Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa hai biến số pot

về một cách tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
chứa hai biến số
Đỗ Bá Chủ Thái Bình tặng www.mathvn.com
Cú nhiu phng phỏp tỡm giỏ tr ln nht (GTLN) , giỏ tr nh nht (GTNN) ca mt biu thc cú
t mt bin s tr lờn . Bi vit ny chỳng tụi xin trao i v phng phỏp tỡm cc tr ca biu thc hai
bin s nh min giỏ tr , trong ú hai bin b rng buc bi mt iu kin cho trc .
Bi toỏn : Cho cỏc s thc x , y tho món iu kin : G(x ; y) = 0 ( hoc
G(x;
y
)0

hoc
G(x;
y
)0
) .
Tỡm GTLN , GTNN ( nu cú ) ca biu thc P = F(x ; y).
Cỏch gii :
Gi T l min giỏ tr ca P . Khi ú m l mt giỏ tr ca T khi v ch khi h sau cú nghim (x ; y):
(;) 0
(;)
=


=

Gxy
F
xy m
( hoc
(;) 0

(;)



=

Gxy
F
xy m
hoc
(;) 0
(;)



=

Gxy
F
xy m
)
Sau ú tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m mt trong cỏc h trờn cú nghim . T ú suy ra min giỏ tr
T ca P , ri suy ra GTLN , GTNN ( nu cú ) ca P.
Sau õy l cỏc bi toỏn minh ho .
Bi toỏn 1 : Cho hai s thc x , y tho món iu kin :
(
)
33
33 3
(1) 1

x
xyy+ =xy

Tỡm GTLN , GTNN ca biu thc
=++
3
33
F
xyxy
.
Li gii : Gi T
1
l min giỏ tr ca F . Ta cú
1
mT

h sau cú nghim:
(
)
33
33 3
3
33
(1) 1
x
xyy
xyxym

+ =

++ =

xy

t :
3
3
3
S
xy
Pxy

=+


=


. Ta cú
2
,,:4
x
ySPS P
H trờn
22
30 23
S
SP S Sm

S
Pm PmS

= + =


+= =


Ta cú :
2
22 2
4( )
440
3
SS
SPS SS S

04
T ú h PT u cú nghim
2
() 2 3
f
SS S m=+= cú nghim
0S 4


. Vỡ hm bc hai f(S) ng
bin trờn
[

]
0;4
nờn PT f(S) = 3m cú nghim
04S



(0) 3 (4) 0 3 24fmf m



. Do ú
0m 8
[
]
1
0;8T =

Vy minF = 0 , maxF = 8.
Bi toỏn 2 : Cho cỏc s thc x, y tho món : 3

22
x-xy+y
Tỡm GTLN , GTNN ca biu thc
22
Q = x + x
y
-2
y

Li gii : Gi T
2
l min giỏ tr ca Q . Ta cú
2
mT

h sau cú nghim:

3




22
22
x-xy+y (1)
x+xy-2y=m (2)
Nếu y = 0 thì hệ (1),(2)
⎧
≤
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
2
2
3x
x

m
, suy ra trường hợp này hệ có nghiệm (x ; 0)
⇔≤

≤03m
Nếu y 0 thì đặt x = ty ta có hệ :
≠
⎧
−+ ≤
⎨
+− =
⎩
22
22
(1)3(
(2) (
yt t
yt t m
3)
4)
2)tt+−Từ (4) ta phải có m( > 0 và thay
2
2
2
2
m
y
tt
=
+

−
vào (3) được
−+
≤
+−
2
2
(1)
3
2
mt t
tt

Trường hợp này hệ (1),(2) có nghiệm
⎧
+−
⎪
⇔
⎨
−+
≤
⎪
+−
⎩
2
2
2
m( 2) > 0
Ö
(1)

3
2
tt
H
mt t
tt
có nghiệm
⎡
>
⎧
⎪
⎢
⎨
⎢
≤ ∈ −∞ − ∪ +∞
⎪
⎢
⎩
⇔
⎢
<
⎧
⎢
⎪
⎢
⎨
≥∈−
⎢
⎪
⎩

