
y h
z h
=



= − +


= − +

.
a/ Tìm phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
b/ Gọi K là hình chiếu của điểm I(1; –1; 1) trên d’. Tìm ptts của đt qua K, vgóc với d và cắt d’.
Bài 7: Mp(P): x + 2y + 3z – 6 = 0 cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C.
a/ Tìm tọa độ trực tâm, trong tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
b/ Tìm p.trình chính tắc của trục đường tròn (ABC).
Bài 8: Cho hai đ.thẳng d
1
:
8 23 0
4 10 0
x z
y z
− + =


− + =

và d
2
:
2 3 0
2 2 0
x z
y z

− − =


+ + =

.
10
a/ Viết p.trình các mp(P), (Q) // với nhau và lần lượt qua d
1
, d
2
.
b/ Tính khoảng cách giữa d
1
và d
2
.
c/ Viết p.trình đ.thẳng d song song với trục Oz và cắt cả d
1
, d
2
.
IV/ MẶT CẦU.
A/ Phương trình của mặt cầu.
Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình:
a/ x
2
+ y
2
+ z

2
– 8x + 2y + 1 = 0
b/ x
2
+ y
2
+ z
2
+4x + 8y – 2z – 4 = 0
c/ 3x
2
+ 3y
2
+ 3z
2
+ 6x – 3y + 15z – 2 = 0
d/ x
2
+ y
2
+ z
2
– 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0
e/ x
2
+ y
2
+ z
2
– 2mx + my + 3z – 2 = 0

Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết:
a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1).
b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7).
c/ Có tâm I(–2; 1; 1) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0.
d/ Qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mpOxy.
e/ Qua hai điểm A(1; –2; –4), B(0; 3; 0) và tiếp xúc với các mặt phẳng (P): x = 3; (Q): y = 5.
f/ Có tâm I(6; 3; –4) và tiếp xúc với Oy.
g/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1).
h/ Có tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với đ.thẳng d:
1 2
2 1 3
x y z− −
= =
−
.
i/ Có tâm nằm trên đt d:
2
0
x
y
= −


=

và tiếp xúc với hai mp: (P): x – 2z – 8 = 0; (Q): 2x – z + 5 = 0.
j/ Qua ba điểm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mpOyz.
Bài 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–3;–3;0).
a/ CMR: ABCD là hình vuông và SA là đ/cao của h/chóp S.ABCD.
b/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Bài 4: Cho hai đ.thẳng d:
4
3
4
x t
y t
z
= +


= −


=

và d’:
2
1 2
x
y h
z h
=


= +


=

. Lập p.trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung

của d và d’ làm đường kính.
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua các đường tròn sau:
(C
1
):
2 2
9
0
x y
z

+ =

=

và (C
2
):
2 2
25
2
x y
z

+ =

=

Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ và đường tròn (C):
2 2 2

( 1) ( 2) ( 2) 49
2 2 4 0
x y z
x y z

− + − + + =

+ − − =

Bài 7: Lập p.trình mc (S) đi qua M(1; 1; 1) và qua đtròn là giao tuyến của hai mc: (S
1
): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x +
2y – 4z – 3 = 0 và (S
2
): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x – 2z – 11 = 0
B/ Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
Bài 1: Xét vò trí tương đối giữa hai mặt cầu (S) và mp(P):
a/ (S): x

2
+ y
2
+ z
2
–6x –2y + 4z + 5 = 0; (P): x + 2y + z – 1 = 0
b/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–6x +2y –2z + 10 = 0; (P): x + 2y –2z + 1 = 0
c/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+4x + 8y –2z – 4 = 0; (P): x + y + z – 10 = 0
d/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– x – 2z + 5 = 0; (P): 4x + 3y + m = 0
e/ (S): (x – 1)
2
+ y

2
+ (z – 2)
2
= 4; (P): 2x + y – z + m = 0
Bài 2: Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 9 = 0 và mặt cầu (S):
(x – 3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z – 1)
2
= 100
a/ Lập p.trình đ.thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P).
b/ CMR: mp(P) cắt mặt cầu (S).
11
c/ Viết p.trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và (P). Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a/
2 2 2
6 2 2 10 0
2 2 1 0
x y z x y z
x y z

+ + − + − + =

+ − + =

b/
2 2 2

12 4 6 24 0
2 2 1 0
x y z x y z
x y z

+ + − + − + =

+ + + =

Bài 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu:
a/ x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0)
b/ (x – a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c2)
2
= R
2
mà tiếp diện song song với mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0.
Bài 5: Cho mp(P): x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S):
x
2
+ y

2
+ z
2
– 2x – 4y + 4z = 0
Tìm p.trình các mp song song với mp(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 6: Cho hai điểm A(–1; –3; 1), B(–3; 1; 5).
a/ Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB.
b/ Viết phương trình các tiếp diện của mặt cầu mà chứa trục Ox.
Bài 7: Lập p.trình tiếp diện của (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x – 4y –6z +5 = 0:
a/ Tiếp diện đi qua điểm M(1; 1; 1).
b/ Tiếp diện đi qua đường thẳng d:
2 1 0
1 0
x y
z
− − =


− =

.
c/ Tiếp diện song song với đường thẳng d’:
1
1 4 3

x y z−
= =
−
.
d/ Tiếp diện vuông góc với đường thẳng d”:
2 3 0
2 4 1 0
x y z
x y z
− − − =


− + − =

.
C/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
Bài 1: Xét vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:
a/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–2x + 4z + 1 = 0; d:
1 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
b/ (S): (x – 1)

2
+ (y – 2)
2
+ z
2
= 16; d:
2 1 0
2 3 0
x y z
x z
+ − − =


− − =

c/ (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–2x –4y + 2z – 2 = 0; d:
2
3 3
x t
y t
z t
= − −



=


= −

Bài 2: Cho mc(S): (x+2)
2
+ (y–1)
2
+ (z +5)
2
= 49 và d:
5 3
11 5
9 4
x t
y t
z t
= − +


= − +


= −

.
a/ Tìm giao điểm của d và mặt cầu (S).
b/ Tìm p.trình các m.phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm trên.
Bài 3: Cho mc(S): (x+2)

2
+ (y–1)
2
+ z
2
= 26 và đ.thẳng d:
1
1 3
4 5
x
y t
z t
=


= − −


= − +

a/ Tìm giao điểm A, B của d và mc(S). Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d.
b/ Tìm p.trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A và B.
Bài 4: Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3.
a/ Chứng minh T(0; 0; 5) thuộc mặt cầu (S).
b/ Lập p.trình tiếp tuến của (S) tại T biết tiếp tuyến đó:
i/ Có VTCP
u
ur
= (1; 2; 2).
ii/ Vuông góc với mp(P): 3x – 2y + 3z – 2 = 0

12
iii/ Song song với đường thẳng d:
2 3 2 0
0
x y z
x y z
− + − =


+ − =

Bài 5: Viết pttt của m/cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
–2x –4y + 2z – 3 = 0 thỏa:
a/ Qua A(–4; 3; 0) và có VTCP
u
ur
= (4; 1; 1).
b/ Qua A(–2; 1; 3) và vuông góc với đ.thẳng d:
1
1 2 2
x y z−
= =
−
13