ÔN THI ĐẠI HỌC - CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU PHẦN 1

Chuyên đề : Mặt cầu
1. Bài toán I (Về phương trình mặt cầu )
Có hai cách lựa chọn :
- Nếu dùng phương trình
+ + =z z(S) :
2 2 2 2
0 0 0
(x- x ) (y- y ) ( - ) R
, thì nói chung cần hệ 4 phương
trình với 4 ẩn là
z
0 0 0
x ,y , ,R
- Nếu dùng phương trình
+ + +
2
z z (S) :
2 2
x y 2ax + 2by + 2c + d = 0
, thì nói chung cần hệ 4
phương trình với 4 ẩn là a, b, c, d
Ví dụ 1 : Lập phương trình mặt cầu đi qua A(0,1,0), B(1,0,0), C(0,0,1) và tâm I nằm trên
+ + − =z(P):x y 3 0
Giải
Xét phương trình của mặt cầu (S ) theo dạng
+ + +
2
z z (S) :
2 2
x y 2ax + 2by + 2c + d = 0
(

+ + >
2 2 2
a b c d
). Vì (S ) đi qua A, B, C nên ta có
 + + =

+ + =


+ + =

1 2b d 0(1)
1 2a d 0(2)
1 2c d 0(3)
, (S ) có tâm I(-a, -b, -c),
mà I thuộc (P), nên có – a – b – c – 3 = 0 hay a + b + c = - 3 (4)
Giải hệ (1) (2) (3) (4) và có a = -1 , b = -1, c = -1, d = 1, tức là
+ + − − −
2
z z (S) :
2 2
x y 2x 2y 2 + 1 = 0
Ví dụ 2 : Lập phương trình mặt cầu đi qua A(3, 1, 0), B(5, 5, 0) và tâm nằm trên trục Ox ?
Giải
Gọi tâm là I, thì I(a,0,0). Vậy mặt cầu (S ) có dạng
+ + =z(S) :
2 2 2 2
(x- a) y R
Theo bài ra ta có hệ phương trình
 − + =


− + =

2 2
2 2
(3 a) 1 R
(5 a) 25 R
, giải ra ta có a = 10, R
2
= 50.
Vậy phương trình (S )là
+ + =z(S) :
2 2 2
(x-10) y 50
Ví dụ 3 : Cho họ mặt phẳng cong (S
m
) có phương trình
(S
m
)
+ + − − − +
2
z z
2 2 2
: x y 4mx 2my 6 + m 4m = 0
Trang 1
a) Tìm m để (S
m
) là một họ mặt cầu
b) Chứng minh rằng tâm của (S

m
) luôn nằm trên một đường thẳng cố định
Giải
a) Viết lại họ dưới dạng
+ + = + + − − = − +z
2 2 2 2 2 2 2
(x- 2m) (y- m) ( - 3) 4m m 9 m 4m 4m 4m 9
Vì
∆'
= 4 – 36 < 0, nên
− + > ∀
2
4m 4m 9 0 m
. Vậy
∀m
thì (S
m
) luôn là một họ mặt cầu
b) Tâm I của (S
m
) là I(2m,m,3). Do đó nếu gọi
m
)z
m m
I(x ,y ,
là tâm của (S
m
), thì với mọi m ta có
 =
 =


= ⇒
 
=


=

m
m
z
z
m
m
m
x 2m
x 2ym
y m
3
3
. Vậy I luôn nằm trên đường thẳng sau
 =  − =
⇔
 
= =
 
z z
x 2y x 2y 0
d:
3 3

Ví dụ 4 : Cho họ mặt phẳng cong (S
α
) có phương trình :
(S
α
)
+ + − α − α −
2
z
2 2
: x y 2xsin 2ycos 3 = 0
a) Tìm điều kiện
α
để (S
α
) là một mặt cầu
b) Chứng minh rằng tâm của họ (S
α
) luôn nằm trên một đường tròn cố định
Giải
a) Viết lại họ (S
α
) dưới dạng
α + α + =z
2 2 2
(x- sin ) (y- cos ) 4
. Vậy
∀α
thì (S
α

) là phương trình của mặt cầu
b) Gọi
α
I
là tâm của mặt cầu (S
α
), ta có
α α α α
)zI (x ,y ,
, ở đây
α
α
α
 = α

