Đề thi HSG lớp 8 môn toán

Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đơn thức và đa thức.
. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường:
- Đặt nhân tử chung (thừa số chung).
- Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Nhóm nhiều hạng tử.
. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (bổ sung)
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm bớt cùng một hạng tử.
- Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số).
- Dùng phương pháp hệ bất đònh.
- Tìm nghiệm của đa thức.
- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ).
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
I. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP THÔNG
THƯỜNG ( ĐẶT NTC, DÙNG HĐT, NHÓM HẠNG TỬ) :
Bài 1 : PT đa thức thành nhân tử:
a/ (xy + 4)
2
– (2x + 2y)
2
b/ ab( x
2
+y
2
) + xy (a
2
+b

2
)
c/ 4a
2
b
2
– ( a
2
+b
2
– 1)
2
d/ (a
2
+ b
2
+ ab)
2
– a
2
b
2
– b
2
c
2
– c
2
a
2

.
II. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC
(TÁCH, THÊM BỚT,ĐẶT ẨN PHỤ, HỆ SỐ BẤT ĐỊNH, TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC,
QUY TẮC HORNER )
1/ PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ : Đa thức dạng P(x) =ax
2
+ bx + c
Phương pháp: Nhẩm tìm 2 số m,n sao cho : m.n = a.c và m+ n = b
Tách P(x)= ax
2
+ mx + nx+ c rồi nhóm hạng tử.
Bài 2: PT đa thức thành nhân tử:
a/ 2x
2
+ 3x – 5 . b/ 3x
2
–7x +2 .
c/ x
2
– 4xy + 3y
2
. d/ x
2
+ 3xy + 2y
2
Bài 3: PT đa thức thành nhân tử: x
3
– 7x – 6
Cách 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta có:
X

3
– 7x – 6 = x
3
– x – 6x – 6
= x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1)
= (x + 1)( x
2
– x – 6)
= (x + 1)(x + 2)(x – 3)
Cách 2: Tách số hạng – 6 = 8 – 14 ,ta có:
X
3
– 7x – 6 = x
3
+ 8 – 7x – 14
= (x + 2)(x
2
– 2x + 4) – 7( x + 2)
= (x + 2)(x
2
– 2x + 3)
= (x + 2)(x + 1)(x – 3)
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
2/ PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT HẠNG TỬ :
Bài 4 : PT đa thức thành nhân tử:
a/ x
4
+ 4. b/ x
4
y

4
+ 4 c/ a
2
(b – c ) + b
2
(c – a)+ c
2
(a – b)
Phương pháp giải:
a/ x
4
+ 4 b/ x
4
y
4
+ 4
= x
4
+ 4 + 4x
2
– 4x
2
= x
4
y
4
+ 4 +4x
2
y
2

– 4x
2
y
2
= (x
2
+ 2)
2
–(2x)
2
= (x
2
y
2
+ 2)
2
–(2xy)
2
= (x
2
+ 2x +2). (x
2
– 2x +2) = (x
2
y
2
+ 2xy +2). (x
2
y
2

– 2xy +2)
c/ Cách 1: Trong 3 hạng tử : (b – c ) ; (c – a) ; (a – b) ta biểu diễn 1 hạng tử
thông qua 2 hạng tử còn lại bằng cách thêm bớt hạng tử:
Chẳng hạn: b – c = b – a + a – c = – (a– b) – ( c – a )
sau đó nhóm từng cặp có nhân tử chung là ra kết quả:
c/ a
2
(b – c ) + b
2
(c – a)+ c
2
(a – b)
= a
2
[– (a– b) – ( c – a )] + b
2
(c – a)+ c
2
(a – b)
= - a
2
(a– b) – a
2
( c – a ) + b
2
(c – a)+ c
2
(a – b)
= c
2

(a – b) – a
2
(a– b) +b
2
(c – a)– a
2
( c – a )
= (a – b) ( c
2
– a
2
) + (c – a)( b
2
– a
2
)
= (a – b) (c – a)(c + a – a – b)
=(a – b) (c – a)(c– b)
Cách 2 : Nhân 2 hạng tử bất kì, biến đổi để xuất hiện NTC với hạng tử còn lại
a
2
(b – c ) + b
2
(c – a
= a
2
b – a
2
c + b
2

c – b
2
a + c
2
(a – b)
= (a
2
b – b
2
a) – (a
2
c – b
2
c) + c
2
(a – b)
= ab(a – b) – c(a – b)(a+b)+ c
2
(a – b)
= (a – b)( ab – ca – cb +c
2
)
= (a – b)[ a(b – c) – c(b –c)]
=(a – b) (b – c) (a – c)
Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử
A = x
2
y
2
(y - x) + y