⎣
0
3
() ã Ö ( ; 2) (1; )
0
3
() ã Ö ( 2;1)
m
ft c nghimt
m
m
ft c nghimt
m
( I ) ( với
−
+
=
+
−
2
2
1
()
2
tt
ft
tt
,
{
}

\2;1t ∈−R
)
Ta có :
−+
′
=
+−
2
22
26
()
(2
1tt
ft
tt
()
)
,
t
′
=
0
±
⇔=
37
2
t

f
Bảng biến thiên của hàm f(t)

t −∞ - 2
−37
2
1
37
2
+
+
∞

f’(t) + + 0 - - 0 +
−127
9
+
∞
1 + ∞
f(t)


1 −∞
−
∞
12

7
9
+
Từ bảng biến thiên ta có
( I )
⎡

>
⎧
⎪
⎢
⎨
+
⎢
≤
⎪
⎢⎡
<≤−+
⎩
⇔⇔
⎢⎢
<
⎧
−
−≤<
⎢⎢
⎣
⎪
⎢
⎨
−
⎢
≥
⎪
⎢
⎩
⎣

0
122 3
012
9
0
127 0
127 3
9
m
m
m
m
m
m
7

Kết hợp các trường hợp trên ta được :
−− ≤ ≤−+127 127m
.
Do đó
⎡⎤
=−− −+
⎣⎦
3
127;127T . Vậy minQ = 127−− , maxQ = 127−+
( Bài này các bạn có thể tham khảo hướng dẫn giải đề số 4 - THTT tháng 6/2007 )
Bài toán 3 : Cho hai số thực x, y thoả mãn :
22
916683(18)
x

yxy xy+++≤−
Tìm GTNN của biểu thức
=
++ +(1)(1Kxx yy )

Lời giải : Gọi T
3
là miền giá trị của K . Ta có mT
3
∈
⇔
)
hệ sau có nghiệm:
22
916683(18
(1)(1)
x
yxy xy
xx yy m
⎧
+++≤−
⎨
++ +=
⎩

Hệ trên
⎧
−≤ + ≤
⎧
+++−≤

⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+++=+
+++=+
⎪⎪
⎩
⎩
2
22
22
33 4 1 (5)
(3 4 ) 2(3 4 ) 3 0
111
111
()() (6)
()()
222
222
xy
xy xy
xym
xym

Dễ thấy : nếu
1
2
m
thì hệ vô nghiệm
≤−

Với
1
2
m
, xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta có : tập hợp nghiệm của (5) là miền mặt phẳng
>−
(H) ở giữa hai đường thẳng song song
1
:3 4 3 0dxy
+
+= và dx
2
:3 4 1 0
+
y−= có chứa cả biên là hai
đường thẳng và , còn tập hợp nghiệm của (6) là đường tròn (C) có tâm I(
1
d
2
d
1
2
−
;
1
2
−
) , bán kính
1
2

Rm=+
. Trường hợp này hệ (5),(6) có nghiệm
⇔
(C) và (H) có điểm chung
⇔

1
11
(; )
10 2 100
dId R m m≤⇔ ≤ +⇔≥−
49
( thoả mãn m >
1
2
−
) .
Do đó
3
49
;
100
T
⎡⎞
=− +∞
⎟
⎢
⎣⎠
. Vậy
=−

49
min
100
K
( không tồn tại maxK) .
(Bạn đọc tự vẽ hình minh hoạ).
Bài toán 4 : Cho các số thực x, y thoả mãn :
2cos 2cos 3 cos cos 2 cos cos
(2
.
) 2 4 42
x y xy xy++ ++ +
+−≥
Tìm GTLN , GTNN của biểu thức :
cos 2 cos 2
M
xy
=
+

Lời giải : Gọi T
4
là miền giá trị của M . Ta có
∈
⇔
4
mT hệ sau có nghiệm:
2cos 2cos 3 cos cos 2 cos cos
(2) 2 4 42
(*)

cos 2 cos 2
x y xy xy
xym
++ ++ +
⎧
+−≥
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