= α


=

z
x sin
y cos
0
. Từ đây suy ra
∀α
, thì
α
I
thuộc mặt phẳng xOy. Trên mặt phẳng này ta có

α α
+ =
2 2
x y 1
, vậy
α
I
nằm trên đường tròn tâm tại O, và bán kính bằng 1. Đường tròn này nằm
trong mặt phẳng xOy
Ví dụ 5 : Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
có phương trình
Trang 2
 =

+ =

=
 
+ + =


=

z
z
1 2
x 2t

x y- 3 0
(d ): y t (d ):
4x 4y 3 -12 0
4
a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau
b) Lập phương trình mặt cầu (S ) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
)
Giải
a) (d
1
) là đường thẳng qua M
1
(0,0,4) và có véc tơ chỉ phương
=
uur
1
u (2,1,0)
, (d
2
) là đường thẳng
qua M
2
(3,0,0) và có véc tơ chỉ phương

= −
uur
2
u (1, 1,0)
. Rõ ràng (d
1
) không song song với (d
2
)
(vì
uur
1
u
không song song
uur
2
u
). Xét hệ phương trình
 + − =  =
⇔
 
+ + − = =
 
2t t 3 0 t 1
8t 4t 12 12 0 t 0
Vậy hệ vô nghiệm, tức là (d
1
) và (d
2
) chéo nhau

Chú ý: Dĩ nhiên có thể chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau bằng cách tính và thấy
 
≠
 
uur uur uuuuur
1 2 1 2
u ,u .M M 0
b) Xét hai đường thẳng đã cho dưới dạng tham số
 =  =
 
= = −
 
 
= =
 
z z
1 2
x 2t x 2s
(d ): y t (d ): y s
4 0
. Gọi M, N tương ứng là chân đoạn vuông góc chung trên (d
1
), (d
2
).
Ta có M(2t, t, 4), N(3+s,-s, 0)

⇒ = − + − − −
uuur
MN (s 2t 3, s t, 4)
. Vì
⊥ ⊥
uuur uur uuur uur
1 2
MN u và MN u
, nên ta
có hệ phương trình sau để xác định t và s
 − + − + =  − = −  =
⇔ ⇔
  
− + + + = = − = −
  
2(s 2t 3) (s t) 0 s 5t 6 t 1
s 2t 3 s t 0 2s- t 3 s 1
Vậy chân đoạn vuông góc chung là M(2,1,4) và N(2,1,0). Tâm I hình cầu là trung điểm MN,
nên I(2,1,2), ngoài ra bán kính R = 1/2MN = 2. Do vậy mặt cầu có phương trình
+ + =z(S) :
2 2 2
(x- 2) (y-1) ( - 2) 4
Trang 3
2. Bài toán II (Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng)
Để viết phương trình một mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
+ + + =z(P): Ax By C D 0
, cần lưu ý
các điều sau đây:
a) Điều kiện cần và đủ để mặt cầu
+ + =z z(S) :

2 2 2 2
0 0 0
(x- x ) (y- y ) ( - ) R
tiếp xúc với
+ + + =z(P): Ax By C D 0
là
+ + +
=
+ +
0
z
0 0
2 2 2
Ax By C D
R
A B C
b) Phụ thuộc vào số ẩn số phải tìm (tối đa có 4 ẩn
0
z
0 0
x ,y , ,R
), và dựa vào các điều kiện phụ
khác mà mặt cầu (S ) cần thỏa mãn để lập cho đủ số phương trình tương ứng với số ẩn cần
tìm. Từ đó tìm được tâm
0
z
0 0
I(x ,y , )
và bán kính R của mặt cầu
Ví dụ 1.

a) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm tại I(1,2,3) và tiếp xúc với mặt phẳng
− − =(P):3x 4y 10 0
.
b) Viết phương trình mặt cầu (S ) bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng
+ + + =z(P):2x 2y 3 0
tại điểm M(-3,1,1)
Giải
I
P M
a) Bán kính R của mặt cầu (S ) chính bằng khoảng cách từ I tới (P), ta có
− −
= =
+
3 8 10
R 3
9 16
Vậy (S ) có phương trình
+ + =z(S) :
2 2 2
(x-1) (y- 2) ( - 3) 9
b) Gọi
0
z
0 0
I(x ,y , )
là tâm của mặt cầu. Khi đó MI có véc tơ chỉ phương chính là véc tơ pháp
=
r
n (2,2,1)
của (P). Vậy đường thẳng MI có phương trình tham số là