2
x
2
(z - y) - z
2
x
2
(z - x)
Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu rồi
nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x
A = x
2
y
3
– x
3
y
2
+ y
2
z
3
– y
3
z
2
– z
2
x
2

(z – x)
= y
2
(z
3
– x
3
) – y
3
(z
2
– x
2
) – z
2
x
2
(z – x)
= y
2
(z – x)(z
2
+ zx + x
2
) – y
3
(z – x)(z + x) – z
2
x
2

(z – x)
= (z – x)(y
2
z
2
+ y
2
zx + x
2
y
2
– y
3
z – y
3
x – z
2
x
2
)
= (z – x)[y
2
z(z – y) – x
2
(z – y)(z + y) + y
2
x(z – y) ]
= (z – x)(z – y)(y
2
z – x

2
z – x
2
y + y
2
x)
= (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)]
= (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz).
Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có:
A = x
2
y
2
(y – x) + y
2
z
2
(z – y) – z
2
x
2
[(z – y) + (y – x)]
= x
2
y
2
(y – x) + y
2
z
2

(z – y) – z
2
x
2
(z – y) – z
2
x
2
(y – x)
= (y – x)(x
2
y
2
– z
2
x
2
) + (z – y)(y
2
z
2
– z
2
x
2
)
= (y – x)x
2
(y – z)(y + z) + (z – y)z
2

(y – x)(y + x)
= (y – x)(z – y)(- x
2
y – x
2
z +yz
2
+ xz
2
)
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
= (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)]
= (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy)
Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử ( BTVN)
a/ ab(a+b) – bc( b + c ) – ac(c – a) .
b/ x – y – x
3
(1 – y) + y
3

( 1 – x)
( áp dụng được cả 2 cách như bài trên )
Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc

b) (x – y)
3
+ (y – z)
3
+ (z – x)
3
Lời giải:
a) Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có
dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta
phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được
các phương pháp phân tích đã biết.
a
3
+ b
3
+ c
3
= (a
3
+ 3a
2
b +3ab
2
+ b
3
) + c
3
– (3a
2
b +3ab

2
+ 3abc)
= (a + b)
3
+c
3
– 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)
2
– (a + b)c + c
2
– 3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ 2ab + b
2
– ac – bc + c
2
– 3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ac – bc)
b) (x – y)
3
+ (y – z)
3

+ (z – x)
3
Cách 1 Biểu diễn 1 hạng tử thông qua 2 hạng tử còn lại
Ta có (y – z) = (y – x) + (x – z) nên
(x – y)
3
+ (y –z)
3
+ (z – x)
3
=
= [(y – x) + ( x – z)]
3
+ (z – x)
3
+ (x – y)
3
= (y – x)
3
+ 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)
3
– (x – z)
3
– (y – x)
3
= (y – x)
3
+ 3(y – x)(x – z)(y– z)– (y – x)
3
= 3(y – x)(x – z)(y– z)

Cách 2: Nhóm 2 hạng tử , biến đổi xuất hiện NTC với hạng tử còn lại :
Cách 3:Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo câu a ta
có: a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = 0 hay a
3
+ b
3
+c
3
=3abc
Vậy: (x – y)
3
+ (y – z)
3
+ (z – x)
3
= 3(x – y)(y – z)(z – x)
3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ( ĐỔI BIẾN SỐ)
 Dạng 1 : (Dạng trùng phương) P(x) = ax
4
+ bx
2
+ c
Phương pháp: Đặt y = x
2

đưa về dạng :P(y) = ay
2
+ by + c
rồi áp dụng phương pháp tách hạng tử.
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a/ P(x) = x
4

+ 7x
2
+6 b/ Q(x) = 2x
4
+ 5 x
2
– 7
Giải :
a/ Đặt y = x
2
khi đó P(x) trở thành: b/ Đặt y = x
2
khi đó Q(x)trở thành:
P(y) = y
2