Hệ(*) ⇔
cos cos 2 cos cos cos cos
22 22
22
3
1cos cos
(2 ) (22 2)2 42 0 2 2 22
2
22
2
cos cos cos cos
cos cos
++ +
⎧
⎧
⎧
≤+≤
−+ +≤ ≤ ≤

⎪
⎪
⎪⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨⎨
++
22
2
+
+= +=
⎪⎪⎪
+=
⎩
⎪
⎩
xy xy xy
xy
mm
m
xy xy
xy
vy==
⎪
⎩

Đặt
ux
ta có hệ :
cos ; cos
22

3
1(
2
1, 1 (8)
2
(9)
2
⎧
≤+≤
⎪
⎪
≤≤
⎨
⎪
+
⎪
+=
⎩
uv
uv
m
uv
7)

v
Hệ (*) có nghiệm hệ (7),(8),(9) có nghiệm. ⇔
Dễ thấy , với
m
hệ (7),(8),(9) vô nghiệm .
2≤−

Với m > - 2 , xét trong mặt phẳng toạ độ Ouv
khi đó tập hợp nghiệm của (7) và (8) là hình


O
u
A
B
C
D
1
1
1
2
1
2
thang cân ABCD ( gồm các điểm ở trong hình
thang và các điểm trên cạnh hình thang) , còn
tập hợp nghiệm của (9) là đường tròn ( T ) có
tâm O(0 ; 0) , bán kính
2
2
+
=
m
R
( hình vẽ )
Từ đó , hệ (7),(8),(9) có nghiệm đường tròn ⇔
( T ) có điểm chung với hình thang ABCD
(; )dOCD R OB⇔≤≤

225
1
222
+
⇔≤ ≤⇔−≤≤
m
m
1
2
0
( thoả mãn m > - 2)
(Ở đây đường thẳng CD: , đường thẳng AB:
10uv+−= 223uv
+
−=
và các tam giác OCD , OAB
cân tại O) .
Do đó
4
1
1;
2
⎡
=−
⎢
⎣⎦
T
⎤
⎥

. Vậy minM = -1 , maxM =
1
2

Bài toán 5 : (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 )
Cho hai số thực thay đổi x
≠
0 , y
≠
0 thoả mãn :
22
(x y)xy x y xy
+
=+−
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
33
11
A
xy
=+

Lời giải : Gọi T
5
là tập giá trị của A . Ta có
5
mT
∈
⇔ hệ sau có nghiệm x
≠
0 , y 0 :

≠
22 22
22
22 2
33
33
(x y)xy x y xy (x y)xy x y xy
(x y)xy x y xy
11
(x y)(x y xy) xy(x y)
m
mm
xy
(xy) (xy)
⎧⎧
+
=+− + =+−
⎧
+=+−
⎪⎪ ⎪
⇔⇔
⎨⎨ ⎨
++− +
+=
==
⎪⎪ ⎪
⎩
⎩⎩

2
2
(x y)xy (x y) 3xy
xy
()m
xy
⎧
+=+−
⎪
⇔
+
⎨
=
⎪
⎩
(V)
Đặt ( ) , ta có hệ :
Sxy
Pxy
=+
⎧
⎨
=
⎩
2
S4≥ P
2
2
SP S 3P
S

() m
P
⎧
=
−
⎪
⎨
=
⎪
⎩
(VI)
Hệ (V) có nghiệm x 0 , y 0 hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn .
≠ ≠
⇔
2
S4P≥
Do
22 2 2
13
SP x y xy (x y) y 0
24
=+−=− + >
với mọi x
≠
0 , y
≠
0
S
0
P

⇒>
với mọi x 0 , y
≠
≠
0
Từ đó :
•
Nếu thì hệ (V) vô nghiệm
m0≤
•
Nếu m > 0 thì từ phương trình
2
SS
() m m
PP
=⇒=
Sm.⇒= P
thay vào phương trình
đầu của hệ (VI) được :
22
mP mP 3P (m m)P 3=−⇔− = ( vì SP > 0 nên P 0 )
≠
Để có P từ phương trình này thì
mm0m1
−
≠⇔ ≠
( m > 0 ) và ta được

3
P

m( m 1)
=
−
, do đó
3
S
m1
=
−
. Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả
mãn khi và chỉ khi :
2
S4P≥