 = − +

= +


= +

z
x 3 2t
y 1 2t
1 t
. Ta có tọa độ của I là I(-3 + 2t
0
,1 + 2t
0
,1 + t
0
)
Trang 4
Từ đó
=  − + −  +  + −  +  + − 
     
2 2 2
2
0 0 0
IM ( 3 2t ) 3 (1 2t ) 1 (1 t ) 1
Hay
= + + ⇔ = ±
2 2 2
0 0 0 0

9 4t 4t t t 1
Nếu t
0
= 1, thì tọa độ của tâm I là I(-1,3,2). Lúc này (S ) có phương trình
+ + + =z(S) :
2 2 2
(x 1) (y- 3) ( - 2) 9
Nếu t
0
= -1, thì tọa độ của tâm I là I(-5,-1,0). Lúc này (S ) có phương trình
+ + + + =z(S) :
2 2 2
(x 5) (y 1) 9
Ví dụ 2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng
 =

=


= −

z
x t
(d): y 0
1
và tiếp xúc với hai mặt phẳng
+ + =
+ − + =z
1
2

(P ):3x 4y 3 0
(P ):2x 2y 39 0
Giải
Gọi I là tâm mặt cầu (S ). Vì I thuộc (d), nên tọa độ của I có dạng I(t
0
,0,-1). Vì (S ) tiếp xúc
với (P
1
) và (P
2
), nên ta có phương trình sau
+ + +
+ +
= ⇔ =
+ + +
2 2
0 0
0 0
3t 3 2t 1 39
9(t 1) 4(t 20)
25 9
9 16 4 4 1

= −
⇔ + + = + + ⇔

= −

2 2
0

0 0 0 0
0
t 191
81(t 2t 1) 100(t 40t 400)
t 11
+ nếu t
0
= -11, thì I có tọa độ I(-11,0,-1) và bán kính R = 6. Lúc này (S ) có dạng
+ + + + =z(S) :
2 2 2
(x 11) y ( 1) 36
+ nếu t
0
= -191, thì I có tọa độ I(-191,0,-1) và bán kính R = 114. Lúc này (S ) có dạng
+ + + + =z(S) :
2 2 2
(x 191) y ( 1) 12996
Ví dụ 3. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên đường thẳng
 + + + =

− + − =

z
z
x y 1 0
(d):
x y 1 0
và tiếp xúc với hai mặt phẳng
+ + + =
+ + + =

z
z
1
2
(P ):x 2y 2 3 0
(P ):x 2y 2 7 0
Trang 5
Giải
Do (P
1
) // (P
2
), nên khoảng cách giữa (P
1
), (P
2
) là khoảng cách từ M
1
(-3,0,0) thuộc (P
1
) xuống
(P
2
), và
− +
= =
+ +
2 2
3 7
4

h
3
1 2 2
.
Từ đó do (S ) tiếp xúc với (P
1
), (P
2
) nên bán kính hình cầu R = 1/2.h = 2/3. Gọi
0
z
0 0
I(x ,y , )
là
tâm của (S ). Do I thuộc (d) nên ta có
 + + + =

− + − =

0
0
z
z
0 0
0 0
x y 1 0
(1)

x y 1 0(2)
Theo bài ra ta có

+ + + + + +
= =
0 0
z z
0 0 0 0
x 2y 2 3 x 2y 2 7
2
3
9 9


+ + + =


+ + + = −


+ + + = + + + = ⇔

 + + + =



+ + + = −


0
0
0 0
0

0
z
z
z z
z
z
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
x 2y 2 3 2
x 2y 2 3 2
x 2y 2 3 x 2y 2 7 2
x 2y 2 7 2
x 2y 2 7 2
⇔ + + + =
0
z
0 0
x 2y 2 5 0
(3)
Từ (1) (2) (3) suy ra x
0
= 3, y
0
= -1,
= −
0
z 3