+ 7y + 6 Q(y) = 2y
2

+ 5y – 7
= y
2

+ 6y + y + 6 = 2y
2

+ 7y – 2y – 7
= y(y+6) + (y+6) = y( 2y + 7) – (2y+7)
=(y+6)(y+1) = ( 2y + 7) (y 1)
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Vậy P(x) = (x
2
+6)( x
2
+1) Vậy P(x) = (x
2
+7)( x
2
– 1)
= (x
2
+7)( x– 1)(x+1)
 Dạng 2 : Đa thức dạng P(x) = (ax
2
+ bx + c)(ax
2
+bx + d)+ e
Phương pháp : Đặt y = ax
2
+ bx + c hoặc y = ax
2
+bx + d , biến đổi đưa về

dạng : a’y
2
+ b’y + c’ áp dụng phương pháp tách hạng tử :
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a/ (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) – 12
b/ 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y
2
z
2
Giải: a) Đặt x
2
+ x + 1 = y ta có x
2
+ x + 2 =y +1
Ta có: (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x +2) – 12 = y(y + 1) – 12
= y
2
+ y – 12
= ( y – 3)(y + 4)
Do đó: (x
2
+ x + 1)(x

2
+ x + 2) – 12 = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x + 5)
= (x – 1)(x + 2)(x
2
+ x +5)
b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y
2
z
2
= 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y
2
z
2
= 4(x
2
+ xy + xz)(x
2
+ xz + xy + yz) + y
2
z
2
Đặt: x
2
+ xy + xz = m, ta có
4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y
2

x
2
= 4m(m + yz) + y
2
z
2
= 4m
2
+ 4myz + y
2
z
2
= ( 2m + yz)
2
Thay m = x
2
+xy +xz, ta được:
4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y
2
z
2
= (2x
2
+ 2xy + 2xz + yz)
2
Bài 10:
Dạng 3 : Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d
Phương pháp : Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d)
hoặc y
2

= x
2
+ (a + b) x
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15
Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d. Biến đổi:
P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) – 15
Đặt y = x
2
+ 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15
= y
2
+2y – 15
= y
2
– 3y + 5y – 15
= y(y – 3) + 5( y – 3)
= (y – 3)(y +5)
Do dó . P(x) = (x
2
+5x + 1)(x
2
+ 5x + 9)
Tổng quát: Nếu đa thuc dạng P(x) = (a
1
x + a

2
)(b
1
x + b
2
)(c
1
x + c
2
)(d
1
x + d
2
) thoả
mãn a
1
b
1
= c
1
d
1
và a
1
b
2
+ a
2
b
1

= c
1
d
2
+c
2
d
1
thì đặt y =(a
1
x + a
2
)(b
1
x + b
2
) rồi biến đổi như
trên.
 Đa thức dạng: P(x) = (a
1
x + a
2
)(b
1
x + b
2
)(c
1
x + c
2

)(d
1
x + d
2
)
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
với a
1
b
1
= c
1
d
1
và a
2
b
2
= c
2
d
2
Bài 11 : Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x
2
thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy a
1
b
1
=3.3 = 9.1 = c

1
d
1
và a
2
b
2
= 2.(-5) =(-1).10 =c
2
d
2
P(x) = (9x
2
– 9x – 10)(9x
2
+ x – 10) + 24x
2
Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x
2
– 9x – 10 thì P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) –24x
2
Tìm m.n = 24x
2
và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x
Ta được: Q(y) = y
2
+ 10xy + 24x
2
= (y + 6x)(y + 4x)

Do dó P(x) = ( 9x
2
– 3x – 10)(9x
2
– 5x – 10).
 Đa thức dạng: P(x) = ax
4
+bx
3
+ cx
2
+ kbx + a với k = 1 hoặc k = -1
Cách giải: Đặt y = x
2
+ k và biến đổi P(x) về dạng a’y
2
+ b’xy +c’ rồi áp dụng
tách hạng tử
Bài 12: Phân tích P(x) = 2x
4
+ 3x
3
– 9x
2
– 3x + 2 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x
2
– 1 suy ra y
2
= x