2
312
()
m1 m(m1)
≥
−−
2
4( m 1)
3 3m4(m1) m4
m( m 1)
−
⇔≥ ⇔ ≥ −⇔ ≤
−

0m16(m1)⇔< ≤ ≠
Tóm lại các giá trị của m để hệ (V) có nghiệm x
≠
0 , y
≠
0 là :
0m16,m1
<
≤≠

Do đó :
(
]
{
}
5
T0;16\1=

Vậy : maxA = 16 ( chú ý không tồn tại minA )
Bài toán 6 : ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 )
Cho hai số thực x, y thoả mãn :
x3x13y2y
−
+= +−

Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Kxy
=
+

Lời giải : ĐKXĐ :
x1,y≥− ≥−2
Gọi T
6
là tập giá trị của K . Ta có hệ sau có nghiệm:
6
mT∈⇔
3( x 1 y 2 ) m
x3x13y2y
(VII)
xym
xym
⎧
⎧
++ + =
−+=+−
⎪⎪
⇔
⎨⎨
+=
+=
⎪
⎪
⎩
⎩

Đặt
ux=+1
và

vy=+2
thì và hệ (VII) trở thành :
u,v 0≥

22 2
m
uv
3(u v) m
3
uvm3 1m
uv ( m 3)
29
⎧
+=
⎪
+=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
+=+
⎩
⎪
=−−
⎪
⎩
⇔
u , v là hai nghiệm của phương trình :

2

22
m1m
t t ( m 3) 0 18t 6mt m 9m 27 0
329
−+ −−=⇔ −+−−=
2
2
(10)
Từ đó , hệ (VII) có nghiệm ( x ; y ) sao cho khi và chỉ khi (10) có hai nghiệm không âm
và điều kiện là :
x1,y≥− ≥−
2
t
t
2
t
9(m 18m 54) 0
m9321
S0 m93
32
m9m27
P0
18
⎧
⎪
′
Δ=− − − ≥
⎪
+
⎪

=≥ ⇔ ≤≤+
⎨
⎪
⎪
−−
=≥
⎪
⎩
15
. Do đó
6
9321
T;9
2
315
⎡
⎤
+
=+
⎢
⎥
⎣
⎦

Vậy : minK =
9321
2
+
, maxK = 9315+
Bình luận : Ưu thế của phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN , GTNN về bài toán tìm tham số

để hệ có nghiệm , vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số để biểu thức đạt GTLN , GTNN . Nếu
dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì nhất thiết phải chỉ rõ các giá trị của biến số để tại đó biểu thức
đạt GTLN , GTNN .
Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hơn hai biến số .
Cuối cùng mời các bạn vận dụng phương pháp trên để làm các bài tập sau :
Bài 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn :
22
2( ) 7xy xy
+
=++ .
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
=
−+ −
3
3
(2) (2Pxx yy)

Bài 2 : Cho hai số thực x , y thoả mãn :
+
++≤(1)(1)xx yy 0
.
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
2007 2008 2009
=
++Qxy

Bài 3 : Cho các số thực x, y thoả mãn :
22
4x - 3x
y

+3
y
6
≤
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức
2
2
F
=x +xy-2y
Bài 4 : Cho các số thực không âm x , y thoả mãn :
4xy
+
=
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của biểu thức
19Qx y=+++

Bài 5 : Cho các số thực x, y thoả mãn :
1
cos cos
2
xy
+
=
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức
cos3 cos3
L
xy=+

Bài 6 : (Đại học khối B năm 2008 ) : Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ thức
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
22
xy+=1
2
2
2(x 6xy)
P
12xy2y
+
=
++

Bài 7 : ( Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008 ) Cho hai số x , y thoả mãn
22
xy2
+
=
.
Tìm GTLN , GTNN của biểu thức
33
P2(x y)3xy=+−
Bài 8 : Cho các số dương x , y thoả mãn : xy + x + y = 3 . Tìm GTLN của biểu thức

2
3x 3y xy
P
y1 x1 x y
=++ −−

+++
2
xy ( Đ/s : maxP = 3/2)

Hết