. Vậy mặt cầu (S ) có dạng
− + + + + =z(S) :
2 2 2
(x 3) (y 1) ( 3) 4 / 9
Chú ý:
( ) ( )
+ + + = + + + ⇔ + + + = + + +
0 0 0 0
z z z z
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
x 2y 2 3 x 2y 2 7 x 2y 2 3 x 2y 2 7
( )
⇔ + + + = ⇔ + + + =
0 0
z z
0 0 0 0
4 2x 4y 4 10 0 x 2y 2 5 0
. Đây là cách khác thu lại (3)
Ví dụ 4. Cho đường thẳng
+
−
= =
z
y 2
x 1
(d):
3 1 1
và mặt phẳng
+ − + =z(P ):2x y 2 2 0

a) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm nằm trên (d), tiếp xúc với (P) và có bán kính R = 1
b) Gọi M là giao điểm của (d) với (P), T là tiếp điểm của (S ) với (P). Tính MT
Giải
Trang 6
a) Viết lại (d) dưới dạng
 = +

= − +


=

z
x 1 3t
(d): y 2 t
t
. Gọi I là tâm mặt cầu (S ), khi đó tọa độ của I là
I(1 + 3t
0
, -2 + t
0
, t
0
). (S ) tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 1, nên ta có phương trình sau để
xác định t
0
.
+ + − − +

= −

= ⇔ + = ⇔

=
+ + −

0 0 0
0
0
2 2 2
0
2(1 3t ) (t 2) 2t 2
t 1
1 5t 2 3
t 1/ 5
2 1 ( 2)
Với t
0
= -1 => I
1
có tọa độ là I
1
(-2,-3,-1). Lúc này (S ) có phương trình
+ + + + + =z(S)
2 2 2
:(x 2) (y 3) ( 1) 1
Với t
0
= 1/5 => I
2
có tọa độ là I

2
(8/5, -9/5, 1/5). Lúc này (S ) có phương trình
− + + + − =z(S)
2 2 2
8 9 1
:(x ) (y ) ( ) 1
5 5 5
b) Để xác định tọa độ của M, xét phương trình
+ + − + − + = ⇔ = −
2
2(1 3t) ( 2 t) 2t 2 0 t
5

Vậy M có tọa độ là M(-1/5, -12/5, -2/5)
Để xác định tọa độ của T, ta chỉ xét trường hợp với hình cầu
+ + + + + =z(S)
2 2 2
:(x 2) (y 3) ( 1) 1
(với hình cầu còn lại làm tương tự). Đường thẳng IT có véc tơ chỉ phương chính là véc tơ
pháp
= −
r
n (2,1, 2)
của (P), và qua I
1
(-2,-3,-1), nên có phương trình dưới dạng tham số
 = − +

= − +



= − −

z
1
x 2 2t
I T: y 3 t
1 2t
Vậy xét phương trình sau
− + + − + − − + = ⇔ =
1
2( 2 2t) ( 3 t) 2( 2t) 2 0 t
3
Vậy tọa độ của T là T(-4/3, -8/3, -5/3) từ đó suy ra
=
666
MT
15
Để viết phương trình tiếp diện của mặt cầu, nên đi theo hai hướng sau đây:
Trang 7
+ Giả sử cho mặt cầu
+ + =z z(S)
2 2 2 2
0 0 0
:(x- x ) (y- y ) ( - ) R
, tâm I bán kính R. Nếu biết tiếp
điểm
)z
1 1
1

T(x ,y ,
, thì do tiếp diện đi qua
)z
1 1
1
T(x ,y ,
và nhận véc tơ
= − − −
uur
)z z
1 0 1 0 0
1
IT (x x ,y y ,
làm véc tơ pháp tuyến, nên phương trình của tiếp diện là
− − + − − + − − =) )z z z z
1 0 1 1 0 1 0
1 1
(x x )(x x ) (y y )(y y ) ( ( 0
+ Giả sử cho mặt cầu
+ + =z z(S)
2 2 2 2
0 0 0
:(x- x ) (y- y ) ( - ) R
, tâm I bán kính R. Nếu biết véc tơ
pháp
=
r
n (A,B,C)
của tiếp diện, khi ấy tiếp diện sẽ có dạng
+ + + =zAx By C D 0