4
– 2x
2
+ 1
Biến đổi P(x) = 2(x
4
– 2x
2
+ 1) + 3x
3
– 5x
2
– 3x
= 2(x
2
– 1)
2
+ 3x( x
2
– 1) – 5x
Từ đó Q(y) = 2y
2
+ 3xy – 5x
2
Tìm m, n sao cho m.n = - 10x
2
và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x
Ta có : Q(y) = 2y
2
+ 3xy – 5x

2
= 2y
2
– 2xy + 5xy – 5x
2
= 2y(y – x) + 5x(y – x)
= ( y – x)( 2y – 5x)
Do dó , P(x) = (x
2
– x – 1 )(2x
2
+ 5x – 2).
Đa thức dạng: P(x) = x
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e với e = d
2
/b
2
Cách giải: Đặt biến phụ y = x
2
+ d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử
y
2
+ b’xy +c’ rồi áp dụng tách hạng tử
Ví dụ: Phân tích P(x) = x
4

- x
3
– 10x
2
+ 2x + 4 thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x
2
– 2 suy ra y
2
= x
4
– 4x
2
+ 4
Biến đổi P(x) = x
4
– 4x
2
+ 4 – x
3
– 6x
2
+ 2x
= (x
2
– 2)
2
– x(x
2
– 2) – 6x

2
Từ đó Q(y) = y
2
– xy – 6x
2

Tìm m, n sao cho m.n = - 6x
2
và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x
Ta có Q(y) = y
2
+ 2xy – 3xy – 6x
2
= y(y + 2x) – 3x(y + 2x)
= (y + 2x)(y – 3x)
Do dó, P(x) = (x
2
+ 2x – 2)(x
2
– 3x – 2).
* Nếu đa thức P(x) có chứa ax
4
thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách trên.
 Đa thức dạng P(x) = (x + a)
4
+ ( x + b)
4
+c
Cách giải:
Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng trùng phương

mx
4
+ nx
2
+ p.
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)
4
+ ( x – 1)
4
– 16 thành nhân tử.
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Giải: Đặt y = x – 2 lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)
4
+ ( y + 1)
4
– 16
= 2y
4
+ 12y
2
– 14
= 2(y
2
+ 7)( y
2
– 1)
= 2(y
2
+ 7)(y – 1)(y + 1)
Do dó P(x) = 2(x

2
– 4x + 11)(x – 3)(x – 1).
BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1/ 6x
4
+ 19x
2
+ 15
2/ (48x
2
+ 8x – 1)(3x
2
+ 5x + 2) – 4
3/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 16
4/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 7
5/ (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330
6/ (a+2)(a+3)(a
2
+a+6) + 4a
2
.
7/ (x
2
+ 11x + 30)( x
2
+ 22x + 120) – 3x
2
8/ (7 – x)
4
+ ( 5 – x)

4
– 2
9/ x
4
– 9x
3
+ 28x
2
– 36x + 16
10/ x
4
– 3x
3
– 6x
2
+ 3x + 1
IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH.
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
3
– 19x – 30 b) x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
+ 6x + 1
Giải:
a) Kết quả tìm phải có dạng: (x + a)(x
2

+ bx + c) = x
3
+ (a +b)x
2
+ (ab +c)x + ac. Ta
phải tìm a, b, c thoả mãn:
x
3
– 19x – 30 = x
3
+ (a +b)x
2
+ (ab +c)x + ac
Vì hai đa thức này đồngnhất , nên ta có:
a + b = 0
ab + c = 19
ac = - 30
Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, do đó a, c là ước của - 30
hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30
a = 2, c = 15 khi đó b = - 2 thoả mãn hệ trên. Đó là một bộ số phải tìm
tức là x
3
– 19x – 30 = (x + 2)(x
2
– 2x – 15)
b) Dễ thấy ±1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có
nghiệm nguyên, cũng không có nghiệm hữu tỉ. Như vậy nến đa thức đã cho phân tích
thành nhân tử thì phải có dạng:
(x
2

+ ax + b)( x2 + cx + d) = x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad +bc)x +bd . Đồng
nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta có
x
4
+ 6x
3
+7x
2
+ 6x + 1 =x
4
+(a + c)x
3
+ (ac + b +d)x
2
+ (ad + bc)x +bd
a + c = 6
ac + b + d =7
ad + bc = 6
bd = 1
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Từ hệ này tìm được: a = b = d = 1 , c = 5
Vậy: x
4
+ 6x

3
+7x
2
+ 6x + 1 = (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 5).
V. TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.
 Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích
của hai thừa số là (x – a) và Q(x).
P(x) = (x – a) Q(x)
Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhò thức (x – a).
 Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phân
biệt đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x).
P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x
2
+ (a + b)x +ab,
ta có thương đúng của phép chia chính là Q(x).
 Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x
1
= x
2
= a thìsao?
Thế nào là nghiệm số kép?
Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x).
Q(x) lại có nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a) R(x).
Do đó, ta có: P(x) = (x – a)
2

R(x).
Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x
1
= x
2
= a
Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x
1
= x
2
= a thì P(x) = (x – a)
2
R(x).
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x
3
– 2x – 4 thành nhân tử .
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x
3
– 2x – 4 có số nghiệm là x = 2
Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x)
Chia đa trhức P(x) = x
3
– 2x – 4 cho nhò thức x – 2 , ta được thương số là
Q(x) = x
2
+ 2x +2 = (x + 1)
2
+1
Suy ra P(x) = (x – 2)(x
2

+ 2x + 2)
Vậy P(x) = x
3
– 2x – 4 = ( x- 2)(x
2
+ 2x + 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
P(x) = x
4
+ x
3
– 2x
2
– 6x – 4
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có 2 nghiệm phân biệt là -1 và 2
Vì P(-1) = 0 và P(2) = 0
Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x)
Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x
2
– x – 2 , ta được thương đúng
của phép chia là: Q(x) = x
2
+ 2x + 2 = (x + 1)
2
+ 1
Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x
2
+ 2x + 2)
Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x
2

+ 2x + 2).
VI. QUY TẮT HÓT – NƠ (HORNER)
Quy tắt Hót – Nơ giúp chúng ta chia nhanh một đa thức cho một nhò thức bậc nhất.
Bài toán: Giả sử chúng ta chia được đa thức.
P(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n -1
+ a
2
x
n – 2
+ a
3
x
n – 3
+ … + a
n
chia nhò thức x - a
Bậc của đa thức thương Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vò.
Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Q(x) = b
0
x
n – 1
+ b

1
x
n – 2
+ b
2
x
n – 3
+ …… + b
n - 1
Số dư r là một hằng số vì bậ r < bậc (x – a)
Ta có: a
0
x
n
+ a
1
x
n – 1
+ a
2
x
n – 2
+ … + a
n
= (x – a)(b
0
x
n -1
+ b
1

x
n – 2
+ …. + b
n – 1
) + r
Cân bằng các hệ số, ta có: b
0
= a
0
b
1
= a
1
+ ab
0
b
2
= a
2
+ ab
1
b
3
= a
3
+ ab
2
…………………………
b
n – 1

= a
n – 1
+ ab
n - 2
r = a
n
+ ab
n -1
Ta sắp xếp thành bảng sau:
a
0
a
1
a
2
……… a
n - 1
a
n
a b
0
= a
0
b
1
= a
1
+ab
0
b

2
= a
2
+ab
1
b
n – 1
= a
n -1
+ ab
n - 2
r = a
n
+ ab
n -1
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x
4
– 4x
3
+ 1 thành nhân tử.
Giải: Ta có P(1) = 3 – 4 + 1 = 0
Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1)
P(x) = (x – 1)Q
1
(x)
Ta xác đònh Q
1
(x) bằng quy tắt Hót – Nơ .
3 -4 0 0 1
1 3 -1 -1 -1 r = p(1)

= 0
Do đó Q
1
(x) = 3x
3
– x
2
– x – 1
Nhận xét rằng Q
1
(x) = 0 suy ra Q
1
(x) = (x – 1)Q
2
(x)
Ta xác đònh Q
2
(x) bằng cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ:

3 -1 -1 -1
1 3 2 1 0
Suy ra: Q
2
(x) = 3x
2
+ 2x + 1, không phân tích thành nhân tử được nữa.
Do đó, ta có: P(x) = 3x
4
– 4x
3

+ 1 = (x – 1)
2
(3x2 + 2x + 1).
Luyện tập thêm :
Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) =
4 3 2
2 7 2 13 6x x x x− − + +