Sau đó dựa vào điều kiện
+ + +
=
+ +
0
z
0 0
2 2 2
Ax By C D
R
A B C
Suy ra D. Từ đó tiếp diện hoàn toàn xác định.
Ví dụ 5. Cho mặt cầu
( )
+ + +
2
z z S
2 2
: x y 2x - 4y - 6 + 5 = 0
. Viết phương trình tiếp diện
của (S ), biết rằng tiếp diện chứa đường thẳng (d) với

− − =

− =

z
2x y 1 0
(d):
1 0

Giải
Vì tiếp diện chứa đường thẳng (d), nên nó thuộc chùm mặt phẳng sau:
+ =z 2x - y -1 m( -1) 0
hay
− + − − =z 2x y m 1 m 0
Viết lại (S ) dưới dạng sau:
( )
+ + + =zS
2 2 2 2
:(x 1) (y- 2) ( - 3) 3
Từ đó suy ra (S ) là mặt cầu có tâm I(-1,2,3) và bán kính R = 3. Ta có khoảng cách từ I tới
tiếp diện bằng 3, nên đi đến phương trình sau để xác định m

− − + − −
= ⇔ − = +
+ +
2
2
2 2 3m 1 m
3 2m 5 3 5 m
4 1 m
⇔ − + = + ⇔ + + = ⇒ = −
2 2 2
4m 20m 25 45 9m m 4m 4 0 m 2
Vậy tiếp diện cần tìm có phương trình
− − + =z2x y 2 1 0
Chú ý:
1/ Ta giải thích vì sao phương trình chứa mặt phẳng lại có dạng
− − + − =z2x y 1 m( 1) 0
Trang 8

Thật vậy phương trình chùm mặt phẳng chứa (d) có dạng
α − − +β − =z(2x y 1) ( 1) 0
với
α +β ≠
2 2
0
Ta thấy rằng
α ≠ 0
. Thật vậy nếu
α = ⇒ β ≠0 0
, và ta có
− =z( 1) 0
. Tuy nhiên
− =z( 1) 0

không phải là tiếp diện của (S ). Vậy khoảng cách từ tâm I(-1,2,3) tới mặt phẳng
− =z( 1) 0
là
−
= =
2
3 1
h 2
1
, tức là
≠h R
Do
α ≠ 0
, nên
β

α − − +β − = ⇔ − − + − =
α
z z(2x y 1) ( 1) 0 (2x y 1) ( 1) 0
⇔ − − + − =z2x y 1 m( 1) 0
2/ Nếu không muốn làm như vậy, thì có thể làm như bình thường
Tiếp diện của (S ) thuộc chùm mặt phẳng
α − − +β − =z(2x y 1) ( 1) 0
, hay
α −α −α +β −β =z2 x y 0
. Theo bài ra ta có phương trình sau để xác định
α β,
− α − α + β−α −β
= ⇔ β− α = α +β
α +α +β
2 2
2 2 2
2 2 3
3 2 5 3 5
4
⇔ β + α − αβ = α + β ⇔ α + αβ+β =
2 2 2 2 2 2
4 25 20 45 9 4 4 0
⇔ α +β = ⇔ α +β =
2
(2 ) 0 2 0
Cho
α = 1
, thì
β = −2
. Vậy tiếp diện có dạng

− − + =z2x y 2 1 0
. Ta thu lại kết quả đã giải ở
trên
3/ Xét bài toán trong đó thay d bằng d’
( )
 − − =

=

z
2x y 1 0
d' :
0
. Tiếp diện (S ) thuộc chùm mặt phẳng sau
α − − +β =z(2x y 1) 0
hay
α −α −α +β =z2 x y 0
với
α +β ≠
2 2
0
Ta có phương trình sau để xác định
α β,
− α − α + β−α
= ⇔ β − α = α +β
α +α +β
2 2
2 2 2
2 2 3
3 3 5 3 5

4
Trang 9
⇔ β + α − αβ = α + β ⇔ α + αβ =
2 2 2 2 2
9 25 30 45 9 2 3 0
 α =
⇔ α α + β = ⇔

α = − β

0
(2 3 ) 0
2 3
+ Nếu
α = 0
, khi đó chọn
β = 1
. Ta có tiếp diện
=z 0
.
+ Nếu
α = β2 3
, khi đó chọn
α = 3
, thì
β = −2
. Ta có tiếp diện
− − − =z6x 3y 2 3 0
Vậy có hai tiếp diện thỏa mãn yêu cầu đầu bài !
Bây giờ nếu áp dụng “máy móc” cách giải trên

Tiếp diện thuộc chùm mặt phẳng sau:
− − + =z2x y 1 m 0
hay
− + − =z2x y m 1 0
Ta có phương trình sau để xác định m
− − + −
= ⇔ − = +
+ +
2
2
2 2 3m 1
3 3m 5 3 m 5
4 1 m
⇔ − + = + ⇒ = −
2 2
2
9m 30m 25 9m 45 m
3
Vậy tiếp diện là
− − − =z2x y 2 / 3 1 0
hay
− − − =z6x 3y 2 3 0
Giải như thế này ta mất một nghiệm
=z 0
, vì sao lại như thế ?
Điều này được lí giải như sau:
Từ
α − − +β =z(2x y 1) 0
, không thể suy ra
α ≠ 0

. Vì nếu
α = 0
=>
β = 1
. Ta có tiếp diện
=z 0
. Do vậy khi giả thiết
α ≠ 0
, là đã mất đi một đáp số
Tuy nhiên nếu giải như cách sau thì lại đi đến kết quả đúng: tiếp diện thuộc chùm mặt phẳng
sau:

− − + =zm(2x y 1) 0
hay
− + − =z2mx my m 0
Ta có phương trình sau để xác định m
− − + −
= ⇔ − = +
+ +
2
2 2
2m 2m 3 m
3 3 5m 3 5m 1
4m m 1
Trang 10

= −

⇔ − + = + ⇔ + = ⇒


=


2 2 2
3
m
9 30m 25m 45m 9 2m 3m 0
2
m 0
Vậy có hai tiếp diện là
=z 0
hoặc
− − − =z6x 3y 2 3 0
Vì sao cách giải này lại đúng ? Thật vậy từ
α − − +β =z(2x y 1) 0
ta thấy
β ≠ 0
. Thật vậy nếu
β = 0
=>
α ≠ 0
=>
2x - y - 1 = 0
.
Tuy nhiên
2x - y - 1 = 0
không phải là tiếp diện của mặt cầu (lí do đơn giản, vì khoảng cách
từ
I(-1,2,3) tới
2x - y - 1 = 0

là
− − −
= = ≠ =
+
2 2 1
h 5 R 3
4 1
)
Ví dụ 6. Cho mặt cầu
( )
+ + −
2
z z S
2 2
: x y 2x - 4y - 6 - 2 = 0
. Viết phương trình mặt phẳng
tiếp xúc với (S ) và song song với mặt phẳng
+ − =z +(P): 4x 3y 12 1 0
Giải
Vì tiếp diện // (P), nên có thể lấy
= −
r
n (4,3, 12)
làm véc tơ pháp cho tiếp diện. Như vậy tiếp
diện có dạng
+ − =z+4x 3y 12 D 0
Mặt cầu (S ) viết lại dưới dạng sau:
( )
+ + =zS
2 2 2 2

:(x-1) (y- 2) ( -3) 4
Do đó (S ) có tâm I(1,2,3) và bán kính R = 4. Từ đó suy ra phương trình sau để xác định D
+ − +
 =
= ⇔ − = ⇔

= −
+ + −

2 2 2
4 6 36 D
D 8
4 D 26 52
D 26
4 3 ( 12)
Vậy có hai tiếp diện phải tìm

+ − − =

+ − + =

z
z
4x 3y 12 26 0
4x 3y 12 78 0
Ví dụ 7. Cho mặt cầu
( )
+ + −
2
z z S

2 2
: x y 10x + 2y + 26 - 113 = 0
và hai đường thẳng
+
−
+
= =
−
z
1
13
y 1
x 5
(d ):
2 3 2
−
+
+
= =
−
z
2
8
y 1
x 7
(d ):
3 2 0
Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S ) và song song với (d
1
) và (d

2
)
Trang 11
Giải
(d
1
) có véc tơ chỉ phương
= −
uur
1
u (2, 3,2)
và (d
2
) có véc tơ chỉ phương
= −
uur
2
u (3, 2,0)

Do hai véc tơ
uur uur
1 2
u ,u
không cộng tuyến, mà (d
1
) và (d
2
) song song với tiếp diện (P) của (S ), vì
lẽ ấy
uur uur

1 2
u ,u
là một cặp véc tơ chỉ phương của (P). Nói cách khác
 
− −
 
= = =
 ÷
 ÷
 
− −
 
r uur uur
1 2
3 2 2 2 2 3
u u ,u , , (4,6,5)
2 0 0 3 3 2
là véc tơ pháp của (P)
Vì lẽ ấy tiếp diện (P) có dạng
+ + + =z(P):4x 6y 5 D 0
Viết lại (S ) dưới dạng
( )
+ + + + =zS
2 2 2
:(x- 5) (y 1) ( 13) 308
Suy ra (S ) có tâm tại I(5,-1,-13) và bán kính
=R 308
Từ đó suy ra phương trình sau để xác định D
− − +
 =

= ⇔ − = ⇔

= −
+ +

2 2 2
20 6 65 D
D 205
308 D 51 154
D 103
4 6 5
Vậy có hai tiếp diện cần tìm

+ + + =

+ + − =

z
z
4x 6y 5 205 0
4x 6y 5 103 0
Ví dụ 8. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
 − + − =

− − =

z
z
8x 11y 8 30 0
(d):

x y 2 0
và tiếp
xúc với mặt cầu
( )
+ + +
2
z z S
2 2
: x y 2x - 6y + 4 - 15 = 0
Giải
Viết lại (S ) dưới dạng
( )
+ + + + =zS
2 2 2
:(x 1) (y- 3) ( 2) 29
. Từ đó suy ra (S ) có tâm là
I(-1,3,-2) và bán kính
=R 29
.
Vì tiếp diện (P) chứa (d), nên (P) thuộc vào chùm mặt phẳng
( ) ( )
α − + − +β − − =z z8x 11y 8 30 x y 2 0
(1)
Trang 12
Có thể thấy rằng
α ≠ 0
. Thật vậy nếu
α = 0
, thì do
β ≠ 0

(vì
α +β >
2 2
0
), nên từ (1) suy ra
( )
− − =zx y 2 0
là tiếp diện của (S )
Tuy nhiên vì khoảng cách h từ I(-1,3,-2) tới mặt phẳng này là
− − +
= = ≠ =
− + + −
2 2 2
1 3 4
h 0 R 29
( 1) 3 ( 2)
Điều vô lí này chứng tỏ giả thiết
α = 0
là sai, tức là
α ≠ 0
. Vì thế (P) thuộc vào chùm mặt
phẳng
( ) ( )
− + − + − − =z z8x 11y 8 30 m x y 2 0
hay
( )
+ − + + − − =z8 m x (11 m)y (8 2m) 30 0
Ta có phương trình sau để xác định tham số m

− − − − − + −

=
+ + + + −
2 2 2
8 m 33 3m 16 4m 30
29
(8 m) (11 m) (8 2m)
hay
=
+ +
2
87
29
6m 6m 249
 =
⇔ + + = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔

= −

2 2 2
m 1
6m 6m 249 3.87 6m 6m 12 0 m m 2 0
m 2
Vậy có hai tiếp diện cần tìm

− + − =

− + − =

z
z

9x 12y 6 30 0
6x 9y 12 30 0
hay

− + − =

− + − =

z
z
3x 4y 2 10 0
2x 3y 4 10 0
Chú ý:
o Cách giải trên dựa vào dạng “rút gọn“ của phương trình chùm mặt phẳng
o Nếu giải bình thường ta làm như sau:
Tiếp diện thuộc vào chùm
( ) ( )
α − + − +β − − =z z8x 11y 8 30 x y 2 0
hay
α +β − α +β + α − β − =z(8 )x (11 )y (8 2 ) 30 0
Ta có phương trình sau đây để xác định
α β,
− α −β− α − β − α + β −
=
α +β + α +β + α − β
2 2 2
8 33 3 16 4 30
29
(8 ) (11 ) (8 2 )
, hay

− α −
=
β + α + αβ
2 2
57 30
29
6 249 6
Trang 13
Chọn
α = 1
, ta có phương trình
 β =
= ⇔

β = −
β + + β

2
1
87
29
2
6 249 6
Từ đó ta thu lại kết quả trên
Xét bài toán sau: Cho mặt cầu
( )
+ + + + =zS
2 2 2
:(x 1) (y- 3) ( 2) 29
và đường thẳng


− + − =

− + − =

z
z
3x 4y 2 10 0
(d):
2x 3y 4 10 0
Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S )
Giải
Gọi P là tiếp diện của (S ) và chứa (d), khi đó P thuộc vào chùm mặt phẳng
( ) ( )
α − + − +β − + − =z z3x 4y 2 10 2x 3y 4 10 0
với
α +β ≠
2 2
0
hay
α + β − α + β + α + β − α − β =z(3 2 )x (4 3 )y (2 4 ) 10 10 0
Ta có phương trình sau đây để xác định
α β,
:
− α − β− α − β − α − β− α − β
=
α + β + α + β + α + β
2 2 2
3 2 12 9 4 8 10 10
29

(3 2 ) (4 3 ) (2 4 )

− α − β
⇔ = ⇔ α +β = β + α + αβ
β + α + αβ
2 2
2 2
29 29
29 29( ) 29 29 52
29 29 52
⇔ β + α + αβ = β + α + αβ ⇔ αβ =
2 2 2 2
29 29 58 29 29 52 0
Do
α +β ≠
2 2
0
nên ta có
α = β =1, 0
hoặc
α = β =0, 1
Ứng với
α = β =1, 0
ta có tiếp diện
− + − =z3x 4y 2 10 0
Ứng với
α = β =0, 1
ta có tiếp diện
− + − =z2x 3y 4 10 0
Nếu giải bài toán theo dạng phương trình chùm

( ) ( )
− + − + − + − =z z3x 4y 2 10 m 2x 3y 4 10 0
hay
( )
+ − + + + − − =z3 2m x (4 3m)y (2 4m) 10 10m 0
Ta có phương trình sau để xác định tham số m
Trang 14

− − − − − − − −
=
+ + + + +
2 2 2
3 2m 12 9m 4 8m 10 10m
29
(3 2m) (4 3m) (2 4m)
− −
⇔ = ⇔ =
+ +
2
29 29m
29 m 0
29m 52m 29
Vậy tiếp diện là
− + − =z3x 4y 2 10 0
, cách giải này làm mất đi nghiệm
− + − =z2x 3y 4 10 0
Tương tự nếu viết phương trình chùm dưới dạng
( ) ( )
− + − + − + − =z zm 3x 4y 2 10 2x 3y 4 10 0
Vậy tiếp diện là

− + − =z2x 3y 4 10 0
, cách giải này làm mất đi nghiệm
− + − =z3x 4y 2 10 0
Ví dụ 9. Cho 4 điểm A,B,C,D với A(1,0,2), B(1,1,0), C(0,0,1) và D(1,1,1)
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A
Giải
Dễ thấy
 
≠
 
uur uur uur
AB, AC .AD 0
, nên 4 điểm A,B,C,D lập thành tứ diện ABCD, vì thế luôn tồn tại
duy nhất hình cầu ngoại tiếp (S ) tứ diện này. Giả sử (S ) có dạng
( )
+ + − − − + =z S
2 2 2
: x y z 2ax 2by 2c d 0
, ở đây
+ + >
2 2 2
a b c d
Do A,B,C,D thuộc (S ), nên ta có hệ 4 phương trình sau để xác định a, b, c, d:
 + =  =
 
+ = = −
 
⇔
 
= =

 
 
+ + = =
 
2a 4c- d 5 a 1/ 2
2a 2b- d 2 b 1/ 2
2c- d 1 c 1/ 2
2a 2b 2c- d 3 d 0
Vậy mặt cầu (S ) có dạng
( )
+ +
2
z zS
2 2
: x y - x - y- = 0
Mặt cầu này có tồn tại I(1/2,-1/2,1/2), tiếp diện (P) với mặt cầu tại A(1,0,2), nên (P) nhận véc
tơ
=
uur
IA (1/ 2,1/ 2,3 / 2)
là véc tơ pháp. Do (P) chứa A, nên (P) có dạng
− + − + − = ⇔ + + − =z z
1 1 3
(x 1) (y 0) ( 2) 0 x y 3 7 0
2 2 2
.
Trang 15